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广东省佛山市顺德区2012-2013学年高二数学上学期期末试卷 文(含解析)新人教A版


2012-2013 学年广东省佛山市顺德区高二 (上) 期末数学试卷 (文科) 参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 分) (5 (2010?广东)“x>0”是“ A.充分非必要条件 C.非充分非必要条件 >0”成立的( )

B.必要非充分条

件 D.充要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 分析: 2 当 x>0 时,x >0,则 >0,显然成立, 结合充要条件的定义,我们可得“x>0”是“ 解答: 2 解:当 x>0 时,x >0,则 ∴“x>0”是“ 但
2

>0,x >0,时 x>0 不一定成立, >0”成立的充分非必要条件.

2

>0

>0”成立的充分条件;

>0,x >0,时 x>0 不一定成立 >0”成立的必要条件; >0”成立的充分不必要条件;

∴“x>0”不是“ 故“x>0”是“

故选 A 点评: 判断充要条件的方法是:①若 p? q 为真命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的 充分不必要条件;②若 p? q 为假命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的必要不 充分条件;③若 p? q 为真命题且 q? p 为真命题,则命题 p 是命题 q 的充要条件;④ 若 p? q 为假命题且 q? p 为假命题,则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件.⑤ 判断命题 p 与命题 q 所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判 断命题 p 与命题 q 的关系. 2. 分)抛物线 x =4y 的焦点坐标是( (5 A.(1,0) B.(0,1)
2

) C.





D.





考点: 抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 2 分析: 先根据标准方程求出 p 值,判断抛物线 x =4y 的开口方向及焦点所在的坐标轴,从而 写出焦点坐标.

1

解答: 2 解:∵抛物线 x =4y 中,p=2, =1,焦点在 y 轴上,开口向上, ∴焦点坐标为 (0,1 ) , 故选 B. 点评: 2 本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用, 抛物线 x =2p y 的焦点坐标为 (0, ) , 属基础题. 3. 分)圆(x﹣3) +(y﹣3) =8 与直线 3x+4y+6=0 的位置关系是( (5 ) A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由圆的方程找出圆心坐标与半径, 利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距 离,与半径比较大小即可判断出直线与圆的位置关系. 2 2 解答: 解:∵圆(x﹣3) +(y﹣3) =8, ∴圆心坐标为(3,3) ,半径 r=2 , ∵圆心到直线 3x+4y+6=0 的距离 d= = >2 =r,
2 2

∴直线与圆相离. 故选 C 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系, 直线与圆的位置关系由 d 与 r 大小来判断, d>r 当 时,直线与圆相离;当 d<r 时,直线与圆相交;当 d=r 时,直线与圆相切(其中 d 为圆心到直线的距离,r 为圆的半径) . 4. 分) (5 (2012?浙江)设 l 是直线,α ,β 是两个不同的平面( ) A.若 l∥α ,l∥β , B.若 l∥α ,l⊥β , C.若 α ⊥β ,l⊥α , 若 α ⊥β ,l∥α , D. 则 α ∥β 则 α ⊥β 则 l⊥β 则 l⊥β 考点: 平面与平面之间的位置关系. 专题: 证明题. 分析: 利用面面垂直的判定定理可证明 B 是正确的,对于其它选项,可利用举反例法证明其 是错误命题 解答: 解:A,若 l∥α ,l∥β ,则满足题意的两平面可能相交,排除 A; B,若 l∥α ,l⊥β ,则在平面 α 内存在一条直线垂直于平面 β ,从而两平面垂直, 故 B 正确; C,若 α ⊥β ,l⊥α ,则 l 可能在平面 β 内,排除 C; D,若 α ⊥β ,l∥α ,则 l 可能与 β 平行,相交,排除 D 故选 B 点评: 本题主要考查了空间线面、 面面位置关系, 空间线面、 面面垂直于平行的判定和性质, 简单的逻辑推理能力,空间想象能力,属基础题

