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阿波罗尼斯圆与高考试题


上海 中 学 数学

年第





阿 波 罗 尼 斯 圆 与 高 考试题
江 苏 省 兴化 中 学

徐永 忠
在圆
上 所以 圆
, ,



年 的 高 考数学 江 苏 卷 中 第

/>,


题 解答


题 的第 三题 应 该 是

个 中 低 档题 涉 及 参数 方 程
,

题意 点 有 公共 点 则

, ,

,

与圆



阿波 罗 尼 斯 圆 等数 学知识 需 要运 用 函数 与 方 程 数
,





,

解得

形 结 合 等 价 转 化等 数学 思 想 方 法 本 题 满 分





,

但 是平均分 只 有
能看 清

分多 不 少 考生 在第 二 问 中
'




的本质 缺乏 灵活变 通

本素质导

所 以圆心 解法
:

致失 分


的横 坐 标
,

的取 值范围 为
,

,



可设

,

则 圆





高 考试 题及解 法
江苏髙 考 如图

,

本小 题 满分
直线




)

由 —

可得

`


:

:

,



在 平 面 直角 坐 标 系
,


由题可

设为 圆
,








与 圆

有公


共点
设圆
上 的 半径为
,

,

由点

,

到 直线

圆 心在

;

的距离




与圆

若圆心
上 过点
,

也在 直线

;





,

直线

相交 所 以
,

作圆
;

的切线 求
,

如图


,

当 圆 心 在线 段
,
,

上时 符
,

切 线 的 方程

合题 意 的 点 对 存 在 其 中
与圆 相切的圆
(
'











若圆
,

上存在点
的横 坐 标

使


的 圆 心 显然


求 圆心

的 取值 范 围





,





关 于 直线
所以

解 ⑴ 略
据 题意 可 设 题 知 由 意可 使
,
,

对称 易 得 成立 所以
,

解法

,

(



的 取值 范 围 为

,

点评

:

方法

是 根据 题 意应 用 圆


代入



,

再进 行 化 简 整 理 如 果 不 能 注 意 运 用
, ,

所以








(

三角 函
,

数 的 有 界 性 解 决 起来 是 相 当 麻 烦 的 方 法
;



则 是 注 意 运用 阿波罗 尼 斯 圆 与 几何 性 质 加 以 解



决 就 显得 简洁 明 快 相 对 来 说 方 法
,

(

还是 绕 了



解得 进 而解 得所 求 圆 心
一 —

,




)

的横坐 标

的取值 范 围

力 根 追

源 及拓 展





'



苏教 版必 修
因 为 圆 心在 直线

教材习题
,



题 已
)

解法 所 以圆
设 点




'

知点 所 以
比为
,

与 两个 定点

的 距离之
?

的 方程 为
,



,

代 人

那 么 点 对 的 坐标 应满 足 什 么 关 系

圆 出



,

足 条件 的 点 得
为圆七

,

所形 成 的 曲 线

,

所 以点

在以 胸

,

半 径为

的圆上



:



题 意得





广 士 化简 整 理得

上海 中 学 数学

年第





,

所 以 满 足条件 的 点
,

所形成的 曲
`

线是 以

(

,

为圆心

为半径 的 圆

苏教 版选 修 程例
的 动点

教材


求 曲线 的方
的距离之比等于
中点

求 平 面 内 到 两 个定 点
的 轨 迹 方程




满 足条件



所以
°

是 线段
,




,

从 而 成立

解 令

:

所在 的 直 线 为 轴 建立 直 角 坐 标 系
, ,

轴 线段
,

的垂

方面

,

点 满 足 ①式 那 么
, ,

点必 在 以 或

直平 分 线 为

为直径 的 圆上 事 实上 在
(
,



时 这是
,



两 点 的 坐标 分别 为

显然 的 在
于点

异于 如图
,



时 过
,



的 平行 线 交








点 坐标为

(

,

,

依 题意 点
,

满足

所以

,





,

的 平分线

同理可证
°
,

是 在以
为直

的外 角 平 分 线 因 此

符 化简 得
,



径的圆上
,





相 关试 题 及 解析

所以 动点
,

的轨迹方程为


,

柳波 罗 尼 斯
鲜 看 下 面 几 道 试题
:

