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江西省上饶市广丰一中2015-2016学年高一数学上学期期末试题 文(课改实验班)


广丰一中课改实验班 2015—2016 学年度第一学期期末教学质量测试 高一数学(文)试卷
一、 选择题(12×5=60)

1.已知全集为 R ,集合 A ? {x | x ? 0} , B ? {x | x 2 ? 6 x ? 8 ? 0} ,则 A ? CR B ? A. {x | x ? 0} C. {x | 0 ? x ? 2 或 x ?

4} 2.函数 f ( x) ? log3 (? x ? 2x) 的单调递减区间为
2

B. {x | 2 ? x ? 4} D. {x | 0 ? x ? 2 或 x ? 4}

A. (1,??)

B. (1,2) ) B. 2

C. (0,1)

D. (??,1)

3、已知 x , y 为正实数,则( A. 2 C. 2
lg x ? lg y

? 2lg x ? 2lg y

lg( x ? y )

? 2lg x ? 2lg y

lg x?lg y

? 2lg x ? 2lg y

D. 2

lg( xy )

? 2lg x ? 2lg y

4、对于函数 f ( x) 在定义域内用二分法的求解过程中得到 f (2015) ? 0, f (2016) ? 0

f (2017) ? 0 ,则下述描述正确的是( )
A.函数 f ( x) 在(2015,2016)内不存在零点 B.函数 f ( x) 在(2016,2017)内不存在零点 C.函数 f ( x) 在(2016,2017)内存在零点,并且仅有一个 D.函数 f ( x) 在(2015,2016)内可能存在零点 5、两圆 x ? y ? 9 和 x ? y ?18x ? 16 y ? 45 ? 0 的公切线有 ( )条
2 2 2 2

A.1

B.2

C.3

D.4

6、棱长为a的正四面体的外接球和内切球的体积比是( ) A、9:1 B、4:1 C、27:1 D、8:1

7、已知 a, b ? R ,直线 ax ? 2 y ? 3 ? 0 与直线 (a ? 1) x ? by ? 2 ? 0 平行,则 a b 的最小值是
2

A、0

B、 ?

1 2

C、

1 2

D、 ?

1 4

8、已知两条异面直线 a,b 所成的角为 50

0

,则过空间任意一点 P 与 a,b 所成的角均为 65 的

0

-1-

直线共有( A、1

)条 B、2
2

C、3

D、4

9、过点 ? 2,1? 作圆 ?x ? 1? ? y 2 ? 1的两条切线,切点分别为 A、B,则直线 AB 的方程为 A. x ? y ? 2 ? 0 B. x ? y ? 3 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 3 ? 0 )

10、若函数 f ( x) ? 4 x ? x 2 ? a 有 4 个零点,则实数 a 的取值范围是(

A . (?4,0)

B. ?0,4?

C. (0,4)

D. ?? 4,0?

11、如图,网格纸上小正方形的边长为 1,若粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的 体积为 A. 12 C. 8 B. D. 6 10

12、 已知 P 是直线 l : x ? my ? 4 ? 0 上一动点, PA、 PB 是圆 C : x2 ? y 2 ? 2 x ? 0 的两条切线, 切点分别为 A、B,若四边形 PACB 的最小面积为 2,则实数 m ? ( ) A、2 或-2 B、2 C、-2 D、无数个取值 二、填空题(4×4=16) 13、直线 x ? 2 y ? 5 ? 5 ? 0 被圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 截得的弦长等于
2 2



14、 在 R 上定义运算 ? : x ? y ? (1 ? x) y ,若不等式 ( x ? a) ? ( x ? a) ? 4 对任意实数 x 都 成立,则 a 的取值范围是 ;

15、已知正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的体积为 心,则 OA 与平面 ABC 所成角的大小为 16、下列命题: ①奇函数 f ( x ) 必满足 f (0) ? 0 ;

9 3 ,底面边长为 3 ,若 O 为底面 A1B1C1 的中 4


②函数 f ( x) ? loga (3x ? 2) ? 1的图象过定点 ?1,1? ③

A ? R? , B ? R , f : x ? y ?

