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椭圆、双曲线。抛物线典型例题整理


椭圆典型例题
一、已知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。 例 1:已知椭圆的焦点是 F1(0,-1)、F2(0,1),P 是椭圆上一点,并且 PF1+PF2=2F1F2,求椭圆 的标准方程。

解:由 PF1+PF2=2F1F2=2×2=4,得 2a=4.又 c=1,所以 b2=3. y2 x2 所以椭圆的标准方程是 4 + 3 =1.
2

.已知椭圆的两个焦点为 F1(-1,0),F2(1,0),且 2a=10,求椭圆的标准方程. 解:由椭圆定义知 c=1,∴b= 5 -1= 24.∴椭圆的标准方程为 + =1. 25 24 二、未知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。 例:1. 椭圆的一个顶点为 A?2,? ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程. 0 解: (1)当 A?2,? 为长轴端点时, a ? 2 , b ? 1 , 0
2

x2

y2

x2 y2 ? ?1; 4 1 (2)当 A?2,? 为短轴端点时, b ? 2 , a ? 4 , 0
椭圆的标准方程为:

x2 y2 ? ?1; 椭圆的标准方程为: 4 16
三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出,求椭圆的标准方程。 x2 y2 例.求过点(-3,2)且与椭圆 + =1 有相同焦点的椭圆的标准方程. 9 4

a -5

x2 y2 9 解:因为 c =9-4=5,所以设所求椭圆的标准方程为 2+ 2 =1.由点(-3,2)在椭圆上知 2+ a a -5 a 4 x2 y2 2 =1,所以 a =15.所以所求椭圆的标准方程为 + =1. 2
2

15 10

四、与直线相结合的问题,求椭圆的标准方程。 例: 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x ? y ? 1 ? 0 交于 A 、 B 两点, M 为 AB 中 点, OM 的斜率为 0.25,椭圆的短轴长为 2,求椭圆的方程.

x2 2 解:由题意,设椭圆方程为 2 ? y ? 1 , a ?x ? y ?1 ? 0 ? 2 由 ? x2 ,得 ?1 ? a? x2 ? 2a 2 x ? 0 , 2 ? 2 ? y ?1 ?a 1 x ? x2 1 ? a 2 ? 2 , y M ? 1 ? xM ? ∴ xM ? 1 , 1? a2 2 a y 1 1 ? k OM ? M ? 2 ? ,∴ a 2 ? 4 , xM a 4


x2 ? y 2 ? 1 为所求. 4
1

五、求椭圆的离心率问题。 例 1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率. 解:? 2c ?

a2 1 ? 2? c 3

∴ 3c ? a ,∴ e ?
2 2

1 3 . ? 3 3

1 x2 y2 ? ? 1 的离心率 e ? ,求 k 的值. 例 2 已知椭圆 2 k ?8 9
解:当椭圆的焦点在 x 轴上时, a ? k ? 8 , b ? 9 ,得 c ? k ? 1 .由 e ?
2 2 2

1 ,得 k ? 4 . 2

当椭圆的焦点在 y 轴上时, a ? 9 , b ? k ? 8 ,得 c ?1 ? k .
2 2 2

1 1? k 1 5 ? ,即 k ? ? . ,得 2 9 4 4 5 ∴满足条件的 k ? 4 或 k ? ? . 4
由e ? 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例:1.若△ABC 的两个顶点坐标 A(-4,0),B(4,0),△ABC 的周长为 18,求顶点 C 的轨迹方程。

解:顶点 C 到两个定点 A,B 的距离之和为定值 10,且大于两定点间的距离,因此顶 点 C 的轨迹为椭圆,并且 2a=10,所以 a=5,2c=8,所以 c=4,所以 b2=a2-c2=9,故 x2 y2 顶点 C 的轨迹方程为25+ 9 =1.又 A、 C 三点构成三角形, B、 所以 y≠0. 2 2 2 2 x y x y 所以顶点 C 的轨迹方程为25+ 9 =1(y≠0)答案:25+ 9 =1(y≠0)
2.已知椭圆的标准方程是a2+25=1(a>5),它的两焦点分别是 F1,F2,且 F1F2=8, 弦 AB 过点 F1,求△ABF2 的周长.
x2 y2

4a=4 41.
x2 y2 3.设 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且 PF1∶PF2=2∶1,求△PF1F2 的 9 4 面积.

