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12.2.2.3 & 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质


2.2.3 & 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质

将一本书打开,扣在桌面上,使书脊所在的直线与桌面平行,观察过书脊的每页纸和桌面的 交线与书脊的位置. 问题 1:上述问题中,书脊与每页纸和桌面的交线有何位置关系? 提示:平行. 问题 2:每页纸与桌面的交线之间有何关系? 提示:平行. 问题 3: 当手拿一支钢笔, 使其所在直线平行于桌面时

, 钢笔与其所在平面的投影仍平行吗? 与桌面上任何线都平行吗? 提示:平行,不一定.

线面平行的性质定理 (1)文字语言:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线 平行. (2)图形语言:

(3)符号语言: a∥α

? ? a?β ??a∥b α∩β=b? ?

(4)作用:线面平行?线线平行.

去年在上海举行的世界博览会给全世界的游客留下了深刻的印
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象,

作为东道主的中国国家馆被永久保留,成为上海市的又一标志性建筑.中国国家馆表达了“东方 之冠,鼎盛中华,天下粮仓,富庶百姓”的中国文化的精神与气质,展馆共分三层,这三层给人 以平行平面的感觉. 问题 1:展馆的每两层所在的平面平行,那么上层面上任一直线状物体与下面地面有何位置 关系? 提示:平行. 问题 2:上层面上任何一直线状物体与下层面上任何一直线状物体有何位置关系? 提示:平行或异面. 问题 3:上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交,它们的交线是什么位置关系? 提示:平行.

面面平行的性质定理 (1)文字语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. (2)图形语言:

(3)符号语言: α∥β

? ? α∩γ=a??a∥b β∩γ=b? ?

(4)作用:面面平行?线线平行.

1.对线面平行性质定理的理解 (1)如果直线 a∥平面 α,在平面 α 内,除了与直线 a 平行的直线外,其余的任一直线都与 a 是异面直线. (2)线面平行的性质定理的条件有三:①直线 a 与平面 α 平行,即 a∥α;②平面 α、β 相交于 一条直线,即 α∩β=b;③直线 a 在平面 β 内,即 a?β.三个条件缺一不可. (3)线面平行的性质定理体现了数学的化归思想:线面平行转化为线线平行. 2.对面面平行性质定理的理解 (1)面面平行的性质定理的条件有三个: ①α∥β;②α∩γ=a;③β∩γ=b.
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三个条件缺一不可. (2)定理的实质是由面面平行得线线平行, 其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平 面,由其结论可知定理可用来证明线线平行. (3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义.

[例 1] 如图所示,已知三棱锥 A—BCD 被一平面所截,截面为? EFGH,求证:CD∥平面 EFGH. [思路点拨] 先由线线平行得到线面平行,再由性质得线线平行. [精解详析] ∵EFGH 为平行四边形,∴EF∥GH. 又 GH?平面 BCD,EF?平面 BCD, ∴EF∥平面 BCD. 而平面 ACD∩平面 BCD=CD,EF?平面 ACD, ∴EF∥CD. 又 EF?平面 EFGH,CD?平面 EFGH, ∴CD∥平面 EFGH. [一点通] 运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与平 面相交的交线,然后确定线线平行.证题过程应认真领悟线线平行与线面平行的相互转化关系.

1.一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是 ( ) A.异面 C.平行 B.相交 D.不能确定 都

解析:如图所示,设 α∩β=l,a∥α,a∥β,过直线 a 作与平面 α,β 相交的平面 γ,记 α∩γ=b,β∩γ=c,则 a∥b,且 a∥c,∴b∥c. 又 b?α,α∩β=l,∴b∥l. ∴a∥l. 答案:C
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2.如图,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E 为 BB1 上不同于 B,B1 的任一点,AB1∩A1E=F, B1C∩C1E=G.求证:AC∥FG. 证明:∵AC∥A1C1, 而 AC?平面 A1EC1, A1C1?平面 A1EC1. ∴AC∥平面 A1EC1. 而平面 A1EC1∩平面 AB1C=FG,AC?平面 AB1C, ∴AC∥FG.

