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数学期望


第四章

随机变量的数字特征

? 数学期望及其性质 ? 方差及其性质 ? 协方差与相关系数

? 常见的重要分布的数字特征

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第一节

数学期望

一、数学期望的概念

/>
二、随机变量函数的数学期望
三、数学期望的性质

四、小结

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分布函数能完全描述随机变量的统计特性,但 求分布函数常常是困难的,且在很多实际问题中, 只需知道随机变量的某些特征,而不必求分布函数。 考察一射手的水平, 既要看他的平均环数 例如: 是否高, 还要看他弹着点的范围是否小, 即数据的 波动是否小. 判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度平均长度越长,偏 离程度越小, 质量就越好;
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由于这些随机变量的特征通常是与随机变量有关 的数值,故称它们为随机变量的数字特征。 本章介绍常用数字特征:数学期望,方差,协方 差,相关系数和矩。数学期望是最重要的一种,其余 都可以由它来定义。

本 章 内 容

? r.v.的平均取值 —— 数学期望 ? r.v.取值平均偏离均值的情况 —— 方差 ? 描述两 r.v.间的某种关系的数 —— 协方差与相关系数
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数字特征的优越性:
1. 较集中地反映了随机变量变化的一些平均特征。

2. 很多重要的随机变量(如二项分布、泊松分布、均 匀分布、指数分布、正态分布等)的分布函数都能用 一两个数字特征完全确定。
3. 重要的数字特征---数学期望、方差具有明确的统 计意义,同时还具有良好的数学性质。 4.随机变量的数字特征较易求出。
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一、数学期望的概念

引例1 分赌本问题(产生背景)
A, B 两人赌技相同, 各出 赌金100元,并约定先胜三局者为 胜, 取得全部 200 元.由于出现意 外情况 ,在 A 胜 2 局 B 胜1 局时, 不得不终止赌博, 如果要分赌金, 该如何分配才算公平?

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分析 假设继续赌两局,则结果有以下四种情况: AA AB BA BB 把已赌过的三局(A 胜2局B 胜1局)与上述结果
相结合, 即 A、B 赌完五局, 前三局: 后二局: A胜 2 局 B 胜 1 局 AA AB A胜 故有, 在赌技相同的情况下, 可能性大小之比为 3 : 1,
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BA

BB B胜

A, B 最终获胜的

因此, A 能“期望”得到的数目应为 3 1 200 ? ? 0 ? ? 150(元 ), 4 4

而B 能“期望”得到的数目, 则为 1 3 200 ? ? 0 ? ? 50(元). 4 4

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若设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提 下, 继续赌下去 A 最终所得的赌金.

则X 所取可能值为:
其概率分别为:

200
3 4

0
1 4

因而A期望所得的赌金即为X的 “期望”值, 等于 即为
3 1 200 ? ? 0 ? ? 150(元 ). 4 4

X 的可能值与其概率之积的累加.
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引例2

射击问题

设某射击手在同样的条 件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下

命中环数 k
命中次数 nk
nk 频率 n

0
2

1
13

2
15

3 10

4 20

5

30
30 90

2 90

13 90

15 90

10 90

20 90

试问:该射手每次射击平均命中靶多少环?
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射中靶的总环数 平均射中环数 ? 射击次数
0 ? 2 ? 1 ? 13 ? 2 ? 15 ? 3 ? 10 ? 4 ? 20 ? 5 ? 30 ? 90 2 13 15 10 20 ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? 90 90 90 90 90 30 ? 5? 90 5 nk ? 3.37. ? ?k ? n k ?0

设射手命中的环数为随机变量 Y .
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nk 平均射中环数 ? ? k ? n k ?0 随机波动

5

频率随机波动

“平均射中环数”的稳定 ? ? 5 5 值 nk n ? ? k? k ? pk ? ? n k ?0 k ?0
随机波动 稳定值

“平均射中环数”等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加
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1. 离散型随机变量的数学期望
定义
设离散型随机变量 X 的分布律为 P { X ? xk } ? pk , k ? 1,2,?. 若级数 ? xk pk 绝对收敛, 则称级数 ? xk pk
k ?1 k ?1 ? ?

