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高中物理奥赛必看讲义——静电场


静电场
第一讲 基本知识介绍

在奥赛考纲中,静电学知识点数目不算多,总数和高考考纲基本相同,但在个别知识点 上, 奥赛的要求显然更加深化了: 如非匀强电场中电势的计算、 电容器的连接和静电能计算、 电介质的极化等。在处理物理问题的方法上,对无限分割和叠加原理提出了更高的要求。 如果把静电场的问题分为两部分,那就是电场本身的问题、和对场中带电体的研究

,高 考考纲比较注重第二部分中带电粒子的运动问题, 而奥赛考纲更注重第一部分和第二部分中 的静态问题。也就是说,奥赛关注的是电场中更本质的内容,关注的是纵向的深化和而非横 向的综合。

一、电场强度 1、实验定律 a、库仑定律 内容; 条件:⑴点电荷,⑵真空,⑶点电荷静止或相对静止。事实上,条件⑴和⑵均不能视 为对库仑定律的限制, 因为叠加原理可以将点电荷之间的静电力应用到一般带电体, 非真空 介质可以通过介电常数将 k 进行修正 (如果介质分布是均匀和 “充分宽广” 一般认为 k′ 的, = k /ε r) 。只有条件⑶,它才是静电学的基本前提和出发点(但这一点又是常常被忽视和被 不恰当地“综合应用”的) 。 b、电荷守恒定律 c、叠加原理 2、电场强度 a、电场强度的定义 电场的概念;试探电荷(检验电荷) ;定义意味着一种适用于任何电场的对电场的检 测手段;电场线是抽象而直观地描述电场有效工具(电场线的基本属性) 。 b、不同电场中场强的计算 决定电场强弱的因素有两个:场源(带电量和带电体

的形状)和空间位置。这可以从不同电场的场强决定式看出—— ⑴点电荷:E = k
Q r2

结合点电荷的场强和叠加原理,我们可以求出任何电场的场强,如—— ⑵均匀带电环, 垂直环面轴线上的某点 P: = E ⑶均匀带电球壳 内部:E 内 = 0 外部:E 外 = k
Q ,其中 r 指考察点到球心的距离 r2

kQr (r ? R 2 )
2 3 2

, 其中 r 和 R 的意义见图 7-1。

如果球壳是有厚度的的(内径 R1 、外径 R2) ,在壳体中(R1 <r<R2) : E =
3 4 r 3 ? R1 ,其中ρ 为电荷体密度。这个式子的物理意 ?? k 2 3 r

义可以参照万有引力定律当中(条件部分)的“剥皮法则”理解 〔 ? ?(r 3 ? R 3 ) 即为图 7-2 中虚线以内部分的总电量?〕 。 ⑷无限长均匀带电直线(电荷线密度为λ ) = :E
2 k? r 4 3

⑸无限大均匀带电平面(电荷面密度为σ ) = 2π kσ :E 二、电势 1、电势:把一电荷从 P 点移到参考点 P0 时电场力所做的功 W 与该电荷电量 q 的比值, 即 U=
W q

参考点即电势为零的点,通常取无穷远或大地为参考点。 和场强一样,电势是属于场本身的物理量。W 则为电荷的电势能。 2、典型电场的电势 a、点电荷 以无穷远为参考点,U = k b、均匀带电球壳 以无穷远为参考点,U 外 = k 3、电势的叠加 由于电势的是标量,所以电势的叠加服从代数加法。很显然,有了点电荷电势的表达式
Q Q ,U 内 = k r R Q r

和叠加原理,我们可以求出任何电场的电势分布。 4、电场力对电荷做功 WAB = q(UA - UB)= qUAB 三、静电场中的导体 静电感应→静电平衡(狭义和广义)→静电屏蔽 1、静电平衡的特征可以总结为以下三层含义—— a、导体内部的合场强为零;表面的合场强不为零且一般各处不等,表面的合场强方向 ... ... ... 总是垂直导体表面。 b、导体是等势体,表面是等势面。 c、 导体内部没有净电荷; 孤立导体的净电荷在表面的分布情况取决于导体表面的曲率。 2、静电屏蔽 导体壳(网罩)不接地时,可以实现外部对内部的屏蔽,但不能实现内部对外部的屏蔽; 导体壳(网罩)接地后,既可实现外部对内部的屏蔽,也可实现内部对外部的屏蔽。 四、电容 1、电容器 孤立导体电容器→一般电容器 2、电容 a、定义式 C =
Q U

b、决定式。决定电容器电容的因素是:导体的形状和位置关系、绝缘介质的种类, 所以不同电容器有不同的电容 ⑴平行板电容器 C = 它介质中ε =
1 ) ,ε 4?k?

