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2017届高考数学(文)(新课标)二轮专题复习课件:1-5 选择题、填空题解法

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高考调研 ·二轮重点讲练 ·数学(文)

专题5 选择题、填空题解法

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[思想方法概述] 1.选择题:(1)选择题在高考试卷中占有无比重要的位置, 解答选择题的基本策略是四个字——准确、迅速. 准确是解答选择题的先决条件.一步失误,造成错选,全

题无分.所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏; 初选后认真检验,确保准确.

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迅速是赢得时间获取高分的必要条件.数学高考选择题是 单项选择,应根据题目本身提供的条件、特征或信息以及不要 求书写解题过程的特点,灵活选用简单、合理的解法,避免繁 琐运算、避免小题大做.给解答题(特别是中档题目)留下充裕的 时间,争取得高分.高考中考生不适应能力型的考试,致使 “超时失分”(也叫“隐形失分”)是造成低分的一大因素.对于 选择题的答题时间,应该控制在不超过40分钟,速度越快越 好,高考要求每道选择题在1~3分钟内解完.

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(2)解数学选择题有两类基本技巧:一是直接法;二是间接 法.直接法:指充分利用题干和选项两方面提供的信息,快 速、准确地作出判断,是解选择题的基本策略;间接法:解选 择题时通过注意到通常各类常规题的解题思想来指导选择题的 解答,或根据选择题的特殊性,寻找存在着若干异于常规题的 特殊解法.一般在解选择题时应先考虑除直接法外的其它方 法,充分利用题干和选项两方面提供的信息,快速、准确地作 出判断,是解选择题的基本策略.

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2.填空题:填空题的主要作用是考查考生的基础知识、基 本技能以及分析推理能力,考查学生基本的数学方法.填空题 要求直接填写结果,不必写出计算或推理过程,其结果必须是 数值准确、形式规范、表达最简.

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填空题的主要特征是题目小、跨度大,知识覆盖面广,形 式灵活,突出考查考生准确、严谨、全面、灵活运用知识的能 力.近年来填空题作为命题组改革实验的一个窗口,出现了一 些创新题型,如阅读理解型、发散开放型、多项选择型、实际 应用型等,这些题型的出现,要求学生对每一个命题都进行认 真分析推理,只有全部命题判定准确才能得分,这种题目要求 更高,难度更大.

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《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、 合理、迅速”.因此,解填空题的基本策略是:快——运算要 快,力戒小题大作;稳——变形要稳,不可操之过急;全—— 答案要全,力避残缺不齐;活——解题要活,不要生搬硬套; 细——审题要细,不能粗心大意.

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热 点 调 研

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方法一 直接法 1.直接法是直接从题设出发,抓住命题的特征,利用定义、 性质、定理、公式等,经过变形、推理、计算、判断而得出结 果.这是解填空题时常用的基本方法. 2.拿到一个选择题应依据其所提供信息,迅速确定最佳解 法.而高考卷中大部分选择题需要用直接法求解.

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3.直接法的解题过程与常规解法基本相同,不同的是解选 择题时可利用选择支的暗示性,同时应注意:在计算和论证时 应尽量简化步骤,合理跳步,以提高解题速度,注意一些现成 结论的使用,如球的性质、正方体的性质,等差、等比数列的 性质等.

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(1)(2016· 新课标全国Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和 为27,a10=8,则a100=( A.100 C.98 ) B.99 D.97

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【解析】 设等差数列{an}的公差为d,因为{an}为等差数 列,且S9=9a5=27,所以a5=3.又a10=8,解得5d=a10-a5=5, 所以d=1,所以a100=a5+95d=98,选C. 【答案】 C

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x2 y2 (2)(2016· 郑州预测)设双曲线 + =1的一条渐近线为y= a b 1 2 -2x,且一个焦点与抛物线y= 4 x 的焦点相同,则此双曲线的方 程为( ) 5 2 B.5y -4x =1
2

