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2016年北京市石景山区高三一模数学(理)试题及答案

时间:2016-04-10



石景山区 2015—2016 学年第一次模拟考试试卷

高三数学(理)
本试卷共 6 页,150 分.考试时长 120 分钟.请务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后上交答题卡. 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. x ? R} , N ? {x | x2 ? 1, x ? R} ,则 M ? N =( 1.已知集合 M ? {x | x ? 0 , ) A.

1? ?0 ,

B.

1? ?0 ,

C.

1? ?0 ,

D.

1? ?0 ,

2i 在复平面内所对应的点位于( 1? i A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( ) 1 A. y ? x ? 1 B. y ? ? x3 C. y ? D. y ? x x x
2.设 i 是虚数单位,则复数

)

1 1 1 1 4.下图给出的是计算 ? ? ? ??? ? 的值的一个框图, 2 4 6 10 其中菱形判断框内应填入的条件是( ) A. i ? 5 B. i ? 5 C. i ? 6 D. i ? 6 5.某四面体的三视图如图所示,该四面体四个面的面积中最大的是( A. 8 B. 6 2 C. 10 D. 8 2

)

6.在数列

?an? 中,“ an?1 ? an ”是“数列 ?an? 为递增数列”的(
B.必要不充分条件

)

A.充分不必要条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ? ? ? 0, ? ? ) 的部分图象如图所示,则将 y ? f ( x) 的 7.函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0 , 2 图象向右平移

?

6

个单位后,得到的函数图象的解析式为( B. y ? sin(2 x ?

)

A. y ? sin 2 x

2? ) 3

C. y ? sin(2 x ?

?
6

)

D. y ? cos 2 x

n );如果 n 是 2 奇数,则将它乘 3 加 1(即 3n ? 1 ),不断重复这样的运算,经过有限步后,一定可以得到 1.对于科拉茨猜想,目前谁也不能 证明,也不能否定,现在请你研究:如果对正整数 n (首项)按照上述规则施行变换后的第 8 项为 1(注:1 可以多次出现), ) A.4 B.6 C.32 D.128 则 n 的所有不同值的个数为( 第二部分(非选择题共 110 分) 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. x2 9.双曲线 ? y 2 ? 1的焦距是________,渐近线方程是________. 2 ?x ? 2 y ? 8, y 满足约束条件 ? 10.若变量 x , ? 0 ? x ? 4 , 则 z ? 2 x ? y 的最大值等于_____. ? 0 ? y ? 3, ? 11. 如图, AB 是半圆 O 的直径,?BAC ? 30? ,BC 为半圆的切线, 且 BC ? 4 3 , 则点 O 到 AC 的距离 OD =______. ?x ? 1? s , ?x ? t ? 2 , 12.在平面直角坐标系中,已知直线 l 的参数方程为 ? ( s 为参数),曲线 C 的参数方程为 ? ( t 为参数), 2 ? y ?t ? y ? 1? s
8.德国数学家科拉茨 1937 年提出了一个著名的猜想:任给一个正整数 n ,如果 n 是偶数,就将它减半 (即

B 两点,则 若直线 l 与曲线 C 相交于 A ,
13.已知函数 f ( x) ? ?

AB =____.

x ? 0, ?log 2 x , 关于 x 的方程 f ( x) ? x ? a ? 0 有且只有一个实根,则实数 a 的取值范围是________. x x ? 0, ? 3 ,

14.某次考试的第二大题由 8 道判断题构成,要求考生用画“√”和画“×”表示对各题的正误判断,每题判断正确得 1 分,判断 错误不得分.请根据如下甲,乙,丙 3 名考生的判断及得分结果,计算出考生丁的得分.丁得了_______________分. 第1 题 第2题 第3 题 第4 题 第5 题 第6 题 第7题 第8 题 得分 × × √ × × √ × √ 5 甲 × √ × × √ × √ × 5 乙 √ × √ √ √ × × × 6 丙 √ × × × √ × × × 丁 ?