? rS 4?kd

=

?S ,其中ε 为绝对介电常数(真空中ε d

0

=

1 ,其 4 ?k

r 则为相对介电常数,ε r

=

? 。 ?0

⑵柱形电容器:C =

?rL R 2 k ln 2 R1

⑶球形电容器:C = 3、电容器的连接 a、串联

? r R1R 2 k (R 2 ? R1 )

1 1 1 1 1 = + + + ? + C C1 C 2 C3 Cn

b、并联 C = C1 + C2 + C3 + ? + Cn

4、电容器的能量 用图 7-3 表征电容器的充电过程, “搬运”电荷做功 W 就是图中 阴影的面积,这也就是电容器的储能 E ,所以 E=
2 1 1 1 q0 2 q0U0 = C U0 = 2 2 2 C

电场的能量。 电容器储存的能量究竟是属于电荷还是属于电场? 正确答案是后者,因此,我们可以将电容器的能量用场强 E 表示。 对平行板电容器 E 总 =
Sd 2 E 8 ?k 1 2 E 。而且,这以结 8 ?k

认为电场能均匀分布在电场中,则单位体积的电场储能 w = 论适用于非匀强电场。 五、电介质的极化 1、电介质的极化

a、电介质分为两类:无极分子和有极分子,前者是指在没有外电场时每个分子的正、 负电荷“重心”彼此重合(如气态的 H2 、O2 、N2 和 CO2) ,后者则反之(如气态的 H2O 、 SO2 和液态的水硝基笨) b、电介质的极化:当介质中存在外电场时,无极分子会变为有极分子,有极分子会 由原来的杂乱排列变成规则排列,如图 7-4 所示。 2、束缚电荷、自由电 荷、极化电荷与宏观过剩 电荷 a、束缚电荷与自由 电荷:在图 7-4 中,电介 质左右两端分别显现负 电和正电,但这些电荷并不能自由移动,因此称为束缚电荷,除了电介质,导体中的原子核 和内层电子也是束缚电荷;反之,能够自由移动的电荷称为自由电荷。事实上,导体中存在 束缚电荷与自由电荷, 绝缘体中也存在束缚电荷和自由电荷, 只是它们的比例差异较大而已。 b、极化电荷是更严格意义上的束缚电荷,就是指图 7-4 中电介质两端显现的电荷。而 宏观过剩电荷是相对极化电荷来说的, 它是指可以自由移动的净电荷。 宏观过剩电荷与极化 电荷的重要区别是:前者能够用来冲放电,也能用仪表测量,但后者却不能。

第二讲 重要模型与专题

一、场强和电场力 【物理情形 1】试证明:均匀带电球壳内部任意一点的场强均为零。 【模型分析】这是一个叠加原理应用的基本事例。 如图 7-5 所示,在球壳内取一点 P ,以 P 为顶点做两个对顶的、顶角很小的锥体,锥体 与球面相交得到球面上的两个面元Δ S1 和Δ S2 , 设球面的电荷面 密度为σ ,则这两个面元在 P 点激发的场强分别为 Δ E1 = k Δ E2 = k
??S1 r12 ??S2 r22

为了弄清Δ E1 和Δ E2 的大小关系,引进锥体顶部的立体角Δ Ω ,显然
?S1 cos? ?S2 cos? = ΔΩ = 2 r1 r22

所以 Δ E1 = k

??? cos ?

,Δ E2 = k

??? cos ?

