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2017届河南省信阳市息县一高高三下学期第一次段考数学试卷(理科)(解析版)

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2016-2017 学年河南省信阳市息县一高高三(下)第一次段考数学试卷(理 科)
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若集合 A={x||x+1|=x+1},B={x|x2+x<0},则 A∩B=( A. (﹣1,0) B.[﹣1,0) C. (﹣1,0) D.[﹣1,0] 2.

复数 z 满足 z﹣1=(z+1)i,则 z 的值是( A.1+i B.1﹣i C.i D.﹣i ) ) )

3.双曲线 kx2﹣y2=1 的一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直,则此双曲线的离心率是( A. 4. A.5 B. B. C. D. )

的展开式中的第三项的系数为( C. D.

5.m,n 是不同的直线,α,β 是不重合的平面,下列说法正确的是( A.若 α∥β,m? α,n? β,则 m∥n B.若 m,n? α,m∥β,n∥β,则 α∥β C.m,n 是异面直线,若 m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则 α∥β D.若 α∥β,m∥α,则 m∥β



6.过点(2,3)的直线 l 与圆 C:x2+y2+4x+3=0 交于 A,B 两点,当弦|AB|取最大值时,直 线 l 的方程为( )

A.3x﹣4y+6=0 B.3x﹣4y﹣6=0 C.4x﹣3y+8=0 D.4x+3y﹣8=0 7.已知函数 y=2sinωx(ω>0)的图象与直线 y=﹣2 的相邻的两个公共点之间的距离为 则 ω 的值为( A. B. ) C.3 D. ,

8.已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体 积是( )

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A.

B.

C.2000cm3 D.4000cm3

9.袋中有 10 个外形相同的球,其中 5 个白球,3 个黑球,2 个红球,从中任意取出一球,已 知它不是白球,则它是黑球的概率是( A. B. C. D. ) )

10.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为(

A.133 B.134 C.135 D.136 11.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 cos2 = A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形 ,则△ABC 是( )

12.已知函数 f(x)=2x3﹣3x,若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切,则 t 的 取值范围为( A. (﹣∞,﹣3) ) B. (﹣3,﹣1) C. (﹣1,+∞) D. (0,1)

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.函数 y=f(x)的反函数为 y=log2x,则 f(﹣1)=
2页



14.已知 x,y 满足条件

的最大值为



15.已知 则△OAB 的面积是 .

=

,若△OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形,

16. 四棱锥 P﹣ABCD 的五个顶点都在半径为 则顶点 P 到平面 ABCD 距离的最大值为 .

的半球面上, 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形,

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.在等比数列 {an}中,已知 a1=3,公比 q≠1,等差数列{bn} 满足 b1=a1,b4=a2,b13=a3. (1)求数列{an}与 {bn}的通项公式; (2)记 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 18.某职称考试有 A,B 两门课程,每年每门课程均分别有一次考试机会,只要在连续两年内 两门课程均通过就能获得该职称.某考生准备今年两门课程全部参加考试,预测每门课程今 年通过的概率为 ;若两门均没有通过,则明年每门课程通过的概率为 ;若只有一门没过, 则明年这门课程通过的概率为 . (1)求该考生两年内可获得该职称的概率; (2)设该考生两年内参加考试的次数为随机变量 X,求 X 的分布列与数学期望. 19.设四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,且 PA⊥平面 ABCD,PA=AB,E 为 PD 中点. (1)求证:直线 PD⊥平面 AEB; (2)若直线 PC 交平面 AEB 于点 F,求直线 BF 与平面 PCD 所成的角的正弦值.

20.若 AB 是椭圆 C:

+

=1(a>b>c)垂直于 x 轴的动弦,F 为焦点,当 AB 经过焦点 F

时|AB|=3,当 AB 最长时,∠AFB=120°.
3页

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 N(4,0) ,连接 AN 与椭圆相交于点 M,证明直线 BM 恒过 x 轴定点. 21.函数 y=f(x)在 R 内可导,导函数 f′(x)是增函数,且 f′(x)>0,设 y=g(x)是曲线 y=f(x)在点(p,f(p) ) (其中 p∈R)处的切线方程. (1)证明:f(x)≥g(x) ,当且仅当 x=p 时等号成立; (2)若 g(a)=f(x0) ,证明:x0≤a; (3)若 ex>ln(x+m) (其中 x∈R 且 x>﹣m) ,证明:m< .