为随机变量 X 的数学期望, 记为 E ( X ). 即 E ( X ) ? ? xk pk .
k ?1 ?

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关于定义的几点说明
(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. (3) 随机变量的数学期望与一般变量的算 术平均值不同.
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假设

X

1

2

p

0.02

0.98

1? 2 ? 1 .5 , 随机变量 X 的算术平均值为 2
E ( X ) ? 1 ? 0.02 ? 2 ? 0.98 ? 1.98.

? O

1

?

??

2

?

x

它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值. 当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等.
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实例1 谁的技术比较好?

甲、 乙两个射手, 他们射击的分布律分别 为
甲射手
击中环数 概率 击中环数 概率 8 9 10

0 . 3 0 .1 0 . 6
8 9 10

乙射手

0 .2 0 .5 0 .3

试问哪个射手技术较好?
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解 设甲、乙射手击中的环 数分别为 X 1 , X 2 .
E ( X 1 ) ? 8 ? 0.3 ? 9 ? 0.1 ? 10 ? 0.6 ? 9.3(环), E ( X 2 ) ? 8 ? 0.2 ? 9 ? 0.5 ? 10 ? 0.3 ? 9.1(环),

故甲射手的技术比较好.

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实例2

商店的销售策略

某商店对某种家用电器 的销售采用先使用后 付款的方式 , 记使用寿命为X (以年计), 规定 :
X ? 1, 一台付款1500元;1 ? X ? 2, 一台付款2000元; 2 ? X ? 3, 一台付款2500元; X ? 3, 一台付款3000元 .

  设寿命 X 服从指数分布, 概率密度为 ? 1 ? x 10 , x ? 0, ? e f ( x ) ? ?10 ? x ? 0. ? 0, 试求该商店一台家用电 器收费 Y 的数学期望.
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1 ? x 10 ? 0.1 ? 1 ? e ? 0.0952, P{ X ? 1} ? ? e dx 0 10 2 1 P{1 ? X ? 2} ? ? e ? x 10 d x 1 10
1

? e ? 0.1 ? e ? 0.2 ? 0.0861,

1 ? x 10 P{2 ? X ? 3} ? ? e dx 2 10
3

? e?0.2 ? e?0.3 ? 0.0779,
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P{ X ? 3} ? ?

??

3

1 ? x 10 e dx 10

? e ? 0.3 ? 0.7408 .

因而一台收费Y 的分布律为

Y

1500
0.0952

2000

2500

3000
0.7408

pk

0.0861

0.0779

得 E (Y ) ? 2732.15,

即平均一台家用电器收 费 2732.15 元 .
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常见重要分布的期望

1.0-1分布
设随机变量X 服从0-1分布,即

X
pk

0

1

1? p

p

则其数学期望为

E ( X ) ? 0 ? (1 ? p) ? 1 ? p ? p.
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2.二项分布 设随机变量X 服从B(n,p),即
k k P{ X ? k} ? Cn p (1 ? p)n?,k

k = 0 ,1,2,???,n.

则其数学期望为
n
n

k k E ( X ) ? ? kP{ X ? k } ? ? kCn p (1 ? p)n?k

n

n! = ?k pk (1 - p)( n-k ) k! ? n - k ? ! k=1 n n -1? ! ? = np? pk -1 (1- p)( n-k ) k=1 ? k -1? ! ? n - k ? !
k -1 k -1 ( n-k ) n?1 = np? Cn p (1 p ) ? np ( p ? 1 ? p ) ? np -1 k =1 n

k ?0

k ?0

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3.泊松分布

设随机变量X 服从泊松分布P(? ),即 ?k ?? P{ X ? k } ? e , k = 0 ,1,2,???. k! 则其数学期望为
E ( X ) ? ? kP{ X ? k } ? ? k
?

?

?k

??
k ?1

k ?0 ?

?k
(k ? 1)!
? k ?1 ?

k ?0

k!

e ??

e ??

( k ? 1)! ?k ?? ? ?e ? ? ?e ? ? e ? ? ? . k ? 0 k!
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? ?e ? ? ?

