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函数的基本性质单元讲座(高中数学第3讲,附答案)【人教A版】

时间:2013-06-14


函数的基本性质 (一)知识点归纳和学习要求:
1、理解函数的单调性及其几何意义,掌握用定义证明函数单调性的步骤: ①任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ②作差 f(x1)-f(x2); ③变形(通常是因式分解和配方) ; ④定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负) ; ⑤下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性) . 2、理解函数最大(小

)值定义,掌握利用函数单调性来判断函数最大(小)值的方法。 ①配方法 ②换元法 ③数形结合法 3、理解函数的奇偶性及其几何意义;学会判断函数的奇偶性。 ①由函数的奇偶性定义可知, 函数具有奇偶性的一个必要条件是, 对于定义域内的任意一个 x ,则 ? x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 。 ② f ( ? x ) ? f ( x ) ? f ( x ) 是偶函数, f ( ? x ) ? ? f ( x ) ? f ( x ) 是奇函数 注: f ( ? x ) ? f ( x ) ? f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 ,
f (? x) ? ? f ( x) ? f ( x) ? f (? x) ? 0

③根据奇偶性可将函数分为四类: 奇函数、 偶函数、 既是奇函数又是偶函数、 非奇非偶函数。 ④具有奇偶性的函数的图象特征: 偶函数的图象关于 y 轴对称; 奇函数的图象关于原点对称。 4、学会运用函数图象理解和研究函数性质的方法。

(二)例题评析:
例1.证明函数 f ( x ) ?
1 x

在 ( 0 , ?? ) 上是减函数。

证明:设 x 1 , x 2 是 ( 0 , ?? ) 上的任意两个实数,且 x 1 ? x 2 ,则
? x ? x1 ? x 2 ? 0 ,
? y ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 1 x1 ? 1 x2 ? x 2 ? x1 x1 x 2

由 x 1 , x 2 ? ( 0 , ?? ) ,得 x 1 x 2 ? 0 ,且 x 2 ? x 1 ? ? ? x ? 0 ,于是 ? y ? 0 所以, f ( x ) ?
1 x

在 ( 0 , ?? ) 上是减函数。

例2.将进货单价 40 元的商品按 50 元一个售出时,能卖出 500 个,若此商品每个涨价 1 元,其销售量减少 10 个,为了赚到最大利润,售价应定为多少? 解 : 设 利 润 为 y 元 , 每 个 售 价 为 x 元 , 则 每 个 涨 ( x - 50 ) 元 , 从 而 销 售 量 减 少
1 0 ( x ? 5 0 )个 , 共 售 出 5 0 0 - 1 0 ( x - 5 0 ) = 1 0 0 - 1 0 x ( 个 )

∴ y=(x-40)(1000-10x)
=-10(x-70) ? 9000
2

(5 0 ? x <100)

1

∴ x ? 7 0时

y m ax ? 9 0 0 0

答:为了赚取最大利润,售价应定为 70 元. 例3.求函数 y ? x ? 1 ? x 的最大值. 解:令 t ?
? ? (t ?
1 ? x ? 0 有 x ? ? t ? 1则
2

y ? ? t ? t ? 1 ? ? (t ?
2

1 2

) ?
2

5 4

?t ? 0

1 2

) ? 0
2

? ? (t ? 5 4 .

1 2

) ?
2

5 ? 4 4

5

?原函数的最大值为

例4.设 f ( x ) 在 R 上 是 奇 函 数 , 当 x >0 时, f ( x ) ? x (1 ? x ) ,试问:当 x <0 时, f ( x ) 的 表达式是什么? 解:当 x <0 时,- x >0,所以 f ( ? x ) ? ? x (1 ? x ) ,又因为 f ( x ) 是奇函数,所以
f ( x ) ? ? f ( ? x ) ? ? [ ? x (1 ? x )] ? x (1 ? x ) .皇冠开户 www.huangguan345.com

(三)反馈练习 一、选择题:
1.在区间 ( ?? , 0 ) 上为增函数的是 ( )
2

A. y

?1

B. y

?

x 1? x

? 2

C. y

? ?x

2

? 2x ?1

D. y

?1? x

2.已知定义在 R 上函数 y ? f ( x ) 满足 f (1) ? f (3) ,若 x 1 ? x 2 ,则关于 f ( x 1 ) , f ( x 2 ) 的大 小关系正确的是

A. f ( x 1 ) ?

f (x 2 )

B. f ( x 1 ) ?
? k x

f (x 2 )

C. f ( x 1 ) ?

f (x 2 )