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. B, C 的对边分别为 a , b, c, 15. (本小题共 13 分)设△ ABC 的内角 A , 且 b sin A ? 3a cos B . a , c b ? 3 , sin C ? 2sin A (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)若 ,求 的值. 16. (本小题共 13 分)我市某苹果手机专卖店针对苹果 6S 手机推出无抵押分期付款购买方式,该店对最近购买苹果 6S 手 机的 100 人进行统计(注:每人仅购买一部手机) ,统计结果如下表所示: 付款方式 分1期 分2期 分3期 分4期 分5期 35 25 10 频数 a b 已知分 3 期付款的频率为 0.15 ,请以此 100 人作为样本估计消费人群总体,并解决以下问题: (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)求“购买手机的 3 名顾客中(每人仅购买一部手机) ,恰好有 1 名顾客分 4 期付款”的概率; (Ⅲ)若专卖店销售一部苹果 6S 手机,顾客分 1 期付款(即全款),其利润为 1000 元;分 2 期或 3 期付款,其利润为 1500 元;分 4 期或 5 期付款,其利润为 2000 元.用 X 表示 销售一部苹果 6S 手机的利润,求 X 的分布列及数学期望. 17. (本小题共 14 分)如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA1 ⊥平面 ABC , BC ? AC , (Ⅰ)求证: AB1 ∥平面 BDC1 ; BC ? AC ? 2 , AA1 ? 3 , D 为 AC 的中点. (Ⅱ)求二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值; (Ⅲ)在侧棱 AA1 上是否存在点 P ,使得 CP ⊥平 BDC 面 1 ?若存在,求出 AP 的长;若不存在,说明理由. 18. (本小题共 13 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? x cos x . ? 1 3 f (π )) 处的切线方程; (Ⅰ)求曲线 y ? f ( x) 在点 (π , (Ⅱ)求证:当 x ? (0 , ) 时, f ( x) ? x ; 2 3 (Ⅲ)若 f ( x) ? kx ? x cos x 对 x ? (0 , ) 恒成立,求实数 k 的最大值. 2 19. (本小题共 14 分)已知椭圆 C :

?

x2 y 2 2 ,直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的短轴长为 2 ,离心率为 2 a b 2

1 A, B 两点,且线段 AB 的垂直平分线通过点 (0 , ? ). 2 (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)求△ AOB ( O 为坐标原点)面积的最大值. 20. (本小题共 13 分)若对任意的正整数 n ,总存在正整数 m ,使得数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? am ,则称 {an } 是“回归数列”.
(Ⅰ)①前 n 项和为 Sn

? 2n 的数列 {an } 是否是“回归数列”?并请说明理由;②通项公式为 bn ? 2n 的数列 {bn } 是否是“回归

数列”?并请说明理由; (Ⅱ)设 {an } 是等差数列,首项 a1 ? 1 ,公差 d ? 0 ,若 {an } 是“回归数列”,求 d 的值; (Ⅲ)是否对任意的等差数列 {an } ,总存在两个“回归数列” {bn } 和 {cn } ,使得 an ? bn ? cn (n ? N* ) 成立,请给出你的结论, 并说明理由.

石景山区 2015—2016 学年第一次模拟考试

高三数学(理)参考答案
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1 2 3 4 5 6 题号 D B D A C B 答案 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.(第 9 题第一空 2 分,第二空 3 分) 题号 答案 9 10 11 12 7 C 13 8 B 14

2 3, y ??

2 x 2

10

3

2

(1, ? ?)

6

三、解答题共 6 小题,共 80 分. 15. (本小题共 13 分)解: (Ⅰ)? b sin A ? 3a cos B ,……………2 分

由正弦定理得 sin B sin A ? 3 sin A cos B ,

π ) ,……………4 分 在△ ABC 中, sin A ? 0 ,即 tan B ? 3 , B ? (0 ,
(Ⅱ)? sin C ? 2sin A ,由正弦定理得 c ? 2a ,……………8 分 得 9 ? a ? 4a ? 2a ? (2a ) ? cos
2 2

π .……………6 分 3 由余弦定理 b2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B , ?B ?

π ,……………10 分 3

解得 a ? 3 ,∴ c ? 2a ? 2 3 .……………13 分

16. (本小题共 13 分)解: (Ⅰ)由题意得

a ? 0.15 ,所以 a ? 15 ,又 35 ? 25 ? a ? 10 ? b ? 100 ,所以 b ? 15 .………3 分 100
1 2

(Ⅱ)设事件 A 为“购买一部手机的 3 名顾客中,恰好有 1 名顾客分 4 期付款”,……………4 分 由题意得:随机抽取一位购买者,分 4 期付款的概率为 0.1 ,………5 分 所以 P( A) ? C3 ? 0.1? 0.9 ? 0.243 .……7 分 (Ⅲ)记分期付款的期数为 ξ ,依题意得 P(ξ ? 1) ? 0.35 , P(ξ ? 2) ? 0.25 , P(ξ ? 3) ? 0.15 , P(ξ ? 4) ? 0.1, P(ξ ? 5) ? 0.15 ,因为 X 可能取得值为 1000 元, 1500 元, 2000 元,……………8 分 P( X ? 1500) ? P(ξ ? 2) ? P(ξ ? 3) ? 0.4 ,…………10 分 并且易知 P( X ? 1000) ? P(ξ ? 1) ? 0.35 ,…………9 分