1 ,则 f 为 A 到 B 的映射; x ?1
-2-

④在同一坐标系中, y ? 2 x 与 y ? ?2? x 的图象关于原点 O 对称. 其中真命题的序号是 (把你认为正确的命题的序号都填上).

二、解答题(第 17 题 10 分,其余 5 题各 12 分,共计 70 分) 17.(本小题满分 10 分) 已知集合 A ? x 0 ? x ? 1 ? 3 ,, B ? x log 3 x ? 1 . (1)求 A ? B , A ? B ; (2)已知集合 C ? x 1 ? x ? a, a ? R ,若 C ? A ,求实数 a 的取值范围.

?

?

?

?

?

?

18、 (本小题满分 12 分) 已知函数 g ( x) ? log2 (2 x ?1) , f ( x) ? log2 ( x ? 2) , (1) 求不等式 g ( x) ? f ( x) 的解集; (2)在(1)的条件下求函数 y ? g ( x) ? f ( x) 的值域.

19、 (本小题满分 12 分) 中, AB ? BC ? 2 3 ,平面

如图 所示,在三棱锥

平面



于点 D , AD ? 2 , CD ? 4 , PD ? 3 . 求三棱锥 的体积;

证明:

为直角三角形.

20、 (本小题满分 12 分) 已知一个圆与 x 轴相切,圆心在直线 x ? 2 y ? 0 上,又圆心为整点(即横纵坐标为整数) ,且 被直线 x ? 2 所截得的弦长为 2. (1)求此圆的方程。 (2)过点(3,3)作此圆的切线,求切线方程。

-3-

21、 (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB= BC=2,∠ABD=∠CBD=60° (1) 求证:BD⊥平面 PAC; (2)若四棱锥 P﹣ABCD 的体积是 4 3 ,∠BCD=90° ,求点 C 到平面 PBD 的距离.
P

.

A B O

22、 (本小题满分12分) 已知 f ( x) ?

x?a 2 是奇函数, g ( x) ? x ? bx ? 1 为偶函数. 2 x ?1

C

D

(1)求 a , b 的值 ; (2)对任意 x ? R 不等式 2 f ( x) g ( x) ? g ( x) ? m 恒成立,求 m 的取值范围。

1-5 CBDDB 13、4

广丰一中 2015-2016 上学期高一实验班期末考试 数学(文科)参考答案 6-10 CBCAA 11-12 BA

14、 ( ?

3 5 , ) 2 2

15、 30

0

16、②③④

17、解:(1) A ? x 0 ? x ? 1 ? 3 ? x 1 ? x ? 4 ,

?

? ?

?

…………………… 1 分 ………… 3 分
-4-

B ? ? x log 3 x ? 1? ? ? x x ? 3? ,

A ? B ? ? x 1 ? x ? 4? ? ? x x ? 3? ? ? x 3 ? x ? 4? , …………4 分 A ? B ? ? x 1 ? x ? 4? ? ? x x ? 3? ? ?x x ? 1?
……… 5 分

(2)①当 a ? 1 时, C ? ? ,此时 C ? A ,所以符合题意 a ? 1 ;…… 7 分 ②当 a ? 1 时, C ? A ,则 1 ? a ? 4 ; 综合①②,可得 a 的取值范围是 ? ??, 4? . ………………10 分

18、解: (1)由 g ( x) ? f ( x) 得 log2 (2x ?1) ? log2 ( x ? 2) 则有

? ? x ? ?2 ? x?2?0 ? 1 ? ? 2 x ? 1 ? 0 ? ? ? x? ? x?3 2 ?2 x ? 1 ? x ? 2 ? ? ? x?3 ? ?
∴不等式 g ( x) ? f ( x) 的解集为

? x x ? 3? .