在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.在直角坐标系 xOy 中,在直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,点 O 为极点,x 轴

正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ. (1)求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程; (2)将曲线 C 上的各点的横坐标缩短为原来的 ,再将所得的曲线向左平移 1 个单位,得到 曲线 C1,求曲线 C1 上的点到直线 l 的距离的最大值. 23.已知函数 f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2 (Ⅰ)解不等式 f(x)≥0 (Ⅱ)若存在实数 x,使得 f(x)≤|x|+a,求实数 a 的取值范围.

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2016-2017 学年河南省信阳市息县一高高三(下)第一次段考数学 试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.若集合 A={x||x+1|=x+1},B={x|x2+x<0},则 A∩B=( A. (﹣1,0) B.[﹣1,0) C. (﹣1,0) D.[﹣1,0] 【考点】交集及其运算. 【分析】由集合 A={x||x+1|=x+1}={x|x≥﹣1},B={x|x2+x<0}={x|﹣1<x<0},则 A∩B 的 答案可求. 【解答】解:由集合 A={x||x+1|=x+1}={x|x≥﹣1},B={x|x2+x<0}={x|﹣1<x<0}, 则 A∩B={x|x≥﹣1}∩{x|﹣1<x<0}={x|﹣1<x<0}, 故选:A. )

2.复数 z 满足 z﹣1=(z+1)i,则 z 的值是( A.1+i B.1﹣i C.i D.﹣i



【考点】复数代数形式的乘除运算. 【分析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可. 【解答】解:复数 z 满足 z﹣1=(z+1)i, 可得 z= 故选:C. = =i.

3.双曲线 kx2﹣y2=1 的一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直,则此双曲线的离心率是( A. B. C. D.



【考点】双曲线的简单性质. 【分析】分析:已知双曲线 kx2﹣y2=1 的一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直,可求出渐近线的 斜率,由此求出 k 的值,得到双曲线的方程,再求离心率
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【解答】解:设双曲线 kx2﹣y2=1 为 直线 2x+y+1=0 的斜率为﹣2 ∵直线 ∴ ∴ 故选 A. 与直线 2x+y+1=0 垂直 即 a=2

,它的一条渐近线方程为

4. A.5 B.

的展开式中的第三项的系数为( C. D.



【考点】二项式系数的性质. 【分析】利用二项展开式的通项公式求出通项,令 r=2 得到展开式的第三项的系数. 【解答】解: (1+ x)5 展开式的通项 Tr+1=C5r15﹣r( x)r, 所以展开式的第三项的系数是=C5213( )2= . 故选:B.

5.m,n 是不同的直线,α,β 是不重合的平面,下列说法正确的是( A.若 α∥β,m? α,n? β,则 m∥n B.若 m,n? α,m∥β,n∥β,则 α∥β C.m,n 是异面直线,若 m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,则 α∥β D.若 α∥β,m∥α,则 m∥β



【考点】空间中直线与平面之间的位置关系;平面与平面之间的位置关系;平面与平面平行 的判定. 【分析】利用反例判断 A,B,D 的正误,利用平面平行的判定定理判断 C 的正误即可. 【解答】解:对于 A,若 α∥β,m? α,n? β,则 m∥n,也可能 m,n 是异面直线,所以 A 不正确; 对于 B,若 m,n? α,m∥β,n∥β,则 α∥β,当 m∥n 时,可能有 α∩β=l.所以 B 不正确; 对于 C,过 A 作 a∥m,b∥n,直线 a,b 是相交直线,确定平面 γ,由题意可得,γ∥β,γ∥α,
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∴α∥β,所以 C 正确; 对于 D,若 α∥β,m∥α,则 m∥β,也可能 m? β,所以 D 不正确; 故选:C.

6.过点(2,3)的直线 l 与圆 C:x2+y2+4x+3=0 交于 A,B 两点,当弦|AB|取最大值时,直 线 l 的方程为( )

A.3x﹣4y+6=0 B.3x﹣4y﹣6=0 C.4x﹣3y+8=0 D.4x+3y﹣8=0 【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】化圆的一般方程为标准方程,求出圆心坐标,再由直线方程的两点式得答案. 【解答】解:圆 C:x2+y2+4x+3=0 化为(x+2)2+y2=1, ∴圆心坐标 C(﹣2,0) , 要使过点(2,3)的直线 l 被圆 C 所截得的弦|AB|取最大值,则直线过圆心, 由直线方程的两点式得: 故选:A. ,即 3x﹣4y+6=0.