,即:Δ E1 = Δ E2 ,而它们的方向是相反的,故在

P 点激发的合场强为零。 同理,其它各个相对的面元Δ S3 和Δ S4 、Δ S5 和Δ S6 ? 激发的合场强均为零。原命题 得证。 【模型变换】半径为 R 的均匀带电球面,电荷的面密度为σ ,试求球心处的电场强度。 【解析】如图 7-6 所示,在球面上的 P 处取一极小的面元Δ S ,它在球心 O 点激发的场 强大小为 Δ E=k
??S ,方向由 P 指向 O 点。 R2

无穷多个这样的面元激发的场强大小和Δ S 激发的完全相 同, 但方向各不相同, 它们矢量合成的效果怎样呢?这里我们 要大胆地预见——由于由于在 x 方向、y 方向上的对称性,Σ
? ? E ix = Σ E iy = 0 ,最后的Σ E = Σ Ez ,所以先求

Δ Ez = Δ Ecosθ = k

??S cos? ,而且Δ Scosθ 为面元在 xoy R2

平面的投影,设为Δ S′

所以 Σ Ez =

k? Σ Δ S′ R2

而 Σ Δ S′= π R2 【答案】E = kπ σ ,方向垂直边界线所在的平面。 〖学员思考〗如果这个半球面在 yoz 平面的两边均匀带有异种电荷,面密度仍为?,那 么,球心处的场强又是多少? 〖推荐解法〗将半球面看成 4 个 球面,每个 球面在 x、y、z 三个方向上分量均为 kπ?,能够对称抵消的将是 y、z 两个方向上的分量,因此ΣE = ΣEx … 〖答案〗大小为 kπ?,方向沿 x 轴方向(由带正电的一方指向带负电的一方) 。 【物理情形 2】有一个均匀的带电球体,球心在 O 点,半径为 R ,电荷体密度为 ρ , 球体内有一个球形空腔,空腔球心在 O′点,半径为 R′, OO? = a ,如图 7-7 所示,试求 空腔中各点的场强。 【模型分析】这里涉及两个知识的应用:一是均匀带电球体的场强定式(它也是来自叠 加原理,这里具体用到的是球体内部的结论,即“剥皮法 则”,二是填补法。 ) 将球体和空腔看成完整的带正电的大球和带负电(电荷 体密度相等) 的小球的集合, 对于空腔中任意一点 P , OP 设 = r1 , O?P = r2 ,则大球激发的场强为
4 ? ?r13 E1 = k 3 2 r1

1 8

1 8

1 4

=

4 kρ π r1 ,方向由 O 指向 P 3

“小球”激发的场强为
4 ? ?r23 E2 = k 3 2 r2

=

4 kρ π r2 ,方向由 P 指向 O′ 3

E1 和 E2 的矢量合成遵从平行四边形法则,Σ E 的方向如图。又由于矢量三角形 PE1Σ E 和 空间位置三角形 OP O′是相似的,Σ E 的大小和方向就不难确定了。 【答案】恒为 kρ π a ,方向均沿 O → O′,空腔里的电场是匀强电场。 〖学员思考〗如果在模型 2 中的 OO′连线上 O′一侧距离 O 为 b(b>R)的地方放一个 电量为 q 的点电荷,它受到的电场力将为多大? 〖解说〗上面解法的按部就班应用…
4 3

〖答〗 πkρq?

4 3

R3 R?3 ? ? 。 2 b (b ? a ) 2

二、电势、电量与电场力的功 【物理情形 1】如图 7-8 所示,半径为 R 的圆环均匀带电,电荷线密度为λ ,圆心在 O 点,过圆心跟环面垂直的轴线上有 P 点, PO = r ,以无穷远为参考点, 试求 P 点的电势 UP 。 【模型分析】这是一个电势标量叠加的简单模型。先在圆环上取一 个元段Δ L ,它在 P 点形成的电势 Δ U=k 环共有
??L R2 ? r2
2?R 段, 各段在 P 点形成的电势相同, 而且它们是标量叠加。 ?L

