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关于函数的一些似是而非的命题


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2 O O 3年 第 7 期 

中学数 学研 究 

关 于 函数 的 一 些 似 是 而 非 的 命 题  
陕 西 汉 中 中学 ( 7 2 3 o o o ) 韩 富 万 
0 ,  ∈ R等 .  

笔者在教学 中发

现很多学生 由于对 函数 的  概念 缺乏深 刻 的理解 , 而形 成一 些似是 而非 的  认识 , 现举数例供参考 .   1 . 若 函数 f 【  ) 为奇 函数 . 则有 f ( 0 ) =0 .  

4 . 函数 f (  ) 在[ 口 , b 】 上 有意 义 , 则 它的定  义域为 [ 口 , b 】 .   辩析 : 设 函数 Y=, (  ) 的定 义 域 为 A, 则  , (  ) 在[ 口 , b ] 上 有意 义 , 只能说 明[ 口 , b ] cA,   不 能说 明 [ 口, b ] =A. 如 , , =   在( 0 , +∞) 有意 
义, 而 其定义 域为 R.   5 . 若 函数 , , = ,(  ) 在 几 个 区 间上 单 调 性 相  同. 那 么这 个 函 数 在 这 几 个 区 间 的 并 集 上 单 调  性不变 .   辩析 : 函 数 f( 茹 ) 在 某 区 间 上 单 调 递 增  ( 减) , 则在该 区间的子区 间上单调性不变 , 反之 
1  



辩析 : 只有 . 厂 (  ) 在 =0 有 意义 时( 即0 在  厂 (  ) 的定义域 内) 才有 f < o ) = 0 .  
2 . 儡 函数 没 有 反 函数 .  

辩析 : 这 是 一 条 十 分 流 行 的错 误 , 很 多 书 上 

把它列 为反 函数 的一条 性质 . 反例 : . 厂 (  ) =1 ,   ∈{ 0 } . 因为 , ( 一0 ) = , ( 0 ) =1 , 所 以它是偶 函 

数, 但. 厂 (  ) 有反 函数 .  
3 . 既 奇 又 偶 的 函数 只 有 唯 一 的 一 个 : , (  )  


0.  

辩析 : 既奇又偶 的函数解 析式 只能是 , (  )   = 0 , 但考 虑到 定义 域可 变 , 故 既奇 又偶 的函数  不是唯一 的 , 如:   ) =0 ,  ∈ [一1 , 1 ] ; 厂(  ) =  

不真. 如, , = {在( 一∞, 0 ) 和( 0 , +∞) 上均递 
减, 但在 ( 一∞, 0 ) U( 0 , +∞) 上不是减 函数 .   6 . 只 有 单调 递 增 【 减) 函数 才 有 反 函数 .  

后一位的排法有 A ; 种, 而学生 乙排在最后一  位, 学生甲排在第一位 的排法也有 A ; 种, 这里 
重复 了 A 3 种.  

有 c i ? c i 种方法.  
剖析 : 设 4个 男 生 为 A、 B、 C 、 D, 4个 女 生 

为甲、 乙、 丙、 丁, 先 从 4个 男生 中取 2 人, 可 能  是A 、 B, 再从 4 个 女生 中取 2 人, 可能是 甲、 乙,   此 时两组 为 A 、 B 、 甲、 乙与 C 、 D、 丙、 丁; 另一方  面先从 4 个男生 中取 2 人, 可能是 C 、 D, 再从 4   个 女生中取 2 人, 可能是丙 、 丁, 此时两 组为 C 、   D、 丙、 丁 与 A、 B、 甲、 乙, 这 两 种 分 组 方 法 实 际  上是 同一种 , 因而出现 了重 复 1  
1  

正解一 :   一 2  + A ; = 7 s ( 种) .  
正解二 : 按 学生 甲的位置进行分类讨论 .   ① 当学生 甲排在 最后 一 位 , 其余 4个 学生  有  种 排法 ;   ② 当学生 甲排在第 2 、 3 、 4位 中的任意一个  位 置时有  种 方法 , 学生 乙不 排在 最后 一位有 

A ; 种方法 , 其余 3 个学生有 A ; 种排法.  

正解 : 寺c i ? c i =1 8 ( 种) .  
解有关排 列组合 应 用题 , 要 注意 准确 地 应  用 两个基 本原 理 , 要 注 意准确 区分是 排列 问题  还是组合 问题 , 要 注意利用直接法解题 的同时 ,   也要 根据 问题 的实际恰 当地 利用 间接法解 题 ,   还可 以变换 角度 , 利 用一题 多解 的方法 核对 答 
案, 这样 能有效 地避免解题 出错 . 口  

共有 : A : + A ; ? A ; ? A ; = 7 8 ( 种) .  
饲 5 某小组有男生 4 人女 生 4 人, 现欲把  这8 个人平 均分成 两个 小组 , 两 组 中男女 人数  必须 相等 , 问有 多少种 不同分法 ?  

错解 : 先从 4个男 生 中选 2 人, 有 c i 种 方 
法, 再从 4 个女 生中选 2 X, 也有  种方法 , 共 


40 ?  