7.已知函数 y=2sinωx(ω>0)的图象与直线 y=﹣2 的相邻的两个公共点之间的距离为 则 ω 的值为( A. B. ) C.3 D.



【考点】三角函数的周期性及其求法. 【分析】利用正弦函数的最值和周期性,求得 ω 的值. 【解答】解:∵函数 y=2sinωx(ω>0)的图象与直线 y=﹣2 的相邻的两个公共点之间的距离 为 ∴ , = ,∴ω=3,

故选:C.

8.已知某个几何体的三视图如图,根据图中标出的尺寸(单位:cm) ,可得这个几何体的体 积是( )

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A.

B.

C.2000cm3 D.4000cm3

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图可知,几何体是四棱锥,一个侧面垂直底面,底面是正方形,根据数据计 算其体积. 【解答】解:如图,几何体是四棱锥,一个侧面 PBC⊥底面 ABCD,底面 ABCD 是正方形, . 故选 B.

9.袋中有 10 个外形相同的球,其中 5 个白球,3 个黑球,2 个红球,从中任意取出一球,已 知它不是白球,则它是黑球的概率是( A. B. C. D. )

【考点】等可能事件的概率. 【分析】本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球 的小球,共有 5 种结果,满足条件的事件是取出的球是一个黑球,共有 3 种结果,得到概率. 【解答】解:由题意知本题是一个等可能事件的概率, 试验发生包含的事件是从盒子中取出一个不是白球的小球,共有 5 种结果, 满足条件的事件是取出的球是一个黑球,共有 3 种结果, ∴根据等可能事件的概率得到 P= . 故选:D.
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10.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为(



A.133 B.134 C.135 D.136 【考点】程序框图. 【分析】根据程序框图可知 15(n﹣1)≥2015,解得即可. 【解答】解:由程序框图可知 15(n﹣1)≥2015, 解得 n﹣1≥135, 则 n≥136, 故选:D.

11.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 cos2 = A.直角三角形 B.等腰三角形或直角三角形 C.正三角形 D.等腰直角三角形

,则△ABC 是(



【考点】三角形的形状判断;同角三角函数基本关系的运用. 【分析】把利用二倍角公式可知 2cos2 ﹣1=cosA 代入题设等式求得 cosA 的值,进而判断出 三角形的形状. 【解答】解:∵cos2 = ∴cosA= , ∴△ABC 是直角三角形. 故选 A
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,2cos2 ﹣1=cosA,

12.已知函数 f(x)=2x3﹣3x,若过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切,则 t 的 取值范围为( A. (﹣∞,﹣3) ) B. (﹣3,﹣1) C. (﹣1,+∞) D. (0,1)

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】设出切点,由斜率的两种表示得到等式,化简得三次函数,将题目条件化为函数有 三个零点,得解. 【解答】解:设过点 P(1,t)的直线与曲线 y=f(x)相切于点(x,2x3﹣3x) , 则 =6x2﹣3,

化简得,4x3﹣6x2+3+t=0, 令 g(x)=4x3﹣6x2+3+t, 则令 g′(x)=12x(x﹣1)=0, 则 x=0,x=1. g(0)=3+t,g(1)=t+1, 又∵过点 P(1,t)存在 3 条直线与曲线 y=f(x)相切, 则(t+3) (t+1)<0, 解得,﹣3<t<﹣1. 故选:B.

二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13.函数 y=f(x)的反函数为 y=log2x,则 f(﹣1)= 【考点】反函数. 【分析】由题意,令 log2x=﹣1,求出 x,即可得出结论. 【解答】解:由题意,令 log2x=﹣1, ∴x= , ∴f(﹣1)= . 故答案为: . .

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14.已知 x,y 满足条件 【考点】简单线性规划.

