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《步步高 学案导学设计》2013-2014学年高中数学苏教版必修4【备课资源】第2章平面向量章末复习课


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题型一

数形结合思想在向量中的运用

→ → → 例 1 已知向量OB =(2,0),OC =(2,2),CA =( 2cos α, → → 2sin α),则OA与OB夹角的范围是________.
解析 建立如图所示的直角坐标系. → → ∵OC=(2,2),OB=(2,0),

→ CA=( 2cos α, 2sin α),

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∴点 A 的轨迹是以 C(2,2)为圆心, 2为半径的圆.

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过原点 O 作此圆的切线,切点分别为 M,N,连结 CM、CN, → → 如图所示, 则向量OA与OB的夹角范围是∠MOB≤ → ,→ 〉 〈OA OB
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≤∠NOB. → |=2 2,∴|CM|=|CN|=1|OC|, → → → ∵|OC 2 π π 知∠COM=∠CON=6,但∠COB=4. π 5π π 5π → → ∴∠MOB=12,∠NOB=12,故12≤〈OA,OB〉≤12.

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小结
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数形结合是求解数学问题最常用的方法之一,其大致

有以下两条途径: (1)以数解形,通过对数量关系的讨论,去研究图形的几何 性质. (2)以形助数,一些具有几何背景的数学关系或数学结构,如 能构造与之相应的图形分析,则能获得更直观的解法,这种 解题思想在不少章节都有广泛的应用.

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跟踪训练 1 已知向量 a=(1,1),b=(1,a),其中 a 为实数, ? π? O 为原点,当此两向量夹角在?0,12?变动时,a 的范围是 ? ? ? 3 ? ? ? ,1?∪(1, 3) ? 3 __________________. ? ? → 解析 已知OA=(1,1),即 A(1,1),如图所示, π 当点 B 位于 B1 和 B2 时,a 与 b 夹角为12,即 π π π ∠AOB1=∠AOB2= ,此时,∠B1Ox= - 12 4 12 π π π π = ,∠B2Ox= + = , 6 4 12 3 ? 3? ? 故 B1?1, ?,B2(1, 3),又 a 与 b 夹角不为零, 3? ? ? ? 3 ? ? 故 a≠1,由图易知 a 的范围是? ,1?∪(1, 3). ? ? 3 ?

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题型二 基底思想在解题中的应用

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→ → 例 2 设点 O 是△ABC 的外心,AB=13,AC=12,则BC· AO
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=________. → → 解析 设{AB,AC}为平面内一组基底.如图
所示,O 为△ABC 的外心,设 M 为 BC 中点, 连结 OM、AM、OA,
则易知 OM⊥BC. → → → 又由BC=AC-AB,
→ =AM+MO=1(AB+AC)+MO. → → → → AO → 2

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→ AO → (AM → → → AM → MO → → ∴BC· =BC· → +MO)=BC· +BC·

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→ → → → =BC· (其中BC· =0) AM MO → → 1 → → =(AC-AB)·(AB+AC) 2 1 →2 →2 1 25 2 2 = (AC -AB )= ×(12 -13 )=- . 2 2 2 小结 平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础,它表
明同一平面内的任一向量都可表示为其他两个不共线向量的 线性组合. 能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基 底来表示.这样,几何问题就转化为代数问题.

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→ 跟踪训练 2 如图所示,在△ABC 中,AN= 1→ → → NC,P 是 BN 上的一点,若AP=mAB+ 3 3 2→ AC,则实数 m 的值为________. 11 11 → → 解析 设BP=λBN, → =BA+AP=-AB+mAB+ 2 AC → → → 则BP → → 11 2→ → =(m-1) AB+ AC. 11 → =BA+AN=-AB+1AC. → → BN → → 4 1 2 3 → → ∵BP与BN共线,∴ (m-1)+ =0,∴m= . 4 11 11

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题型三 例3 向量坐标法在平面几何中的运用

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已知在等腰△ABC 中,BB′,CC′是两腰上的中线,

且 BB′⊥CC′,求顶角 A 的余弦值的大小.
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建立如图所示的平面直角坐标系,设

A(0,a),C(c,0),则 B(-c,0), → → → OA=(0,a),BA=(c,a),OC=(c,0),
→ BC=(2c,0).

因为 BB′、CC′为 AC、AB 边的中线, 1 → → ?3c a? 所以 BB′=2(BC+BA)=? 2 ,2?, ? ? ? 3c a? 同理 CC′=?- 2 ,2?. ? ?

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因为 BB′⊥CC′,所以 BB′· CC′=0, 9c2 a2 即- 4 + 4 =0,a2=9c2, → AC a2-c2 9c2-c2 4 → AB· 又 cos A= = = = . → ||AC| a2+c2 9c2+c2 5 → |AB

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4 即顶角 A 的余弦值为5. 小结 把几何图形放到适当的坐标系中,就赋予了有关点与

向量具体的坐标,这样就能进行相应的代数运算和向量运算, 从而解决问题.这种解题方法具有普遍性.

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跟踪训练 3 若等边△ABC 的边长为 2 3,平面内一点 M 满 → 1→ 2→ → MB → 足CM= CB+ CA,则MA· =________. -2 6 3
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解析

建立如图所示的直角坐标系, 根据题设

条件即可知 A(0,3),B(- 3,0),M(0,2), → → ∴MA=(0,1),MB=(- 3,-2).
→ → ∴MA· =-2. MB

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1.由于向量有几何法和坐标法两种表示方法,它的运算也因
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为这两种不同的表示方法而有两种方式, 因此向量问题的 解决, 理论上讲总共有两个途径即基于几何表示的几何法 和基于坐标表示的代数法, 在具体做题时要善于从不同的 角度考虑问题. 2.向量是一个有“形”的几何量,因此,在研究向量的有关 问题时,一定要结合图形进行分析判断求解,这是研究平 面向量最重要的方法与技巧.


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