2

5. 分) (5 (2012?辽宁)已知命题 p:? x1,x2∈R, (f(x2)﹣f(x1)(x2﹣x1)≥0,则¬ ) p 是( ) A.? x1,x2∈R, (f(x2)﹣f(x1)(x2﹣x1) ? x1,x2∈R, ) B. (f(x2)﹣f(x1)(x2﹣x1) ) ≤0 ≤0 C.? x1,x2∈R, (f(x2)﹣f(x1)(x2﹣x1) ? x1,x2∈R, ) D. (f(x2)﹣f(x1)(x2﹣x1) ) <0 <0 考点: 命题的否定. 专题: 规律型. 分析: 由题意,命题 p 是一个全称命题,把条件中的全称量词改为存在量词,结论的否定作 结论即可得到它的否定,由此规则写出其否定,对照选项即可得出正确选项 解答: 解:命题 p:? x1,x2∈R, (f(x2)﹣f(x1)(x2﹣x1)≥0 是一个全称命题,其否定 ) 是一个特称命题 故?p:? x1,x2∈R, (f(x2)﹣f(x1)(x2﹣x1)<0 ) 故选 C 点评: 本题考查命题否定,解题的关键是熟练掌握全称命题的否定的书写规则,本题易因为 没有将全称量词改为存在量词而导致错误,学习时要注意准确把握规律. 6. 分)若一个圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面,则该圆锥的体积为( (5 A. B. C. D.4π )

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积. 分析: 根据圆锥的母线长等于侧面展开图的半圆的半径,由半圆面的面积求出弧圆锥母线 长,由半圆弧长等于圆锥的底面周长求出圆锥的底面半径,在由圆锥的高、底面半径 和母线围成的直角三角形中利用勾股定理求圆锥的高,则圆锥的体积可求. 解答: 解:设圆锥的底面半径为 r,母线长为 l.如图, 由圆锥的侧面展开图是面积为 2π 的半圆面,得 所以 l=2. 又半圆的弧长为 π l,圆锥的底面周长为 2π r, 所以 π l=2π r,得 所以圆锥的高 h=SO= 所以圆锥的体积为 故选 B. . . . ,

3

点评: 本题考查了圆锥的结构特征,考查圆锥体积的计算,解答此题的关键是熟练掌握圆锥 的母线长及底面周长与展开图之间的关系,是基础题

7. 分) (5 (2010?崇文区二模)若椭圆 A.1 B. 或

+

=1 的离心率 e= C.

,则 m 的值为( D. 3或



考点: 椭圆的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 分别看焦点在 x 轴和 y 轴时长半轴和短半轴的长,进而求得 c,进而根据离心率求得 m. 解答: 解:当椭圆 + =1 的焦点在 x 轴上时,a= ,b= ,c=

由 e=

,得

=

,即 m=3

当椭圆

+

=1 的焦点在 y 轴上时,a=

,b=

,c=

由 e=

,得

=



即 m=



故选 D 点评: 本题主要考查了椭圆的简单性质. 解题时要对椭圆的焦点在 x 轴和 y 轴进行分类讨论. 8. 分)如图,在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,直线 C1B 与 D1C 所成角为( (5 )

4

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

考点: 异面直线及其所成的角. 专题: 空间角. 分析: 利用正方体的性质、异面直线所成的角的定义、等边三角形的性质即可得出. 解答: 解:连接 AC,D1A. 由正方体可得 ,∴四边形 ABC1D1 是平行四边形.

∴BC1∥AD1. ∴∠AD1C 或其补角是异面直线 C1B 与 D1C 所成角. 由正方体可得 AC=CD1=D1A, ∴△ACD1 是等边三角形,∴ .

∴异面直线 C1B 与 D1C 所成的角为 60°. 故选 C. 点评: 熟练掌握正方体的性质、 异面直线所成的角的定义、 等边三角形的性质是解题的关键. 9. 分) (5 (2010?海淀区一模)一个体积为 12 的正三棱柱的三视图如图所示,则这个三棱 柱的左视图的面积为( )

A.6

B.8

C.

D.12

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题. 分析: 由已知中三棱柱的体积及左视图中标识的棱柱的高,我们易求出棱柱的底面面积,根 据正三角形的性质, 可以求出底面的高, 即左视图的高, 代入即可得到左视图的面积. 解答: 解:由三视图可知,该正三棱柱的底边三角形的高为 2 ,故其底边长为 4 ∴底面面积为 4 又∵正三棱柱的体积为 12 ∴棱柱的高为 ,即左视图的高为 ∴左视图的面积 S= =6 故选:A
5

点评: 本题考查的知识点是由三视图求面积,其中根据已知求出左视图的高是解答的关键.