的最大值为

5



【分析】先根据约束条件画出可行域,设 z=x+y,再利用 z 的几何意义求最值,只需求出直线 z=x+y 过可行域内的点 A 时,从而得到 z 值即可. 【解答】解:先根据约束条件画出可行域,设 z=x+y, 将最大值转化为 y 轴上的截距, 由 得 A(2,3) .

当直线 z=x+y 经过点 A(2,3)时,z 最大, 数形结合,将点 A 的坐标代入 z=x+y 得 z 最大值为:5, 故答案为:5.

15.已知 则△OAB 的面积是 2 .

=

,若△OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形,

【考点】向量在几何中的应用. 【分析】根据△OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形,得到向量垂直和向量模长相等的 条件,利用向量数量积的定义进行求解即可. 【解答】解:若△OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形, 则 ⊥ ,即 ? =0,

则( ﹣ )?( + )=0, 即| |2﹣| |2=0,
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则| |=| |= 又| |=|

, |,

即| ﹣ |=| + |, 平方得| |2+| |2﹣2 ? =| |2+| |2+2 ? , 得 ? =0, 则| 则| |2=| |2+| |2﹣2 ? =| |2+| |2=2+2=4, |=2, |?| |= =2.

则△OAB 的面积 S= | 故答案为:2

16. 四棱锥 P﹣ABCD 的五个顶点都在半径为 则顶点 P 到平面 ABCD 距离的最大值为 【考点】球内接多面体.

的半球面上, 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, ﹣1 .

【分析】求出球心到平面的距离,然后判断底面 ABCD 的中心与顶点 P 之间的距离即可. 【解答】解:四棱锥﹣ABCD 的底面是边长为 2 的正方形,点 P,A,B,C,D 均在半径为 同一半球面上, 则当顶点 P 到平面 ABCD 距离最大时,顶点 P 与底面 ABCD 的中心的连线经过球的中心, 四棱锥是正四棱锥,底面中心与顶点 P 之间的距离, 就是球的半径和球心与底面中心连线的长度之差. 球心到底面中心的距离为: 所求距离为: 故答案为: ﹣1. ﹣1. =1. 的

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.在等比数列 {an}中,已知 a1=3,公比 q≠1,等差数列{bn} 满足 b1=a1,b4=a2,b13=a3. (1)求数列{an}与 {bn}的通项公式; (2)记 cn=an?bn,求数列{cn}的前 n 项和 Sn. 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (1)利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出. (2)cn=an?bn=(2n+1)?3n,利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出. 【解答】解: (1)设等差数列{bn} 的公差为 d,∵b1=a1=3,b4=a2,b13=a3.
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∴3+3d=3q,3+12d=3q2,解得 q=3,d=2. ∴an=3n,bn=3+2(n﹣1)=2n+1. (2)cn=an?bn=(2n+1)?3n, ∴数列{cn}的前 n 项和 Sn=3×3+5×32+7×33+…+(2n+1)?3n, 3Sn=3×32+5×33+…+(2n﹣1)?3n+(2n+1)?3n+1, ∴﹣2Sn=3×3+2×(32+33+…+3n)﹣(2n+1)?3n+1=3+2× ∴Sn=n3n+1. ﹣(2n+1)?3n+1=﹣2n3n+1,

18.某职称考试有 A,B 两门课程,每年每门课程均分别有一次考试机会,只要在连续两年内 两门课程均通过就能获得该职称.某考生准备今年两门课程全部参加考试,预测每门课程今 年通过的概率为 ;若两门均没有通过,则明年每门课程通过的概率为 ;若只有一门没过, 则明年这门课程通过的概率为 . (1)求该考生两年内可获得该职称的概率; (2)设该考生两年内参加考试的次数为随机变量 X,求 X 的分布列与数学期望. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (1)根据条件,利用互斥事件的概率公式,求该考生两年内可获得该职称的概率; (2)确定 X 的取值,求出相应的概率,即可求 X 的分布列与数学期望. 【解答】解: (1)设该考生两年内可获得该职称为事件 A,则 P(A)= + × + × ×2= ;

(2)X 的取值为 2,3,4,则 P(X=2)= ,P(X=3)= ,P(X=4)= , ∴X 的分布列为 X P EX=2× +3× +4× =3. 2 3 4

