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递推数列通项公式的求法(题型最全)


递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强的数列问题中,数列通项公式的求解问题往往是解决 数列难题的瓶颈。我现在总结出几种求解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。

类型 1 an ?1 ? an ? f (n)

解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an ? f

(n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。
例 1. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n
a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,…….

变式: 已知数列 {an } a1 ? 1,且 a2k=a2k-1+(-1)K, 中 (I)求 a3, a5; (II)求{ an}的通项公式.

类型 2 an?1 ? f (n)an

解法:把原递推公式转化为
例 1:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 例 2:已知 a1 ? 3 , a n ?1

an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1 3n ? 1 ? a n (n ? 1) ,求 an 。 3n ? 2

变式:(2004,全国 I,理 15. )已知数列{an},满足 a1=1, an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1 (n≥2),则{an}的通项 an ? ?

?1 ? ___

n ?1 n?2

类型 3 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) ) 。

解法(待定系数法) :把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ?
例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an . 变式:(2006,重庆,文,14)

q ,再利用换元法转化为等比数列求解。 1? p

在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? _______________ 变式:(2006. 福建.理 22.本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列{bn}滿足 4 1 4 2 ?4 n (Ⅲ )证明:
b ?1 b ?1 b ?1

? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明:数列{bn}是等差数列;

a n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an ?1 2
(或 an?1 ? pan ? rqn ,其中 p,q, r 均为常数) 。

类型 4 an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ) 。

解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以 q n?1 ,得:
引入辅助数列 ?bn ? (其中 bn ?

an?1 p an 1 ? ? ? q n?1 q q n q

an p 1 ) ,得: bn?1 ? bn ? 再待定系数法解决。 n q q q

例:已知数列 ?an ? 中, a1 ?

5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2 4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1, 2,3,? ? ? 3 3 3

变式:(2006,全国 I,理 22,本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ?

(Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ; (Ⅱ)设 Tn ?

n 3 2n , n ? 1, 2,3,? ?,证明: ? Ti ? ? 2 Sn i ?1

类型 5

递推公式为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。

解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san )
其中 s,t 满足 ?

?s ? t ? p ?st ? ?q

解法二(特征根法):对于由递推公式 an?2 ? pan?1 ? qan , a1 ? ? , a2 ? ? 给出的数列 ?an ? ,方程 x 2 ? px ? q ? 0 ,叫做数列 ?an ? 的特征方
n n 程。若 x1 , x 2 是特征方程的两个根,当 x1 ? x 2 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? Ax1 ?1 ? Bx2 ?1 ,其中 A,B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 n n n 和 n ? 1,2 , 代入 an ? Ax1 ?1 ? Bx2 ?1 , 得到关于 A、 的方程组)当 x1 ? x 2 时, B ; 数列 ?an ? 的通项为 an ? ( A ? Bn) x1 ?1 , 其中 A, 由 a1 ? ? , a2 ? ? B n 决定(即把 a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 ,代入 an ? ( A ? Bn) x1 ?1 ,得到关于 A、B 的方程组) 。

解法一(待定系数——迭加法): 数列 ?an ? : 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) , a1 ? a, a2 ? b ,求数列 ?an ? 的通项公式。 例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ? 变式: 1.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). (I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公式; (III)若数列 ?bn ? 满足 4 1 4 2 ...4 n
b ?1 b ?1 b ?1

2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3

? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数列
3 3

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特级教师 王新敞
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2.已知数列 3.已知数列

?an ?中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , an?2 ? 2 an?1 ? 1 an ,求 an ?an ?中, S n 是其前 n 项和,并且 Sn?1 ? 4an ? 2(n ? 1, 2,?), a1 ? 1 ,
? an?1 ? 2an (n ? 1,2,??) ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列;
? an , (n ? 1,2, ??) ,求证:数列 ?cn ? 是等差数列;⑶求数列 ?an ? 的通项公式及前 n 项和。 2n

⑴设数列 bn

⑵设数列 c n

类型 6

递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn ? f (an ) )

解法:这种类型一般利用 an ? ?
消去 an 进行求解。

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) 与 an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消去 S n (n ? 2) 或与 S n ? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)

例:已知数列 ?an ? 前 n 项和 S n ? 4 ? a n ?

1 2
n?2

.

(1)求 an?1 与 an 的关系; (2)求通项公式 an . (2)应用类型 4( an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ) )的方法,上式两边同乘以 2 由 a1 ? S1 ? 4 ? a1 ?
1? 2
n ?1

得: 2n?1 an?1 ? 2n an ? 2

1 n ? a1 ? 1 .于是数列 2 n an 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列,所以 2n an ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n ? a n ? n ?1 2 2
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?

?

变式:(2006,陕西,理,20 本小题满分 12 分)已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列,求数列{an}的通项 an
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变式: (2005,江西,文,22.本小题满分 14 分) 已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-2=3 (? )

1 2

n ?1

3 (n ? 3), 且S1 ? 1, S 2 ? ? , 求数列{an}的通项公式. 2

、 类型 7 an?1 ? pan ? an ? b ( p ? 1 0,a ? 0)

解法:这种类型一般利用待定系数法构造等比数列,即令 an?1 ? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y) ,与已知递推式比较,解出 x, y ,从而转化为

?an ? xn ? y?是公比为 p 的等比数列。
例:设数列 ?an ? : a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 an . 变式:(2006,山东,文,22,本小题满分 14 分)已知数列{ an }中, a1 ? (Ⅰ)令 bn ? an?1 ? an ? 3, 求证数列 bn ? ? 是等比数列;

1 、点(n、an ?1 ? an) 2 在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3… 2

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(Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项;

(Ⅲ)设 S n、Tn 分别为数列?a n ? ?bn ? 的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得数列 ? 、
r 类型 8 an?1 ? pan ( p ? 0, an ? 0)

? Sn ? ?Tn ? ? 为等差数列?若存在试求出 ? ? n ?

