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高中数学培优训练一(含详细解析及答案)


高中数学培优训练一
高等数学一直以来被莘莘学子认为是不可逾越的大山,其实不然,只要掌握适当的方法与技巧,多进 行一些培优训练,多对思维做一些培优性的练习,就一定能克服困难,成为“学霸” ,轻松解决试卷中 的培优题! ! !
1.已知椭圆 C:

x2 y 2 15 ,F1 , F2 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上任意一点,且 ?PF ? 2

? 1? a ? b ? 0? 的离心率为 1 F2 2 a b 4

的周长是 8 ? 2 15 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设圆 T: ? x ? t ? ? y 2 ?
2

4 ,过椭圆的上顶点作圆 T 的两条切线交椭圆于 E , F 两点,当圆心在 x 轴上移动且 9

t ? ?1,3? 时,求 EF 的斜率的取值范围.
2.若函数 f ? x ? 是定义域 D 内的某个区间 I 上的增函数,且 F ? x ? ? “单反减函数” ,已知 f ? x ? ? ln x, g ? x ? ? 2 x ?

f ? x? 在 I 上是减函数,则称 y ? f ? x ? 是 I 上的 x

2 ? a ln x(a ? R ) x

(1)判断 f ? x ? 在 ? 0,1? 上是否是“单反减函数” ; (2)若 g ? x ? 是 ?1, ?? ? 上的“单反减函数” ,求实数 a 的取值范围. 3.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,底面 ABCD 是梯形,其中 AD // BC ,BA ? AD ,AC 与 BD 交于点 O , 且 AM ? 2BM , 已知 PA ? AD ? 4 ,AB ? 3 , M 是 AB 边上的点, BC ? 2 . P

N M B

A O C

D

(1)求平面 PMC 与平面 PAD 所成锐二面角的正切; PN (2)已知 N 是 PM 上一点,且 ON // 平面 PCD ,求 的值. PM 4.已知等差数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 、 a7 ? 3 、 a 8 成等比数列,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn ? an ? 1 (其中 a 为正常 数) (1)求 ?an ? 的前项和 Sn ; (2)已知 a2 ? N * , I n ? a1b1 ? a2b2 ???? ? anbn ,求 I n

试卷第 1 页,总 5 页

5 . 设

? ? ? ? ? R, f? ?x ? a ?, b 其 中 a ? ? cos x,sin x ? , b ? ? ? sin x ? cos x, cos( ? x) ? , 已 知 f ? x ? 满 足
? 2 ?

? ?? f ? ? ? ? f ? 0? ? 3?
(1)求函数 f ? x ? 的单调递增区间; (2)求不等式 2 cos( 2 x ?

?
6

) ? 3 的解集。
2 an 1 a ? ? an ,(n ? N? ) , , n ?1 2 ?

6. (本题满分 14 分)各项为正的数列 ?an ? 满足 a1 ?

(1)取 ? ? an?1 ,求证:数列 ?

? an ?1 ? ? 是等比数列,并求其公比; ? an ?

(2)取 ? ? 2 时令 bn ?

1 ,记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,数列 ?bn ? 的前 n 项之积为 Tn ,求证:对任意正整 an ? 2

数 n , 2n?1Tn ? Sn 为定值 7. (本题满分 15 分)函数 f ( x) ? 2ax ? 2bx ? a ? b(a, b ? R, a ? 0) , g ( x) ? 2ax ? 2b
2

(1)若 ? ? ?0, ? 时,求 f (sin ? ) 的最大值; 2 (2)设 a ? 0 时,若对任意 ? ? R ,都有 | f (sin ? ) |≤1 恒成立,且 g (sin ? ) 的最大值为 2,求 f ( x ) 的表达式.