1 1 △PF1F2 的面积为2PF1· 2=2×2×4=4. PF

七、直线与椭圆的位置问题

2

x2 ?1 1? ? y 2 ? 1 ,求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在的直线方程. 2 ? 2 2? 1 1? ? 解法一:设所求直线的斜率为 k ,则直线方程为 y ? ? k ? x ? ? .代入椭圆方程,并整理得 2 2? ? ?1 ? 2k 2 ?x 2 ? ?2k 2 ? 2k ?x ? 1 k 2 ? k ? 3 ? 0 . 2 2 2 2k ? 2k 由韦达定理得 x1 ? x2 ? . 1 ? 2k 2 1 ∵ P 是弦中点,∴ x1 ? x2 ? 1.故得 k ? ? . 2 所以所求直线方程为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 . ?1 1? 解法二:设过 P? , ? 的直线与椭圆交于 A?x1,y1 ? 、 B?x2,y2 ? ,则由题意得 ? 2 2?
例 已知椭圆

? x12 2 ① ? ? y1 ? 1, ? 22 ? x2 2 ② ? ? y2 ? 1, 2 ? ③ ? x1 ? x2 ? 1, ? ④ ? y1 ? y2 ? 1. 2 x 2 ? x2 2 ? y12 ? y2 ? 0 . ①-②得 1 ⑤ 2 1 y ? y2 1 将③、④代入⑤得 1 ? ? ,即直线的斜率为 ? . 2 x1 ? x2 2 所求直线方程为 2 x ? 4 y ? 3 ? 0 .
八、椭圆中的最值问题 例 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,过点 A 1 3 ,点 M 在椭圆上,当 AM ? 2 MF 为最小值 , 16 12

? ?

时,求点 M 的坐标.

1 ,右准线 l:x ? 8 . 2 过 A 作 AQ ? l , 垂足为 Q , 交椭圆于 M , MQ ? 2 MF . 故 显然 AM ? 2 MF 的最小值为 AQ ,
解:由已知: a ? 4 , c ? 2 .所以 e ? 即 M 为所求点,因此 yM ? 3 ,且 M 在椭圆上.故 xM ? 2 3 .所以 M 2 3,3 .

?

?

双曲线典型例题
3

一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。

x2 y2 ? ? 1 表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征. 25 ? k 9 ? k 2 2 解: (1)当 k ? 9 时, 25 ? k ? 0 ,9 ? k ? 0 ,所给方程表示椭圆,此时 a ? 25 ? k ,b ? 9 ? k , c 2 ? a 2 ? b2 ? 16 ,这些椭圆有共同的焦点(-4,0)(4,0) , . 2 (2)当 9 ? k ? 25 时, 25 ? k ? 0 , 9 ? k ? 0 ,所给方程表示双曲线,此时, a ? 25 ? k , b 2 ? 9 ? k , c 2 ? a 2 ? b 2 ? 16 ,这些双曲线也有共同的焦点(-4,0)) ,(4,0) . (3) k ? 25 , k ? 9 , k ? 25 时,所给方程没有轨迹. 二、根据已知条件,求双曲线的标准方程。
例 1 讨论 例 2 根据下列条件,求双曲线的标准方程.

? 15 ? ? 16 ? ,? 且焦点在坐标轴上. 5 ? 4? ? 3 ? (2) c ? 6 ,经过点(-5,2) ,焦点在 x 轴上. 2 2 x y ? ? 1 有相同焦点,且经过点 3 2, (3)与双曲线 2 16 4 x2 y2 ? ?1 解: (1)设双曲线方程为 m n ∵ P 、 Q 两点在双曲线上, ? 9 225 ? m ? 16n ? 1 ?m ? ?16 ? ∴? 解得 ? ?n ? 9 ? 256 ? 25 ? 1 ? 9m n ? ? x2 y2 ? ?1 ∴所求双曲线方程为 16 9
(1)过点 P? 3, ? , Q? ?

?

?

说明:采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论,得“巧求”的目的. (2)∵焦点在 x 轴上, c ?

