nbhkdz.com冰点文库

湖北黄冈中学、黄石二中2011届高三数学联考 理

时间:2011-03-15


湖北省黄冈中学、黄石二中 2011 届 高 三 联 考数学试题(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的) 1.若 A = {2,3,4},B = {x | x = n·m,m,n∈A,m≠n},则集合 B 的元素个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 2.已知 S n 是等差数

列 {an } 的前 n 项和,且 S11 ? 35 ? S 6 , 则S17 的值为 A.117 B.118 C.119 D.120 ( )

3. 已知函数 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b)(其中 a ? b ) 的图象如下面右图所示, 则函数 g ( x) ? a x ? b 的图象是 f(x) ( )

A.

B.

C.

D. ( )

4.已知 p : ?x | 2x ? 3 ? 1? , q : x | x 2 ? x ? 6 ? 0 ,则 ?p 是 ?q 的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

?

?

5. 由函数 f ( x) ? sin 2 x的图象得到 g ( x) ? cos( 2 x ?

?
6

)的图象 , 需要将 f ( x) 的图象(



? 个单位 3 ? C.向右平移 个单位 3
A.向左平移

? 个单位 6 ? D.向右平移 个单位 6
B.向左平移

6.已知 x>0,y>0,x+3y=1,则

1 1 ? 的最小值是 x 3y
C.4 D. 2 3





A. 2 2

B.2

7.在 ?ABC 中, AB ? BC ? 3, ?ABC 的面积 S?ABC ? [

??? ??? ? ?

? ??? ??? ? 3 3 , ] ,则 AB 与 BC 夹角的取值范围是 2 2
( )

A. [

? ?

, ] 4 3

B. [

? ?

, ] 6 4

C. [

? ?

, ] 6 3

D. [

? ?

, ] 3 2

8.车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数,单位为 辆/分,上班高峰期某十字
-1-

路口的车流量由函数 F(t)=50+4sin

t (其中 0≤t≤20)给出,F(t)的单位是辆/分, 2
( D.[15,20] ( ) )

t 的单位是分,则在下列哪个时间段内车流量是增加的 A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15] 9.函数 y ?| x ? 1| ? | x ? 2 | ??? | x ? 2011| A.图象无对称轴,且在 R 上不单调 B.图象无对称轴,且在 R 上单调递增 C.图象有对称轴,且在对称轴右侧不单调 D.图象有对称轴,且在对称轴右侧单调递增 10.记集合 T ? ?0,1, 2,3, 4,5,6?, M ? ?

? a1 a2 a3 a4 ? ? 2 ? 3 ? 4 ai ? T , i ? 1, 2,3, 4? ,将 M 中 7 7 ?7 7 ?
( )

的元素按从大到小的顺序排列,则第 2011 个数是

1 1 0 1 ? 2 ? 3? 4 7 7 7 7 1 1 0 0 C. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7
A. 11.不等式

1 0 6 5 ? ? ? 7 7 2 73 7 4 1 0 6 6 D. ? 2 ? 3 ? 4 7 7 7 7
B.

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分)

( x ? 1)( x ? 1) ? 0 的解集为____________. x

12.已知两点 P(4, ?9) , Q(?2,3) ,则直线 PQ 与 y 轴的交点分有向线段 PQ 的比为 13.已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a 5 ? 14. 对于函数

??? ?

. .

1 , 则 a1a2 ? a2 a3 ? ? ? an an?1 = 4

f ( x) ? ax 2 ? bx , 存在一个正数 b ,使得 f ( x ) 的定义域和值域相同, 则非零
3

实数 a 的值为__________.

?? ? ? ?? ? 15.若 ? ??0, ? ? , ? ? ? ? , ? ,λ∈R,且 ? ? ? ? ? cos ? ? 2? ? 0 , 2? ? 4 4? ?
?? ? 4? 3 ? sin ? cos ? ? ? ? 0 ,则 cos ? ? ? ? 的值为= ?2 ?


三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 10 分) 已知 f ( x) ? 2cos2 x ? 2 3sin x cos x ? a , a 为实常数。 (I)求 f ( x ) 的最小正周期; (II)若 f ( x ) 在 [ ?

? ?

, ] 上最大值与最小值之和为 3,求 a 的值。 6 3

-2-

17. (本题满分 12 分)

?ABC 中内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,
向量 m ? (2sin B, ? 3), n ? (cos 2 B, 2 cos (Ⅰ)求锐角 B 的大小, (Ⅱ)如果 b ? 2 ,求 ?ABC 的面积 S?ABC 的最大值

??

?

