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【2013宁德5月质检】福建省宁德市2013届高三5月质检数学理试题 Word版含答案


2013 年宁德市普通高中毕业班质量检查

理 科 数 学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 第Ⅱ卷第 21 题为选考题,其他题 , 为必考题.本试卷共 6 页.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,…, xn 的标准差 锥体体积公式

s?
?
<

br />? ? ? 1 [( x1 ? x)2 ? ( x2 ? x) ? … ? ( xn ? x)2 ] n

V ?

1 Sh 3

其中 x 为样本平均数 柱体体积公式

其中 S 为底面面积, h 为高 球的表面积、体积公式

V ? Sh
其中 S 为底面面积, h 为高

S ? 4?R 2 ,V ?

4 3 ?R 3

其中 R 为球的半径

第 I 卷(选择题
有一项是符合题目要求的. 1.若

共 50 分)

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只

2?i ? a ? bi ( a, b ? R, i 为虚数单位) a ? b ? 则( , i
B. 1 C.-1 D.-3



A. 3

2.如图是正方体截去阴影部分所得的几何体,则该几何体的侧视图是(



A.

B.

C.

D.

3.某社区以“周末你最喜爱的一个活动”为题,对该社区 2000 个居民进 行随机抽样调查(每位被调查居民必须而且只能从运动、上网、看书、聚 会、其它等五项中选择一个项目) 。若抽取的样本容量为 50,相应的条形 统计图如图所示,据此可估计该社区最喜欢运动的居民人数为( A.80 B.160 C.200 D.320 )

4.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果是( A.127 B.64 C.63 D. 31



5. “非零向量 a, b 共线”是“非零向量 a, b 满足 | a ? b |?| a | ? | b | ”的( A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

? ?

? ?

? ?

?

?



6.某公司有 10 万元资金,计划投资甲、乙两个项目,项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润,项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润.按要求每个项目的投 资不能低于 2 万元,且对项目甲的投资不小于对项目乙投资的 资后,在这两个项目上共可获得的最大利润为( A.5.6 万元 B.5.2 万元 ) D.2.6 万元 )

2 ,则该公司规划投 3

C.4.4 万元

7.已知函数 f ( x) 的图象如右图所示,则 f ( x) 的解析式可以是(

ln | x | A. f ( x) ? x
C. f ( x) ?

ex B. f ( x) ? x
D. f ( x) ? x ?

1 ?1 x2

1 x

8. 右图是函数 y ? sin(? x ? ? ), (? ? 0, 0 ? ? ?

?
2

) 在区间 [?

? 5?
6 , 6

] 上的图

象,将该图象向右平移 m(m>0)个单位后,所得图象关于直线 x ? 则 m 的最小值为( A. ) B.

?
4

对称,

? 12

? 6

C.

? 4

D.

? 3

9.已知 F1 (?c,0), F2 (c,0) 是双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0 , a 2 b2

b ? 0) 的左、右焦点。若 P 为双曲线右支上一点,满足

???? ???? ? ? ? 则该双曲线的离心率是 ( PF1 ? PF2 ? 4ac , F1 PF2 ? , 3
A. 2 2 ?1 B.2 C.



2?2 2

D.

2 ?1

10.已知集合 M 为点集,记性质 P 为“对 ?( x, y) ? M , k ? (0,1), 均有 (kx, ky ) ? M ”.给出 下列集合:① {( x, y) | x ? y} ,② {( x, y) | 2 x ? y ? 1} ,③
2 2 2

{( x, y) | x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0} ,④ {( x, y) | x3 ? y3 ? x2 y ? 0} ,其中具有性质 P 的点
集的个数是( A.1 ) B.2 C. 3 D.4

第Ⅱ 卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答题卡相应位置. 11.已知 x,y 的取值如下表: X y 2 2.7 3 4.3 5 6.1 6 6.9
^

从散点分析,y 与 x 具有线性关系,且回归方程为 y ? 1.02 x ? a ,则 a= 12.在二项式(x+



1 x

)6 的展开式中, 常数项是



13.若抛物线 y ? 4x 上一点 P 到坐标原点 O 的距离为 2 3 ,则点 P 到该抛物线焦点的距
2

离为



14.已知 f ( x) ? 4x ? 1 , g ( x) ? 4? x .若偶函数 h( x) 满足 h( x) ? mf ( x) ? ng ( x) (其中 m,n 为常 数) ,且最小值为 1,则 m ? n ? .