?k ?1

常见离散型分布的数学期望小结
分布
0?1 分布 二项分布
X~B(n, p)

分布律
P{ X ? k } ? p k (1 ? p)1? k
k?0,1
k k P{ X ? k } ? C n p (1 ? p)n? k

E(X)
p np
?

k?0,1,2,…,n

泊松分布 λk ? λ , k?0,1,2,… P ?X ? k ? ? e X ~ P ? λ? k!

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设随机变量X的分布律为 k 1 k 2 P{ X ? ( ?1) } ? k , k = 1,2,???. k 2 判断X的数学期望是否存在?
k ? 1 2 1 k ? xk pk ? ? ( ?1) ? k ? ? ? ??, k ?1 k ?1 k ?1 k k 2 虽然运用莱布尼兹判别法可判定 ? ? k 1 ? x k pk ? ? ( ?1) ? ?, k ?1 k ?1 k 但我们仍说X的数学期望不存在. ? ?



由于

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实例

如何确定投资决策方向?

某人有10万元现金,想投资于某 项目,预估成功的机会为 30%,可得 利润8万元 , 失败的机会为70%,将 损失 2 万元.若存入银行,同期间的 利率为5% ,问是否作此项投资? 解 设 X 为投资利润,则
X p

8 0 .3

?2 0.7

E ( X ) ? 8 ? 0.3 ? 2 ? 0.7 ? 1(万元), 存入银行的利息: 10 ? 5% ? 0.5(万元),
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故应选择投资.
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实例 候车时间

按规定, 某车站每天 8 : 00 ~ 9 : 00, 9 : 00 ~ 10 : 00 都恰有一辆客车到站 , 但到站的时刻是随机 的 , 且两者到站的时间相互 独立.其规律为
到站时刻
概率

8 : 10 9 : 10 1 6

8 : 30 9 : 30 3 6

8 : 50 9 : 50 2 6

(i) 一旅客8 : 00到车站, 求他候车时间的数学期 望. (ii) 一旅客8 : 20到车站, 求他候车时间的数学期 望.
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解 设旅客的候车时间为X (以分计).

(i) X的分布律为
X

pk

10 1 6

30 3 6

50 2 6

候车时间的数学期望为 1 3 2 E ( X ) ? 10 ? ? 30 ? ? 50 ? 6 6 6 ? 33.33(分).
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(ii) X 的分布律为 10 X

30
2 6

50
1 1 ? 6 6

70
1 3 ? 6 6

90
1 2 ? 6 6

pk

3 6

候车时间的数学期望为

E( X ) ? 3 2 1 1 1 3 1 2 10 ? ? 30 ? ? 50 ? ? ? 70 ? ? ? 90 ? ? 6 6 6 6 6 6 6 6
? 27.22(分).
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二、连续型随机变量的数学期望 设X是连续型随机变量,其密度函数为f (x),在 数轴上取很密的分点 … < x0< x1< x2< …,则X落在 小区间[xi, xi+1)的概率是
阴影面积近似为

?

x
i

i ?1

x

f ( x )dx

f ( xi )?xi

? f ( xi )( xi ?1 ? xi )
? f ( xi )?xi
小区间[xi, xi+1)
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二、连续型随机变量的数学期望
由于xi与xi+1很接近, 所以区间[xi, xi+1)中的值 可以用xi来近似代替. 因此X与以概率 f ( xi )?xi 取值xi的离散型 r.v. 阴影面积近似为 近似, 该离散型 r.v. 的数学 期望是 f ( xi )?xi

? x f ( x )?x
i i i

i

这正是

?

?

??

x f ( x )dx
小区间[xi, xi+1)
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的渐近和式.
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二、连续型随机变量的数学期望 定义 设连续型随机变量 X 的概率密度为 f ( x ),

若积分

??? x f ( x ) d x
绝对收敛, 则称积分 ? x f ( x ) d x 的值为随机
?? ??

??

变量 X 的数学期望, 记为 E ( X ) . 即
??

E ( X ) ? ? x f ( x )d x.
??

??