? ?? ? ?

x2 y 2 1 2 2 8. (本题满分 15 分)已知椭圆 2 ? 2 ? 1, (a ? b ? 0) ,离心率 e ? ,且过点 (2 2 , ) , a b 3 3
(1)求椭圆方程; (2) Rt ?ABC 以 A(0, b) 为直角顶点,边 AB, BC 与椭圆交于 B, C 两点,求 ?ABC 面积的最大值. 9. (本题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? x ? (2a ? 1) x ? a ln x, a ? R
2

(1)当 a ? 1, 求 f ( x) 的单调区间;

1, e? 上的最小值; (2) a >1 时,求 f ( x) 在区间 ?
(3) g ( x) ? (1 ? a) x, 若 ?x0 ? ? , e? 使得 f ( x0 ) ? g(x0 ) 成立,求 a 的范围. e 10. (本小题满分 13 分)已知抛物线 C1 : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点
2

?1 ? ? ?

F

以及椭圆 C2 :

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的上、下 a 2 b2

焦点及左、右顶点均在圆

上.

O : x ? y ?1
2 2

试卷第 2 页,总 5 页

(1)求抛物线 C1 和椭圆 C2 的标准方程; (2) 过点 F 的直线交抛物线

C1

于 A 、B 两不同点,交

轴于点 N , 已知 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF , 求证 : ?1 ? ?2 为

y

定值. 11. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前项 n 和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 f ( x) ? 3x ? 2 x 的图象上。
2

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 bn ?

3 , Tn 是数列 ?b ?的前 n 项和,求使得 2T ? ? ? 2015对所有 n ? N ? 都成立的实数 ? 的范围. n n an an?1
, CD ∥ AB , AB ? 4 , AD ? CD ? 2 ,

12. (本题满分 12 分)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,

?ADC ? 900
将 ?ADC 沿 AC 折起,使平面 ADC ? 平面 ABC ,得到几何体 D ? ABC ,如图 2 所示.

(1)求证: BC ? 平面 ACD ; (2)求几何体 D ? ABC 的体积. 13. (本题满分 12 分)有编号为 A1 , A2 , , A10 的 10 个零件,测量其直径(单位:cm) ,得到下面数据: 编号 直径

A1
1.51

A2
1.49

A3
1.49

A4
1.51

A5
1.49

A6
1.51

A7
1.47

A8
1.46

A9
1.53

A10
1.47

其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品. (1)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率; (2)从一等品零件中,随机抽取 2 个. (i)用零件的编号列出所有可能的抽取结果; (ii)求这 2 个零件直径相等的概率. 14. (本题满分 12 分)已知向量 p =(2sin x, 3 cos x) , q =(-sin x,2sin x) ,函数 f(x)= p · q (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 f(C)=1,c=1,ab=2 3 ,且 a>b,求 a,b 的值. 15. (本题满分 14 分) )已知 f ( x) ? mx ? a ln x ? m, g ( x) ? (1)求

ex ,其中 m, a 均为实数, ex

g ( x)

的极值;
试卷第 3 页,总 5 页

(2)设 (3)设

m = 1, a = 0

,求证:对 ?x1 , x2 ? ?3, 4? ( x1 ? x2 ), f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

ex2 ex ? 1 恒成立; g ( x2 ) g ( x1 )
f (t1 ) ? f (t 2 ) ? g ( x0 )
成立,

a?2

,若对 ? 给定的

x0 ? ?0, e?

,在区间

?0, e?

上总存在 t1 , t 2 (t1 ? t 2 ) 使得

求 m 的取值范围. 16. (本小题满分 13 分)已知椭圆 为椭圆的右顶点, OA ? OC ? (1)求椭圆的方程; (2)若椭圆上存在两点 E , F 使 OE ? OF ? ?OA, ? ? (0, 2) ,求 ?OEF 面积的最大值. 17. (本小题满分 12 分)已知数列 ?an ? 的前项 n 和为 Sn ,点 (n, Sn )(n ? N ? ) 均在函数 f ( x) ? 3x 2 ? 2 x 的图象上。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

x2 y 2 6 + 2 ? 1, (a ? b ? 0) 的离心率 e= ,直线 y ? x 与椭圆交于 A,B 两点,C 2 a b 3

3 2

(2)设

bn ?