5 2 A.4x -5y2=1 5 C.5x2-4y2=1

5 D.4y2-5x2=1

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【解析】 因为x2=4y的焦点为(0,1),所以双曲线的焦点 在y轴上.因为双曲线的一条渐近线为y=-2x,所以设双曲线
2 2 y x λ 4 2 2 的方程为y -4x =λ(λ>0),即 - =1,则λ+ 4 =1,λ= 5 , λ λ 4

5y2 所以双曲线的方程为 -5x2=1,故选D. 4 【答案】 D

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?ax+y=1, (3)(2016· 上海)设a>0,b>0.若关于x,y的方程组? ?x+by=1, 无解,则a+b的取值范围是________.

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【审题】 对方程组,利用代入法,消去y,得关于x的方 程,要使方程无解,得到关于a,b的关系式,再利用基本不等 式,即可得a+b的取值范围.

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【解析】 方法一:依题意,由ax+y=1得y=1-ax,代入 x+by=1得x+b(1-ax)=1,即(1-ab)x=1-b.由原方程组无解 得,关于x的方程(1-ab)x=1-b无解,因此1-ab=0且1- b≠0,即ab=1且b≠1. 又a>0,b>0,a≠b,ab=1,因此a+b>2 ab =2,即a+b的 取值范围是(2,+∞).

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方法二:由题意,关于x,y的方程组

? ?ax+y=1, ? ? ?x+by=1,

无解,则

直线ax+y=1与x+by=1平行且不重合,从而可得ab=1,且 a≠b. 又a>0,b>0,故a+b>2 +∞). 【答案】 (2,+∞) ab =2,即a+b的取值范围是(2,

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方法二 等价转化法 等价转化就是把未知解的问题转化到在已知知识范围内可 解的问题.通过不断的转化,把不熟悉、不规范、复杂的问题 转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题.在转化过程中, 一定要注意转化前后的等价性,如出现不等价转化,则需附加 约束条件.

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(1)(2016· 保定模拟)设命题p:|4x-3|≤1;命题q:x2 -(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈p是綈q的必要不充分条件,则实

数a的取值范围是( 1 A.(0, ) 2 1 C.[0,2]

) 1 B.(0, ] 2 1 1 D.(0,2)∪(2,+∞)

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【解析】 设A={x||4x-3|≤1},B={x|x2-(2a+1)x+a(a +1)≤0}. 1 1 解|4x-3|≤1,得2≤x≤1,故A={x|2≤x≤1}; 解x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,得a≤x≤a+1,故B= {x|a≤x≤a+1}.

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由綈p是綈q的必要不充分条件,可得p是q的充分不必要条

1 ? ?a≤ , 1 2 件,从而A?B,所以? 解得0≤a≤2. ? ?a+1≥1, 1 故所求实数a的取值范围是[0,2].故选C. 【答案】 C

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1 (2)(2016· 河北质检)若y1=sin2x1+ (x1∈[0,π ]),y2=x2+ 2 3,则(x1-x2)2+(y1-y2)2的最小值为( 5 2- 6 2 A. 12 π + 4 5 2- 6 2 C.( ) 4 2 B. 12 π (π-3 3+15)2 D. 72 )

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【解析】 设z=(x1-x2)2+(y1-y2)2,则z的几何意义是两 1 条曲线上动点之间的距离的平方,由y1=sin2x1+ 2 ,得y′1= 2cos2x1,直线y2=x2+3的斜率为1,由2cos2x1=1,解得2x1= π π 3+1 1 3 ,即x1= 6 ,此时y1=sin2x1+2 = 2 ,即函数y1=sin2x1+ π 3+1 1 2的图像在点( 6 , 2 )处的切线和直线y2=x2+3平行,

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π 3+1 | - +3| |π-3 3+15| 6 2 则最短距离d= = ,所以(x1-x2)2+ 2 6 2
2 (π- 3 3 + 15 ) (y1-y2)2的最小值为d2= ,故选D. 72