若级数 ??? | x | f ( x )dx 发散,则称X的数学期望

不存在.
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二、连续型随机变量的数学期望 例 已知随机变量X的分布函数为

求E(X). 解

? 0, x ? 0, ? ?x F ( x ) ? ? , 0 ? x ? 4, ?4 x ? 4. ? ? 1,

?1 ? , 0 ? x ? 4, X的概率密度为 f ( x ) ? ? 4 ? ? 0, 其它.
?? ??

故 E( X ) ? ?
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xf ( x )dx ? ?

4

0

x dx ? 2. 4
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二、连续型随机变量的数学期望 常见连续型随机变量的数学期望 1. 均匀分布 设随机变量X服从U(a, b),其概率密度为
1 ? ? , a ? x ? b, f ? x ? ? ?b ? a ? 其它. ? 0,

则有

1 1 E ? X ? ? ? xf ? x ?dx ? ? xdx ? ?a ? b ? ?? a b?a 2
?? b

因而均匀分布数学期望位于区间的中点.
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二、连续型随机变量的数学期望 2. 指数分布

设随机变量X服从Exp(λ),其概率密度为
? ?x ? e , x ? 0, ? ? f ( x) ? ? ? x ? 0, ?0,

??0



E ? X ? ? ? xf ? x ?d x
??

??

??

??

0

x ? λe

? λx

dx
? ? ? λx e dx 0

??
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? λx ? ? xe 0

??

1 ? λ

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二、连续型随机变量的数学期望 3. 正态分布

设 X ~ N ( ? ,? ), 其概率密度为
2

? 1 f ?x? ? e 2π?

? x ? ? ?2
2? 2

, ? ? ? x ? ?.

则有

E ? X ? ? ? xf ? x ?dx
??

??

??
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??

??

1 x? e 2πσ

? x ? μ ?2 ?
2σ 2

dx

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二、连续型随机变量的数学期望
x? μ 令 ? t ? x ? μ ? σt σ ? x ? μ ?2 ?? 1 ? 2σ 2 e dx 所以 E ? X ? ? ? x ? ?? 2πσ
1 ?? ? μ ? σt ? ? ? 2π ? ?
t2 e 2 dt

1 ?μ 2π ? ?μ
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t2 ?? ? 2 e dt ? ??

σ 2π ?

t2 ?? ? te 2 d t ??

因而参数 μ为正态分布的数学期望.
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二、连续型随机变量的数学期望 常见连续型分布的数学期望小结
分布名称
均匀分布 指数分布

概率密度
1 ? ? , x ? [a , b ] f ? x ? ? ?b ? a ? 其他 ? 0,

E?X?
a?b 2
1

? ? e ? ?x , x ? 0 f ?x? ? ? x?0 ? 0,
f ?x? ? 1 e 2 π?
?

?

? x?? ?
2?
2

2

正态分布

?

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实例1

顾客平均等待多长时间?

设顾客在某银行的窗口等待服务的时间
X(以分计)服从指数分布,其概率密度为 1 ?x 5 ? ? e , x ? 0, f ( x) ? ?5 ? x ? 0. ? 0, 试求顾客等待服务的平均时间? 解 E( X ) ? ? x f ( x)d x ? ?
?? ??
?? 0

1 ?x 5 x ? e d x ? 5(分钟). 5

因此, 顾客平均等待5分钟就可得到服务.

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注意 不是所有的 r.v.都有数学期望 例如:柯西(Cauchy)分布的密度函数为
1 f ( x) ? , 2 ? (1 ? x )
?? ??

? ? ? x ? ??

| x| dx 发散 但 ? ? ? | x | f ( x )dx ? ? ? ? 2 ? (1 ? x )

它的数学期望不存在!
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二、随机变量函数的数学期望
1. 问题的提出: 设已知随机变量X的分布,我们需要计算的不是X 的期望,而是X的某个函数的期望,比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢?

一种方法是,因为g(X)也是随机变量,故应有概 率分布,它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦 我们知道了g(X)的分布,就可以按照期望的定义把 E[g(X)]计算出来.
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使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的 分布,一般是比较复杂的 .

那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的
分布求得E[g(X)]呢? 下面的定理指出,答案是肯定的.