P( X ? 2000) ? P(ξ ? 4) ? P(ξ ? 5) ? 0.25 ,……………11 分 所以 X 的分布列为 X 1000 1500 2000 P 0.35 0.4 0.25 所以 X 的数学期望 EX ? 1000 ? 0.35 ? 1500 ? 0.4 ? 2000 ? 0.25 ? 1450 .…13 分
17. (本小题共 14 分)解: (Ⅰ)证明:连接 B1C ,与 BC1 相交于 O ,连接 OD . ∵ BCC1 B1 是矩形,∴ O 是 B1C 的中点.又 D 是 AC 的中点,∴ OD ∥ AB1 .………2 分 ∵ AB1 ? 平面 BDC1 , OD ? 平面 BDC1 ,………3 分 ∴ AB1 ∥平面 BDC1 .………4 分

3 2) , C (0 ,, 3 0) , 0 0) , B(0 ,, (Ⅱ)如图,建立空间直角坐标系,则 C1 (0 ,, A(2 ,, 3 0) , D(1,, 3 0) ,………5 分

? ???? ? ? ? ? ? n ? C1 B ? 0 , ?3 y1 ? 2 z1 ? 0 , 1 1 ? 设 n ? ( x1 , 即? 令 x1 ? 1 ,则 n ? (1, ? , ) ,………7 分 y1 , z1 ) 是平面 BDC1 的一个法向量,则 ? ? ???? 3 2 ? ? n ? C1 D ? 0 , ? x1 ? 3 y1 ? 0 , ? ???? ? ? ???? ? n ? C1C ?1 2 ???? ? cos ? n , C C ?? ? ???? ?? ? ? 1 ∴ 易知 C1C ? (0 ,, 3 0) 是平面 ABC 的一个法向量,………8 分 7 7 ,………9 分 n ? C1C ?3 6 2 由题意知二面角 C1 ? BD ? C 为锐角,∴二面角 C1 ? BD ? C 的余弦值为 .………10 分 7 ??? ? ???? ? ? ? CP ? C1 B ? 0 , y, 0) ( 0 ? y ? 3 ),使得 CP ? 平面 BDC1 .则 ? ??? ? ???? ? (Ⅲ)假设侧棱 AA1 上存在一点 P(2, , , CP ? C D ? 0 , ? 1 ? ? y ? 3, ? 3( y ? 3) ? 0 , ? ∴? 即? 7 .………12 分 ∴方程组无解.∴假设不成立. ?2 ? 3( y ? 3) ? 0 , ? y ? 3 ? ∴侧棱 AA1 上不存在点 P ,使 CP ⊥平面 BDC1 .………14 分
18. (本小题共 13 分)解: f ?( x) ? cos x ? (cos x ? x sin x) ? x sin x ………1 分 (Ⅰ) f ?(? ) ? 0 , f (? ) ? ? .所以切线方程为 y ? ? .………3 分 (Ⅱ)令 g (x) ? f (x) ? x

1 3

3

,则 g?(x) ?x sin x ? x 2 ?x(sin x ? x )

,………4 分

当 x ? (0 , ) 时,设 t ( x) ? sin x ? x ,

?

则 t ?( x) ? cos x ? 1 ? 0 ,所以 t ( x) 在 x ? (0 , ) 单调递减, t ( x) ? sin x ? x ? t (0) ? 0 ,即 sin x ? x , 所以 g ?( x) ? 0 ……6 分 所以 g ( x) 在 (0 , ) 上单调递减,所以 g ( x) ? g (0) ? 0 ,……7 分 (Ⅲ)原题等价于 sin x ? kx 对 x ? (0 , ) 恒成立,即 k ?

?

2

?

2

?

2

所以 f ( x) ?

2 sin x x cos x ? sin x f ( x) ? ? ? 2 .………10 分 易知 f ?( x) ? x sin x ? 0 ,即 f ( x) 在 (0, ) 单调递增, 令 h( x ) ? ,则 h?( x) ? 2 x x x 2 所以 f ( x) ? f (0) ? 0 ,所以 h?( x) ? 0 ,………11 分 ? ? 2 2 故 h( x) 在 (0 , ) 单调递减,所以 k ? h( ) ? .综上所述, k 的最大值为 .………13 分 2 2 ? ? ? c 2 , ?e ? ? a 2 ? ? 19. (本小题共 14 分)解: (Ⅰ)由已知可得 ? 2b ? 2 , 解得 a2 ? 2 , b2 ? 1 ,………2 分 ?a 2 ? b 2 ? c 2 , ? ? ?