19.设四棱锥 P﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,且 PA⊥平面 ABCD,PA=AB,E 为 PD 中点. (1)求证:直线 PD⊥平面 AEB; (2)若直线 PC 交平面 AEB 于点 F,求直线 BF 与平面 PCD 所成的角的正弦值.
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【考点】直线与平面所成的角;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)证明 PD⊥AE,PD⊥AB,推出直线 PD⊥平面 AEB. (2)以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,求出相关点的坐标,平面 PCD 的法 向量, 设直线 BF 与平面 PCD 所成的角为 θ, 利用空间向量的数量积求解,直线 BF 与平面 PCD 所成的角的正弦值. 【解答】 (1)证明:∵PA=AB=AD,E 为 PD 中点, ∴PD⊥AE,又 PA⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是正方形, ∴AB⊥面 PAD,则 PD⊥AB,且 AB∩AE=A,∴直线 PD⊥平面 AEB. (2)以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, ∵CD⊥面 PAD,∴AE⊥CD,且 AE⊥PD,则 AE⊥平面 PCD,即 为平面 PCD 的法向量,

.AB∥CD,AB∥平面 PCD,平面 AEB∩平面 AEFB=EF, B 0, 0) ∴EF∥AB∥CD, 又 E 为 PD 中点, ∴F 为 PC 中点, (1, , 设 直 线 BF 与 平 面 PCD 所 成 的 , 角 为 θ , ,



则直线 BF 与平面 PCD 所成的角的正弦值为



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20.若 AB 是椭圆 C:

+

=1(a>b>c)垂直于 x 轴的动弦,F 为焦点,当 AB 经过焦点 F

时|AB|=3,当 AB 最长时,∠AFB=120°. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知 N(4,0) ,连接 AN 与椭圆相交于点 M,证明直线 BM 恒过 x 轴定点. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题.

【分析】 (Ⅰ)通过

计算即得结论;

(Ⅱ)通过设 BM 直线方程并与椭圆方程联立,利用 A、N、M 三点共线,通过韦达定理代入 计算、整理即得结论.

【解答】 (Ⅰ)解:由题可知



解得

, ;

∴椭圆 C 的方程为:

(Ⅱ)证明:设 B(x1,y1) ,M(x2,y2) ,定点(x0,0) , 则 A(x1,﹣y1) ,BM 直线方程为:y=k(x﹣x0) , 联立 BM 与椭圆 C 的方程,消去 y 得: (3+4k2)2x2﹣8k2x0x+4k2 ∴x1+x2= ∴ ,x1x2= ﹣12=0, , =(4﹣x2,﹣y2) ,

=(4﹣x1,y1) ,

∵A、N、M 三点共线, ∴y2(4﹣x1)+y1(4﹣x2)=0, ∴4(y1+y2)﹣x1y2﹣x2y1=0, ∴4k(x1+x2﹣2x0)﹣2kx1x2+kx0(x1+x2)=0, ∴4 ( ﹣2x0)﹣2 +x0 +8k2x0=0,
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=0,

整理得:32k2﹣32k2x0﹣8k2

即(1﹣x0) (x0+4)=0, 解得:x0=1 或 x0=﹣4(舍) , ∴直线 BM 恒过 x 轴定点(1,0) .

21.函数 y=f(x)在 R 内可导,导函数 f′(x)是增函数,且 f′(x)>0,设 y=g(x)是曲线 y=f(x)在点(p,f(p) ) (其中 p∈R)处的切线方程. (1)证明:f(x)≥g(x) ,当且仅当 x=p 时等号成立; (2)若 g(a)=f(x0) ,证明:x0≤a; (3)若 ex>ln(x+m) (其中 x∈R 且 x>﹣m) ,证明:m< . 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;不等式的证明. 【分析】 (1)先利用点斜式表示出切线方程,比较 g(x)与 f(x)的大小可利用作差比较, 构造函数 h(x)=g(x)﹣f(x) ,然后利用导数研究函数 h(x)的单调性,求出函数 h(x) 的最大值,即可证得结论; (2)运用反证法,结合函数的单调性和(1)的结论,即可得到; (3)分离参数得,m< 值,从而结论得证. 【解答】证明: (1)y﹣f(p)=f'(p) (x﹣p) ∴g(x)=f′(p)x+f(p)﹣pf′(p) , 令 h(x)=g(x)﹣f(x) , 则 h'(x)=f'(p)﹣f'(x) ,h'(p)=0. 因为 f'(x)递增,所以 h'(x)递减, 因此,当 x>p 时,h'(x)<0; 当 x<p 时,h'(x)>0. 所以 p 是 h(x)唯一的极值点,且是极大值点, 可知 h(x)的最大值为 0,因此 h(x)≤0, 即 f(x)≥g(x) ,当且仅当 x=p 时等号成立; (2)由(1)可得 f(x)≥g(x) ,当且仅当 x=p 时等号成立, 由 f′(x)>0,f(x)为递增函数, 假设 x0>a,则 f(x0)>f(a) ,又 f(a)>g(a) , 即为 g(a)<f(x0) ,矛盾.
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﹣x,所以 m<[