2

?? ? B ? 1) 且 m / / n 2

18. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? b 1 ? x 2 ( x ? 0) ,且函数 f ( x)与g ( x) 的图象关于直线 y ? x 对 称,又 f ( 3) ? 2 ? 3, g (1) ? 0 . (1)求 f ( x ) 的值域; (2)是否存在实数 m ,使命题 p : f (m ? m) ? f (3m ? 4) 和 q : g (
2

m ?1 3 )? 满足复合命 4 4

题 p且q 为真命题? 若存在, 求出 m 的范围; 若不存在, 说明理由.

19. (本题满分 14 分) 随着国家政策对节能环保型小排量车的调整,两款 1.1 升排量的 Q 型车、R 型车的销 量引起市场的关注。已知 2010 年 1 月 Q 型车的销量为 a 辆,通过分析预测,若以 2010 年 1 月为第 1 月,其后两年内 Q 型车每月的销量都将以 1%的比率增长,而 R 型车前 n 个月的销售总量 Tn 大致满足关系式: Tn ? 228a(1.01 ?1) . (n ? 24, n ? N )
2n
?

(1)求 Q 型车前 n 个月的销售总量 Sn 的表达式; (2)比较两款车前 n 个月的销售总量 Sn 与 Tn 的大小关系;
-3-

(3)试问从第几个月开始 Q 型车的月销售量小于 R 型车月销售量的 20%,并说明理由. (参考数据

5 ? 1.09 4.5828

lg1.09 ? 8.66 ) lg1.01

20. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? log4 (4x ?1) ? kx (k ? R) 是偶函数. (1)求 k 的值; (2)设 g ( x) ? log 4 (a ? 2 ?
x

4 a) ,若函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点,求实数 3

a 的取值范围.

21. (本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, 且 an ? 2 ? (1 ? 2 cos (1)求 a2k - 1 (k ? N + ) ; (2)数列 { yn },{bn } 满足 yn ? a2n?1 , b1 ? y1 ,且 当n ? 2 时

n? n? )an ? sin , n ? N ?, 2 2

bn ? yn 2 (

1 1 1 ? 2 ??? ). 2 y1 y2 yn?12
bn ?1 b 1 ? n ? 2; 2 2 (n ? 1) n n

证明当 n ? 2 时,

-4-

(3)在(2)的条件下,试比较 (1 ?

1 1 1 1 ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ?? ? (1 ? ) 与 4 的大小关系. b1 b2 b3 bn

参考答案

-5-

1-5

BCAAB

6-10CBCDB

11. (??, ?1) ? (0,1) 12.2

32 (1 ? 4? n ) 3 14. a ? ?4
13. 2 15. 2 16.解: (I) f ( x) ? 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? a ? 2sin(2 x ? 所以 f ( x ) 的最小正周期 T ? ? ; (II)? x ? [?

?
6

) ?1? a
………………………5 分

? ?
6 3 ,

] , 则 2x ?

?
6

? [?

? 5?
6 , 6

]

? 1 ? sin(2 x ? ) ? [ ? , 1] 6 2

所以 f ( x ) 是最大值为 3 ? a ,最小值为 a 依题意有: 3 ? 2a ? 3 ,

? a?0
2

………………………10 分

17.解: (1)? m // n ? 2 sin B(2 cos

?

?

B ? 1) ? ? 3 cos 2 B 2

? sin 2B ? ? 3 cos2B



t a nB ? ? 3 2

又? B 为锐角 ? 2B ? ?0, ? ?

? 2B ?

2? 3

?B ?

?
3

……………………………………6 分

a2 ? c2 ? b2 得 (2)? B ? , b ? 2,由余弦定理cos B ? 3 2ac
a 2 ? c 2 ? ac ? 4 ? 0
2 2 又? a ? c ? 2ac 代入上式得: ac ? 4 (当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立。 )

?

S ?ABC ?

1 3 ac s i n ? B ac ? 3 (当且仅当 a ? c ? 2 时等号成立。 )………12 分 2 4

18. (1)由 f ( 3) ? 2 ? 3, f (0) ?1, 得a ? ?1, b ?1 , 于是 f ( x) ? 1 ? x 2 ? x( x ? 0) ------------------------------------3 分

-6-

由 f ( x) ?

1 1 ? x2 ? x

,此函数在 ?0,??? 是单调减函数,

从而 f ( x ) 的值域为 (0,1] 。------------------------------6 分 (2) 假定存在的实数 m 满足题设,即 f(m2-m) ? f(3m ? 4)和 g ( 又 f( )??

m ?1 3 ) ? 都成立 4 4

3 4

3 3 1 ? 1 ? ( )2 ? 4 4 2

g ∴ ( )?