【答案】 D

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(3)函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(1)=0,当x<0 时,xf′(x)+f(x)>0,则使得f(x)<0成立的x的取值范围是( A.(-∞,-1)∪(0,1) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,1) )

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【解析】 设g(x)=xf(x),则g′(x)=xf′(x)+f(x). ∵当x<0时,xf′(x)+f(x)>0,∴当x<0时,g′(x)>0, ∴函数g(x)=xf(x)在(-∞,0)上为增函数.

∵函数f(x)是奇函数,∴g(-x)=(-x)f(-x)=(-x)[-f(x)] =xf(x)=g(x),

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∴函数g(x)为定义域上的偶函数, 由f(1)=0,得g(1)=0,函数g(x)的图像大致如图所示.
? ? ?x<0, ?x>0, g(x) 令f(x)<0? x <0,∴ ? 或? 由函数的 ? ? ?g(x)>0 ?g(x)<0,

图像得,-1<x<0或x>1, ∴使得f(x)<0成立的x的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞). 【答案】 B

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方法三 特值、特例法 1.特值、特例法是解答选择题的最佳方法之一,适用于解答 “对某一集合的所有元素、某种关系恒成立”,这样以全称判 断形式出现的题目,其原理是“结论若在某种特殊情况下不 真,则它在一般情况下也不真”,利用“小题小做”或“小题 巧做”的解题策略.

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2.当填空题已知条件中含有某些不确定的量,但填空题的 结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时,可 以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊 函数,或特殊角,特殊数列,图形特殊位置,特殊点,特殊方 程,特殊模型等)进行处理,从而得出探求的结论.这样可大大 地简化推理、论证的过程.

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(1)若0<a<b,且a+b=1,则下列四个数中最大的是 ( ) 1 A.2 C.2ab B.6 D.a2+b2

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1 2 【解析】 取a=3,b=3,代入四个选项中计算知选B. 【答案】 B 【讲评】 特例法是比较大小类选择题的一种常用方法.

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(2)(2016· 广州综合测试)已知点O为坐标原点,点M在双曲线 C:x2-y2=λ(λ为正常数)上,过点M作双曲线C的某一条渐近线 的垂线,垂足为N,则|ON|· |MN|的值为( λ A.4 C.λ λ B.2 D.无法确定 )

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【解析】 因为M为双曲线上任一点,所以可取M为双曲线 的右顶点,由渐近线y=x知△OMN为等腰直角三角形,此时 |OM|= λ,|ON|=|MN|= 【答案】 B λ λ ,所以|ON|· |MN|= . 2 2

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(3)已知等差数列{an}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数 a1+a3+a9 列,则 的值是________. a2+a4+a10

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【分析】 如果能举出一个已知的数列满足a1,a3,a9成等 比数列,那么各项均可求出,那么所求的值也就可求出. 【解析】 a1,a3,a9的下标成等比数列,故可令an=n,又 a1+a3+a9 13 易知它满足题设条件,于是 = . a2+a4+a10 16 13 【答案】 16

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(4)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若 cos A+cos C a、b、c成等差数列,则 =________. 1+cos Acos C

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【解析】 法1:取特殊值a=3,b=4,c=5,则cosA= cosA+cos C 4 4 5,cosC=0,1+cos AcosC=5. π 1 法2:取特殊角A=B=C= 3 ,cosA=cosC=2, cos A+cos C 4 = . 1+cos Acos C 5 4 【答案】 5

