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江苏省南师大数科院2013届高考数学模拟最后一卷

时间:2013-06-14


2013 届高考模拟最后一卷

高考数学

江苏省南师大数科院 2013 届高考数学模拟最后一卷
◎试卷使用说明 1、此试卷完全按照 2013 年江苏高考数学考试说明命题,无超纲内容。 2、此试卷成绩基本可以反映高考时的数学成绩,上下浮动 15 分左右。 3、若此试卷达 120 分以上,高考基本可以保底 120 分;若达 85 分,只要在下一个阶段继续努力高 考可以达 96 分。 4、此试卷不含理科加试内容。 5、希望各位老师、同学在使用后多提宝贵意见,共同切磋提高。 6、如需要更多内部资料请以下方式联系! 一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上. ) 1.若 1 ? 2ai ? (1 ? bi)i ,其中 a、b∈R,i 是虚数单位,则 | a ? bi | = ▲ .

x 2 . 已 知 集 合 U ? R , 集 合 M ? { y y ? 2 , x ? R} , 集 合 N ? {x y ? lg(3 ? x)} , 则 ?CU M ? ? N ?

▲ . 3.某学校高中三个年级的学生人数分别为:高一 950 人,髙二 1000 人,高三 1050 人.现要调查该校学 生的视力状况,考虑采用分层抽样的方法,抽取容量为 60 的样本,则应从高三年级中抽取的人数为 ▲ . 4.某国际体操比赛,我国将派 5 名正式运动员和 3 名替补运动员参加, 最终将有 3 人上场比赛,其中甲、 乙两名替补运动员均不上场比赛的概率是

x2 y 2 ? ? 1 的焦点为顶点,顶点为焦点的双曲线方程为 ▲ . 4 3 ??? 2 ??? 1 ???? ? ? ? ? ???? 2 ??? 1 ??? 6.如图所示,设 P、Q 为△ABC 内的两点,且 AP ? AB ? AC , AQ = AB + AC ,则△ABP 的面 5 5 3 4
5.以椭圆 积与△ABQ 的面积之比为 ▲ .

C

Q P A B

(第 6 题) 7.执行如图所示的程序框图,若输出的 b 的值为 31,则图中判断框内①处应填的整数为
2 2





8.在 ?ABC 中,若 AB ? AC, AC ? b, BC ? a ,则 ?ABC 的外接圆半径 r ? a ? b ,将此结论拓展到空间, 2 可得出的正确结论是:在四面体 S ? ABC 中,若 SA、SB、SC 两两垂直, SA ? a, SB ? b, SC ? c ,则 四面体 S ? ABC 的外接球半径 R ? ▲ .

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9.若 a 是 1 ? 2b 与 1 ? 2b 的等比中项,则

2ab 的最大值为 a ?2 b





10.空间直角坐标系中,点 A( 6, 4sin ? , ?3sin ? ), B(0,3cos ? , 4cos ? ) ,则 A、B 两点间距离的最大值 为 ▲ . 11.下列表中的对数值有且仅有一个是错误的:

x
lg x

3

5

8

9

15

2a ? b

a?c
▲ =

3 ? 3a ? 3c
▲ .

4a ? 2b

3a ? b ? c ? 1

请将错误的一个改正为 lg

12.如图,l1、l2、l3 是同一平面内的三条平行直线,l1 与 l2 间的 与 l3 间的距离是 2,正三角形 ABC 的三顶点分别在 l1、l2、l3 的边长是 ▲ .

距离是 1, 2 l 上, 则△ABC

2 2 13.已知 A 为直线 l : x ? y ? 2 上一动点,若在 O : x ? y ? 1 上存在一点 B 使 ?OAB ? 30? 成立,则点

A 的横坐标取值范围为 ▲ . ln kx ? ln( x ? 1) 没有实数根,那么实数 k 的取值范围是 14.若方程 2





二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )
15、 (本小题满分 15 分) 已知函数 图象的两个相邻对称中心的距离为 (Ⅰ)求 ? 、 ? 的值;

f ( x) ? 3 sin

?x ? ?
2

cos

?x ? ?
2

? sin 2

?x ? ?
2

(? ? 0 ,0 ? ? ?