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不存在,则说明理由.

解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an?1 ? pan ? q ,再利用待定系数法求解。
例:已知数列{ an }中, a1 ? 1, a n ?1 ?

1 2 ? a n (a ? 0) ,求数列 ?an ? 的通项公式 . a 1 an (4 ? an ), n ? N . 2

变式:(2005,江西,理,21.本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的各项都是正数且满足 : a0 ? 1, an?1 ? , (1)证明 an ? an?1 ? 2, n ? N ; (2)求数列 {an } 的通项公式 an.

变式:(2006,山东,理,22,本小题满分 14 分)已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中=1,2,3,… (1) 证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2) 设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项;记 bn=

1 1 2 ,求{bn}数列的前项和 Sn,并证明 Sn+ =1 ? an an ? 2 3Tn ? 1

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类型 9 an?1 ?

f ( n) a n g ( n) a n ? h( n)

解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 an?1 ? pan ? q 。
例:已知数列{an}满足: an ?

an?1 , a1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。 3 ? an?1 ? 1

变式:(2006,江西,理,22,本大题满分 14 分) 1.已知数列{an}满足:a1=

3 3na n-1 ,且 an= (n ? 2,n ? N?) 2 2a n-1+n- 1

(1) 求数列{an}的通项公式; (2) 证明:对于一切正整数 n,不等式 a1?a2?……an?2?n!
2、若数列的递推公式为 a1

? 3,

1 1 ? ? 2(n ? ? ) ,则求这个数列的通项公式。 an ?1 an

3、已知数列{ a n }满足 a1

? 1, n ? 2 时, an?1 ? an ? 2an?1 an ,求通项公式。

4、已知数列{an}满足: an

?

an?1 , a1 ? 1 ,求数列{a }的通项公式。 3 ? an?1 ? 1
n

5、若数列{a n }中,a 1 =1,a n ?1 =

2a n an ? 2

n∈N ? ,求通项 a n .

类型 10 an?1 ?

pan ? q ra n ? h pan ? q h (其中 p、 、 、 均为常数, ph ? qr , r ? 0, a1 ? ? ) q r h 且 , r ra n ? h

解法:如果数列 {an } 满足下列条件:已知 a1 的值且对于 n ? N ,都有 an?1 ?

那么, 可作特征方程 x ? 等比数列。

? 1 ? ? a ? x1 ? px ? q ,当特征方程有且仅有一根 x0 时,则 ? 则 n ? 是等差数列;当特征方程有两个相异的根 x1 、x2 时, ? ?是 rx ? h ? an ? x0 ? ? an ? x2 ?

例:已知数列 {an } 满足性质:对于 n ? N, a n?1 ?

an ? 4 , 且 a1 ? 3, 求 {an } 的通项公式. 2an ? 3
13an ? 25 . an ? 3

例:已知数列 {an } 满足:对于 n ? N, 都有 an?1 ?

(1)若 a1 ? 5, 求 a n ; (2)若 a1 ? 3, 求 a n ; (3)若 a1 ? 6, 求 a n ; (4)当 a1 取哪些值时,无穷数列 {an } 不存在? 变式:(2005,重庆,文,22,本小题满分 12 分)数列 {an }满足a1 ? 1且8an?1an ? 16an?1 ? 2an ? 5 ? 0(n ? 1). 记 bn ?

1 1 an ? 2

(n ? 1).

(Ⅰ)求 b1、b2、b3、b4 的值;

(Ⅱ)求数列 {bn } 的通项公式及数列 {an bn } 的前 n 项和 S n .

类型 11 an?1 ? an ? pn ? q 或 an?1 ? an ? pqn

解法:这种类型一般可转化为 ?a2n?1?与 ?a2n ?是等差或等比数列求解。
例: (I)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ? 6n ? an ,求 an (II)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an an?1 ? 3n ,求 an

类型 12

归纳猜想法

解法:数学归纳法
变式:(2006,全国 II,理,22,本小题满分 12 分)设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n=1,2,3,… (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ) n}的通项公式 {a
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类型 13 双数列型

解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。
例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 ;数列 ?bn ? 中, b1 ? 0 。当 n ? 2 时, a n ?

1 1 (2a n ?1 ? bn ?1 ) , bn ? (a n ?1 ? 2bn ?1 ) ,求 an , bn . 3 3

类型 14 周期型

解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。
例:若数列 ?an ? 满足 a n ?1

1 ? ?2a n , (0 ? a n ? 2 ) 6 ? ?? ,若 a1 ? ,则 a 20 的值为___________。 7 ?2a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n ? n 2 ?

变式:(2005,湖南,文,5)已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1
D.

(n ? N * ) ,则 a 20 = (
3 2



A.0

B. ? 3

C. 3


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