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综合法与分析法ppt


综合法分析法

课前引入:
1、平面内,到一个直角三角形的三个顶点的距离相等的点的 轨迹是 2、空间中,到一个直角三角形的三个顶点的距离相等的点的 轨迹是

例1:如图,设在四面体P ? ABC中,?ABC ? 90? , PA ? PB ? PC , D是AC的中点, 求证 : PD垂直于?ABC所在的平面 证明:连接BD,


因为BD是Rt ?ABC斜边上的中线, 所以DA ? DB ? DC , 又因为PA ? PB ? PC ,
所以?PAD ? ?PBD ? ?PCD.
于是?PDA ? ?PDB ? ?PDC , 而?PDA ? ?PDC=90? , 所以?PDB=90?
P2?P3 P0(已知) ? P1 A

P

D

C

B

而PD是?PAD, ?PBD, ?PCD的公共边,

P1 ?P2

可见PD ? AC, PD ? BD. 由此可知PD垂直于?ABC所在的平面 ? ? 符号表示:P0 P1? P2?P3 P4
P3 ? P4(结论)

一、综合法:
定义:一般地,利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等,经过 一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这种证明方 法叫综合法。 【问题一】 :综合法的主要特点是什么? 主要特点:由“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,即“由因导果 ” 。 【问题二】 :如果用P表示已知条件,Q表示要证明的结论,那么综 合法证明的符号表示是什么?

P (已知) Q1 ? Q2 ????Qn ? Q ? (结论)

一、综合法:
练习:
1 2 3 求证: ? ? ?2 log5 19 log3 19 log 2 19

1 证明:因为log a b ? logb a 所以 左边 ? log19 5 ? 2log19 3 ? 3log19 2
? log19 5 ? log19 32 ? log19 23 ? log19 (5 ? 32 ? 23 ) ? log19 360
所以

因为 log19 360 ? log19 361 ? 2 1 2 3
log5 19 ? log3 19 ? log 2 19 ?2

例2: 求证:3+ 7 ? 2 5

二、分析法:
定义:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的条件, 直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已 知条件、定义、定理、公理等),这种证明方法就叫做分析法。

二、分析法:
例2: 求证:3+ 7 ? 2 5
证明:因为 3 ? 7和2 5都是正数,所以 要证明 3? 7 ?2 5
2 2 ( 3 ? 7) ? 2 5) (

只需证明

展开得

只需证明

10 ? 2 21 ? 20
21 ? 5
21 ? 25

因为21 ? 25成立,所以不等式 3+ 7 ? 2 5成立

二、分析法:
【问题三】分析法的主要特点和符号表示(A表示已知,B表示结论)?

特点:由“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,即“执果索因 ”。 证明步骤的符号表示:

B (结论) B1 ? B2 ???? ? Bn ? A ? (已知)

二、分析法:
练习:
求证: 6+ 7 ? 2 2 ? 5

三、典例分析:
例3:求证:当一个圆与一个正方形的周长相等时,这个圆的面积 比正方形的面积大。
L 2 正方形的面积为 ( ) 4
L 2 证明:设圆和正方形的周长为L,依题意,圆的面积为? ( ) , 2?

因此本题只需证明

L 2 L 2 ? ( )? ) ( 2? 4 2
1 ? 1 4

为了证明上式成立,只需证明

两边同乘以正数

4 ,得 2 L 因此,只需证明 4 ? ?

? L L2 ? 2 4? 16

?

L 2 L 2 因为上式是成立的,所以 ? ( )? ) ( 2? 4 即,如果一个圆与一个正方形的周长相等,那么这个圆的面积
比正方形的面积大

思维升华:
1、从寻找解题思路看:综合法是由因导果,探路艰难; 分析法是执果索因,便于寻找解题思路 2、从表达过程看:综合法形式简洁,条理清晰; 分析法叙述繁琐。 因此,在实际解题时,常把二者结合使用。先用分析法寻找解题思路, 再用综合法有条理的表述过程。

四、巩固提升:
1、在?ABC中,三个内角 、B、C对应的边分别为 、b、c, A a 且A、B、C成等差数列 a、b、c成等比数列, , 求证:?ABC为等边三角形

2、 求证:a ? a ?1 ? a ? 2 ? a ? 3(a ? 3)

五、课堂总结:
1、直接证明的两种方法:综合法和分析法 2、综合法和分析法的思维过程及特点: 综合法的证明是“由因导果”,由“已知”看“可知”,逐步推向 “未知”,实际是寻找它的必要条件。 分析法的证明是“执果索因”,由“未知”看“需知”,逐步靠拢 “已知”,实际是寻找它的充分条件。

3、数学思想: (1)数形结合的思想 (2)转化的思想

六、课后作业:
用综合法或分析法证明:

1、已知3sin ? ? sin(2? ? ? ), 求证: ? ? ? ) ? 2 tan ? . tan(
2、已知a、b、c为?ABC的边长,m ? 0, a b c 求证: ? ? . a?m b?m c?m


§3综合法与分析法(1)

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