【答案】UP =

2?k?R R2 ? r2

〖思考〗如果上题中知道的是环的总电量 Q ,则 UP 的结论为多少?如果这个总电量的 分布不是均匀的,结论会改变吗? 〖答〗UP =
kQ R2 ? r2

;结论不会改变。

〖再思考〗将环换成半径为 R 的薄球壳,总电量仍为 Q ,试问: (1)当电量均匀分布时, 球心电势为多少?球内(包括表面)各点电势为多少?(2)当电量不均匀分布时,球心电 势为多少?球内(包括表面)各点电势为多少? 〖解说〗 (1)球心电势的求解从略; 球内任一点的求解参看图 7-5 ΔU1 = k
?? ? r12 r ??S1 ? = k 〃 = k?ΔΩ 1 cos ? cos? r1 r1
r2 cos ? r1 ? r2 cos ?

ΔU2 = k?ΔΩ

它们代数叠加成 ΔU = ΔU1 + ΔU2 = k?ΔΩ 而 r1 + r2 = 2Rcosα 所以 ΔU = 2Rk?ΔΩ 所有面元形成电势的叠加 Σ U = 2Rk?Σ ΔΩ

注意:一个完整球面的Σ ΔΩ = 4π(单位:球面度 sr) ,但作为对顶的 锥角,Σ ΔΩ只能是 2π ,所以——

Σ U = 4πRk?= k

Q R

(2)球心电势的求解和〖思考〗相同; 球内任一点的电势求解可以从(1)问的求解过程得到结论的反证。 〖答〗 (1)球心、球内任一点的电势均为 k
Q R

; (2)球心电势仍为 k

Q R

,但其它各点

的电势将随电量的分布情况的不同而不同(内部不再是等势体,球面不再是等势面) 。 【相关应用】如图 7-9 所示,球形导体空腔内、外壁的半径分别 为 R1 和 R2 ,带有净电量+q ,现在其内部距球心为 r 的地方放一个 电量为+Q 的点电荷,试求球心处的电势。 【解析】由于静电感应,球壳的内、外壁形成两个带电球壳。球 心电势是两个球壳形成电势、点电荷形成电势的合效果。 根据静电感应的尝试,内壁的电荷量为-Q ,外壁的电荷量为 +Q+q ,虽然内壁的带电是不均匀的,根据上面的结论,其在球心形 成的电势仍可以应用定式,所以? 【答案】Uo = k
Q Q Q?q - k +k 。 r R1 R2

〖反馈练习〗如图 7-10 所示,两个极薄的同心导体球壳 A 和 B,半径分别为 RA 和 RB , 现让 A 壳接地,而在 B 壳的外部距球心 d 的地方放一个电量为+q 的点电荷。试求: (1)A 球壳的感应电荷量; (2)外球壳的电势。 〖解说〗这是一个更为复杂的静电感应情形,B 壳将形成图 示的感应电荷分布(但没有净电量) 壳的情形未画出(有净 ,A 电量) ,它们的感应电荷分布都是不均匀的。 此外,我们还要用到一个重要的常识:接地导体(A 壳)的 电势为零。但值得注意的是,这里的“为零”是一个合效果, ... 它是点电荷 q 、A 壳、B 壳(带同样电荷时)单独存在时在 A 中形成的的电势的代数和,所 ..... 以,当我们以球心 O 点为对象,有 UO = k
q d

+ k

QA RA

+ k

QB RB

= 0

QB 应指 B 球壳上的净电荷量,故 QB = 0 所以 QA = -
RA q d

☆学员讨论:A 壳的各处电势均为零,我们的方程能不能针对 A 壳表面上的某点去列?

(答:不能,非均匀带电球壳的球心以外的点不能应用定式! ) 基于刚才的讨论,求 B 的电势时也只能求 B 的球心的电势(独立的 B 壳是等势体,球心 电势即为所求)—— UB = k
q d