…………5 分

(2) y ? g ( x) ? f ( x) ? log2 (2 x ?1) ? log 2 ( x ? 2) ? log2 (2 x ?1)( x ? 2)

? log2 (2x2 ? 3x ? 2)
令 t ? 2 x ? 3x ? 2 ,则 y ? log2 t
2

…………7 分

2 由(1)可得 x x ? 3 .,函数 t ? 2 x ? 3x ? 2 的对称轴为 x ? ?

?

?

3 ? [3, ??) , 4

所以 t ? 3 时, tmin ? 25 ,即 t ? 25 又∵ y ? log2 t 在 t ?[25, ??) 上单调递增,∴当 x ? 3 时, y ? log2 25 ? 2log 2 5 ,

∴所求函数的值域为 ? 2log2 5, ??? . 19、解: (1)证明:因为平面 面 , ,所以 记 边上的中点为 ,在△ 平面 平面 中,因为

……12 分

,平面 平面 , .………………………………………1 分 ,



所以

.因为 AB ? BC ? 2 3 , AC ? 6 ,

BE ? 3 .………3 分

-5-

所以△

的面积 S ?

1 AC ? BE ? 3 3 ……………………4 分 2

因为 PD ? 3 , 所以三棱锥 的体积

1 ? 3 3 ? 3 ? 3 3 .………6 分 3
为直角三角形.

(2)证明:因为 因为 PD=3,CD=4 所以 PC=5………7 分 连接 ,在 △

,所以△

中,

因为

, BE ? 3 ,



所以 BD=2……9 分 由(1)知 所以 在 △ 平面 . 中,因为 ,PD=3,BD=2 ,又 平面 ,

所以 PB ? 13 …………………………………10 分



中,因为 BC ? 2 3 , PB ? 13 , PC ? 5 , . 为直角三角形.…………………………………………………………12 分
2 2

所以 所以

20、解: (1) ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 1 ………………6 分 (2) 3x ? 4 y ? 3 ? 0 或 x=3(过程略)………………12 分 21、解: (1)证明:在 ?ABC 中, 因为 AB= BC=2,∠ABD=∠CBD=60°

? BO ? AC , OC ? OA (等腰三角形三线合一)------------3 分
-6-

又?

PA⊥平面 ABCD

? BD ? PA ? PA 与 AC 交于 C ? BD ? 面 PAC-------------------------------------------------------6 分
(2)因为 AB= BC=2,∠ABD=∠CBD=60° ,∠BCD=90°

? BD ? 4, AC ? 2 3
? S ABCD ? ?VP ? ABCD 1 ?4?2 3 ? 4 3 2 1 1 ? ? S ABCD ? PA ? ? 4 3 ? PA ? 4 3 3 3

P

? PA ? 3
----------------------------------------------8 分 ? OC ? OA ,故 C 到面 PBD 的距离等于 A 到面 PBD 的距离, 作 AH ? OP 于 H,A 到面 PBD 的距离即 AH, 在 ?OPA 中, PA? OA ? OP?AH ,3 ? 3 ? 2 3 ? AH
B O C

H
A

? AH ?

3 2 3 .---------------------------------------------12 分 2

故 C 到面 PBD 的距离等于

22、解: (1)? f ( x ) ?

x?a -x-a x?a 是奇函数,? f (? x) ? ? f ( x),即 ,? a ? 0 ?? 2 2 2 x ?1 (-x) x ?1

2 又 g ( x) ? x ? bx ? 1 是偶函数,? g (? x) ? g ( x) ,? b ? 0 。

所以 a ? 0, b ? 0 。………………………………………………6 分 (2)由(1)知 f ( x) ?

x , g ( x) ? x 2 ? 1 。 x ?1
2

2x ( x 2 ? 1) ? 2 x ? x 2 ? 1 ? m , x ?1 m ? x 2 ? 2 x ? 1对任意 x ? R 恒成立,又 x 2 ? 2 x ? 1 ? ( x ? 1) 2 ? 0 。 ∴ m ? 0 。………………………………………………………………………12 分 ? 2 f ( x) g ( x) ?
2

-7-


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