有关的

在 近几年屡见 不



般结论 平面 内 到 两个定点
:

,


,

江苏
的 最 大 值是



,

,

,

,

(

的距离 之 比为正数




的点的
的 生許 士 为半 径的

则 为

轴 允且 轨 迹是 以



广



)

为 圆仏

!

解析


:

本题 可 以 用 边 长 为



变量 也可 以用 角
,

变量 翻 用 二次 函 数 或者 三角 函 数 的 有 界 性
,

圆 即 平 面 内 到 两 个定 点

求 解 运 算量 比 较大 如 果 应 用 阿 波 罗 尼 斯 圆
,




,


,

的距 离之 比

三角 问 贿析化

,

解法 如 下 设
:

,

,

,

①的 点 關 轨 迹 是

(

个 圆 这个 圆
,

动点



)

,


,

,





圆 就是 著 名 的 阿 波 罗 尼 斯 的 法 证 可 明 以仿照 课本例题证 这 个结 论 解 析



化 简得
,



于是点
,

的轨迹是以

为 圆心

,

及为 半

明 这 里 再介 绍
,



下平 面几 何 中 阿 波罗 尼 斯 圆 中 几 时 设
,

径的圆 所 以点



的 距 离的最 大值为半径

个要 素 的 关 系
如图
,



点在线段

,

奶 故
内部
,



的 最 大值 是







在线 段

,

的 延 长线 上


尹互



的 右边


高考命题有


个 指 导思 想 就 是 多 考
,

点想 少
,



的右 边

)

满足





阿 波 罗 尼 斯 圆 去 解 决 相 比 运 算 量要 大 得 多 例
四 川 高 考
, ,

分别称为 内 分点 外分点 以线段 直径 作 圆 这 个 圆 即 为 所 求 的 轨 迹

,

已 知 两

定 点






(



,

,

如 果动点



满足条件



则点

的轨 迹 所包 围 的 图 形 的 面积 等 于

解析



:

本题 可 以 用 类 似 的 力 法 求 得 点


的轨迹

方程 为
图 形为 半径 是

,

所 以点
,

的轨 迹所包 围 的
,

的 圆及 圆的 内 部 它 的面积为 知
四川高考
已知 抛 物线


— 一



故选

的焦点 为

①式 成 立 事 实 方 面 对 于 圆 上 任意 点 异于 上 在 为 或 时 这是 显然 的 在
, , ,



准线与
,

轴 的 交点 为
的 面积 为


(


)

时 过
,



的 平行 线 分别 交









上且

气尽



上海 中 学数 学

年第



`

解析


:

如图

,

抛物 线
, ,

;

该直 线 与





轴垂 直且 交

轴于 点


(

,

的焦点 为
,

准线



时 方程 化为
,



(





,

,





;



)

,

过 八 点向 准


它 表示 圆 该 圆 圆 心 的 坐 标 为
,

(

,

线 作垂 线



)



半径 为 本 题 将 阿 波 罗 尼 斯 圆 中 两 个定 点 其 中


个定点
与圆




工。
,

得 乂 解得 八
(
,

工。



膨 胀 为 圆 设 计 直线 与 圆 相 切 的 问 题
,




的半 径都 是

,

江苏高 考
,

如 图 过动 点


,



的 面 积为
,

分 别作 圆
)
,

故选

的切线



分别 为切点

使得

此题 重点 考 查 双 曲 細 第 二 定 义 双 讓 中 肖
,

焦点 准 线 有 关 三 角 形 问 题 如 果 注 意 到
,

;