3 , Tn 是数列 ?bn ?的前 n 项和,求使得 2Tn ? ? ? 2015对所有 n ? N ? 都成立的实数 ? 的范围. an an?1

? 18. (本题满分 12 分) 如图 1 在 Rt?ABC 中,?ABC ? 90 , D、 E 分别为线段 AB 、 AC 的中点,AB ? 4, BC ? 2 2 . 以

DE 为折痕,将 Rt?ADE 折起到图 2 的位置,使平面 A?DE ? 平面 DBCE ,连接 A?C , A?B ,设 F 是线段 A?C 上的动
点,满足 CF ? ? CA? .

C

A?
E
图1

F

C

E

A

D

B

D
图2

B

(1)证明:平面 FBE ? 平面A?DC ;
° (2)若二面角 F ? BE ? C 的大小为 45 ,求 ? 的值.

19. (本题满分 12 分)雅安市某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位:分钟) ,并将所得数 据绘制成频率分布直方图(如图) ,其中上学路上所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20) ,[20,40) , [40,60) ,[60,80) ,[80,100].

试卷第 4 页,总 5 页

(1)求直方图中 x 的值; (2)如果上学路上所需时间不少于 1 小时的学生可申请在学校住宿,若招生 1200 名,请估计新生中有多少名学生 可以申请住宿; (3)从学校的高一学生中任选 4 名学生,这 4 名学生中上学路上所需时间少于 20 分钟的人数记为 X,求 X 的分布 列和数学期望. (以直方图中的频率作为概率) 20. (本题满分 12 分)已知向量 p =(2sin x, 3 cos x) , q =(-sin x,2sin x) ,函数 f(x)= p · q (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 f(C)=1,c=1,ab=2 3 ,且 a>b,求 a,b 的值.

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参考答案 1. (1)

x2 ? 6 ? ? y 2 ? 1; (2) ? ,18 ? . 16 ? 25 ?

【解析】 试题分析: (1)利用椭圆的离心率和椭圆的定义得到 a , b, c 的关系式进行求解; (2)设出圆的切线方程,利用直线 与圆相切,得到 k , t 的关系式以及两条切线的斜率的关系,分别联立切线与椭圆的方程,求得 E , F 的坐标,求出斜 率,再利用函数的单调性求其最值. 试题解析: (1)由 e ?

15 ,可知 a ? 4b , c ? 15b 4

因为 ?PF 1 F2 的周长是 8 ? 2 15 ,所以 2a ? 2c ? 8 ? 2 15 , 所以 a ? 4, b ? 1 ,所求椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 16

4分

(2)椭圆的上顶点为 M ?0,1? ,设过点 M 与圆 T 相切的直线方程为 y ? kx ? 1 , 由直线 y ? kx ? 1 与 T 相切可知
2 2 即 9t ? 4 k ? 18tk ? 5 ? 0

kt ? 1

2 ? , k 2 ?1 3

?

?

? k1 ? k2 ? ?

18t , 9t 2 ? 4

k1k2 ?

5 , 9t ? 4
2

6分

? y ? k1 x ? 1 ? 2 2 由 ? x2 得 ?1 ? 16k1 ? x ? 32k1 x ? 0 2 ? ? y ?1 ?16
? xE ? ? 32k1 1 ? 16k12
同理

xF ? ?

32k2 1 ? 16k2 2

8分

kEF ?
?

yE ? yF ? k1 xE ? 1? ? ? k2 xF ? 1? k1 xE ? k2 xF ? ? xE ? xF xE ? xF xE ? xF
11 分

k1 ? k2 6t ? 1 ? 16k1k2 28 ? 3t 2

当 1 ? t ? 3 时, f ? t ? ?

6t ? 6 ? 为增函数,故 EF 的斜率的范围为 ? ,18 ? 2 28 ? 3t ? 25 ?