+ k

QA RB
RA q R q ; (2)UB = k (1- A ) 。 d d RB

〖答〗 (1)QA = -

【物理情形 2】图 7-11 中,三根实线表示三根首尾相连的等长绝缘细棒,每根棒上的电 荷分布情况与绝缘棒都换成导体棒时完全相同。点 A 是 Δabc 的中心,点 B 则与 A 相对 bc 棒对称,且已测得它们的电势分别为 UA 和 UB 。试问:若将 ab 棒取走,A、B 两点的电势 将变为多少? 【模型分析】由于细棒上的电荷分布既不均匀、三根 细棒也没有构成环形,故前面的定式不能直接应用。若用 元段分割→叠加,也具有相当的困难。所以这里介绍另一 种求电势的方法。 每根细棒的电荷分布虽然复杂,但相对各自的中点必 然是对称的,而且三根棒的总电量、分布情况彼此必然相 同。这就意味着:①三棒对 A 点的电势贡献都相同(可设为 U1) ;②ab 棒、ac 棒对 B 点的 电势贡献相同(可设为 U2) ;③bc 棒对 A、B 两点的贡献相同(为 U1) 。 所以,取走 ab 前 3U1 = UA 2U2 + U1 = UB 取走 ab 后,因三棒是绝缘体,电荷分布不变,故电势贡献不变,所以 UA′= 2U1 UB′= U1 + U2 【答案】UA′=
2 1 1 UA ;UB′= UA + UB 。 3 6 2

〖模型变换〗正四面体盒子由彼此绝缘的四块导体板构成,各导体板带电且电势分别为 U1 、U2 、U3 和 U4 ,则盒子中心点 O 的电势 U 等于多少? 〖解说〗此处的四块板子虽然位置相对 O 点具有对称性,但电量各不相同,因此对 O 点 的电势贡献也不相同,所以应该想一点办法—— 我们用“填补法”将电量不对称的情形加以改观:先将每一块导体板复制三块,作成一 个正四面体盒子, 然后将这四个盒子位置重合地放置——构成一个有四层壁的新盒子。 在这

个新盒子中,每个壁的电量将是完全相同的(为原来四块板的电量之和) 、电势也完全相同 (为 U1 + U2 + U3 + U4) ,新盒子表面就构成了一个等势面、整个盒子也是一个等势体,故 新盒子的中心电势为 U′= U1 + U2 + U3 + U4 最后回到原来的单层盒子,中心电势必为 U = 〖答〗U =
1 (U1 + U2 + U3 + U4) 。 4 1 U′ 4

☆学员讨论:刚才的这种解题思想是否适用于“物理情形 2”?(答:不行,因为三角 形各边上电势虽然相等,但中点的电势和边上的并不相等。 ) 〖反馈练习〗电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上,球面半径为 R ,CD 为通过半球顶点 C 和球心 O 的轴线,如图 7-12 所示。P、Q 为 CD 轴线上相对 O 点对称的两点,已知 P 点的电 势为 UP ,试求 Q 点的电势 UQ 。 〖解说〗这又是一个填补法的应用。将半球面补成 完整球面,并令右边内、外层均匀地带上电量为 q 的电 荷,如图 7-12 所示。 从电量的角度看,右半球面可以看作不存在,故这 时 P、Q 的电势不会有任何改变。 而换一个角度看,P、Q 的电势可以看成是两者的叠 加:①带电量为 2q 的完整球面;②带电量为-q 的半球面。 考查 P 点,UP = k
2q + U 半球面 R

其中 U 半球面显然和为填补时 Q 点的电势大小相等、符号相反,即 U 半球面= -UQ 以上的两个关系已经足以解题了。 〖答〗UQ = k
2q - UP 。 R
?

【物理情形 3】如图 7-13 所示,A、B 两点相距 2L ,圆弧 OCD 是以 B 为圆心、L 为半径 的半圆。A 处放有电量为 q 的电荷,B 处放有电量为-q 的点电荷。试问: (1)将单位正电 荷从 O 点沿 OCD 移到 D 点,电场力对它做了多少 功?(2)将单位负电荷从 D 点沿 AB 的延长线移到 无穷远处去,电场力对它做多少功? 【模型分析】电势叠加和关系 WAB = q(UA -
?