,

联想 到 阿波 罗 尼 斯 圆 设





则 有 以 下解 法
, ,

:

抛物线

,

的焦 点为

,

准线 为







,


,

化 简整理得
立 解得
,

与 父





解析

:


,

的中点

为 原点
,

,

所在的




,

;



直线 为
,

轴 建 立 平 面直 角 坐标 系 则
由 已

,



)

,

所以 故选






,

,




因 为 两 圆 的 半径 均 为


所以



全 国髙 考

)





广

,

'

… 则

作細 赚 为 圆
轨迹 方 程 说 明 它 表 示 什 么 曲
,

,

设 计直 线 与 圆 相 切 的 问 题



线
解析
如图
,

棋 拟 试题 供 练






切圆

,

式 中 常数


,

线


丄《
,

,
设点

圆 的半 径


所以
与平面



,

已 知平 面



丄 平面
,

是平面


的交线上的 两个定点
: 五

且 在平 面 上


的 坐标为

(

,




,





,

:

,


整理得




个动点

使得







;





面积 的 最 大值

经 检 验 坐 标适 合 这 个 方 程 的 点 都 属 于 集 合
,

故 这个 方 程 为 所 求 的 轨 迹 方 程


时 方程 化 为
,

,

它 表示



条 直线

,



上海 中 学 数学

年第





?

当 代 中 国 数学 教育 流派 刍 议
上 海 教育 出 版社
为 了 梳理 新 中 国 成立


刘 祖希

年 来 中 国 数学 教 育 研
,

生在

世纪



年 代 都 受过 系 统 的 大 学教 育
,

,

究 的 基本脉络 和 强 烈 的人 文 色 彩 我 们 在
,

年启

都有深 厚 的 历史 人 文 功 底 都 在
,

世纪

年代以

动 了 当 代 中 国 数 学 教 育 流 派 课 题研 究 这 项 研 究


专 业 数 学 研 究 者 的 身 份 介 人 并 逐 渐 领 导 数学 教 育 研

在 国 内 尚 属 首次 对 总 结 当 代 中 国 数 学 教育 研 究 的
,

究 都 是 百 科 全 书 式 的 数学 教 育 人 物 其 中
,

:

成果 挖掘 其 中 的 文 化性 调 动 青年





代 数学 教 育 研
,

徐 利 治 先 生 是 我 国 数 学 方 法 论 研究 领 域 的 开 拓
者 是 中 国特 色 的数 学 思想 方 法 教 学方 法 产 生 的 思
想源 泉 他提 出 的

究 者的 积极性 都 大 有 裨 益
,

经过
走出 了


多年 的 发展 当代 中 国 的 数学 教育终 于
,

关系



映射



反 演 方法
)