[例 2] 如图所示,AB 与 CD 是夹在两个平行平面 α 与 β 之间的线 且直线 AB 与 CD 是异面直线, M 与 P 分别为线段 AB 与 CD 的中点. 求 直线 MP∥平面 β. [思路点拨] 要证明直线 MP∥平面 β, 可以根据平面与平面平行的

段 , 证 :

性 质

定理先证明直线与直线平行,再由平面与平面平行的判定定理证明平面与平面平行, 最后,再 由平面与平面平行的性质证明直线与平面平行. [精解详析] 如图所示, 过点 A 作 AE∥CD, 且 AE 交平面 β 于 E, DE 与 BE. ∵AE∥CD, ∴由 AE 与 CD 可以确定一个平面 γ,则 α∩γ=AC,β∩γ=DE. ∵α∥β,∴AC∥DE. 取 AE 的中点 N,连接 NP 与 MN,如图所示. ∵M 与 P 分别为线段 AB 与 CD 的中点, ∴NP∥DE,MN∥BE. 又∵NP?平面 β,DE?平面 β,MN?平面 β,BE?平面 β, ∴NP∥平面 β,MN∥平面 β. ∵NP∩MN=N,∴平面 MNP∥平面 β. ∵MP?平面 MNP,∴MP∥平面 β. [一点通] 常用的面面平行的其他几个性质 (1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
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连 接

(5)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.

3.已知 a,b 表示直线,α,β,γ 表示平面,下列推理正确的是( A.α∩β=a,b?α?a∥b B.α∩β=a,a∥b?b∥α 且 b∥β C.a∥β,b∥β,a?α,b?α?α∥β D.α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b 解析:A 中 α∩β=a,b?α,则 a,b 可能平行也可能相交;

)

B 中 α∩β=a,a∥b,则可能 b∥α 且 b∥β,也可能 b 在平面 α 或 β 内; C 中 a∥β,b∥β,a?α,b?α,根据面面平行的判定定理,若再加上条件 a∩b=A,才能得 出 α∥β; D 为面面平行性质定理的符号语言. 答案:D 4.如图,已知 α∥β,点 P 是平面 α、β 外的一点(不在 α 与 β 之 线 PB、PD 分别与 α、β 相交于点 A、B 和 C、D. (1)求证:AC∥BD; (2)已知 PA=4 cm,AB=5 cm,PC=3 cm,求 PD 的长. 解:(1)∵PB∩PD=P, ∴直线 PB 和 PD 确定一个平面 γ, 则 α∩γ=AC,β∩γ=BD.又 α∥β,∴AC∥BD. (2)由(1)得 AC∥BD, ∴ PA PC = . AB CD 间),直

4 3 15 27 ∴ = .∴CD= .∴PD=PC+CD= (cm). 5 CD 4 4

[例 3] (12 分)如图所示,平面 α∥平面 β,△ABC、△A′B′C′ 在 α、β 内,线段 AA′、BB′、CC′共点于 O,O 在 α、β 之间,若 AB AC=1,∠BAC=90° ,OA∶OA′=3∶2. 求△A′B′C′的面积. [思路点拨] 利用面面平行的性质定理及相似三角形可求面积.

分 别 =2,

[精解详析] 相交直线 AA′,BB′所在平面和两平行平面 α、β 分别相交于 AB、A′B′, 由面面平行的性质定理可得 AB∥A′B′
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(2 分)

同理相交直线 BB′、CC′确定的平面和平行平面 α、β 分别相交于 BC、B′C′,从而 BC ∥B′C′. 同理易证 AC∥A′C′ ∴∠BAC 与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反, ∴∠BAC=∠B′A′C′. 同理∠ABC=∠A′B′C′,∠BCA=∠B′C′A′. ∴△ABC 与△A′B′C′的三内角分别相等, ∴△ABC∽△A′B′C′, ∵AB∥A′B′,AA′∩BB′=O, ∴在平面 ABA′B′中,△AOB∽△A′OB′. ∴ A′B′ OA′ 2 = = AB OA 3 (10 分) (8 分) (6 分) (4 分)

1 1 而 S△ABC= AB· AC= ×2×1=1. 2 2 ∴ S△A′B′C′ A′B′ 2 4 =( )= , AB 9 S△ABC (12 分)

4 4 4 ∴S△A′B′C′= S△ABC= ×1= 9 9 9

[一点通] 线面平行与面面平行性质定理着重体现了平行间的转化思想.转化是综合应用的 关键.