UB)= qUAB 的基本应用。 UO = k UD = k
q L

+k

?q =0 L

q ?q 2 kq +k = - 3L L 3L

U∞ = 0 再用功与电势的关系即可。 【答案】 (1)
2 kq 2 kq ; (2) 。 3L 3L

【相关应用】在不计重力空间,有 A、B 两个带电小球,电量分别为 q1 和 q2 ,质量分 别为 m1 和 m2 ,被固定在相距 L 的两点。试问: (1)若解除 A 球的固定,它能获得的最大 动能是多少?(2)若同时解除两球的固定,它们各自的获得的最大动能是多少?(3)未解 除固定时,这个系统的静电势能是多少? 【解说】第(1)问甚间;第(2)问在能量方面类比反冲装置的能量计算,另启用动量 守恒关系;第(3)问是在前两问基础上得出的必然结论?(这里就回到了一个基本的观念 斧正: 势能是属于场和场中物体的系统, 而非单纯属于场中物体——这在过去一直是被忽视 的。在两个点电荷的环境中,我们通常说“两个点电荷的势能”是多少。 ) 【答】 (1)k
q1q 2 qq m2 ; (2)Ek1 = k 1 2 r r m1 ? m 2

,Ek2 =

qq qq m1 k 1 2 ; (3)k 1 2 r r m1 ? m 2



〖思考〗设三个点电荷的电量分别为 q1 、q2 和 q3 ,两两相距为 r12 、r23 和 r31 ,则这 个点电荷系统的静电势能是多少? 〖解〗略。 〖答〗k(
q1q 2 q 2q3 q 3q1 + + ) 。 r23 r12 r31

〖反馈应用〗如图 7-14 所示,三个带同种电荷的相同金属小球,每个球的质量均为 m 、 电量均为 q ,用长度为 L 的三根绝缘轻绳连接着,系统放在光滑、 绝缘的水平面上。现将其中的一根绳子剪断,三个球将开始运动起 来,试求中间这个小球的最大速度。 〖解〗设剪断的是 1、3 之间的绳子,动力学分析易知,2 球获 得最大动能时,1、2 之间的绳子与 2、3 之间的绳子刚好应该在一 条直线上。而且由动量守恒知,三球不可能有沿绳子方向的速度。 设 2 球的速度为 v ,1 球和 3 球的速度为 v′,则 动量关系 mv + 2m v′= 0

能量关系 3k

q2 L

= 2 k

q2 L

+ k

q2 1 1 2 + mv + 2m v?2 2 2 2L

解以上两式即可的 v 值。 〖答〗v = q
2k 。 3mL

三、电场中的导体和电介质 【物理情形】两块平行放置的很大的金属薄板 A 和 B,面积都是 S ,间距为 d(d 远小 于金属板的线度) ,已知 A 板带净电量+Q1 ,B 板带尽电量+Q2 ,且 Q2<Q1 ,试求: (1) 两板内外表面的电量分别是多少; (2)空间各处的场强; (3)两板间的电势差。 【模型分析】由于静电感应,A、B 两板的四个平面的电量将呈现一定规律的分布(金 属板虽然很薄,但内部合场强为零的结论还是存在的) ;这里应注意金 属板“很大”的前提条件,它事实上是指物理无穷大,因此,可以应用 无限大平板的场强定式。 为方便解题,做图 7-15,忽略边缘效应,四个面的电荷分布应是均 匀的,设四个面的电荷面密度分别为σ (σ (σ
1 1

、σ

2

、σ 3 和σ

4

,显然

+ σ 2)S = Q1 + σ 4)S = Q2
1

3

A 板内部空间场强为零,有 2π k(σ A 板内部空间场强为零,有 2π k(σ 解以上四式易得 σ σ
1

? σ + σ

2

? σ + σ

3

? σ 4)= 0 ? σ 4)= 0

1

2

3

= σ = ?σ

4

= =

Q1 ? Q 2 2S Q1 ? Q 2 2S

2

3

有了四个面的电荷密度,Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ空间的场强就好求了〔如 EⅡ =2π k(σ 1 + σ 2 ? σ
3

? σ 4)= 2π k

Q1 ? Q 2 〕 。 S

最后,UAB = EⅡ d 【答案】 (1)A 板外侧电量 板外侧电量
Q1 ? Q 2 Q ?Q Q ?Q 、A 板内侧电量 1 2 ,B 板内侧电量? 1 2 、B 2 2 2