( D.无法确定 (



3.已知函数 f ( x ) ? A. ( 0 , ?? )
2

在 ( 0 , ? ? ) 上单调递增,则实数 k 的取值范围是 B. ( ?? , 0 )
1 12



C. (1, ?? )
1 12 1 3

D. ( ?? ,1) ( )
1 12 ? 1 3

4.函数 f ( x ) ? 3 x ? 5 x ? 2 , x ? [ 0 , 2 ] 的值域是 A. [ 2 , 4 ] B. [ ?
, ?? )

C. [ ?

,2 ]

D. [ ?

,4 ]

5.如果二次函数 f(x)=3x2+bx+1 在(-∞, ? 函数,则 f(x)的最小值为 A. ?
11 12
2

? 上是减函数,在 ?
2 3

,+∞)上是增 ( )

B. ?

2 3
2

C.

11 12

D.

6. f ( x ) ? ( m ? 1) x ? ( m ? 2 ) x ? ( m ? 7 m ? 12 ) 为偶函数,则 m 的值是





A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7.如果奇函数 f ( x ) 在区间 [ 3, 7 ] 上是增函数且最大值为 5 ,那么 f ( x ) 在区间 ?? 7 , ? 3 ? 上是 ( ) A.增函数且最小值是 ? 5 B.增函数且最大值是 ? 5 C.减函数且最大值是 ? 5 D.减函数且最小值是 ? 5

2

8.如果函数 f ( x ) ? x ? b x ? c 对任意实数均有 f ( ? x ) ? f ( x ) ,那么
2





A. f ( ? 2 ) ? f (1) ? f (3) C. f ( ? 2 ) ? f (3) ? f (1)

B. f (3) ? f ( ? 2 ) ? f (1) D. f (1) ? f ( ? 2 ) ? f (3)

0 9. f ( x ) 是奇函数, 设 且在 (0, ? ? ) 内是增函数, f ( ? 3) ? 0 , x ? f x( ) ? 的解集是 又 则 ( )

A. ? x | ? 3 ? x ? 0 或 x ? 3? C. ? x | x ? ? 3 或 x ? 3?
2

B. ? x | x ? ? 3 或 0 ? x ? 3? D. ? x | ? 3 ? x ? 0 或 0 ? x ? 3?
2

10.已知函数 f ( x ) ? 2 x ? x , g ( x ) ? f ( 2 ? x ) ,关于函数 g ( x ) 的单调性的叙述正确的是 ( ) A. 在(-1,0)上是增函数 B.在(0,1)上是减函数 C. 在(1,+∞)上是减函数 D.在(-∞,-1)上是减函数

二、填空题:
11.函数 f ( x ) ? | x ? 2 | 的单调递减区间是________________. 12.奇函数 f ( x ) 在区间 [ 3 , 7 ] 上是增函数,在区间 [ 3 , 6 ] 上的最大值为 8 ,最小值为 ? 1 ,则
2 f ( ? 6 ) ? f (? 3 ) ? __________.

13.若函数 f ( x ) ? x ? 2 ( a ? 1) x ? 2 在 ? ? ? , 4 ? 上是单调递减的,则实数 a 的取值集合是
2

__ . 14.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 为减函数,若 a ? b ? 0 ,给出下列不等式: ① f (a ) ? f (? a ) ? 0 ; ③ f (b ) ? f ( ? b ) ? 0 ; 其中正确的是 ② f ( a ) ? f (b ) ? f ( ? a ) ? f ( ? b ) ; ④ f ( a ) ? f (b ) ? f ( ? a ) ? f ( ? b ) . (把你认为正确的不等式的序号全写上) .

三、解答题:
15.判断下列函数的奇偶性:
?1 2 x ? 1 ( x ? 0) ?2 ? (2) g ( x ) ? ? ?? 1 x 2 ? 1 ( x ? 0) ? 2 ?

(1) f ( x ) ?

x ? x
3

2

x ?1

16.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,已知 x ? 0 时, f ( x ) ? x ? 2 x
2

(1)画出偶函数 f ( x ) 的图象;

3

(2)根据图象,写出 f ( x ) 的单调区间;同时写出函数的值域。

17.已知函数 f ( x ) ? x ? 2 a x ? 2, x ? ? ? 5, 5 ? 。
2

(1)当 a ? ? 1 时,求函数的最大值和最小值; (2)求实数 a 的取值范围,使 y ? f ( x ) 在区间 ?? 5 , 5 ? 上是单调函数。

18.已知函数 f ( x ) ?