1 2

3 , 4

g ∴(

m ?1 1 ) ? g ( ) ---------8 分 4 2

由 f ( x ) 的值域为 (0,1] ,则 g ( x) 的定义域为 (0,1] 已证 f ( x ) 在 [0, ??) 上是减函数,则 g ( x) 在 (0,1] 也是减函数, 由减函数的定义得

?m2 ? m ? 3m ? 4 ? 0 ? ? m ?1 1 ? ?1 ?0 ? ? 4 2
解得,

-------------------------------------------------11 分

4 ? m ? 3且m≠ 2 . 3 4 3

因此存在实数 m 使得命题: p 且 q 为真命题, 且 m 的取值范围为 [ , 2) ? (2,3) .------12 分 19.解: (1)Q 型车每月的销售量{ an }足以首项 a1 = a, 公比 q = 1+1%= 1.01 的等比数列...(2 分) ...

? 前 n 个月的销售总量 Sn ?

a(1.01n ? 1) ? 100a(1.01n ? 1), (n ? N * , 且n ? 24) 1.01 ? 1
...(4 分) ...

(2) ? Sn ? Tn ? 100a(1.01n ?1) ? 228a(1.012n ?1)

? 100a(1.01n ? 1) ? 228a(1.01n ? 1)(1.01n ? 1) ? ?228a(1.01n ? 1) ? (1.01n ?
又 1.01 ? 1 ? 0,1.01 ?
n n

32 ) 57

32 ? 0,? Sn ? Tn 57

......... (9 分) .........
n?1

(3)记 Q、R 两款车第 n 个月的销量分别为 an 和 bn ,则 an ? a ?1.01 当 n≥2 时, bn ? Tn ? Tn?1 ? 228a(1.01 ?1) ?228 a(1.01
2n 2 n?2

?1)

......... ? 228a ? (1.012 ?1) ?1.012n?2 ? 4.5828a1.012n?2 .........(10 分)

-7-

b1 ? 4.5828a(或228 ? 0.0201a), 显然20% ? b1 ? a1
当 n≥2 时,若 an ? 20% ? bn , a ?1.01
n ?1

1 ? ? 4.5828a ?1.012 n ? 2 5

1.012( n?1) ?

5 5 lg1.09 ?1.01n?1 ,1.01n?1 ? ? 1.09, n ? 1 ? ? 8.66 4.5828 4.5828 lg1.01
.... ...(14 分)

? n≥10,即从第 10 个月开始,Q 型车月销售量小于 R 型车月销售量的 20%.
20.解: (1)由函数 f ( x ) 是偶函数可知: f ( x) ? f (? x)

?log4 (4x ?1) ? kx ? log4 (4? x ?1) ? kx
log 4 4x ? 1 ? ?2kx 即 x ? ?2kx 对一切 x ? R 恒成立 4? x ? 1
1 2

………………………2 分

………………………4 分

?k ? ?

………………………5 分

(2)函数 f ( x) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点

1 4 x ? log 4 (a ? 2 x ? a) 有且只有一个实根 …………………7 分 2 3 1 4 x x 化简得:方程 2 ? x ? a ? 2 ? a 有且只有一个实根 2 3 4 2 x 令 t ? 2 ? 0 ,则方程 ( a ? 1)t ? at ? 1 ? 0 有且只有一个正根 ………………9 分 3 3 ① a ? 1 ? t ? ? ,不合题意; ………………………10 分 4 3 ② ? ? 0 ? a ? 或 ?3 ………………………11 分 4 3 1 1 若 a ? ? t ? ? ,不合题意;若 a ? ?3 ? t ? ………………………12 分 4 2 2 ?1 ? 0 ? a ?1 ③一个正根与一个负根,即 a ?1
即方程 log 4 (4 ? 1) ?
x

综上:实数 a 的取值范围是 ??3? ? (1, ??) ………………………13 分 21. (1)设 n = 2k - 1, k 由 a2 k + 1 = (1 + 2 cos
? a2k + 1 a2k - 1 = 1. N*.

(2k - 1)p (2k - 1)p )a2 k - 1 + sin = a2 k - 1 + 1 2 2

∴当 k ? N* 时,数列 {a2k - 1} 为等差数列.
-8-

∴ a2k - 1 = a1 + (k - 1) ? 1 = k. (2)证: yn ? a2n?1 ? n 当 n ? 2 时, 由 bn ? yn (
2

……(4 分)

b 1 1 1 1 1 1 , ? 2 ??? ) ,得 n2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 2 y1 y2 yn?1 yn y1 y2 yn?12



bn 1 1 1 ……① ? 2 ? 2 ??? 2 n 1 2 (n ? 1) 2 bn ?1 1 1 1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ……② 2 (n ? 1) 1 2 n bn ?1 b 1 ? n ? 2 ,得证. 2 2 (n ? 1) n n
……(6 分)



②式减①式,有

……(8 分)

(3)解:当 n ? 1 时, 1 ?