Q1 ? Q 2 Q ? Q2 ; (2)A 板外侧空间场强 2π k 1 ,方向垂直 A 板向外,A、B 板之间 2 S Q1 ? Q 2 Q ? Q2 ,方向由 A 垂直指向 B,B 板外侧空间场强 2π k 1 ,方向垂直 B S S Q1 ? Q 2 ,A 板电势高。 S

空间场强 2π k

板向外; (3)A、B 两板的电势差为 2πkd

〖学员思考〗如果两板带等量异号的净电荷,两板的外侧空间场强等于多少?(答:为

零。 ) 〖学员讨论〗 (原模型中)作为一个电容器,它的“电量”是多少(答:
Q1 ? Q 2 )?如 2

果在板间充满相对介电常数为 εr 的电介质,是否会影响四个面的电荷分布(答:不会)? 是否会影响三个空间的场强(答:只会影响Ⅱ空间的场强)? 〖学员讨论〗 (原模型中)我们是否可以求出 A、B 两板之间的静电力?〔答:可以;以 A 为对象,外侧受力
E Q1 ? Q 2 Q ?Q E 〃 Ⅰ (方向相左) ,内侧受力 1 2 〃 Ⅱ (方向向右) ,它们 2 2 2 2 2 k? Q1Q2 ,排斥力。 〕 S

合成即可,结论为 F =

【模型变换】如图 7-16 所示,一平行板电容器,极板面积为 S ,其上半部为真空,而 下半部充满相对介电常数为 εr 的均匀电介质,当两极板分别带上+Q 和?Q 的电量后,试求: (1)板上自由电荷的分布; (2)两板之间的场强; (3) 介质表面的极化电荷。 【解说】电介质的充入虽然不能改变内表面的电量总数,但由于改变 了场强,故对电荷的分布情况肯定有影响。设真空部分电量为 Q1 ,介质 部分电量为 Q2 ,显然有 Q1 + Q2 = Q 两板分别为等势体,将电容器看成上下两个电容器的并联,必有 U1 = U2 即
Q1 Q = 2 C1 C2

,即

Q1 S/ 2 4?kd

=

Q2 ?r ? S / 2 4?kd

解以上两式即可得 Q1 和 Q2 。 场强可以根据 E =
U 关系求解,比较常规(上下部分的场强相等) 。 d

上下部分的电量是不等的,但场强居然相等,这怎么解释?从公式的角度看,E = 2πkσ (单面平板) ,当 k 、σ 同时改变,可以保持 E 不变,但这是一种结论所展示的表象。从内 在的角度看,k 的改变正是由于极化电荷的出现所致,也就是说,极化电荷的存在相当于在 . 真空中形成了一个新的电场,正是这个电场与自由电荷(在真空中)形成的电场叠加成为 ... E2 ,所以 E2 = 4πk(σ ? σ′)= 4πk(
Q2 Q? ? ) S/ 2 S/ 2

请注意:①这里的 σ′和 Q′是指极化电荷的面密度和总量;② E = 4πkσ 的关系是由两 个带电面叠加的合效果。

【答案】 (1)真空部分的电量为 场强均为
8?kQ ? ?1 ; (3) r Q 。 (1 ? ? r )S ?r ? 1

1 ? Q ,介质部分的电量为 r Q ; (2)整个空间的 1 ? ?r 1 ? ?r

〖思考应用〗一个带电量为 Q 的金属小球,周围充满相对介电常数为 εr 的均匀电介质, 试求与与导体表面接触的介质表面的极化电荷量。 〖解〗略。 〖答〗Q′=
?r ? 1 Q 。 ?r

四、电容器的相关计算 【物理情形 1】由许多个电容为 C 的电容器组成一个如图 7-17 所示的多级网络,试问: (1)在最后一级的右边并联一个多大电容 C′,可使整个网络的 A、B 两端电容也为 C′? (2)不接 C′,但无限地增加网络的级数,整个网络 A、B 两端的总电容是多少? 【模型分析】这是一个练习电容电路简 化基本事例。 第(1)问中,未给出具体级数,一般结 论应适用特殊情形:令级数为 1 ,于是
1 1 1 + = 解 C′即可。 C ? C? C C?