10. 分) (5 (2012?福建)已知双曲线 则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( ) A. B. C.3

的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合,

2

D.5

考点: 双曲线的简单性质;抛物线的简单性质. 专题: 计算题. 2 分析: 确定抛物线 y =12x 的焦点坐标, 从而可得双曲线的一条渐近线方程, 利用点到直线的 距离公式,即可求双曲线的焦点到其渐近线的距离. 2 解答: 解:抛物线 y =12x 的焦点坐标为(3,0) ∵双曲线 ∴4+b =9 2 ∴b =5 ∴双曲线的一条渐近线方程为 ,即
2

的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合

2

∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于 故选 A. 点评: 本题考查抛物线的性质,考查时却显得性质,确定双曲线的渐近线方程是关键. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分 11. 分)若直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直,则 a= (5 .

考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系. 专题: 计算题. 分析: 利用斜率都不等于 0 的直线垂直时,斜率之积等于﹣1,建立方程,解方程求出 a 的 值. 解答: 解:∵直线 x+ay+2=0 和 2x+3y+1=0 互相垂直, ∴ × =﹣1,

∴a=﹣ , 故答案为﹣ . 点评: 本题考查两直线垂直的性质,斜率都不等于 0 的直线垂直时,斜率之积等于﹣1. 12. 分)Z 轴上一点 M 到点 A(1,0,2)与 B(1,3,1)的距离相等,则 M 的坐标为 (0, (5 0,﹣3) .
6

考点: 空间两点间的距离公式. 专题: 计算题. 分析: 设出 M 的坐标,利用空间两点间距离公式,求解即可. 解答: 解:设 M(0,0,z) , 因为 Z 轴上一点 M 到点 A(1,0,2)与 B(1,3,1)的距离相等, 所以 ,

解得 z=﹣3, 所以 M 的坐标为(0,0,﹣3) . 故答案为: (0,0,﹣3) . 点评: 本题考查空间两点间距离公式的应用,考查计算能力. 13.5 分) M 是圆 x +y ﹣2x﹣2y+1=0 上的点, M 到直线 3x+4y﹣22=0 的最长距离是 4 , ( 设 则 最短距离是 2 . 考点: 直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式. 专题: 计算题;转化思想;直线与圆. 分析: 求出圆的圆心坐标与半径,然后求出圆心到直线 3x+4y﹣22=0 的距离,圆上的点到直 线 3x+4y﹣22=0 距离的最小值与最大值就是求出的距离加减半径即可. 2 2 解答: 解:∵圆 x +y ﹣2x﹣2y+1=0 的圆心(1,1) ,半径为 1, 圆心(1、1)到直线 3x+4y﹣22=0 的距离 d=
2 2 2 2

=3,

∴圆 x +y ﹣2x﹣2y+1=0 上的点到直线 3x+4y﹣22=0 距离的最小值是 3﹣r=3﹣1=2, 最大值为:3+r=3+1=4. 故答案为:4;2. 点评: 本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用, 解题的关键是把所求的距离转化为求圆 心到直线的距离, 要注意本题中满足圆上的点到直线的距离的最大值, 最小值的求法. 14. 分)已知点 P(﹣2,1) (5 ,Q(3,2) ,直线 l 过点 M(0,1)且与线段 PQ 相交,则直 线 l 的斜率 K 的取值范围是 (﹣∞,0]∪[ ,+∞) .

考点: 直线的斜率. 专题: 直线与圆. 分析: 本题考查的知识点是数形结合思想,及直线斜率的变化,我们可以在平面直角坐标系 中画出图象,根据图象分析 P,Q,M 三点之间的关系,不难给出直线 l 的斜率 k 的取 值范围. 解答: 解:在平面直角坐标系中画出图象如下图: 设,直线 PM 的斜率为 k1,直线 PQ 的斜率为 k2,则 k1=0,k2= 直线 l 的斜率 k 的取值范围为: (﹣∞,0]∪[ ,+∞)

7

故答案为: (﹣∞,0]∪[ ,+∞)

点评: 本题主要考查了直线的斜率,解题的关键是利用了数形结合的思想,解题过程较为直 观. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (12 分)如图,一几何体的正侧视图均为等腰三角形,俯视图为正方形. (1)说出此几何体的名称,并画出其直观图(尺寸不作严格要求) ; (2)若此几何体的体积为 ,求此几何体的表面积.

考点: 由三视图还原实物图;由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: (1)由三视图可以得出此几何体的几何特征,此是一个正四棱锥,画出几何体的直 观图即可. (2)几何体其底面边长是 2,斜高也是 h,由此计算出几何体的体积,求出 h,然后 求出几何体的表面积. 解答: (1)由题意一个简单空间几何体的三视图其主视图与侧视图都是边长为 2 的正三 解: 角形, 俯视图为正方形,∴此几何体是一个正四棱锥,其底面是边长为 2 的正方形,几何体 的图形如图: (2)四棱锥的底面边长为:2,设斜高为 h, 几何体的高为 ∴几何体的体积为: 此几何体的表面积是 2×2+4× ×2× , ,h= =4+4 ; .