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定理 设Y是随机变量X的函数:Y=g (X) (g是连续函数) (1) 当X为离散型时,它的分布率为P(X= xk)=pk ;

( k ? 1,2,?), 若? g( xk ) pk 绝对收敛,则有
k ?1

?

(2) 当X为连续型时,它的密度函数为f(x).若
??

g( x ) f ( x )dx绝对收敛,则有 ? ?? ?? E (Y ) ? E[ g( X )] ? ? g( x ) f ( x )dx ??
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? ? ? ? g( xk ) pk , X离散型 E (Y ) ? E[ g( X )] ? ? k ?1 ? ? g( x ) f ( x )dx , X连续型 ? ?? ?
该公式的重要性在于: 当我们求E[g(X)]时, 不必 知道g(X)的分布,而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.

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上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变
量的函数的情况。

设Z是随机变量X ,Y的函数Z ? g( X ,Y )( g是连续函数)
Z是一维随机变量, 则
(1)若( X ,Y )是二维连续型, 概率密度为f ( x , y ), 则有
?? ??

E ( Z ) ? E[ g( X ,Y )] ?
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g( x , y ) f ( x , y )dxdy ? ? ?? ??
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( 2) 若( X ,Y )是二维离散型, 概率分布为 P{ X ? xi ,Y ? y j } ? pij ( i , j ? 1,2?)则有

E ( Z ) ? E[ g( X , Y )] ? ?? g( xi , y j ) pij
j ?1 i ?1

?

?

这里假定上两式右边的积分或级数都绝对收敛 .

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例1 X Y 1 3

设(X,Y)的联合概率分布为 0 0 1/8 1 3/8 0 2 3/8 0 X 3 0 1/8 1 3

求E(X),E(Y),E(XY). Y 0 1 2 3

解 X,Y的边缘分布为 所以

P

3/4 1/4

P 1/8 3/8 3/8 1/8

E(X)=3/2, E(Y)=3/2,

XY 0
P

1

2

9

3 3 1 9 E ( XY ) ? 1 ? ? 2 ? ? 9 ? ? 8 8 8 4
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1/8 3/8 3/8 1/8

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例2 设风速V在(0, a )上服从均匀分布,即具有概率 密度 ?1 0?v?a ? f (v ) ? ? a ? ?0 其它

又设飞机机翼受到的正压力W是V的函数 : W ? kV ( k ? 0, 常数), 求W的数学期望.

2

解:由上面的公式
1 1 2 E (W ) ? E ( kV ) ? ? kv f (v )dv ? ? kv dv ? ka a 3 ?? 0
2 2 ??

a

2

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三、随机变量函数的数学期望 解法二 先求出随机变量 Y ? kX 2的概率密度 fY ( y )



1 ? 1 ? , ? y f Y ( y ) ? ? 2a k ? 0, ?
??

0< y ? ka 2 ,
其它.
ka 2

E (Y ) ? ?

??

yfY ( y )dy ? ?

0

y?

1 2a y

1 y

dy

?

1 2a

? k

ka 2

0

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k y dy ? a 2 . 3

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例3 设二维连续型随机变量 (X , Y)的概率密度为

? ? ? ? A sin( x ? y ) 0 ? x ? ,0 ? y ? f ( x, y) ? ? 2 2 ? 其它 ?0

(1)求系数A ,
解:(1)由于
?? ??

( 2)求E ( X ), E ( XY ).

f ( x , y )dxdy ? ? ? ? ?? ?? 0
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? /2

1 dy ? A sin( x ? y )dx ? 1 ,得A ? 2 0
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? /2

例3 设二维连续型随机变量 (X , Y)的概率密度为

? ? ? ? A sin( x ? y ) 0 ? x ? ,0 ? y ? f ( x, y) ? ? 2 2 ? 其它 ?0

(1)求系数A ,

( 2)求E ( X ), E ( XY ).
?? ??

解(2)E(X) ??
?
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?? ??

?
0

xf ( x, y )dxdy

? /2? /2

? ?
0

1 ? x sin(x ? y )dxdy ? 2 4
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例3 设二维连续型随机变量 (X , Y)的概率密度为

? ? ? ? A sin( x ? y ) 0 ? x ? ,0 ? y ? f ( x, y) ? ? 2 2 ? 其它 ?0

(1)求系数A ,

( 2)求E ( X ), E ( XY ).
????