己 的 道 路 初 步 形 成 了 自 己 的 理论 体 系

,



数学抽 象方 式和 数学 抽 象 度分 析 方 法 以 及 数 学美
,

代 中 国 数学 教育 的 全 景 图正 向 世 界 徐 徐 展 开 笔 者

学方法 都是 对数学方 法论研 究 的 巨 大 贡献
,

俨 然看见 了 其 中 几位振 臂高 呼 的 当 代 中 国 数学教 育
学 术 巨 擘 以 及 若 干 闪 耀 着 /烈 人 文 色 彩 与 不 同 风
,

张 景 中 先生 是 教育 数 学 的 创 始 人 开 创 性地

,



数学 研究 数学教育 数学普 及三 者巧 妙融 合在






骨的 当代 中 国数 学教育 流派


起 他 想 的 是 教 育 做 的 是 数 学 为 教 育 而研究 数 学
, ,

,





代 中 国数 学 教 育 的 二 座学 术萵 峰

通 过 改 造数学 而 推 进教 育 致 力 于 把数 学变 得容 易
,
: ,




,

张 奠 宙 先生 是 杰 出 的 数学 教 育 研 究 组织 者 活


徐利治
巨擘

(



张景 中


(



张 奠 宙 无论是

动 家 他 善于 调 动 国 际 和 国 内 数 学 界 和 教 育 界 民
,





三位先 生 是 当 代 中 国 数学 教 育 的 三 位学 术


间 和 官 方 学 术和 行 政 大学 和 中 小 学 的 力 量




,

开展

三 座 学术 高 峰 可 以并 称
,
,



徐二 张



中 国 数 学教 育 的 理论与 实 践 传 统 与 现 实 国 际与 本
、 、

看 数学 教育研究 的理 论 成 果 还 是看 数 学 教 育 研 究
的学 术影响 力
,

土研究 明 确 提 出 并 系 统 总 结 了 中 国 特 色 数 学 教 育
,

他们 都 是 当 代 中 国 数 学 教 育 当 之 无


理 论体 系

愧 的 领军 人物




,

反映了





徐 二张 三 位先 生 关 于 数 学教 育

:

徐 二 张 三 位先 生 有许 多 共 同 点 他 们 都 出

研究的

些基 本 情 况

已知

定点

,

,



是圆



重 要 方 向 由 于 高 考 中 对 运 算 能 力 要 求 比较 高 因 此
,

上任 意



点 请 问是 否存在 不 同 于
,

的 定点



寻找 简 洁 合理 的 运算 途径显 得尤 为重 要 这就要 求

,



黑 如
,

若 存 在 试求 出 所 有 满足 条 件 的 点
,

充 分 賴 数 形 结合 賴 图 形 固
,

有 的性 质进 行求解
阿波罗 尼 斯 圆 是几 何 中 的 经典 问 题 有 其 丰
,

的 坐 标 若 不 存在 请 说 明 理 由

富 的学 术价 值和 教育 价 值 教 师 要 有 意识 地 组 织 学 生鮮 开頭 究 性学 习 使学 生弄 明 自 其 巾 的
,

在 高 中 数学 教 学 中 要 十 分 重 视 教材 上 的 例
,

试着 改变





两个要素

,

编拟出 新问 题 如 例
(
,







题 因 为 教材 是教师 实施教学 的 主 要工 具和 材料
,

'

如 果 以 源 问 题 为 起 点 让学 生 直 接 参 与 经 过 演 绎

教材 中 的例 习 题都是 经 过专 家 们 精心 挑 选的 具 有


发展 形 成新 试题 的过 程 则 不仅 符 合 以 学 生 为 主 体
,

定 的代 表性 和 可 迁 移 性 教师 不仅 要 认 真 教 好 教

, ,

的 教 学 原则 而 且有 利 于 学 生 加 深对 知 识 的 横 向 与
,

材 还 应 该善 于 挖 掘 问 题 的 本 质 和 背 景 从 而 达 到 做


题 会



类 的 水 平 促 进 学生 创 造性 思 维 的 培 养

,

纵 向 联 系 激 发 学 生 探 索 问 题 的 积 极 性 感受 到 命 题 与 解 题的 双 重 快乐 体 数学 的 内 在美 和神 奇变 化
,

,

,

圆 是平 面 几 何 中 的重 要 图 形 也 是高

考的 八


经 过 命题 思 维 熏 陶 的 学 土 冰 冷 无 情 的 试 题 在 他 们
,



级点 之



,

直线 与 圆 的位 置 关 系 的 考 查 是



的眼 里 又怎 能不亲切 可爱 生 动活 拨
, ,

?


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(到两定点的比为不为 1 定值的点的轨迹为圆―――阿波罗尼斯圆) 二、填空...高考、湖北、江苏地区而言试卷难度不好提升,特别是大 题, 而湖南卷在 2016 前...

第四章 圆与方程试题

22.(12 分)(2008·江苏高考题)设平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图像 与两坐标轴有三个交点,经过这三个交点的圆记为 C. (...