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高三数学章节训练题34:圆锥曲线与方程

时间:2011-12-26


高三数学章节训练题 34《圆锥曲线与方程》
时量:60 分钟 满分:80 分 班级: 姓名: 计分: 个人目标:□优秀(70’~80’) □良好(60’~69’) □合格(50’~59’) 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 1.若椭圆经过原点,且焦点为 F (1,0), F2 (3,0) ,则其离心率为 ( 1 A.

>)

2.设过点 P?x, y ? 的直线分别 与 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A 、 B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称, O 为坐标原点,若 BP ? 2 PA ,且 OQ ? AB ? 1 ,则 P 点的轨迹方程是( A. 3 x ?
2

3 4

B.

2 3

C.

1 2

D.

1 4



3 2 y ? 1?x ? 0, y ? 0? 2

B. 3x ?
2

3 2 y ? 1?x ? 0, y ? 0? 2

3 2 3 2 2 x ? 3 y 2 ? 1?x ? 0, y ? 0? D. x ? 3 y ? 1? x ? 0, y ? 0 ? 2 2 3. 已知双曲线 3x 2 ? y 2 ? 9 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等于
C. ( ) A. 2 B.
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2 3 C. 2 D.4 3 4.与 y 轴相切 且和半圆 x2 ? y 2 ? 4(0 ? x ? 2) 内切的动圆圆心的轨迹方程是
A. y ? ?4( x ?1)(0 ? x ? 1)
2





[来源:学科网 ZXXK]

B. y ? 4( x ?1)(0 ? x ? 1)
2

C. y ? 4( x ? 1)(0 ? x ? 1)
2

D. y 2 ? ?2( x ?1)(0 ? x ? 1)
2 2

5.直线 y ? 2k 与曲线 9k x ? y ? 18k x
2 2

(k ? R, 且k ? 0) 的公共点的个数为






A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2 2 2 2 x y x y 6.曲线 ? ? 1(5 ? m ? 9) 的 ? ? 1(m ? 6) 与曲线 5?m 9?m 10 ? m 6 ? m A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.准线相同 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 7.椭圆



x2 y 2 ? ? 1 的两个焦点为 F1 , F2 ,点 P 在椭圆上.如果线段 PF1 的中点在 y 轴上,那么 | PF1 | 是 12 3 | PF2 | 的______________倍.

x2 y 2 + = 1 的长轴 AB 分成 8 等 分,过每个分点 25 16 作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1,P2,…,P7 七个点,F 是 椭圆的焦点,则|P1F|+|P2F|+… +|P7F|= . N 9 . 已 知 两 点 M (? 5 , 0 ) , ( 5 ,, 0 ) 出 下 列 直 线 方 程 : ① 5x ? 3 y ? 0 ; ② 5 x ? 3 y ? 52 ? 0 ; ③ 给

8.如图把椭圆

x ? y ? 4 ? 0 .则在直线上存在点 P 满足 | MP |?| PN | ? 6 的所有直线方程是_______.(只填序
号) 10.以下四个关于圆锥曲线的命题中: ①设 A、B 为两个定点,k 为非零常数, | PA | ? | PB |? k ,则动点 P 的轨迹为椭圆; ②过定圆 C 上一定点 A 作圆的动点弦 AB,O 为坐标原点,若 OP ? 迹为椭圆;

??? ?

? ? 1 ??? ??? (OA ? OB ), 则动点 P 的轨 2

a a2 和定点 F (?c,0) 的距离之比为 (c ? a ? 0) 的点的轨迹是双曲线的左半支; c c 2 ④方程 2 x ? 7 x ? 2 ? 0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
③到定直线 x ? ? 其中真命题的序号为 (写出所有真命题的 三、解答题 :(本大题共 2 小题,满分 30 分) 11.(本小题满分 14 分)已知抛物线 y 2 ? 8x ,是否存在过点 Q(1,1) 的弦 AB ,使 AB 恰被 Q 平分.若 存在,请求 AB 所在直线的方程;若不存在,请说明理由.

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12.(本小题满分 16 分)设 x, y ? R , i, j 为直角坐标平面内 x, y 轴正方向上的单位向量,若向量
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??

? ? ? ? ? ? ? ? a ? xi ? ( y ? 2) j , b ? xi ? ( y ? 2) j ,且 | a | ? | b |? 8 . (1) 求点 M ( x, y ) 的轨迹 C 的方程; ??? ??? ??? ? ? ? (2) 过点(0,3)作直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,设 OP ? OA ? OB ,是否存在这样的直线 l ,使得四 边形 OAPB 是矩形?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,试说明理由.