第(2)问中,因为“无限” ,所以“无限加一级后仍为无限” ,不难得出方程
1 1 1 + = C C ? C总 C总

【答案】 (1)

5 ?1 5 ?1 C ; (2) C 。 2 2

【相关模型】 在图 7-18 所示的电路中, 已知 C1 = C2 = C3 = C9 = 1μ F , 4 = C5 = C6 = C7 = 2μ F , 8 = C10 = 3μ F , C C 试求 A、B 之间的等效电容。 【解说】对于既非串联也非并联的电路,需要用到 一种“Δ →Y 型变换” ,参见图 7-19,根据三个端点之间 的电容等效,容易得出定式—— Δ →Y 型:Ca = Cb =
C1C2 ? C2C3 ? C3C1 C3

C1C 2 ? C 2 C 3 ? C 3 C1 C1

Cc = Y→Δ 型:C1 = C2 = C3 =

C1C 2 ? C 2 C 3 ? C 3 C1 C2
Ca Cc C a ? C b ? Cc Ca C b Ca ? C b ? Cc C b Cc Ca ? C b ? Cc

有了这样的定式后,我们便可以进行如图 7-20 所示的四步电路简化(为了方便,电容不 宜引进新的符号表达, 而是直接将变换后的量 值标示在图中)——

【答】约 2.23μ F 。 【物理情形 2】如图 7-21 所示的电路中,三个电容器完全相同,电源电动势 ε1 = 3.0V , ε2 = 4.5V,开关 K1 和 K2 接通前电容器均未带电,试求 K1 和 K2 接通后三个电容器的电压 Uao 、Ubo 和 Uco 各为多少。 【解说】 这是一个考查电容器电路的基本习题, 解题的关键 是要抓与 o 相连的三块极板(俗称“孤岛” )的总电量为零。 电量关系:
U ao U ao U ao + + =0 C C C

电势关系:ε1 = Uao + Uob = Uao ? Ubo ε2 = Ubo + Uoc = Ubo ? Uco

解以上三式即可。 【答】Uao = 3.5V ,Ubo = 0.5V ,Uco = ?4.0V 。 【伸展应用】如图 7-22 所示,由 n 个单元组成的电容器网络,每一个单元由三个电容 器连接而成, 其中有两个的电容为 3C , 另一个的电容为 3C 。 a、 为网络的输入端, 以 b a′、 b′为输出端,今在 a、b 间加一个恒定电压 U ,而在 a′b′间接一个电容为 C 的电容器, 试求: (1)从第 k 单元输入端算起,后面所有电容器储存的总电能; (2)若把第一单元输出 端与后面断开,再除去电源,并把它的输入端短路,则这个单元的三个电容器储存的总电能 是多少? 【解说】 这是一个结合网络计 算和“孤岛现象”的典型事例。 (1)类似“物理情形 1”的 计算,可得 C 总 = Ck = C 所以,从输入端算起,第 k 单 ..... 元后的电压的经验公式为 Uk = 再算能量储存就不难了。 (2)断开前,可以算出第一单元的三个电容器、以及后面“系统”的电量分配如图 7-23 中的左图所示。这时,C1 的右板和 C2 的 左板 (或 C2 的下板和 C3 的右板) “孤 形成 岛” 。此后,电容器的相互充电过程(C3 类比为“电源” )满足—— 电量关系:Q1′= Q3′ Q2′+ Q3′= 电势关系:
Q 3 U 3 k ?1

? ? ? Q3 Q Q + 1 = 2 3C 2C 3C
Q 4Q 1 Q2 , 2′= Q , 这样系统的储能就可以用 得出了。 7 21 2 C

从以上三式解得 Q1′= Q3′= 【答】 (1)Ek =

CU 2 CU 2 ; (2) 2 k ?1 63 2?3



〖学员思考〗图 7-23 展示的过程中,始末状态的电容器储能是否一样?(答:不一样; 在相互充电的过程中,导线消耗的焦耳热已不可忽略。 )


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