1 ? 2? 4; b1

当 n ? 2 时, (1 ?

1 1 5 )(1 ? ) ? 2 ? ? 4 , b1 b2 4

由(2)知,当 n ? 2 时,

bn?1 1? b 1 ? bn n2 , ? 2n ? ? (n ? 1)2 n bn?1 (n ? 1)2

∴当 n ? 3 时, (1 ?

1 1 1 1 ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ?? ? (1 ? ) b1 b2 b3 bn

?

1 ? bn 1 ? b1 1 1 ? b2 1 ? b3 1 ? bn?1 1 ? b1 1 ? b2 1 ? b3 ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? (1 ? bn ) b1 b2 b3 bn b1 b2 b3 b4 bn

1 22 32 (n ? 1)2 n2 1 1 1 1 ? 2 ? ? 2 ? 2 ?? ? b ? 2[1 ? 2 ? 2 ? ? ? ? 2] 2 2 n ?1 2 4 3 4 n (n ? 1) 2 3 (n ? 1) n


1 1 1 1 ? ? ? (n ? 2) , 2 n n(n ? 1) n ? 1 n
1 2 1 1 2 3 1 1 1 2 ? )] ? 2(2 ? ) ? 4 ? ? 4 , n ?1 n n n
……(14 分)

∴上式 ? 2[1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ∴ (1 ?

1 1 1 1 ) ? (1 ? ) ? (1 ? ) ??? (1 ? ) ? 4 . b1 b2 b3 bn

-9-


湖北黄冈中学、黄石二中2011届高三数学联考 文

湖北黄冈中学黄石二中2011届高三数学联考湖北黄冈中学黄石二中2011届高三数学联考 文隐藏>> 湖北省黄冈中学、 考数学试题(文科) 湖北省黄冈中学、黄石二中 20...

湖北黄冈中学、黄石二中2011届高三联考(英语)

湖北黄冈中学黄石二中2011届高三联考(英语)_数学_高中教育_教育专区。湖北省...湖北省黄冈中学黄石二中 2011 届高三联考 英语试题 考试时间:2010 年 11 月...

2010-2011湖北省黄冈中学黄石二中 高三年级联考[数学试...

2010-2011湖北省黄冈中学黄石二中 高三年级联考[数学试题(理科) 收集了2011届各地高三数学期中考试卷,希望对大家有帮助!收集了2011届各地高三数学期中考试卷,希望对大...

湖北黄冈中学、黄石二中2011届高三理综联考【会员独享】

湖北黄冈中学黄石二中2011届高三理综联考【会员独享】_调查/报告_表格/模板_实用文档。高中名校试题 湖北省黄冈中学黄石二中 2011 届高三联 考理科综合能力测试...

黄冈中学、黄石二中2011届高三上学期期中联考—数学(理...

黄冈中学黄石二中2011届高三上学期期中联考数学()试题(word版) 黄冈中学黄石二中2011届高三上学期期中联考数学()试题(word版)黄冈中学、黄石二中2011届...

湖北黄冈中学、黄石二中2011届高三联考(理综)

湖北黄冈中学黄石二中2011届高三联考(理综)_哲学/历史_人文社科_专业资料。高考试题 高考资源网(ks5u.com) 您身边的高考专家 湖北省黄冈中学、黄石二中 2011 届...

湖北黄冈中学、黄石二中2011届高三上学期期中联考文综...

湖北省黄冈中学黄石二中 2011 届高三年级联考 文科综合能力测试考试时间:2010 年 11 月 19 日上午 9:00—11:30 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)...

2010-2011湖北省黄冈中学黄石二中高三年级联考数学试题...

2010-2011湖北省黄冈中学黄石二中高三年级联考数学试题(文科) 收集了2011届各地高三数学期中考试卷,希望对大家有帮助!收集了2011届各地高三数学期中考试卷,希望对大家...

湖北省黄冈中学、黄石二中、鄂州高中2014届高三11月联...

湖北省黄冈中学黄石二中、鄂州高中2014届高三11月联考数学理试题 Word版含答案 隐藏>> 黄冈中学 黄石二中 鄂州高中 2014 届高三三校联考 数学试卷(理科)命题学校...

湖北黄冈中学、黄石二中2011届高三语文联考【会员独享】

湖北黄冈中学黄石二中2011届高三语文联考【会员独享】_调查/报告_表格/模板_实用文档。高中名校试题 湖北省黄冈中学湖北省黄冈中学、黄石二中 2011 届高 三联 ...