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方法四 数形结合法 1.“数”与“形”是数学这座高楼大厦的两块最重要的基 石,二者在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条件 下可以互相转化.在解答选择题的过程中,可以先根据题意, 做出草图,然后参照图形的做法、形状、位置、性质,综合图 像的特征,得出结论. 2.对于一些含有几何背景的填空题,若能根据题目条件的 特点,作出符合题意的图形,做到数中思形,以形助数,并通 过对图形的直观分析、判断,则往往可以简捷地得出正确的结 果.
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(1)方程|x|=cosx在(-∞,+∞)内( A.没有根 C.有且仅有两个根 B.有且仅有一个根 D.有无穷多个根

)

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【分析】 数形结合法,构造函数并画出函数的图像,观 察直观判断. 【解析】 构造两个函数y=|x|和y=cosx,在同一个坐标系 内画出它们的图像,如图所示,观察知图像有两个公共点,所 以已知方程有且仅有两个根.

【答案】 C

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(2)方程x+lgx=3的解x0∈( A.(0,1) C.(2,3)

) B.(1,2) D.(3,+∞)

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【解析】 x0满足lgx=-x+3,如图在同一坐标系中作出y =lgx和y=-x+3的图像.由图知x0∈(2,3),故选C.

【答案】 C

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(3)若不等式 9-x2≤k(x+2)- 2的解集为区间[a,b],且b -a=2,则k=________.

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【解析】 令y1= 9-x2 ,y2=k(x+2)- 2 ,在同一个坐 标系中作出其图像. 因 9-x2 ≤k(x+2)- 2 的解集为[a,b]且b-a=2,结合图 像知b=3,a=1,即直线与圆的交点坐标为(1,2 2 2+ 2 = 2. 1+2 【答案】 2 2 ).∴k=

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(4)不等式 x <logax 范围是________.

2

? 1? 在?0,2?范围内恒成立,则实数 ? ?

a 的取值

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【解析】 不等式 x <logax 上的最大值不大于 logax

2

? ? 1? 1? 2 在?0,2?上恒成立, 即 x 在?0,2? ? ? ? ?

? 1? 在?0,2?上的最小值,画出简图易知 ? ?

a>1

0<a<1, ? ? 1 不合题意.故 0<a<1.据题意,得?1 1 解得16≤a<1. ≤loga , ? 2 ?4 【答案】
?1 ? ? ,1? ?16 ?

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方法五 排除法 1.排除法也叫淘汰法,就是充分运用选择题中单选题的特 征,即有且只有一个正确选择支这一信息,从选择支入手,根 据题设条件与各选择支的关系,通过分析、推理、计算、判 断,对选择支进行筛选,将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排 除,从而获得正确结论的方法.使用该法的前提是“答案唯 一”,即四个选项中有且只有一个答案正确.

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排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题,当题目中 的条件多于一个时,先根据某些条件在选项中找出明显与之矛 盾的予以否定,再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛 盾,这样逐步筛选,直至得出正确的答案.排除法也常与特值 法、图解法等结合使用,是解高考选择题的常用方法之一.

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2.多选型填空题:给出若干个命题或结论,要求从中选出 所有满足题意的命题或结论.这类题不论多选还是少选都是不 能得分的,相当于多项选择题.它的思维要求不同于一般的推 理过程,而是要求从结论出发逆向探究条件,且结论不唯 一.此类问题多涉及定理、概念、符号语言、图形语言.因 此,要求同学们有扎实的基本功,能够准确的阅读数学材料, 读懂题意,根据新的情景,探究使结论成立的充分条件.判断 命题是真命题必须通过推理证明,而判断命题是假命题,举反 例是最有效的方法.