﹣x]min,构造函数,F(x)=

﹣x,求最小

故 x0≤a; (3)因为 ex>ln(x+m)恒成立, 分离参数得,m< 所以 m<[ ﹣x,

﹣x]min, ﹣x,

构造函数,F(x)= 令 F'(x)=

?ex﹣1=0 得,ex+x=0,

记 g(x)=ex+x,单调递增,设该函数的零点为 x0, 因为 g(﹣1)<0,g(﹣ )>0,所以 x0∈(﹣1,﹣ ) , 因此 F(x)min=F(x)极小值=F(x0)=﹣(x0+ )<﹣(﹣ ﹣2)= ,

上式化简用到:①x0 满足方程 ex+x=0,②x0∈(﹣1,﹣ ) ,③双勾函数单调性. 所以 m< .

在第 22、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.在直角坐标系 xOy 中,在直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,点 O 为极点,x 轴

正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ. (1)求曲线 C 的直角坐标方程及直线 l 的普通方程; (2)将曲线 C 上的各点的横坐标缩短为原来的 ,再将所得的曲线向左平移 1 个单位,得到 曲线 C1,求曲线 C1 上的点到直线 l 的距离的最大值. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (I)消参数得出 l 的普通方程,根据极坐标与直角坐标的对应关系得出曲线 C 的普通 方程; (II)求出 C1 的方程,在 C1 上任意取一点 M(cosθ,2sinθ) ,代入点到直线的距离公式求出距 离的最大值. 【解答】解: (Ⅰ)直线 l 的普通方程为 ;

∵曲线 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ,∴ρ2=4ρcosθ, ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2+y2=4x,即(x﹣2)2+y2=4. (Ⅱ)设 P(x0,y0)为曲线 C 上任意一点,则 P′(
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﹣1,y0)为曲线 C1 上的点,

设 P′(x,y) ,则 x0=2x+2,y0=y, ∴4x2+y2=4,即 .

∴曲线 C1 的方程为:



设 M(cosθ,2sinθ)为曲线 C1 上任意一点, 则 M 到直线 l: ∴当 cos( 的距离为 )=1 时,d 取得最大值 = . .

23.已知函数 f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2 (Ⅰ)解不等式 f(x)≥0 (Ⅱ)若存在实数 x,使得 f(x)≤|x|+a,求实数 a 的取值范围. 【考点】绝对值不等式的解法. 【分析】 (Ⅰ)化简函数的解析式,分类讨论,求得不等式的解集. (Ⅱ)不等式即|x+ |﹣|x|≤ +1①,由题意可得,不等式①有解.根据绝对值的意义可得 |x+ |﹣|x|∈[﹣ , ],故有 +1≥﹣ ,由此求得 a 的范围.

【解答】解: (Ⅰ)函数 f(x)=|2x+1|﹣|x|﹣2=



当 x<﹣ 时,由﹣x﹣3≥0,可得 x≤﹣3. 当﹣ ≤x<0 时,由 3x﹣1≥0,求得 x∈?. 当 x≥0 时,由 x﹣1≥0,求得 x≥1. 综上可得,不等式的解集为{x|x≤﹣3 或 x≥1}. (Ⅱ)f(x)≤|x|+a,即|x+ |﹣|x|≤ +1①,由题意可得,不等式①有解. 由于|x+ |﹣|x|表示数轴上的 x 对应点到﹣ 对应点的距离减去它到原点的距离,故|x+ | ﹣|x|∈[﹣ , ], 故有 +1≥﹣ ,求得 a≥﹣3.
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2017 年 4 月 15 日

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