6, x y2 ? ? 1 (其中 0 ? ? ? 6 ) ∴设所求双曲线方程为: ? 6?? 25 4 ? ?1 ∵双曲线经过点(-5,2) ,∴ ? 6?? ∴ ? ? 5 或 ? ? 30 (舍去) x2 ? y2 ? 1 ∴所求双曲线方程是 5
2

说明:以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉.

x2 y2 ? ? 1?0 ? ? ? 16? 16 ? ? 4 ? ? 18 4 ? ?1 ∵双曲线过点 3 2, ,∴ 2 16 ? ? 4 ? ? ∴ ? ? 4 或 ? ? ?14 (舍)
(3)设所求双曲线方程为:

?

?

4

∴所求双曲线方程为

x2 y2 ? ?1 12 8

三、求与双曲线有关的角度问题。

x2 y2 ? ? 1 的 右 焦 点 分 别 为 F1 、 F2 , 点 P 在 双 曲 线 上 的 左 支 上 且 例 3 已知双曲线 9 16 PF PF2 ? 32 ,求 ?F1PF2 的大小. 1 解:∵点 P 在双曲线的左支上 ∴ PF ? PF2 ? 6 1
∴ PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 ? 36
2 2

∴ PF1 ? PF2
2

2

? 100

∵ F1 F2

2

? 4c 2 ? 4 a 2 ? b12 ? 100
?

?

?

∴ ?F1PF2 ? 90 (2)题目的“点 P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键,应引起我们的重视,若将这一条件改 为“点 P 在双曲线上”结论如何改变呢?请读者试探索.

四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。 x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足 ?F1PF2 ? 90? ,求 例 4 已知 F1 、 F2 是双曲线 4 ?F1PF2 的面积. 分析:利用双曲线的定义及 ?F1PF2 中的勾股定理可求 ?F1PF2 的面积.
x2 ? y 2 ? 1 上的一个点且 F1 、 F2 为焦点. 4 ∴ PF1 ? PF2 ? 2a ? 4 , F1F2 ? 2c ? 2 5
解:∵ P 为双曲线 ∵ ?F1PF2 ? 90 ∵ PF1 ? PF2
?
2 2 2

∴在 Rt?PF F2 中, PF1 ? PF2 1

?

?

? F1 F2 ? 20
2

2

? PF1 ? PF2 ? 2 PF1 PF2 ? 16
2

∴ 20 ? 2 PF PF ? 16 1 2 ∴ PF ? PF2 ? 2 1 ∴ S ?F1PF2 ?

1 PF1 ? PF2 ? 1 2 五、根据双曲线的定义求其标准方程。 0 0 例 5 已知两点 F1 ?? 5,? 、 F2 ?5,? ,求与它们的距离差的绝对值是 6 的点的轨迹.

解:根据双曲线定义,可知所求点的轨迹是双曲线. ∵c ? 5,a ? 3 ∴ b ? c ? a ? 5 ? 3 ? 4 ? 16
2 2 2 2 2 2

∴所求方程

x2 y2 ? ? 1 为动点的轨迹方程,且轨迹是双曲线. 9 16
5

x2 y2 ? ? 1 上一点, F1 、 F2 是双曲线的两个焦点,且 PF ? 17 ,求 PF2 的值. 1 64 36 x2 y2 ? ? 1 中, a ? 8 , b ? 6 ,故 c ? 10 . 解:在双曲线 64 36 由 P 是双曲线上一点,得 PF1 ? PF2 ? 16 .


P 是双曲线

∴ PF2 ? 1 或 PF2 ? 33. 又 PF2 ? c ? a ? 2 ,得 PF2 ? 33. 六、求与圆有关的双曲线方程。 例 6 求下列动圆圆心 M 的轨迹方程:
2 2

(1)与⊙ C: ? 2? ? y 2 ? 2 内切,且过点 A?2,? 0 ?x
2

(3)与⊙ C: ? 3? ? y 2 ? 9 外切,且与⊙ C2: ? 3? ? y 2 ? 1 内切. ?x 1 ?x M 的半径为 r 解:设动圆 (1)∵⊙ C1 与⊙ M 内切,点 A 在⊙ C 外
2

(2)与⊙ C:x 2 ? ? y ?1? ? 1和⊙ C2:x2 ? ? y ? 1? ? 4 都外切. 1
2

∴ MC ? r ? 2 , MA ? r , MA ? MC ?