高三数学章节训练题 34《圆锥曲线与方程》答案 一、 选择题 1、C 2、D 3、C 4、A 5、D 6、A

2.D.由 BP ? 2 PA 及

A, B 分别在 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴上知, A( x, 0), B(0,3 y) ,

3 2

???? ??? ? 3 3 OQ ? AB ? (? x,3 y ) ? (? x, y ) ? x 2 ? 3 y 2 ? 1( x ? 0, y ? 0) 2 2
二、 填空题 7.7 倍.

??? ? ???? 3 AB ? (? x,3 y ) , 由 点 Q 与 点 P 关 于 y 轴 对 称 知 , Q(? x, y ), OQ = (? x, y ) , 则 2

由已知椭圆的方程得 a ? 2 3, b ? 3, c ? 3, F (?3,0), F2 (3,0) .由于 焦点 F1和F2 1

关于 y 轴对称,所以 PF2 必垂直于 x 轴 .所以

P(3,

3 3 3 7 3 ,所以 | PF2 |? 7 | PF | . ),| PF2 |? ,| PF1 |? (3 ? 3) 2 ? ( ) 2 ? 1 2 2 2 2

8.35. 设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),…,P7(x7,y7),所以根据对称关系 x1+x2+…+x7=0,于是 |P1F|+|P2F|+…+|P7F|=a+ex1+a+ex2+…+a+ex7=7a+e(x1+x2+…+x7)= 7a=35,所以 应填 35. 9.②③. 由 | MP | ? | PN |? 6 可知点 P 在双曲线

x2 y 2 ? ? 1 的右支上,故只要判断直线与双曲线 9 16

4 5 4 x ,直线①过原点且斜率 ? ,所以直线① 3 3 3 52 与双曲线无交点;直线②与直线①平行,且在 y 轴上的截距为 ? 故与双曲线的右支有两个交点; 3 4 直线③的斜率 1 ? ,故与双曲线的右支有一个交点. 3
右支的交点个数.因为双曲线的渐近线方程为 y ? ? 10.④ 三、解答题 11.假设存在这样的直线,则直线的斜率一定存在,设为 k ,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 在抛物线上,所以

? y12 ? 8 x1 ( y ? y2 ) ? ,两式作差得, ( y1 ? y2 )( y1 ? y2 ) ? 8( x1 ? x2 ) ,即 ( y1 ? y2 ) 1 ? 8 ,解得 k ? 4 ,故 ? 2 x1 ? x2 ? y 2 ? 8 x2 ?
直线方程为 y ? 1 ? 4( x ? 1) ,即 y ? 4 x ? 3 .经验证,直线符合条件.
2 2 12. (1)由 | a| ?| b ? ,得 x ? ( y ? 2) ? | 8

?

?

x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 8 ? 4 ,设 F1 (0, ?2), F2 (0, 2) 则动点 M

满足 | MF | ? | MF2 |? 8 ? 4 ?| F F2 |,所以点 M 在椭圆上,且椭圆的 a ? 4, c ? 2, b ? 2 3 .所以轨 1 1 迹 C 的方程为

y 2 x2 ? ? 1. 16 12

? y ? kx ? 3 ? ( 2 ) 设 直 线 的 斜 率 为 k , 则 直 线 方 程 为 y ? kx ? 3 , 联 立 方 程 组 ? y 2 x 2 消去 y ?1 ? ? ? 16 12
得 :

(4 ? 3k 2 ) x2 ? 18kx ? 21 ? 0 , ? ? (18k )2 ? 84(4 ? 3k 2 ) ? 0 恒 成 立 , 设

??? ??? ? ? 18k 21 , x1 x2 ? .由 AP ? OB ,所以四边形 OAPB 4 ? 3k 2 4 ? 3k 2 为 平 行 四 边 形 . 若 存 在 直 线 l , 使 四 边 形 OAPB 为 矩 形 , 则 OA ? OB , 即

A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? ?

??? ??? ? ? 5 ,所以直线 l 的方 OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? (1? k 2 ) x1x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 9 ? 0 ,解得 k ? ? 4
程为 y ? ?

5 x ? 3 ,此时四边形 OAPB 为矩形. 4


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