14 分

考点:1.椭圆的标准方程;2.直线与椭圆的位置关系;3.直线与圆的位置关系. 2. (1)不是; (2) 0 ? a ? 4 . 【解析】
答案第 1 页,总 23 页

试题分析: (1)先判定 f ( x) 的单调性,则利用导数判定 F ( x ) 的单调性即可; (2)根据定义,将函数的单调性转化 为导函数恒为正或恒为负进行求解. 试题解析:1)由于 f ( x) ? ln x ,在 ?0,1? 上是增函数,且 F ( x ) ?

f ( x ) ln x ? , x x

? F ' ( x) ?

1 ? ln x ,? x ? ?0,1? 时, F ' ( x) ? 0 , F ( x ) 为增函数, 2 x
6分

即 f ( x) 在 ?0,1? 上不是“单反减函数”; (2)? g ( x ) ? 2 x ?

2 x 2 ? ax ? 2 2 ? a ln x , g ' ( x) ? , x x2

8分

? g ( x) 是 ?1,??? 上的“单反减函数”,

g ' ( x) ? 0 在 ?1,??? 恒成立, ? g ' (1) ? 0 ,即 a ? 0 ,
又 G ( x) ? 9分

g ( x) 2 a ln x ? 2? 2 ? 在 ?1,??? 是减函数, x x x 4 a (1 ? ln x) ? 0 在 ?1,??? 恒成立, ?G' ( x) ? 0 在 ?1,??? 恒成立,即 ? 3 ? x x2
11 分

即 ax ? ax ln x ? 4 ? 0 在 ?1,??? 恒成立,
'

令 p( x) ? ax ? ax ln x ? 4 ,则 p ( x) ? ?a ln x ,

?a ? 0 ,解得 0 ? a ? 4 , ?? ? p(1) ? 0
综上所述 0 ? a ? 4 . 14 分 考点:1.新定义型题目;2.函数的单调性与导数的关系. 3. (1)

1 2 ; (2) . 2 2

【解析】 试题分析: (1)作出辅助线,利用有关垂直得到二面角的平面角,再利用直角三角形进行求解; (2)根据线面平行 的性质,得到线线平行,进而利用平行线分线段成比例求解. 试题解析: (1)连接 CM 并延长交 DA 的延长线于 E ,则 PE 是平面 PMC 与平面 PAD 所成二面角的棱,过 A 作 AF 垂直 PE 于 F ,连接 MF

? PA ? 平面 ABCD ,? PA ? MA ,又 MA ? AD,? MA ? 平面 PDA

? AF ? PE ,? MF ? PE , , ? ? MFA 是平面 PMC 与平面 PAD 所成锐二面角的平面角 3 分

? BC ? 2, AD ? 4, BX // AD, AM ? 2MB

答案第 2 页,总 23 页

? AE ? 4 ,又 PA ? 4, AF ? 2 2

tan ?MFA ?

MA 2 ? FA 2

所以平面 PMC 与平面 PAD 所成锐二面角的正切为 (2)连接 MO 并延长交 CD 于 G ,连接 PG ? ON // 平面 PCD , ? ON // PG 在 ?BAD 中, ∵ ∴

2 2

6分

BO BC 1 BM 1 ? ? ,又 ? OD AD 2 MA 2
9分

BO BM ? OD MA

? MO // AD

4 , 3 PN 1 ? ON // PG ,? PN ? MN ,所以 ? PM 2
又在直角梯形 ABCD 中, MO ? OG ?

12 分

考点:1.二面角的求法;2.线面平行的性质与判定.

?0, a ? 1 3 2 55 ? n ? n; 4. (1) S n ? (2) I n ? ? n a n ? 1 . 58 58 , a ? 0, a ? 1 ?na ? a ?1 ?
【解析】 试题分析: (1)设 ?an ? 的公差是 d ,利用首项与公差表示有关项,利用等比中项求出公差,再利用等差数列的求 和公式进行求解; (2)利用错位相减法进行求和. 试题解析: (1)设 ?an ? 的公差是 d ,则

a2 a8 ? ? a7 ? 3?