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中学数 学研 究 

2 0 0 3年 第 7期 

让   向  量









数  学 

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向量作 为一个 重要 工具 进入 高 中教 材 , 新  思想 、 新方法与 时俱 进 , 为高 中数学 、 竞 赛 数学  增添 了动力 . 利用 向量 便 于揭示 数量 关 系——  数形结合 、 定性 问题 定 量化 、 实 现快 速解 题 , 可  使众 多竞赛 问题 的解 决 变得 简洁 明快 . 本文 通  过 实例 探讨 怎样运 用 向量方 法 , 简捷有 效地 解  决竞 赛数学 中 的平 面 几何 问题 , 让 向量 在竞 赛  数学 中发挥重要 作用 .   1 . 利用数量 积求几何最值  即首先依据几 何 量 的特征 恰 当构 造 向量 ,   再利用数量积不等式 (  ?  )   ≤I  1   ? I 苔1  确 定 

( 2 6 2 1 0 0 )   邹  明 
几 何 量 的最 值 .  

例 1   ( 第 2 2届 / MO试 题 ) 设 P 为 给定  AA B C内一动点 , P到三边 a 、 b 、 c的距离 分别 

记 为 r l  ̄ / ' 2 、 r 3 , 试 求 使 署+ 鱼 r 2 + 旦 r 3 的 值 为 最 小  
的 点 P.  

解: 记 AA B C的面积 为定值 I s , 则 t T t l r l +6 r 2   +盯 3 = 2 8为定值 , 周 长 口+b+c为定值 . 令 


(   ,   _ 2 ,   _ 3 ) , 声 = ( √ 署 , √  ,  

√ 丢 ) . ? .   ( - d ?   )   ≤ I   I   I  ̄ 1 2 , l i p ( 口 + 6 + c )   ≤  
本身 , 故 它们 图象 上每一个 点都 是 原函数与 反  函数 图象 的公 共点 , 但 并非 都在 直线 Y=  上 ,  
一  2 

辩析 : 单 调 递增 ( 减) 函数 中 , 一个  只对 

应一个 Y , 因此它必有 反 函数 , 但有反 函数 的函 

数未必是单调递增( 减) 函数, 如Y = {和 
y = 

又如 函数 Y=、 / / 一3 x+ 7 的反 函数 是 Y=   (  ≥0 ) , 易知 P ( 1 , 2 ) 和 0( 2 , 1 ) 既在 原 函数 图  象上 , 又在 反 函数 图象 上 , 但 P和 Q都不 在 直  线 Y=  上 .  
9 . 设 Y= 厂  (  ) 是 函 数 Y= , (  ) 的反 函  数, 则有  - 1 (  ) 】 - _ / - 1 【   ) 】 =  .  

: ’ - 0   。 都 有 反 函 数 , 但 它 们 不 是  

单调递增 ( 减) 函数 .  

7 . 若 函数  ) 存 在最大值  和最小值 m,   则 其值域为 【 m,  】 .   辩析 : 对 于图象没有断点 的函数 , 上述命题  为真 , 否则不真 , 如 函数 , , =   +1 ,  ∈ [ 一1 , 1 ]   且  ≠0 , 有 , , 最 大 值 =2 ,   小 值=0 , 但其 值 域 不  是[ 0 , 2 ] , 而是 [ 0 , 1 ) U( 1 , 2 ] , 其逆命 题 ‘ 喏 函数  ) 值域 为 [ m, M] , 则 , ,  I 值 =M, Y t a  ̄t =  
n l ” 正确 .   8 . 函数 与 它 的 反 函 数 的 图 象 如 果 有 交 点 。  

辩析 : 设 Y= , (  ) ,   ∈A, Y ∈  ( B 为 值  域) , 存在反 函数 Y=厂  (  ) ,   ∈B, Y ∈A, 则  有厂  ) ] =  (  ∈A ) 和  厂   (  ) ] =  , (   ∈   成立 ( 读 者可 自证 ) .   当 An   B=c≠   时, 在 c上 厂   (  ) ] =  
厂  [   > ] =  才 成立 ;   当 AnB=   时, 厂  [   ) ] ≠  厂   (   ) ] .   如  ) =  2 ,  ∈( 0 , 2 ) 的反 函数是 

则 交 点 必 在 直 线 Y=  上 。  

辩析 : 该命 题常被用来“ 妙 解” 某些题 目, 其  实该 命 题不真 . 如 函数 Y=   和 函数 , , =  

厂  (  ) = √  ,  ∈( 0 , 4 ) , 则在 ( 0 , 2 ) 上有  厂  [   ) ] = , [ 厂  (  ) ] =  ; 但 函数 Y= = .  ,   ∈( 2 , 4 ) 的反 函数 Y= √  ,  ∈ ( 4 , 1 6 ) , 由于 ( 2 ,  

( 口 ∈  , 口 ≠ 0 , 口 ≠1 , 口 ≠{) 的反函数还是它们  4 ) n( 4 , 1 6 ) =  , 故 尢厂 -   (   ) ] ≠ 厂 
?

) ] . 口  
41 ?  


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