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(1)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)上单调递 增的是( ) B.y=sinx D.y=lnx2

A.y=ex C.y= x

【解析】 函数是偶函数,排除A,B,C. 【答案】 D

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(2)与向量a=(7,1),b=(1,-7)的夹角相等,且模为1的 向量是( )

4 3 A.( ,- ) 5 5 4 3 4 3 B.(5,-5)或(-5,5) 2 2 1 C.( ,- ) 3 3 2 2 1 2 2 1 D.( 3 ,-3)或(- 3 ,3)

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【解析】 容易知道符合题意的向量有两个,所以先排除 A、C两项,由于a,b的模相等,故所求向量应与a+b=(8,-6) 共线,从而答案选B项. 【答案】 B

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1 1 (3)(2016· 天津)已知函数f(x)=sin + sinω x- (ω>0),x∈ 2 2 2 R.若f(x)在区间(π ,2π )内没有零点,则ω的取值范围是( 1 A.(0, ] 8 5 C.(0,8] 1 5 B.(0, ]∪[ ,1) 4 8 1 1 5 D.(0,8]∪[4,8] )

2ωx

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1 1 1 1 1 【解析】 f(x)= (1-cosωx)+ sinωx- = sinωx- cos 2 2 2 2 2 π π 2 1 2 1 ωx= 2 sin(ωx- 4 ),当ω= 2 时,f(x)= 2 sin( 2 x- 4 ),x∈ 1 2 3 (π,2π)时,f(x)∈( , ],无零点,排除A,B;当ω= 2 2 16 π 2 3 时,f(x)= 2 sin(16 x- 4 ),x∈(π,2π)时,0∈f(x),有零点, 排除C.故选D. 【答案】 D

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(4)已知两条直线m,n,两个平面α,β .给出下面四个命 题:①m∥n,m⊥α ?n⊥α ;②α∥β,m?α ,n?β ?m∥ n;③m∥n,m∥α ?n∥α ;④α∥β,m∥n,m⊥α ?n⊥β . 其中正确命题的序号是________.

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【解析】 由α∥β,m?α,n?β?m∥n或m,n异面, ∴②错,由m∥n,m∥α?n∥α或n?α,∴③错,故①④正 确. 【答案】 ①④

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方法六 估算法 有些问题(主要针对选择题),由于条件限制,无法(有时也 没有必要)进行精确的运算和判断,而只能依赖于估算.估算实 质上是一种粗略的算法,它以正确的算理为基础,通过合理观 察、比较、推理、判断,从而作出正确的判断;也即把有关的 数值作出扩大或缩小,从而对运算结果确定出一个范围或作出 一个估计的方法.

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(1)做一个面积为1

m2,形状为直角三角形的铁架

框,用下列四种长度的铁管,最合理(够用,且浪费最少)的是 ( ) A.4.6 m C.5 m B.4.8 m D.5.2 m

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1 【解析】 设两直角边为a、b,则 ab=1,∴ab=2. 2 ∴l=a+b+ a2+b2≥2 ab+ 2ab,当且仅当 a=b= 2时,等号成立. ∵2 2+2≈4.828.∴钢管长度选5 m最合适. 【答案】 C

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(2)如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则直线 BC1与对角面BB1D1D所成的角是( )

A.90° C.45°

B.60° D.30°

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【解析】 由图形观察估值,连接A1C1与B1D1交于点O,则 ∠C1BO即为BC1与平面BB1D1D所成的角.因为∠C1BO在平面 ABCD内的射影为∠DBC=45°,故∠C1BO<∠DBC=45°,而 在选择支中只有30°<45°,故选D. 【答案】 D

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(3)在平面直角坐标系中,A(-1,0),B(3,0),点C在直线 y=2x-2上,若∠ACB>90°,则点C的纵坐标的取值范围是 ( ) A.(-∞, 4 5 4 5 )∪( ,+∞) 5 5

2 5 2 5 B.(1- 5 ,1+ 5 ) 4 5 4 5 C.(- 5 ,0)∪(0, 5 ) 4 5 4 5 D.(- , ) 5 5

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【解析】 如图所示,M、N在直线y=2x-2上,且∠AMB =∠ANB=90°,则点C应位于M、N两点之间,故点C的纵坐 标应属于某一开区间.又点C的纵坐标显然也可以为负值,故选 D.