2

? ?1 ? d ??1 ? 7 d ? ? ?1 ? 6d ? 3?
4分

2

? d ? 1或 d ?

3 29

当 d=1 时, S n ? n ?1 ?

1 1 n ? n ? 1? ?1 ? n ? n ? 1? 2 2
答案第 3 页,总 23 页

当d ? (2)

3 1 3 3 55 ? n2 ? n 时, S n ? n ? 1 ? n ? n ? 1? ? 29 2 29 58 58

6分

a2 ? N

? an ? n

当 n ? 1 时, b1 ? a ? 1 当 n ? 2 时, bn ? Tn ? Tn?1 ? a
n?1

? a ?1?
8分

b1 ? a ?1 ? a1?1 ? a ?1?

?bn ? an?1 ? a ?1?? n ? N *?
9分

当 a ? 1 时, bn ? 0 ? I n ? 0 当 a ? 1时

In ? 1? ? a ?1? ? 2a ? a ?1? ? 3a2 ? a ?1? ????? nan?1 ? a ?1? ?aIn ? a ? a ?1? ? 2a2 ? a ?1? ????? ? n ?1? an?1 ? a ?1? ? nan ? a ?1?

??1? a ? In ? ? a ?1? ? a ? a ?1? ????? an?1 ? a ?1? ? nan ? a ?1?
? an ?1? nan ? a ?1?
? I n ? na n ? an ?1 a ?1
11 分

?0 ? a ? 1? ? ? In ? ? an ?1 n na ? ? a ?1 ?
? ?

? a ? ? 0,1? ? ?1, ?? ??
??

12 分

考点:1.等差数列的求和公式;2.等比中项;3.错位相减法. 5. (1) ? k? ? 【解析】
? ?? 试题分析: ( 1 )利用平面向量的数量积公式求得 f ( x) 的表达式,由 f ? ? ? ? f ? 0 ? 求出 ? 值,再将 f ( x) 化成 ? 3?

?
6

, k? ?

? ? ? (2) ? x | k? ? x ? k? ? ? k ? Z ? ? . ?k ? Z ? ; ? 3? 6 ? ?

(2)利利用三角函数的图象解不等式即可. A sin( ?x ? ? ) ? k 的形式,利用三角函数的图象与性质进行求解; 试题解析: (1) f ? x ? ? cos x ? ? sin x ? cos x ? ? sin x cos ?

?? ? ? x? ?2 ?

? ? sin x cos x ? cos2 x ? sin 2 x

?

?
2

sin 2 x ? cos 2 x

2分

答案第 4 页,总 23 页

? ?? f ? ? ? ? f ? 0? ? 3?

?? ? 2 3

3分

?? ? ? f ? x ? ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? 6? ?
令 2 k? ?

?
2

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
2

? k ? Z ? ,得 k? ?

?
6

? x ? k? ?
7分

?
3

?k ? Z ?

? ?? ? ? f ? x ? 的单调递增区间是 ?k? ? , k? ? ? ? k ? Z ? 6 3? ?
(2)∵ 4 cos( 2 x ?

?
6

) ? 2 3 ,∴ cos(2 x ?

?
6

)?

3 2

? 2 k? ?

?
6

? 2x ?

?
6

? 2 k? ?

?
6

?k ? Z ?

? k? ? x ? k? ?

?
6

?k ? Z ?
?
6

不等式的解集是 ? x | k? ? x ? k? ?

? ?

? k ? Z ?? ?
?