2

∴点 M 的轨迹是以 C 、 A 为焦点的双曲线的左支,且有:

7 2 2 2 2 ,c ? 2,b ? c ? a ? 2 2 2 2y 2 ?1 x ? ? 2 ∴双曲线方程为 2 x ? 7 (2)∵⊙ M 与⊙ C1 、⊙ C2 都外切

a?

?

?

∴ MC1 ? r ? 1 , MC2 ? r ? 2 ,

MC2 ? MC1 ? 1
∴点 M 的轨迹是以 C2 、 C1 为焦点的双曲线的上支,且有:

a?

1 3 2 2 2 , c ? 1,b ? c ? a ? 2 4

∴所求的双曲线的方程为:

4x2 ? 3? ? 1? y ? ? 3 4? ? (3)∵⊙ M 与⊙ C1 外切,且与⊙ C2 内切 4 y2 ?
∴ MC1 ? r ? 3 , MC2 ? r ?1, MC1 ? MC2 ? 4 ∴点 M 的轨迹是以 C1 、 C2 为焦点的双曲线的右支,且有:

a ? 2 , c ? 3 , b2 ? c 2 ? a 2 ? 5
∴所求双曲线方程为:

x2 y 2 ? ? 1?x ? 2? 4 5
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
6

抛物线典型例题
一、求抛物线的标准方程。 例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程. (1) x 2 ? 4 y (2) x ? ay2 (a ? 0) 解: (1)? p ? 2 ,∴焦点坐标是(0,1) ,准线方程是: y ? ?1 (2)原抛物线方程为: y ?
2

1 1 x ,? 2 p ? a a

p 1 ? ,抛物线开口向右, 2 4a 1 1 ,0) ,准线方程是: x ? ? ∴焦点坐标是 ( . 4a 4a p 1 ②当 a ? 0 时, ? ? ,抛物线开口向左, 2 4a 1 1 ,0) ,准线方程是: x ? ? ∴焦点坐标是 ( . 4a 4a
①当 a ? 0 时, 综合上述,当 a ? 0 时,抛物线 x ? ay2 的焦点坐标为 ( 二、求直线与抛物线相结合的问题 例 2 若直线 y ? kx ? 2 与抛物线 y 2 ? 8x 交于 A、B 两点,且 AB 中点的横坐标为 2,求此直线方 程. 解法一:设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则由: ?

1 1 ,0) ,准线方程是: x ? ? . 4a 4a

? y ? kx ? 2
2

? y ? 8x ∵直线与抛物线相交,?k ? 0 且 ? ? 0 ,则 k ? ?1 . x ? x2 4 k ? 8 ? ?2, ∵AB 中点横坐标为:? 1 2 k2 解得: k ? 2 或 k ? ?1 (舍去) . 故所求直线方程为: y ? 2 x ? 2 .
解法二:设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,则有 y1 ? 8x1
2

可得: k x ? (4k ? 8) x ? 4 ? 0 .
2 2

y2 ? 8x2 . y ? y2 8 ? 两式作差解: ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 8( x1 ? x2 ) ,即 1 . x1 ? x2 y1 ? y2 ? x1 ? x2 ? 4 ? y1 ? y2 ? kx1 ? 2 ? kx2 ? 2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 4 ? 4k ? 4 , 8 ?k ? 故 k ? 2 或 k ? ?1 (舍去) . 4k ? 4 则所求直线方程为: y ? 2 x ? 2 .
2

三、求直线中的参数问题 例 3(1)设抛物线 y ? 4 x 被直线 y ? 2 x ? k 截得的弦长为 3 5 ,求 k 值. (2)以(1)中的弦为底边,以 x 轴上的点 P 为顶点作三角形,当三角形的面积为 9 时,求 P 点 坐标.
2

7

解: (1)由 ?

? y2 ? 4x 得: 4x 2 ? (4k ? 4) x ? k 2 ? 0 ? y ? 2x ? k

设直线与抛物线交于 A( x1 , y1 ) 与 B( x2 , y2 ) 两点.则有: x1 ? x2 ? 1 ? k , x1 ? x2 ?

