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导数及其应用章末检测测试


《导数及其应用》单元测试题
(满分:150 分 时间:120 分钟) 一、选择题(本大题共 10 小题,共 50 分,只有一个答案正确) 1. f ?( x0 ) ? 0 是函数 f ? x ? 在点 x0 处取极值的: A.充分不必要条件 条件 2、设曲线 y ? x 2 ? 1 在点 ( x , f ( x )) 处的切线的斜率为 g ( x ) ,则函数 y ?

g ( x)cos x 的部分图 象可以为 y y y y B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要

O

x

O

x

O

x

O

x

B. π 2 3.在曲线 y=x 上切线的倾斜角为 的点是( 4 A.(0,0)
2

A.

C. )

D.

B.(2,4)

?1 1 ? C.? , ? ?4 16?

?1 1? D.? , ? ?2 4?
) D.a=-1, C.a=1,b=-1

4.若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x-y+1=0,则( A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1

b=-1
5.函数 f(x)=x +ax +3x-9,已知 f(x)在 x=-3 时取得极值,则 a 等于( A.2 B.3 C.4 D.5
3 2

)

1 3 2 2 6. 已知三次函数 f(x)= x -(4m-1)x +(15m -2m-7)x+2 在 x∈(-∞, +∞)是增函数, 3 则 m 的取值范围是( A.m<2 或 m>4 ) B.-4<m<-2 C.2<m<4 D.以上皆不正确

7. 直线 y ? x 是曲线 y ? a ? ln x 的一条切线,则实数 a 的值为 A. ?1 B. e
3

C. ln 2

D. 1

8. 若函数 f ( x) ? x ? 12x在区间 (k ? 1, k ? 1) 上不是单调函数,则实数 k 的取值范围 ( ) A. k ? ?3或 ? 1 ? k ? 1或k ? 3 C. ? 2 ? k ? 2 B. ? 3 ? k ? ?1或1 ? k ? 3 D.不存在这样的实数 k

9. 10.函数 f ? x ? 的定义域为 ? a, b ? ,导函数 f ? ? x ? 在 ? a, b ? 内的图像如图所示,

则函数 f ? x ? 在 ? a, b ? 内有极小值点 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

10. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f '( x) , f '(0) ? 0 ,对于任意实数 x 都有

f ( x ) ? 0 ,则
A. 3

f (1) 的最小值为 f '(0)
B.

5 2

C. 2

D.

3 2

二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.函数 y ?

sin x 的导数为_________________ x

12、已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? bx ? a 2 在 x=1 处有极值为 10,则 f(2)等于____________. 13.函数 y ? x ? 2cos x 在区间 [0,

?
2

] 上的最大值是

14.已知函数 f ( x) ? x3 ? ax 在 R 上有两个极值点,则实数 a 的取值范围是 15. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 0 , 不等式

xf ?( x) ? f ( x) ?0 (x x2

,则 ? 0)

x 2 f ( x) ? 0 的解集是
三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. 已知函数 f ( x) ? x ? 3x . (Ⅰ)求 f ?( 2) 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 的单调区间.
3

17. 设函数 f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π,求函数 f(x)的单调区间与极值. 18. 设函数 f ( x) ? x 3 ? 6 x ? 5, x ? R . (1)求 f ( x) 的单调区间和极值; (2)若关于 x 的方程 f ( x) ? a 有 3 个不同实根,求实数 a 的取值范围. (3)已知当 x ? (1,??)时, f ( x) ? k ( x ? 1) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

19. 已知 x ? 1 是函数 f ( x) ? mx3 ? 3(m ? 1) x 2 ? nx ? 1 的一个极值点,其中 m, n ? R , m ? 0 (1)求 m 与 n 的关系式; (2)求 f ( x) 的单调区间;

(3)当 x ? [?1,1] ,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线斜率恒大于 3m ,求 m 的取值 范围

ax3 f ( x ) ? ? (a ? 1) x 2 ? 4 x ? 1?a ? R ? 20.已知 3 (1)当 a ? ?1 时,求函数的单调区间。 (2)当 a ? R 时,讨论函数的单调增区间。
(3)是否存在负实数 a ,使 x ? ?? 1,0?,函数有最小值-3?

a2 21.已知函数 f ? x ? ? x ? , g ? x ? ? x ? ln x ,其中 a ? 0 . x (1)若 x ? 1 是函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的极值点,求实数 a 的值;
实数 a 的取值范围.

(2)若对任意的 x1, x2 ??1 ,e? ( e 为自然对数的底数)都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立,求

《导数及其应用》参考答案
一、选择题: 题号 1 答案 B 二、填空题: 11. 2 A 3 D 4 A 5 D 6 D 7 D 8 B 9 A 10 C

y' ?

x cos x ? sin x x2

; 12. 18

13.