5.如图所示, P 是△ABC 所在平面外一点, 平面 α∥平面 ABC, PA′ 2 S△A′B′C′ 别交线段 PA、PB、PC 于 A′、B′、C′.若 = ,求 A′A 3 S△ABC 值. 解:平面 α∥平面 ABC,平面 PAB∩平面 α=A′B′, 平面 PAB∩平面 ABC=AB, ∴A′B′∥AB.同理可证 B′C′∥BC,A′C′∥AC. ∴∠B′A′C′=∠BAC,∠A′B′C′=∠ABC, ∠A′C′B′=∠ACB. ∴△A′B′C′∽△ABC. 又∵PA′∶A′A=2∶3,∴PA′∶PA=2∶5. ∴A′B′∶AB=2∶5.∴S△A′B′C′∶S△ABC=4∶25.
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α 分 的

对较复杂的综合论证问题往往需要反复运用线面平行的判定定理和性质定理来进行证明,可 有如下示意图 线线平行 ― ― ― ― ― → 线面平行 ― ― ― ― ― ― ― ― ― → 线线平行 或作一直线 已知平面相交的直线
在平面内找 经过直线找或作平面与

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1.梯形 ABCD 中,AB∥CD,AB?平面 α,CD?平面 α,则直线 CD 与平面 α 内的直线的位 置关系只能是( A.平行 C.平行或相交 ) B.平行或异面 D.异面或相交

解析:由题意,CD∥α,则平面 α 内的直线与 CD 可能平行,也可能异面. 答案:B 2.已知直线 m,n 和平面 α,m∥n,m∥α,过 m 的平面 β 与 α 相交于直线 a,则 n 与 a 的 位置关系是( A.平行 C.异面 ) B.相交 D.以上均有可能

解析:由线面平行的性质知 m∥a,而 m∥n,∴n∥a. 答案:A 3.若经过 D1B 的平面分别交 AA1 和 CC1 于点 E、F,则四边形 D1EBF 的形状是( )

A.矩形 C.平行四边形

B.菱形 D.正方形

解析:因为平面和左右两个侧面分别交于 ED1、BF,所以 ED1∥BF,同理 D1F∥EB,所以 四边形 D1EBF 是平行四边形. 答案:C 4.设平面 α∥平面 β,A∈α,B∈β,C 是 AB 的中点,当 A,B 分别在 α,β 内运动时,那么 所有的动点 C( A.不共面 B.当且仅当 A,B 在两条相交直线上移动时才共面 C.当且仅当 A,B 在两条给定的平行直线上移动时才共面 D.不论 A,B 如何移动都共面 解析:由面面平行的性质,不论 A、B 如何运动,动点 C 均在过点 C 且与 α、β 都平行的平
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)

面上. 答案:D 5.在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M,N 分别是棱 A1B1、B1C1 的中点,P 是棱 a AD 上一点,AP= ,过 P、M、N 的平面与棱 CD 交于 Q,则 PQ=________. 3 解析:∵MN∥平面 AC,平面 PMN∩平面 AC=PQ, MN?平面 PMN, 2 ∴MN∥PQ.易知 DP=DQ= a, 3 2 2 2 故 PQ= 2× a= a. 3 3 2 2 答案: a 3 6.如图所示, 平面四边形 ABCD 所在的平面与平面 α 平行, 且四边 ABCD 在平面 α 内的平行投影 A1B1C1D1 是一个平行四边形,则四边形 ABCD 的形状一定是________. 解析:由平行投影的定义,AA1∥BB1,而 ABCD 所在面与面 α 平 行, 形

则 AB∥A1B1,且四边形 ABB1A1 为平行四边形;同理四边形 CC1D1D 为平行四边形.∴AB 綊 CD, 从而四边形 ABCD 为平行四边形. 答案:平行四边形 7.如图所示,四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 点,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面交平面 于 GH,求证:GH∥平面 PAD. 证明:如图所示,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 MO. ∵ABCD 是平行四边形,∴O 是 AC 的中点, 又 M 是 PC 的中点,∴PA∥MO,而 AP?平面 BDM,OM?平面 BDM,∴PA∥平面 BMD,又∵PA?平面 PAHG,平面 PAHG∩平面 =GH,∴PA∥GH.又 PA?平面 PAD,GH?平面 PAD,∴GH∥平面 8.如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, O 为底面 ABCD 的中心, DD1 的中点,设 Q 是 CC1 上的点,问:当点 Q 在什么位置时,平面 与平面 PAO 平行? 解:如图,设平面 D1BQ∩平面 ADD1A1=D1M,点 M 在 AA1 上,
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外 一 BDM

BMD PAD. P 是 D1BQ

由于平

面 D1BQ∩平面 BCC1B1=BQ,平面 ADD1A1∥平面 BCC1B1,由面面平 性质定理可得 BQ∥D1M. 假设平面 D1BQ∥平面 PAO,由平面 D1BQ∩平面 ADD1A1=D1M, PAO∩平面 ADD1A1=AP,可得 AP∥D1M,所以 BQ∥D1M∥AP.因为 P DD1 的中点,所以 M 为 AA1 的中点,所以 Q 为 CC1 的中点.故当 Q 为 的中点时,平面 D1BQ∥平面 PAO.

行 的

平 面 为 CC1

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