8

点评: 解决本题的关键是得到该几何体的形状,易错是确定四棱锥的底面边长与高的大小. 16. (12 分)直线 ι 经过两条直线 x+2y﹣1=0 和 2x﹣y﹣7=0 的交点,且满足下列条件,求 直线 ι 的方程. (1)平行于直线 x+y+5=0 (2)垂直于直线 3x﹣y+2=0. 考点: 直线的一般式方程与直线的垂直关系;直线的一般式方程与直线的平行关系. 专题: 直线与圆. 分析: (1)由由 ,得交点(3,﹣1) .依题意,可设所求直线为:x+y+c=0, 由点在直线上,能求出所求直线方程. (2)依题意,设所求直线为﹣x﹣3y+c=0,由点在直线上,能求出所求直线方程. 解答: 解: (1) ,所以交点(3,﹣1) . 依题意,可设所求直线为:x+y+c=0. 因为点(3,﹣1)在直线上,所以 3﹣1+c=0, 解得:c=﹣2. 所以所求直线方程为:x+y﹣2=0. (2)依题意,设所求直线为:﹣x﹣3y+c=0. 因为点(3,﹣1)在直线上,所以﹣3﹣3×(﹣1)+c=0, 解得:c=0. 所以所求直线方程为:x+3y=0. 点评: 本题考查直线方程的求法,解题时要认真审题,仔细解答,注意直线与直线平行、直 线与直线垂直等关系的合理运用. 17. (14 分)已知命题 p:|m+1|≤2 成立.命题 q:方程 x ﹣2mx+1=0 有实数根.若¬P 为 假命题,p∧q 为假命题,求实数 m 的取值范围. 考点: 复合命题的真假. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 若“?p”为假,则 p 为真,“p∧q”为假命题得 q 为假,由此关系求实数 m 的取值范 围即可. 解答: 解:因为“?p”为假,所以命题 p 是真命题. 分) (2 又由“p∧q”为假命题,所以命题 q 是假命题. 分) (4 当 p 为真命题时,则得﹣3≤m≤1; 分) (5
9
2

当 q 为假命题时,则△=m ﹣4<0,得:﹣2<m<2(8 分) 当 p 是真命题且 q 是假命题时,得﹣2<m≤1. (12 分) 点评: 本题考查命题的真假判断与运用,解答本题的关键是根据“?p”为假,“p∧q”为假 命题判断出 p 为真 q 为假,熟练掌握复合命题真假的判断方法很重要. 18. (14 分)如图,在正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)ABC﹣A1B1C1 中,F 是 A1C1 的中 点. (1)求证:BC1∥平面 AFB1; (2)求证:平面 AFB1⊥平面 ACC1A1.

2

考点: 平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)连接 A1B 与 AB1 交于点 E,连接 EF.利用正三棱柱的性质可得四边形 ABB1A1 是矩 形,得 A1E=EB.再利用三角形的中位线定理可得 EF∥BC1.利用线面平行的判定定理 可得 BC1∥平面 AFB1; (2)利用正三棱柱的性质可得 AA1⊥底面 A1B1C1,因此 AA1⊥B1F.利用正三角形的性 质及 F 是边 A1C1 的中点,可得 B1F⊥A1C1.利用线面垂直的判定定理可得 B1F⊥平面 ACC1A1,再利用面面垂直的判定可得平面 AFB1⊥平面 ACC1A1. 解答: 证明: (1)连接 A1B 与 AB1 交于点 E,连接 EF.在正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,可得四边 形 ABB1A1 是矩形,∴A1E=EB. 又 A1F=FC1,∴EF∥BC1. ∵EF? 平面 AB1F,BC1?平面 AB1F, ∴BC1∥平面 AFB1; (2)由正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,可得 AA1⊥底面 A1B1C1,∴AA1⊥B1F. 由 F 是正△A1B1C1 的 A1C1 的中点,∴B1F⊥A1C1. 又 A1A∩A1C1=A1,∴B1F⊥平面 ACC1A1, ∴平面 AFB1⊥平面 ACC1A1.

点评: 本题综合考查了正三棱柱的性质、线面垂直与平行的判定与性质、面面垂直的判定定
10

理、 三角形的中位线定理、 矩形的性质等基础知识与基本技能, 考查了空间想象能力、 推理能力. 19. (14 分)已知圆 ,圆 .