?
6

? 3 ;

14. {a | a ? 0} ;

15. ( ?1,0) ? (1,??) 三、解答题 16. 解: (Ⅰ) f ?( x) ? 3x2 ? 3 ,所以 f ?(2) ? 9 . (Ⅱ) f ?( x) ? 3x2 ? 3 , 解 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? ?1 . 解 f ?( x) ? 0 ,得 ?1 ? x ? 1 . 所以 (??, ?1) , (1, ??) 为函数 f ( x ) 的单调增区间, (?1,1) 为函数 f ( x ) 的单调减区间. π 17.[解析] f′(x)=cosx+sinx+1= 2sin(x+ )+1 (0<x<2π) 4 π 2 令 f′(x)=0,即 sin(x+ )=- , 4 2 3 解之得 x=π 或 x= π. 2 x,f′(x)以及 f(x)变化情况如下表: 3 3 3 x π (0,π) (π, π) π ( π,2π) 2 2 2 0 0 f′(x) + - + 3π f(x) 递增 π+2 递减 递增 2 3 3 ∴f(x)的单调增区间为(0,π)和( π,2π)单调减区间为(π, π). 2 2 3 3π f 极大(x)=f(π)=π+2,f 极小(x)=f( π)= . 2 2 18. 解:(1) f ?( x) ? 3( x 2 ? 2),令f ?( x) ? 0, 得x1 ? ? 2, x2 ?

2 ???????1 分

∴当 x ? ? 2或x ? 2时,f ?( x) ? 0;当? 2 ? x ? 2时, f ?( x) ? 0 ,???????2 分 ∴ f ( x) 的单调递增区间是 (??, ? 2)和( 2, ??) ,单调递减区间是 (? 2 , 2 ) ??3 分 当 x ? ? 2, f ( x)有极大值 5 ? 4 2 ;当 x ?

2, f ( x)有极小值 5 ? 4 2 .????4 分

(2)由(1)可知 y ? f ( x) 图象的大致形状及走向(图略)

∴当 5 ? 4 2 ? a ? 5 ? 4 2时, 直线y ? a与y ? f ( x) 的图象有 3 个不同交点,??6 分 即当 5 ? 4 2 ? a ? 5 ? 4 2 时方程 f ( x) ? ? 有三解. ?????????????7 分 (3) f ( x) ? k ( x ? 1)即( x ? 1)(x 2 ? x ? 5) ? k ( x ? 1) ∵ x ? 1,? k ? x 2 ? x ? 5在(1,??) 上恒成立. ????????????????9 分 令 g ( x) ? x 2 ? x ? 5 ,由二次函数的性质, g ( x)在(1,??) 上是增函数, ∴ g ( x) ? g (1) ? ?3, ∴所求 k 的取值范围是 k ? ?3 ??????????????12 分

19. 解: (1) f '( x) ? 3mx 2 ? 6(m ? 1) x ? n. 因为 x ? 1 是函数 f ( x) 的一 个极值点.所以 f '(1) ? 0 即 3m ? 6(m ? 1) ? n ? 0, 所以 n ? 3m ? 6 2 (2)由(1)知, f '( x) ? 3mx2 ? 6(m ? 1) x ? 3m ? 6 ? 3m( x ? 1)[ x ? (1 ? )] m 2 当 m ? 0 时,有 1 ? 1 ? ,当 x 为化时, f ( x) 与 f '( x) 的变化如下表: m 2 2 2 (1 ? ,1) x (1, ? ?) 1 (? ?,1 ? ) 1? m m m
f '( x) f ( x)
单调递减 0 极小值 + 单调递增 0 极大值 单调递减

故由上表知,当 m ? 0 时, f ( x) 在 (? ?,1 ? 递减.

2 2 ) 单调递减,在 (1 ? ,1) 单调递增,在 (1, ? ?) 上单调 m m
2 2 (m ? 1) x ? ? 0 ,即 m m

(3)由已知得 f '( x) ? 3m ,即 mx 2 ? 2(m ? 1) x ? 2 ? 0 又 m ? 0 ,所以 x 2 ?

1 2 2 2 (m ? 1) x ? ? 0, x ?[?1,1] 设 g ( x) ? x 2 ? 2(1 ? ) x ? ,其函数图象开口向上,由题意知①式 m m m m 2 2 ? ? g (?1) ? 0 ?1 ? 2 ? ? ? 0 4 4 恒成立,所以 ? 解之得 ? ? m又m ? 0 所以 ? ? m ? 0 即 m 的取值 ?? m m 3 3 ? g (1) ? 0 ? ??1 ? 0 4 范围为 (? ,0) 3

x2 ?