12 分

考点:1.平面向量的数量积;2 三角函数的图象与性质. 6. (1)证明见解析,公比为 【解析】 试题分析: ( 1 ) 由 已 知 得 递 推 关 系 an?1 ?
2 an 2 2 2 ? an , 即 为 an ?1 ? an an?1 ? an ? 0 , 两 边 同 时 除 以 an 得 an?1

1+ 5 ; (2)证明见解析. 2

(

an?1 2 an?1 1? 5 1? 5 a 1? 5 (舍去 ) ,这就说明数学 {an } 是等比数列, 就是数列 ) ? ? 1 ? 0 ,从而解得 n?1 ? 2 2 an an an 2

2 an 1 1 1 a ? an , an ?1 ? an (an ? 2) , 这 样 就 有 bn ? 的 公 式 .( 2 ) 由 已 知 an ?1 ? ? ? n ,因此 2 2 an ? 2 2 an?1

Tn ? b1b2

1 a 1 a bn ? ( ? 1 ) ? ( ? 2 ) ? 2 a2 2 a3

1 a 1 1 2 , 另 一 方 面 , an ? ( ? n ) ? ( )n?1 ? ? 2an?1 ? 2an , 从 而 2 an?1 2 an ?1 ? bn ? 1 1 n ?1 ? ,所以 2 Tn ? Sn a1 an?1

a ?a 1 a 1 a2 1 1 ,于是 Sn ? b1 ? b2 ? bn ? ? n ? ? n ? n?1 n ? ? 2 an?1 2 an an? 1 an? an1 an an? 1
? 2 为常数.
2 an 2 2 试题解析: (1) an ?1 ? ? an ? an ?1 ? an ?1an ? an ? 0 an ?1

答案第 5 页,总 23 页

2 两边同除 an 可得: (

an ?1 2 an ?1 a 1? 5 )? ? 1 ? 0 ? n ?1 ? an an an 2
a 1+ 5 an ?1 1+ 5 为常数,故数列 { n ?1 } 是等比数列,公比为 ? 2 an an 2

因为 an ? 0 ,所以 ?

(2)由 an ?1 ?

2 an 1 1 an ? an ? 2an ?1 ? an (an ? 2) ? bn ? ? 2 an ? 2 2 an ?1

所以 Tn ? b1 ? b2

bn ? (

1 a1 1 a2 )( ) 2 a2 2 a3

(

1 an 1 a 1 1 ) ? ( ) n ( 1 ) ? ( ) n +1 ( ) 2 an ?1 2 an ?1 2 an ?1

2 1 an an 2a ? 2an 1 1 bn = = = n ?1 ? ? 2 an ?1 2an an +1 2an an +1 an an ?1

所以 Sn ? b1 ? b2 ?

? bn ?

1 1 1 ,故 2n +1Tn ? Sn =2 为定值. ? =2 ? a1 an ?1 an ?1

考点:等比数列的证明,数列的递推公式. 7. (1) | a ? b | ; (2) f ( x ) ? 2 x ?1 .
2

【解析】

n 的 ) 最 大 值 , 实 际 上 设 t ? sin ? , 由 已 知 得 t ?[0,1] , 问 题 转 化 为 要 求 试题分析: (1)求 f(si?

f (t ) ? 2at 2 ? 2bt ? a ? b 的最大值,这是二次函数,开口方向向上,因此最大值为 f (0) 或 f (1) (需比较它们的大
小) ; (2)与(1)类似,设 sin ? ? t ,则 t ? [?1,1] ,问题转化为当 t ? [?1,1] 时, f (t ) ? 1 恒成立,且 g (t ) 最大值 为 2,求 a , b , g (t )最大 ? g (1) ? 2a ? 2b ? 2 ,所以 a ? b ? 1 ,由(1)知 f (1) ? a ? b ? 1 , f (0) ? b ? a ? ?1 ,又 有 f (t ) ? 1 恒成立,即 ?1 ? f (t ) ? 1恒成立,因此 f (0) ? ? 1是二次函数 f (t ) 的最小值,由此可得 a , b ,即得

f ( x) ? 2 x2 ? 1.
试题解析: (1)令 sin ? ? t ? [0,1] ,原命题等价于求 f (t ) 在 t ? [0,1] 的最大值. 而 a ? 0 ,对称轴 t ?