15.m 个人排成一行,自 1 起至 m 依次报数,凡报奇数者出队;留下的再从 1 起报数,报 奇数者又出队, 这样反复下去, 最后留下一个人.若最后留下的这个人第一次报数号码为 64, 则 m 的最大值为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x ? bx ? c 有两个零点为 0 和-2.
2

(Ⅰ)求曲线 f ( x ) 与 x 轴所围成的图形的面积;
* (Ⅱ)数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (n, Sn ), (n? N )在抛物线 y ? f ( x) 上,记

bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . an an ?1

17.(本小题满分 13 分) 某品牌电视专卖店,在“五一”期间设计一项有奖促销活动:每购买一台电视,即可通 过电脑产生一组 3 个数的随机数组,根据下表兑奖. 奖次 随机数组的特征 奖金(单位:元) 一等奖 3个1或3个0 5m 二等奖 只有 2 个 1 或 2 个 0 2m 三等奖 只有 1 个 1 或 1 个 0 m

商家为了了解计划的可行性,估计奖金数,进行了随机模拟试验,产生 20 组随机数组,每 组 3 个数,试验结果如下所示: 235,145,124,754,353,296,065,379,118,247, C520,356,218,954,245,368,035,111,357,265. (Ⅰ)在以上模拟的 20 组数中,随机抽取 3 组数,至少有一组获奖的概率; (Ⅱ)根据上述模拟试验的结果,奖频率视为概率: (i)若活动期间某单位购买 4 台电视,求恰好有两台获奖的概率; (ii)若本次活动平均每台电视的奖金不超过 260 元,求 m 的最大值。

18.(本小题满分 13 分) 如图所示多面体 ABCDD A1 中, 底面 ABCD 为正方形,AA1 // DD1 , 2 AB ? DD1 ? 4 ,E 1 且 AA1 ? 底面 ABCD . (Ⅰ)求证: AA // 平面 DCD1 ; 1 (Ⅱ)当 AA1 的长为多少时,锐二面角 B ? A1D1 ? A 的大小 恰为 45 ?
?

19.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 过点 M (0, ?1) ,四个顶点所围成的图形面积为 a 2 b2

2 2 .直线 l : y ? kx ? t 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,且 ?AMB ? 90? .
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)试判断直线 l 是否过定点?如果是,求出定点坐标;不是,请说明理由.

20.(本小题满分 14 分) 如图, 曲线 ? : x2 ? y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 与 x 轴交于点 A, P、 为曲线 ? 上的两点. 点 Q 点 P 在 x 轴上的射影为 P? , PP? 交 OQ 于点 D,设 ?AOP ? ? , ?AOQ ? ? (? ? ? ) .

(Ⅰ)若 P( ,

1 3 2 2 ), Q( , ) ,求 cos(? ? ? ) 的值; 2 2 2 2

(Ⅱ)求证: sin ? ? sin ? ? ? ? ? ? tan ? ? tan ? ; (Ⅲ)若 ? ? 2? ,记△ OPD 的面积 s ? f ( ? ) ,试判断 S 是否存 在最大值?若存在,求出 OP? 的长,不存在,说明理由

21.本题设有(1)(2)(3)三个选答题,每小题 7 分,请考生任选 2 个小题作答,满分 、 、 14 分.如果多做,则按所做的前两题记分.作答时,先用 2B 铅笔在答题卡上把所选题 目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中. (1) (本小题满分 7 分)选修 4—2:矩阵与变换 曲 线 C1 : x ? y ? 1 在 矩 阵 M ? ?
2 2

? a 0? ) ? ( a ? 0 , b? 0 的 变 换 作 用 下 得 到 曲 线 ? 0 b?

C2 :

x2 ? y2 ? 1 . 4

(Ⅰ)求矩阵 M ; (Ⅱ)求矩阵 M 的特征值及对应的一个特征向量.

(2) (本小题满分 7 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? 2 t, ? x? ? 2 (t 为参数) 已知在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? .在极坐标 ? y ? ?4 ? 2 t ? 2 ?
系(与直角坐标取相同的长度单位,且以原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴)中, 曲线 C2 的方程为 ? sin
2

? ? 4 cos? .

(Ⅰ)求曲线 C2 直角坐标方程; (Ⅱ)若曲线 C1 、 C2 交于 A、B 两点,定点 P(0, ?4) ,求 | PA | ? | PB | 的值. (3) (本小题满分 7 分)选修 4—5:不等式选讲 已知实数 t 满足 | 2t ? 4 |? t ? 2 . (Ⅰ)求 t 的取值范围; (Ⅱ)求函数 g (t ) ? t ?

4 的最小值. t2


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