20. (1) x ? ?? ?,?2?, 或 x ? ?2,???, f ( x ) 递减; x ? ?? 2,2?, f ( x ) 递增; (2)1、当 a ? 0,
2 ? x ? ?? ?,?2?, f ( x ) 递 增 ;2 、 当 a ? 0, x ? ? ? ,2 ?, f ( x ) 递 增 ;3 、 当 0 ? a ? 1, x ? ?? ?,2?, 或 ?a ?
2? ?2 ? ? x ? ? ,?? ?, f ( x ) 递增 ; 当 a ? 1, x ? ?? ?,???, f ( x ) 递增 ; 当 a ? 1, x ? ? ? ?, ?, 或 x ? ?2,???, f ( x ) a a ? ? ? ?

递增; (3) 因 a ? 0, 由②分两类 (依据: 单调性, 极小值点是否在区间[-1,0]上是分类 “契机” : 3 2 ? 1、当 2 ? ?1, ? a ? ?2, x ? ?? 1,0? ? ? ? ,2 ?, f ( x ) 递增, f ( x) min ? f (?1) ? ?3 ,解得 a ? ? ? ?2, 4 a a ? ?

2、当 2 ? ?1, ? a ? ?2, 由单调性知: f ( x ) min ? f ( ) ? ?3 ,化简得: 3a 2 ? 3a ? 1 ? 0 ,解得 a a
a?

2

3 ? 3 ? 21 ? ?2, 不合要求;综上, a ? ? 为所求。 4 6

21. (1)解法1:∵ h ? x ? ? 2 x ? ∴ h? ? x ? ? 2 ?

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0, ? ?? , x

a2 1 ? . x2 x 2 ∵ x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,∴ h? ?1? ? 0 ,即 3 ? a ? 0 .
∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . 经检验当 a ? 3 时, x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点, ∴a ? 3.

a2 ? ln x ,其定义域为 ? 0, 解法2:∵ h ? x ? ? 2 x ? ? ?? , x a2 1 ∴ h? ? x ? ? 2 ? 2 ? . x x a2 1 2 2 令 h? ? x ? ? 0 ,即 2 ? 2 ? ? 0 ,整理,得 2 x ? x ? a ? 0 . x x 2 ∵ ? ? 1 ? 8a ? 0 ,
∴ h? ? x ? ? 0 的两个实根 x1 ?

当 x 变化时, h ? x ? , h? ? x ? 的变化情况如下表:

?1 ? 1 ? 8a 2 ?1 ? 1 ? 8a 2 (舍去) , x2 ? , 4 4

x
h? ? x ? h ? x?
依题意,

? 0, x2 ?


x2
0 极小值

? x2 , ???


?1 ? 1 ? 8a 2 ? 1 ,即 a 2 ? 3 , 4 ∵ a ? 0 ,∴ a ? 3 . ( 2 ) 解 : 对 任 意 的 x1, x2 ??1 ,e? 都 有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成 立 等 价 于 对 任 意 的

x1, x2 ??1 ,e? 都有 ? ? f ? x ?? ? min ≥ ? ? g ? x ?? ? max . 1 当 x ? [1, e ]时, g ? ? x ? ? 1 ? ? 0 . x ∴函数 g ? x ? ? x ? ln x 在 ?1 ,e? 上是增函数.
∴? ? g ? x ?? ? max ? g ? e ? ? e ? 1 .

a 2 ? x ? a ?? x ? a ? ? ,且 x ??1, e? , a ? 0 . x2 x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 , ①当 0 ? a ? 1 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? x2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在[1, e ]上是增函数, x
∵ f ?? x? ? 1?
2 ∴? ? f ? x ?? ? min ? f ?1? ? 1 ? a .

由 1 ? a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , 又 0 ? a ? 1 ,∴ a 不合题意.
2

②当1≤ a ≤ e 时, 若1≤ x < a ,则 f ? ? x ? ?

x2 ? x ? a ?? x ? a ? ? 0 . 若 a < x ≤ e ,则 f ? ? x ? ? x2 a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在 ?1, a ? 上是减函数,在 ? a,e? 上是增函数. x ∴? ? f ? x ?? ? min ? f ? a ? ? 2a .
由 2 a ≥ e ? 1 ,得 a ≥ 又1≤ a ≤ e ,∴

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,

e ?1 , 2

e ?1 ≤a≤e. 2

③当 a ? e 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ?

? x ? a ?? x ? a ? ? 0 ,
x2

a2 ∴函数 f ? x ? ? x ? 在 ?1 ,e? 上是减函数. x a2 f x ? f e ? e ? ? ∴? . ? ? ? ? ? ? min e a2 由e? ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , e 又 a ? e ,∴ a ? e . ? e ?1 ? 综上所述, a 的取值范围为 ? , ?? ? . ? 2 ?


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