【答案】 D

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(4)棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过 该球球心的一个截面如图,则图中三角形(正四面体的截面)的面 积是( )

2 A. 2 C. 2

3 B. 2 D. 3

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【分析】 作出截面,易知正四面体的截面的面积应大于 1 侧面积的2,小于侧面面积. 1 【解析】 棱长为2的正四面体的一个侧面面积记为S1= × 2 3 2×2× 2 = 3 ,显然图中三角形(正四面体的截面)的面积介于 3 与 3两者之间,从而选C. 2 【答案】 C

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方法七 模型、构造法 1.物以类聚,题以群分,每道题都可以归入一个“群”,一 个特定的“群”.每个“群”都有通性通法,这个通性通法也 就是模型法.利用模型法,可以节省大量的宝贵时间,为解答 题提供充足的思考空间!

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2.构造法解填空题,需要利用已知条件和结论的特殊性构 造出新的数学模型,从而简化推理与计算过程,使较复杂的数 学问题得到简捷的解决,它来源于对基础知识和基本方法的积 累,需要从一般的方法原理中进行提炼概括,积极联想,横向 类比,从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感,构造出相应的函 数、概率、几何等具体的数学模型,使问题快速解决.

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(1)若2x+5y≤2-y+5-x,则有( A.x+y≥0 C.x-y≤0 B.x+y≤0 D.x-y≥0

)

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高考调研 ·二轮重点讲练 ·数学(文)

【解析】 把不等式变形为2x-5-x≤2-y-5y,构造函数y= 2x-5 x,其为R上的增函数,所以有x≤-y,故选B.


【答案】 B

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高考调研 ·二轮重点讲练 ·数学(文)

(2)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数,其导函数记为 f′(x),若对于任意实数x,有f(x)>f′(x),且y=f(x)-1为奇函 数,则不等式f(x)<ex的解集为( A.(-∞,0) C.(-∞,e4) ) B.(0,+∞) D.(e4,+∞)

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高考调研 ·二轮重点讲练 ·数学(文)

f(x) 【解析】 令g(x)= x , e f′(x)· ex-f(x)· ex f′(x)-f(x) 则g′(x)= = <0. ex (ex)2 ∴g(x)在R上是减函数.又y=f(x)-1为奇函数,∴f(0)-1= f(x) 0,∴f(0)=1,g(0)=1,∴原不等式等价于g(x)= <1= ex g(0),∴x>0,故选B. 【答案】 B

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高考调研 ·二轮重点讲练 ·数学(文)

(3)平行六面体的各棱长均为4,在其顶点P所在的三条棱上 分别取PA=1,PB=2,PC=3,则棱锥P-ABC的体积是平行六 面体的体积的( 1 A.64 1 C. 32 ) 3 B.64 3 D. 32

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高考调研 ·二轮重点讲练 ·数学(文)

【解析】 由已知可将平行六面体模型化为正方体,则有 1 1 V正方体=64,VP-ABC=3×2×1×2×3=1,选A. 【答案】 A

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高考调研 ·二轮重点讲练 ·数学(文)

(4)平面α外有两条直线m和n,如果m和n在平面α内的射影分 别是直线m1和直线n1,给出下列四个命题:①m1⊥n1?m⊥n; ②m⊥n?m1⊥n1;③m1与n1相交?m与n相交;④m1与n1平行? m与n平行. 其中不正确的命题是________.

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高考调研 ·二轮重点讲练 ·数学(文)

【解析】 如图,在正方体ABCD- A1B1C1D1中,AD1,AB1,B1C,DC在底面 上的射影分别是A1D1,A1B1,B1C1, D1C1.A1D1⊥A1B1,但AD1不垂直于AB1,故 ①不正确;AD1⊥B1C,但A1D1∥B1C1,故 ②不正确;A1D1与D1C1相交,但AD1与DC异面,故③不正确; A1D1与B1C1平行,但AD1与B1C异面,故④不正确. 【答案】 ①②③④

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