?
2

) .其

? ? 3 ,且过点 ( , ) . 6 2 2

(Ⅱ) 在△ABC 中. b、 分别是角 A、 C 的对边,a a、 c B、 求 c 的值.

角 且满足 f ( ? 5 ,S?ABC ? 2 5 , C 为锐角。

C ? 7 ? )? , 2 12 6

C 16. (本小题满分 15 分)如图,已知三棱柱 BCF-ADE 的侧面 CFED 与 ABFE 都是边长 为 1 的正方形,M 、N 两点分别在 AF 和 CE 上,且 AM=EN. (Ⅰ)求证:平面 ABCD ? 平面 ADE; N F D (Ⅱ)求证: MN//平面 BCF; (Ⅲ)若点 N 为 EC 的中点,点 P 为 EF 上的动点,试求 PA+PN 的最小值. E 图 (5)

B M A

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17. (本小题满分 14 分)某化工企业 2007 年底投入 100 万元,购入一套污水处理设备.该设备每年的运 转费用是 0.5 万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以 后每年的维护费都比上一年增加 2 万元. (Ⅰ)求该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用 y (万元) ; (Ⅱ)问为使该企业的年平均污水处理费用最低,该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备?

18. (本小题满分 15 分) 如图,已知圆 O 的直径 AB=4,定直线 L 到圆心的距离为 4,且直线 L 垂直直线 AB。点 P 是圆 O 上异于 A、B 的任意一点,直线 PA、PB 分别交 L 与 M、N 点。 (Ⅰ)若∠PAB=30° ,求以 MN 为直径的圆方程; (Ⅱ)当点 P 变化时,求证:以 MN 为直径的圆必过圆 O 内的一定点。
M P L

A

O

B

N

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19. (本小题满分 15 分)设常数 a ? 0 ,函数 f ( x) ? x ? ln 2 x ? 2a ln x ?1 ( x ? (0, ??)) . (Ⅰ)令 g ( x) ? xf ?( x) ( x ? 0) ,求 g ( x) 的最小值,并比较 g ( x) 的最小值与零的大小; (Ⅱ)求证: f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数; (Ⅲ)求证:当 x ? 1 时,恒有 x ? ln x ? 2a ln x ? 1 .
2

20. (本小题满分 16 分) 定义: 若数列 ?An ?满足 An?1 ? An , 则称数列 ?An ?为 “平方递推数列”已知数列 ?an ? 中, 1 ? 2 , 。 a
2

(Ⅰ)证明:数列 ?2an ? 1?是“平方递推数列” ,且数列 ?lg(2an ? 1)?为等比数列。 (Ⅱ)设(Ⅰ)中“平方递推数列”的前 n 项之积为 Tn ,即 Tn ? (2a1 ? 1)(2a2 ? 1)?(2an ? 1) ,求数 (Ⅲ)记 bn ? log2an ?1 Tn ,求数列 ?bn ? 的前 n 项之和 S n ,并求使 Sn ? 2008 的 n 的最小值。 列 ?an ? 的通项及 Tn 关于 n 的表达式。

点 (an , an?1 ) 在函数 f ( x) ? 2x 2 ? 2 x 的图像上,其中 n 为正整数。

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参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.

5 1. 2
y2 ?1 5. x ? 3
2

2.

?y y ? 0?
4 5

3.21

4.

5 14

6.

7.4 8. 11. 12.

a 2 ? b2 ? c 2 2
2 21 3

9.

1 3

10. 8

13. 0 ? a ? 2

14. 0 ? k ? 4

二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (本小题满分 14 分)

3 1 ? 1 sin(?x ? ? ) ? [1 ? cos(?x ? ? )] ? sin(?x ? ? ? ) ? . (2 分) 2 2 6 2 2 T ? 9 ? ∵最高点与相邻对称中心的距离为 ,则 ? ,即 T ? ? , (3 分) ? 4 4 4 16 2? ? ? ,∵ ? ? 0 ,∴ ? ? 2 , ∴ (4 分) |? | ? 又 f (x) 过点 ( ,1) , 3 2? ? 1 ? 1 1 ? ? ? ) ? ? 1 ,即 sin( ? ? ) ? ,∴ cos ? ? . ∴ sin( (5 分) 3 6 2 2 2 2 ? ? ? 1 ∵ 0 ? ? ? ,∴ ? ? ,∴ f ( x) ? sin( 2 x ? ) ? . (6 分) 2 3 6 2
解: (Ⅰ) f ( x) ? 16. (本小题满分 15 分) 解: (1)∵四边形 CFED 与 ABFE 都是正方形 ∴ EF ? DE, EF ? AE, 又 DE ? EA ? E , ∴ EF ? 平面 ADE ,---------------2 分
N1 F M A
C