? AB ? (1 ? 2 2 )(x1 ? x 2 ) 2 ? 5 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 5 (1 ? k ) 2 ? k 2 ? 5(1 ? 2k )

?

?

?

?

k2 4

? AB ? 3 5,? 5(1 ? 2k ) ? 3 5 ,即 k ? ?4
(2)? S ? ? 9 ,底边长为 3 5 ,∴三角形高 h ? ∵点 P 在 x 轴上,∴设 P 点坐标是 ( x0 ,0)

2?9 6 5 ? 5 3 5

2 ?1 . ?x0 ? ?1 或 x0 ? 5 ,即所求 P 点坐标是(-1,0)或(5,0)
2 2

则点 P 到直线 y ? 2 x ? 4 的距离就等于 h,即

2 x0 ? 0 ? 4

?

6 5 5

四、与抛物线有关的最值问题 例 4 定长为 3 的线段 AB 的端点 A 、 B 在抛物线 y 2 ? x 上移动,求 AB 的中点到 y 轴的距离的 最小值,并求出此时 AB 中点的坐标. 解:如图,设 F 是 y 2 ? x 的焦点, A 、 B 两点到准线的垂线分别是 AC 、 BD ,又 M 到准线的 垂线为 MN , C 、 D 和 N 是垂足,则

1 1 1 3 ( AC ? BD ) ? ( AF ? BF ) ? AB ? . 2 2 2 2 1 3 1 5 设 M 点的横坐标为 x ,纵坐标为 y , MN ? x ? ,则 x ? ? ? . 4 2 4 4 等式成立的条件是 AB 过点 F . 5 1 2 当 x ? 时, y1 y2 ? ? P ? ? ,故 4 4 1 2 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? y1 ? y2 ? 2 y1 y2 ? 2 x ? ? 2 , 2 2 . y1 ? y2 ? ? 2 , y ? ? 2 5 5 2 ) ,此时 M 到 y 轴的距离的最小值为 . 所以 M ( , ? 4 4 2 MN ?
8



已知点 M (3 , 2) , F 为抛物线 y 2 ? 2 x 的焦点,点 P 在该抛物线上移动,当 PM ? PF 取最

小值时,点 P 的坐标为__________. 解:如图,

由定义知 PF ? PE ,故 PM ? PF ? PF ? PM ? ME ? MN ? 3

1 . 2

取等号时, M 、 P 、 E 三点共线,∴ P 点纵坐标为 2,代入方程,求出其横坐标为 2, 所以 P 点坐标为 (2 , 2) .

椭圆典型例题
一、已知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。 例 1:已知椭圆的焦点是 F1(0,-1)、F2(0,1),P 是椭圆上一点,并且 PF1+PF2=2F1F2,求椭圆 的标准方程。

二、未知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。 0 例:1. 椭圆的一个顶点为 A?2,? ,其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程. 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出,求椭圆的标准方程。 x2 y2 例.求过点(-3,2)且与椭圆 + =1 有相同焦点的椭圆的标准方程. 9 4

9

四、与直线相结合的问题,求椭圆的标准方程。 例: 已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x ? y ? 1 ? 0 交于 A 、 B 两点, M 为 AB 中 点, OM 的斜率为 0.25,椭圆的短轴长为 2,求椭圆的方程.

五、求椭圆的离心率问题。 例 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.

六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例:1.若△ABC 的两个顶点坐标 A(-4,0),B(4,0),△ABC 的周长为 18,求顶点 C 的轨迹方程。

2.已知椭圆的标准方程是a2+25=1(a>5),它的两焦点分别是 F1,F2,且 F1F2=8,弦 AB 过点 F1,求△ABF2 的周长.

x2

y2

x2 y2 3.设 F1、F2 是椭圆 + =1 的两个焦点,P 是椭圆上的点,且 PF1∶PF2=2∶1,求△PF1F2 的 9 4 面积. 七、直线与椭圆的位置问题 例 已知椭圆

x2 ?1 1? ? y 2 ? 1 ,求过点 P? , ? 且被 P 平分的弦所在的直线方程. 2 ? 2 2?