sin x ? 对 x ? (0 , ) 恒成立,………9 分 x 2

1 3 x .……8 分 3

x2 ? y 2 ? 1.………3 分 2 ? y ? kx ? m , ? y1 ) , B( x2 , y2 ) ,联立方程 ? x 2 (Ⅱ)设 A( x1 , 消去 y 得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 .………4 分 2 ? ? y ? 1, ?2 ?4km 2m 2 ? 2 当 ? ? 8(2k 2 ? m2 ? 1) ? 0 ,即 2k 2 ? m2 ? 1 时,………5 分 x1 ? x2 ? , .………6 分 x ? x ? 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 x ? x2 ?2km y1 ? y2 m 1 ? ? ? ), k ? 0 时,线段 AB 的垂直平分线显然过点 (0 , 所以 1 2 , 2 .当 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 1 1 S ?AOB ? AB ? m ? ? m ? 2 2 ? 1 ? m 2 ? 2 ? (1 ? m 2 ) ? m 2 因为 m ? (?1,0) ? (0,1) ,所以 m2 ? (0,1) 2 2 1 1 1 1 2 2 ? ), , 当 m ? 时, 取到等号.……8 分 当 k ? 0 时, 因为线段 AB 的垂直平分线过点 (0 , S?AOB ? 2 ? (1 ? ) ? ? 2 2 2 2 2 y1 ? y2 1 2 ? (? ) ? 1 ? 2k ? 1 ? 2m , 2 2 2 ? ? ,化简整理得 2k ? 1 ? 2m .………9 分 由 ? 2 所以 得 0 ? m ? 2 .………10 分 2 x1 ? x2 k 2 k ? 1 ? m , ? ? ?0 2 m 4k 2 ? 2m2 ? 2 又原点 O 到直线 AB 的距离为 d ? . AB ? 1 ? k 2 x1 ? x2 ? 2 1 ? k 2 1 ? 2k 2 1? k 2
故椭圆 C 的标准方程为

m 4k 2 ? 2m2 ? 2 ………11 1 分 而 2k 2 ? 1 ? 2 m 且 0 ? m ? 2 , AB ? d ? ?AOB ? 2 2 1 ? 2k 1 1 4m ? 2m 2 , 0 ? m ? 2 .………12 分 所以当 m ? 1 ,即 k 2 ? 时, S?AOB 取得最大值 2 .………13 分 则 S ?AOB ? 2 2 2 2 综上, S?AOB 最大值为 .………14 分 2 n n?1 20. (本小题共 13 分)解:(Ⅰ)①∵ Sn ? 2 ,作差法可得 an ? Sn ? Sn?1 ? 2 (n ? 2) ,当 n ? 1 时, S1 ? a1 ;当 n ? 2 时,
所以 S

Sn ? an?1 ,存在 m ? n ? 1 ,使得 Sn ? am ∴数列 {an } 是“回归数列”.………2 分
2 ②∵ bn ? 2n , ∴前 n 项和 Tn ? n ? n , ∴存在 m ? 根据题意 n2 ? n ? 2m ∵ n(n ? 1) 一定是偶数,

n( n ? 1) , 使得 Tn ? bm ∴ 2

数列 {bn } 是“回归数列”.………4 分

n(n ? 1) 1 d ,根据题意,存在正整数 m ,使得 S2 ? am 成立,即 2 ? d ? 1 ? (m ? 1)d ,d ? ? 0 ,m ? 2 , 2 m?2 m ? N * ∴ m ? 1 ,即 d ? ?1 .………8 分 (Ⅲ)设等差数列 an ? a1 ? (n ?1)d ,
(Ⅱ)S n ? n ? 总存在两个回归数列 bn ? a1 ? (n ?1)a1 , cn ? (n ?1)(a1 ? d ) ,使得 an ? bn ? cn ………9 分 证明如下: bn ? cn ? a1 ? (n ?1)a1 ? (n ?1)a1 ? (n ?1)d ? an ,

n(n ? 1) ( n ? 3) n a1 , n ? 1 时, m ? 1 ; n ? 2 时, m ? 1 ; n ? 3 时, 2 ? 为正整数, 2 2 ( n ? 3) n ( n ? 3) n 当m ? 2? 时, bm ? Bn .∴存在正整数 m ? 2 ? ,使得 Bn ? bm , ∴ {bn } 是“回归数列”……11 分 2 2 n(n ? 1) n(n ? 1) (a1 ? d ) 存在正整数 m ? ? 1 ,使得 Cn ? cm , 数列 {cn } 前 n 项和 Cn ? 2 2 ∴ {cn } 是“回归数列”,所以结论成立.………13 分
数列 {bn } 前 n 项和 Bn ? na1 ? 【注:若有其它解法,请酌情给分】


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