C

又∵ EF / / AB ,∴ AB ? 平面 ADE ∵ AB ? 平面 ABCD,∴平面 ABCD ? 平面 ADE-------------------------4 N 分 D (2)证法一:过点 M 作 MM1 ? BF 交 BF 于 M 1 , 过点 N 作 NN1 ? CF 交 BF 于 N1 ,连结 M1 N1 ,------------5 分 ∵ MM1 / / AB, NN1 / / EF ∴ MM1 / / NN1 又∵
E

M1

B

MM 1 FM CN NN1 ? ? ? ∴ MM1 ? NN1 --------------------------------7 分 AB FA CE EF ∴四边形 MNN1M1 为平行四边形,---------------------------------------------8 分 N F D

? MN / / N1M1, 又MN ? 面BCF , N1M1 ? 面BCF , ? MN / /面BCF . ----------10 分 G CN FM FG ? ? E, [法二:过点 M 作 MG ? EF 交 EF 于 G,连结 NG,则 NE MA GE ? NG / / CF -----------------------------------------------------------6 分
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B M A

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又NG ? 面BCF , CF ? 面BCF ,? NG / /面BCF ,------------7 分 同理可证得 MG // 面BCF ,又 MG ? NG ? G , ∴平面 MNG//平面 BCF--------9 分 ? MN // 面BCF .--------------------------------------------10 分] ∵MN ? 平面 MNG,
(3)如图将平面 EFCD 绕 EF 旋转到与 ABFE 在同一平面内,则当点 A、P、N 在同一直线上时,PA+PN 最小,------------------------------------11 分

2 C 2 2 2 2 ? 由余弦定理得 AN ? AE ? EN ? 2 AE ? EN cos135 ,------13 分 10 10 ∴ AN ? 即 ( PA ? PN )min ? .-----------------------14 分 D 2 2
在△AEN 中,∵ ?AEN ? 135 , AE ? 1, NE ?
?

F

B

N

P E A

17. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) y ?

100 ? 0.5 x ? (2 ? 4 ? 6 ? ? ? 2 x) x 100 ? 1. 5 ( x ? 0 ) 即y ? x? ;------------------------------------------------7 分 x * (不注明定义域不扣分,或将定义域写成 x ? N 也行)
由均值不等式得:

(Ⅱ) y ? x ?

100 100 ? 1.5 ? 2 x ? ? 1.5 ? 21.5 (万元)-----------------------11 分 x x 100 当且仅当 x ? ,即 x ? 10 时取到等号.----------------------------------------13 分 x

答:该企业 10 年后需要重新更换新设备.------------------------------------------14 分 18. (本小题满分 15 分) 解:建立如图所示的直角坐标系, ⊙O 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 , 直线 L 的方程为 x ? 4 。 (Ⅰ)∵∠PAB=30° ,∴点 P 的坐标为 (1, 3) ,
P y M

3 ( x ? 2) , lBP : y ? ? 3( x ? 2) 。 3 将 x=4 代入,得 M (4,2 3), N (4, ?2 3) 。
∴ l AP : y ? ∴MN 的中点坐标为(4,0) ,MN= 4 3 。 ∴以 MN 为直径的圆的方程为 ( x ? 4)2 ? y 2 ? 12 。

A

O

B

x

同理,当点 P 在 x 轴下方时,所求圆的方程仍是 ( x ? 4) ? y ? 12 。
2 2

2 2 2 2 (Ⅱ)设点 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,∴ x0 ? y0 ? 4 ( y0 ? 0 ) ,∴ y0 ? 4 ? x0 。

N

y0 y ( x ? 2), lPB : y ? 0 ( x ? 2) , x0 ? 2 x0 ? 2 6 y0 将 x=4 代入,得 yM ? , x0 ? 2
∵ lPA : y ?