10

八、椭圆中的最值问题 例 椭圆

x2 y2 ? ? 1 的右焦点为 F ,过点 A 1 3 ,点 M 在椭圆上,当 AM ? 2 MF 为最小值 , 16 12

? ?

时,求点 M 的坐标.

双曲线典型例题
一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。 例 1 讨论

x2 y2 ? ? 1 表示何种圆锥曲线,它们有何共同特征. 25 ? k 9 ? k

二、根据已知条件,求双曲线的标准方程。
例 2 根据下列条件,求双曲线的标准方程.

? 15 ? ? 16 ? ,? 且焦点在坐标轴上. 5 ? 4? ? 3 ? (2) c ? 6 ,经过点(-5,2) ,焦点在 x 轴上. 2 2 x y ? ? 1 有相同焦点,且经过点 3 2, (3)与双曲线 2 16 4
(1)过点 P? 3, ? , Q? ?

?

?

三、求与双曲线有关的角度问题。

x2 y2 ? ? 1 的 右 焦 点 分 别 为 F1 、 F2 , 点 P 在 双 曲 线 上 的 左 支 上 且 9 16 PF PF2 ? 32 ,求 ?F1PF2 的大小. 1
例 3 已知双曲线

题目的“点 P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键,应引起我们的重视,若将这一条件改为“点 P 在双曲线上”结论如何改变呢?

11

四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。 x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足 ?F1PF2 ? 90? ,求 例 4 已知 F1 、 F2 是双曲线 4 ?F1PF2 的面积. 五、根据双曲线的定义求其标准方程。 例 5 已知两点 F1 ?? 5,? 、 F2 ?5,? ,求与它们的距离差的绝对值是 6 的点的轨迹. 0 0



P 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 上一点, F1 、 F2 是双曲线的两个焦点,且 PF ? 17 ,求 PF2 的值. 1 64 36

六、用定义法求与圆有关的双曲线方程。 例 6 求下列动圆圆心 M 的轨迹方程:
2

(1)与⊙ C: ? 2? ? y 2 ? 2 内切,且过点 A?2,? 0 ?x
2
2

(2)与⊙ C:x 2 ? ? y ?1? ? 1和⊙ C2:x2 ? ? y ? 1? ? 4 都外切. 1
2
2

(3)与⊙ C: ? 3? ? y 2 ? 9 外切,且与⊙ C2: ? 3? ? y 2 ? 1 内切. ?x 1 ?x

抛物线典型例题
一、求抛物线的标准方程。 例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程. (1) x ? 4 y (2) x ? ay (a ? 0) 分析: (1)先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种,求出 p,再写出焦点坐标和准线方程. (2)先把方程化为标准方程形式,再对 a 进行讨论,确定是哪一种后,求 p 及焦点坐标与准线方
2 2

程.

二、求直线与抛物线相结合的问题 例 2 若直线 y ? kx ? 2 与抛物线 y ? 8x 交于 A、B 两点,且 AB 中点的横坐标为 2,求此直线方
2

程.

12

三、求直线中的参数问题 例 3(1)设抛物线 y 2 ? 4 x 被直线 y ? 2 x ? k 截得的弦长为 3 5 ,求 k 值. (2)以(1)中的弦为底边,以 x 轴上的点 P 为顶点作三角形,当三角形的面积为 9 时,求 P 点 坐标.

四、与抛物线有关的最值问题 例 4 定长为 3 的线段 AB 的端点 A 、 B 在抛物线 y 2 ? x 上移动,求 AB 的中点到 y 轴的距离的 最小值,并求出此时 AB 中点的坐标.



已知点 M (3 , 2) , F 为抛物线 y ? 2 x 的焦点,点 P 在该抛物线上移动,当 PM ? PF 取最
2

小值时,点 P 的坐标为__________.

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椭圆、双曲线。抛物线典型例题整理

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椭圆双曲线典型例题整理

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经典椭圆双曲线抛物线,重点题型

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椭圆_双曲线_抛物线知识点 练习题(精心整理)

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椭圆,双曲线,抛物线练习题及答案

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高中数学椭圆双曲线和抛物线的总结及例题精讲

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圆锥曲线--椭圆,双曲线、抛物线的经典题型和相关练习

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