解: E ( XY ) ?

? ?? ?

? ? xyf ( x, y )dxdy
? /2? /2

?
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? ?
0 0

1 ? xy sin(x ? y )dxdy ? ? 1 2 2
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例4 设 (X ,Y ) ~ N (0,0,1,1,0), 求
Z ? X 2 ? Y 2 的数学期望.



E( Z ) ? ?
??
??
?

?? ??
?? ??

?

?? ??
??

x ? y f ( x , y )dxdy
2 2

?

??

1 x ?y e 2?
2 2
r2 2

x2 ? y2 ? 2

dxdy

2? 0

? ?? 1 ? ? r e ??0 2? ?

? rdr ?d? ? ?

?
2
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三、数学期望的性质 1. 设 C 是常数, 则有 E (C ) ? C . 证明
E ( X ) ? E (C ) ? 1 ? C ? C .

2. 设 X 是一个随机变量,C 是常数, 则有

E (CX ) ? CE ( X ).
证明
例如
E (CX ) ? ? Cxk pk ? C ? xk pk ? CE ( X ).
k

k

E ( X ) ? 5, 则 E ( 3 X ) ? 3 E ( X ) ? 3 ? 5 ? 15.
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3. 设 X, Y 是两个随机变量, 则有

E ( X ? Y ) ? E ( X ) ? E (Y ).
证明
?? ??

E( X ? Y ) ?
?? ??

( x ? y ) f ( x , y )dxdy ? ? ?? ??
?? ??

?

xf ( x , y )dxdy ? ? ? yf ( x , y )dxdy ? ? ?? ?? ?? ?? 性质3得证。
n

? E ( X ) ? E (Y )

推广 :

E[? X i ] ? ? E ( X i )
i ?1 i ?1

n

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4. 设 X, Y 是相互独立的随机变量, 则有

E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ).
由X,Y相互独立得:

f ( x, y) ? f X ( x) ? fY ( y),
?? ??

E ( XY ) ?

? [ ? xf X ( x)dx][ ? y fY ( y)dy]
?? ??

???? ??

? ? xy f ( x, y)dxdy
??

? E ( X ) E (Y ).
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补充例1 求二项分布的数学期望 若 X~B(n,p),

则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数.
现在我们来求X的数学期望 .

若设


?1 如第i次试验成功 i=1,2,…,n Xi ? ? ?0 如第i次试验失败
X= X1+X2+…+Xn 因为 P(Xi =1)= p, P(Xi =0)= 1-p

E(Xi)= 1 ? p ? 0 ? (1 ? p)= p
所以 E(X)=
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? E( X )
i ?1 i

n

= np
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补充例2 把数字1,2,…,n任意地排成一列,如果数 字k恰好出现在第k个位置上,则称为一个巧合,求 巧合个数的数学期望.
解: 设巧合个数为X,

k个位置上 ?1, 数字k恰好出现在第 k=1,2, …,n Xk ? ? 否则 ? 0,


( n ? 1)! 1 ? 由于 E(Xk)=P(Xk =1) ? n n! n 故 E ( X ) ? ? E ( X k )? n ? 1 ? 1 n 上页 下页 k ?1 目录 概率统计教研室
k ?1

X ? ? Xk

n

结束

例题是将X分解成数个随机变量之和,然后利用随

机变量和的数学期望等于随机变量数学期望的和来求
数学期望的,此方法具有一定的意义.

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四、小结
1. 数学期望是一个实数, 而非变量,它是一种加权 平均, 与一般的平均值不同,它从本质上体现了 随机变量 X 取可能值的真正的平均值.

? ? xi pi ??? 2. E ( X ) ? ? ? ? xf ( x )dx ???