4 x0 ? 4 2 y0 6 y0 2 y0 6 y0 2 y0 。∴ M (4, 。 ), N (4, ) ,MN= ? ? x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 y0 4( x0 ? 1) MN 的中点坐标为 (4, ? )。 y0
yN ?
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以 MN 为直径的圆 O 截 x 轴的线段长度为 2

/

4( x0 ? 4) 2 16( x0 ? 1) 2 4 ? ? 2 2 y0 y0 y0

2 12 ? 3 x0

?
/

4 3 4 3 2 4 ? x0 ? y0 ? 4 3 为定值。 y0 y0

∴⊙ O 必过⊙O 内定点 (4 ? 2 3,0) 。 19. (本小题满分 15 分) 解(Ⅰ)∵ f ( x) ? x ? (ln x)(ln x) ? 2a ln x ?1 , x ? (0, ??) ∴ f ?( x) ? 1 ? [ ? ln x ? (ln x) ? ] ?

1 1 2a 2 ln x 2a ? , , ? 1? ??2 分 x x x x x ∴ g ( x) ? xf ?( x) ? x ? 2ln x ? 2a , x ? (0, ??) 2 x?2 ∴ g ?( x) ? 1 ? ? ,令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 2 , ??4 分 x x
列表如下:

x g ?( x ) g ( x)

(0, 2) ?


2 0 极小值 g (2)

(2, ∞) ?

?
↗ ??6 分 ??8 分 ??10 分 ??11 分 ??12 分 ??13 分 ??14 分

∴ g ( x) 在 x ? 2 处取得极小值 g (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a , 即 g ( x) 的最小值为 g (2) ? 2 ? 2ln 2 ? 2a .

g (2) ? 2(1 ? ln 2) ? 2a , ∵ ln 2 ? 1 ,∴ 1 ? ln 2 ? 0 ,又 a ? 0 ,∴ g (2) ? 0 . 证明(Ⅱ)由(Ⅰ)知, g ( x) 的最小值是正数, ∴对一切 x ? (0, ??) ,恒有 g ( x) ? xf ?( x) ? 0 , 从而当 x ? 0 时,恒有 f ?( x) ? 0 , ? 故 f ( x ) 在 (0, ∞) 上是增函数. ? 证明(Ⅲ)由(Ⅱ)知: f ( x ) 在 (0, ∞) 上是增函数, ∴当 x ? 1 时, f ( x) ? f (1) ,
又 f (1) ? 1 ? ln 1 ? 2a ln1 ?1 ? 0 ,
2

∴ f ( x) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln x ? 2a ln x ? 0 ,
2

∴ x ? ln x ? 2a ln x ? 1
2

故当 x ? 1 时,恒有 x ? ln x ? 2a ln x ? 1 . 20. (本小题满分 16 分)
2

??15 分

(Ⅰ)由条件 an+1=2an2+2an, 得 2an+1+1=4an2+4an+1=(2an+1)2.∴{bn}是“平方递推数列” .∴lgbn
+1

lg(2an+1+1) =2lgbn.∵lg(2a1+1)=lg5≠0,∴ =2.∴{lg(2an+1)}为等比数列. lg(2an+1)


(Ⅱ)∵lg(2a1+1)=lg5,∴lg(2an+1)=2n 1?lg5,∴2an+1=5

2n

-1

1 2n-1 ,∴an= (5 -1). 2

lg5?(1-2n) ∵lgTn=lg(2a1+1)+lg(2a2+1)+?+lg(2an+1)= =(2n-1)lg5. 1-2 ∴Tn=5
2n-1



(2n-1)lg5 2n-1 lgTn 1 n-1 (3)cn= = n-1 = n-1 =2-? ? , ?2? lg(2an+1) 2 lg5 2

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1 1 1 ∴Sn=2n-[1+ +? ? +?+? ? 2 ?2? ?2?
2

n-1

1 n 1-? ? ?2? 1 n 1 n ]=2n- =2n-2[1-? ? ]=2n-2+2? ? . 1 ?2? ?2? 1- 2

1 n 1 n 由 Sn>2008 得 2n-2+2? ? >2008,n+? ? >1005, ?2? ?2? 1 n 1 n 当 n≤1004 时,n+? ? <1005,当 n≥1005 时,n+? ? >1005,∴n 的最小值为 1005. ?2? ?2?

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