(1)试判断两圆的位置关系; (2)直线 ι 过点(6,3)与圆 C1 相交于 A,B 两点,且|AB|=

,求直线 ι

的方程.

考点: 圆与圆的位置关系及其判定;直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: (1)把圆的方程化为标准形式,求出圆心和半径,根据两圆的圆心距等于 3,大于半 径之差而小于半径之和,可得两个圆相交. (2)分直线 t 的斜率不存在时,经过检验不满足条件.当斜率存在时,根据弦长 AB=2 ,求出弦心距 d,再由点到直线的距离公式可得 d,由此求得斜率的值,即可 得到直线 t 的方程. 解答: 2 2 解: (1)由于 圆 ,即 (x﹣2) +(y﹣1) =10,表示 以 C1(2,1)为圆心, 半径等于 的圆. ,即 (x+1) +(y﹣1) =16,表示以 C2(﹣1,1)为 圆心,半径等于 4 的圆. 由于两圆的圆心距等于 =3,大于半径之差而小于半径之和,故两个圆相交.
2 2

(2)直线 ι 过点(6,3)与圆 C1 相交于 A,B 两点,且|AB|= ,当 AB 的斜率不 存在时,直线 ι 的方程为 x=6, 此时直线 t 与圆 C1 相离,不满足条件. 当 AB 的斜率不存在时,设直线 ι 的方程为 y﹣3=k(x﹣6) ,即 kx﹣y+3﹣6k=0, 由弦长公式可得圆心到直线 t 的距离 d= =2,

再由点到直线的距离公式可得 d=2=

,解得 k=0,或 k= .

故直线 t 的方程为 y=3 或 x﹣y﹣5=0. 点评: 本题主要考查圆的标准方程,直线和圆的位置关系,点到直线的距离公式、弦长公式 的应用,属于中档题. 20. (14 分)已知平面直角坐标系 xoy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 ,右顶点为 D(2,0) ,设点 A(1, ) . (1)求该椭圆的标准方程; (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 的中点 M 的轨迹方程;

11

(3)过原点 O 的直线交椭圆于 B,C 两点,求△ABC 面积的最大值,并求此时直线 BC 的方 程. 考点: 直线与圆锥曲线的关系;轨迹方程;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用椭圆的标准方程及其性质即可得出; (2)分别设点 P(x0,y0) ,线段 PA 的中点 M(x,y) .利用中点坐标公式及“代点法” 即可得出; (3)对直线 BC 的斜率分存在于不存在两种情况讨论,当直线 BC 的斜率存在时,把 直线 BC 的方程与椭圆的方程联立,解得点 B,C 的坐标,利用两点间的距离公式即可 得出|BC|,再利用点到直线的距离公式即可得出点 A 到直线 BC 的距离,利用三角形 的面积计算公式即可得出,再利用导数得出其最值. 解答: 解; (1)由题意可设椭圆的标准方程为 ,c 为半焦距. ∵右顶点为 D(2,0) ,左焦点为 ∴a=2, , . , .

∴该椭圆的标准方程为

(2)设点 P(x0,y0) ,线段 PA 的中点 M(x,y) .

由中点坐标公式可得

,解得

. (*)

∵点 P 是椭圆上的动点,∴



把(*)代人上式可得

,可化为



即线段 PA 的中点 M 的轨迹方程为一焦点在 x 轴上的椭圆



(3)①当直线 BC 的斜率不存在时,可得 B(0,﹣1) ,C(0,1) . ∴|BC|=2,点 A 到 y 轴的距离为 1,∴ =1;

12

②当直线 BC 的斜率存在时,设直线 BC 的方程为 y=kx,B(x1,y1) ,C(﹣x1,﹣y1) (x1<0) . 联立 ,化为(1+4k )x =4.解得
2 2







∴|BC|=

=2

=



又点 A 到直线 BC 的距离 d=





=

=





=

=



令 f(k)=


,则

. .列表如下:又由表格可知:当 k= 取得最大值 2,即 →1. ,即 . . 时,函数 f(x)

令 f (k)=0,解得 取得极小值,即

而当 x→+∞时,f(x)→0, 综上可得:当 k=

时,△ABC 的面积取得最大值

点评: 熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式及“代点法”、分类讨论的思想方 法、直线与椭圆相交问题转化为直线的方程与椭圆的方程联立解方程组、两点间的距 离公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性 及其极值.

13


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