? ? ? ? g( xk ) pk , X离散型 E (Y ) ? E[ g( X )] ? ? k ?1 ? ? g( x ) f ( x )dx , X连续型 ? ?? ?
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? ? ? ? ?? g( x i , y j ) pij ? j ?1 i ?1 E ( Z ) ? E[ g( X , Y )] ? ? ? ?? ? ? g( x , y ) f ( x , y )dxdy ? ? ? ? ? ?? ? 3. 数学期望的性质

1o E (C ) ? C ; 2o E (CX ) ? CE ( X ); 3o E ( X ? Y ) ? E ( X ) ? E (Y ); 4o X ,Y 独立 ? E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ).
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练习 已知随机变量X的分布列为
X P -2 0.4 0 0.3 2 0.3

求X,X2,3X2+5的数学期望. 〖解〗方法1(表格法)由X的分布律得:
X2 Pk 0 0.3 4 0.7 3X2+5 Pk 5 0.3 17 0.7

于是, E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2; E(X2)=0×0.3+4×0.7=2.8;

E(3X2+5)=5×0.3+17×0.7=13.4.
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方法2(定义+性质法)

因为
E(X)=(-2)×0.4+0×0.3+2×0.3=-0.2;

所以, E(X2)=(-2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8; E(3X2+5)=3E(X2)+5=3×2.8+5=13.4.

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练习

设二维 r.v. (X ,Y ) 的 概率密度函数为 1 ? ? x(1 ? 3 y 2 ), 0 ? x ? 2,0 ? y ? 1, f ( x, y ) ? ? 4 ? 0, 其它 ? 求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(X Y), E(Y / X) 解

E ( X ) ? ??? ??? xf ( x, y )dxdy
1 4 1 2 ? ?0 x ? xdx ?0 (1 ? 3 y )dy ? 3 4 ?? ?? E (Y ) ? ??? ??? yf ( x, y )dxdy 2 1 1 5 2 ? ?0 xdx?0 y (1 ? 3 y )dy ? 4 8 2

?? ??

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由数学期望性质

E ( X ? Y ) ? E ( X ) ? E (Y )
X ,Y 独立

4 5 47 ? ? ? 3 8 24
4 5 5 ? ? ? 3 8 6

E ( XY ) ? E ( X ) ? E (Y )

?? ??? y ? Y? ? E ? ? ? ??? ??? ? ? f ( x, y )dxdy ?X? ? x?
1 1 1 5 15 E (Y ) 2 ? ?0 dx ?0 y ? (1 ? 3 y )dy ? ? ? 8 32 E ( X ) 2 2 2

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练习 设连续型随机变量(X,Y)的概率密度为

? x ? y, 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1, f ( x, y ) ? ? 其它. ? 0,
试验证E(XY) ≠E(X)E(Y).

解 E( X ) ? ?
E ( XY ) ?
?? ??

??

??

?
??

??

??

xf ( x , y )dxdy ?

??
1 0 1 0 0

1

0

x ( x ? y )dxdy ?

7 12 1 3

,

? ?

??

xyf ( x , y )dxdy ?
7 12

??

1

xy ( x ? y )dxdy ?

.

又由对称性知 E (Y ) ? E ( X ) ?

, 显然 E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ).

注:独立性不满足时,不能保证性质(4)成立。
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练习 一机场班车载有20 位旅客自机场开出 ,旅

客有 10 个车站可以下车 . 如到达一个车站没有旅 客下车就不停车, 以 X 表示停车的次数 , 求 E( X ) ( 设每位旅客在各个车站 下车是等可能的, 并设各 旅客是否下车相互独立 ).


引入随机变量 X i ,

?0, 在第 i 站没有人下车, Xi ? ? i ? 1,2,?,10. ? 1, 在第 i 站有人下车 ,
则 X ? X1 ? X 2 ? ? ? X10 .
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?9? ?9? 则有 P{ X i ? 0} ? ? ? , P{ X i ? 1} ? 1 ? ? ? , ? 10 ? ? 10 ? i ? 1,2,?,10. 20 ?9? 由此 E ( X i ) ? 1 ? ? ? , i ? 1,2,?. ? 10 ?

20

20



E ( X ) ? E ( X1 ? X 2 ? ? ? X10 )
? E ( X 1 ) ? E ( X 2 ) ? ? ? E ( X 10 )
? ? 9 ? 20 ? ? 10?1 ? ? ? ? ? 8.784(次). ? ? 10 ? ?

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