x ?1 x ?1

?x

? 1 ?,

(1)证明 f ( x ) 在 ?1, ?? ? 上是减函数。 (2)当 x ? ?3 ,5 ? 时,求 f ( x ) 的最小值和最大值。

19. 21、已知函数 f ( x ) 的定义域为 ? ? 7 , 7 ? ,且同时满足下列条件: (1) f ( x ) 是奇函数; (2) f ( x ) 在定义域上单调递减; (3) f (1 ? a ) ? f ( 2 a ? 5) ? 0, 求 a 的取值范围。

20. (本小题满分 9 分)已知函数 f(x) = x2 +mx – 4 在区间 [ 2 , 4 ] 上的两个端点分别取得最 大值和最小值。 (1) 求 m 的取值范围; (2) 试写出最大值 y 为 m 的函数关糸式; (3) 最大值 y 是否存在最小值?若有,请求出来;若无,请说明理由.

4

第三讲答案: 1. B 2. D 3. A
11. ( ?? , ? 2 ]

4. D

5. D

6. B 7. A 8. D

9. D

10. C 14. ①④

12. _15_

13. ?a a ? ? 3?

15.分析:先验证函数定义域的对称性,再考察 f ( ? x ) 是 否 等 于 f ( x ) 或 ? f ( x ) . 解: (1)f(x)的定义域为 ? x | x ? R 且 x ? 1? ,并不关于原点对称,所以它是非奇非偶函数。 (2)当 x >0 时,- x <0,于是 g ( ? x ) ? ? 当 x <0 时,- x >0,于是 g ( ? x ) ?
g ( x ) 是奇函数.

1 2

(? x) ? 1 ? ?(
2 2

1 2

x ? 1) ? ? g ( x )
2

1 2

(? x) ? 1 ?

1 2

x ? 1 ? ? (?
2

1 2

x ? 1) ? ? g ( x )
2

16. (1)

(2) 由 图 得 函 数 f ( x ) 的 递 减 区 间 是
( ?? , ? 1 ), ( 0 ,1 ). f ( x ) 的递增区间是 ( ? 1, 0 ), (1, ?? ).

值域为 ?y y ? ? 1? 17.(1) 当 a ? ? 1 时 , f ( x ) ? x ? 2 x ? 2 , x ?? ? 5 ,?5,
2

所以 f ( x ) ? ( x ? 1) ? 1, x ? ? ? 5, 5 ? ,故 f ( x ) 的最大值为 37,最小值为 1.
2

(2)当 a ? 5 时, y ? f ( x ) 在 ?? 5 , 5 ? 上是增函数; a ? ? 5 时, y ? f ( x ) 在 ?? 5 , 5 ? 上是减函数 18. (1)证明:设 1 ? x 1 ? x 2 , 则 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ?
x1 ? 1 x1 ? 1 ? x2 ? 1 x2 ? 1

?

? x1

? 1 ?? x 2 ? 1 ? ? ? x 2 ? 1 ?? x 1 ? 1 ?

? x1

? 1 ?? x 2 ? 1 ?

? ?

2 ? x 2 ? x1 ?

? x1

? 1 ?? x 2 ? 1 ?

? x 1 ? 1, x 2 ? 1, ? x 1 ? 1 ? 0 , x 2 ? 1 ? 0 , ? ( x 1 ? 1 ) ? x 2 ? 1 ? ? 0 , ? x 1 ? x 2 ,? x 2 ? x 1 ? 0 , ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 0 ? f ( x1 ) ? f ( x 2 )
? f ( x ) 在 ?1, ?? ? 上是减函数。

5

(2)? ?3 ,5 ? ? ?1, ?? ? ,? f ( x ) 在 ?3 ,5 ? 上是减函数,
? f ( x ) max ? f ( 3 ) ? 2 , f ( x ) min ? f ( 5 ) ? 1 . 5 ,

19. 解: 因为 ? 7 ? 1 ? a ? 7 , ? 7 ? 2 a ? 5 ? 7 , 又 f (1 ? a ) ? f ( 2 a ? 5) ? 0, 即 f (1 ? a ) ? ? f ( 2 a ? 5) ? f (5 ? 2 a ) 所以 1 ? a ? 2 a ? 5 ,即
a ? 2

故 ?1 ? a ? 2 20.解:(1) -
m 2

? 2 或-

m 2

? 4 ? m ? ?4 或 m ? ?8 .

(2) 当 m ? ? 4 时,x=4 时,最大值是 y=4m+12; 当 m ? ? 8 , x=2 时,最大值是 y=2m
m ? ?8 ?2m , (3) 当 m ? ? 4 且 m=-4 时有最小值是 y=-4;当 m ? ? 8 时,无最小值。

∴ y ? ?

? 4 m ? 12 ,

m ? ?4

.

综上所述,m 在它的取值范围内没有最小值。

6


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