b ,结合函数图象可知: 2a

? f (1) ? a ? b(b ? a) f ( x)max ? ? ?| a ? b | ? f (0) ? b ? a(b ? a)
(2)令 sin ? ? t ? [-1,1] ,则 | f (t ) |? 1 ?| f (0) |? 1,| f (1) |? 1,| f (-1) |? 1 , 因为 a ? 0 ,所以 g (sin ? )max ? g (1) ? 2 ,而 g (1) ? 2a ? 2b ? 2
答案第 6 页,总 23 页

而 f (0) ? b ? a ? -1

而 t ? [?1,1] 时, | f (t ) |? 1 ? ?1 ? f (t ) ? 1 ,

结合 f (0) ? -1 可知二次函数的顶点坐标为 (0, ?1) 所以 b ? 0, a ? 1 ,所以 f ( x) ? 2 x ? 1.
2

考点:换元法,二次函数的性质.

27 x2 ? y2 ? 1 ; 8. (1) (2) . 8 9
【解析】 试题分析: (1)把点 (2 2, ) 的坐标代入方程

1 3

x2 y 2 c 2 2 ? 2 ? 1 ,又有 e ? ? ,可解得 a ? 3, b ? 1 ; (2)从已知 2 a b a 3
1 x ? 1, 把直线 AB 方程代入椭圆方程求出 B 点坐标, k
可 得

可设 AB 的方程为 y ? kx ? 1(k ? 0) , 则 AC 的方程为 y ? ?









AB ? 1 ? k 2 ?

18k 1 ? 9k 2







AC ? 1 ?

1 18k ? k2 9 ? k2









1 k? 1 1 k (1 ? k 2 ) k , 用换元法 (设 t ? k ? ? 2 ) 可求得 S?ABC 的 S ?ABC ? AB AC ? 162 ? ? 162 ? 2 2 1 k 2 (1 ? 9k )(9 ? k ) 2 9(k ? 2 ) ? 82 k
最大值.

1 ( )2 1 2 2 (2 2) 2 试题解析: (1)由 e ? 得 a ? 3b ,把点 (2 2, ) 带入椭圆方程可得: ? 32 ? 1 ? b ? 1 ,所以椭圆 2 3 3 9b b
x2 ? y2 ? 1 方程为: 9
(2)不妨设 x ? 1 的方程 x ? n ? t (n ? N? ,0 ? t ? 1) ,则 y ?

1 1 的方程为 y ? ? x ? 1 。 n?t k

? y ? kx ? 1 ?18k ? 2 2 , 由 ? x2 得: (1 ? 9k ) x ? 18kx ? 0 ? xB ? 2 2 1 ? 9 k ? y ? 1 ? ?9
1 18k 18k 1 18k k 用 ? 代入,可得 xC ? , 从而有 AB ? 1 ? k 2 , AC ? 1 ? 2 , 2 2 k 9?k 1 ? 9k k 9 ? k2

1 1 k (1 ? k ) k 于是 S ?ABC ? AB AC ? 162 。 ? 162 1 2 (1 ? 9k 2 )(9 ? k 2 ) 2 9(k ? 2 ) ? 82 k
2

k?

答案第 7 页,总 23 页

令t ? k ?

1 ? 2 ,有 S k

?ABC

?

162t 162 27 ? ? 2 9t ? 64 9t ? 64 8 t

当且仅当 t=

8 27 ? 2 , ( S ?ABC ) max ? . 3 8

考点:椭圆的标准方程,椭圆的综合问题,直线与椭圆相交问题.

?a(ln a ? a ? 1),1 ? a ? e ? ? 1? ?1 ? f ( x) min ? ? 2 0, ? ? ? ,1? ? ?1, ?? ? ? ? ? e ? ( 2 a ? 1 ) e ? a , a ? e f ( x ) 2 2 ? ? ? ? ? ?; 9. (1) 的单调区间为 ; (2) (3) a 的
e(e ? 2) ? ? ? ? ?, e ?1 ? ?. 范围为 ?
【解析】 试题分析: ( 1 ) 将 a ? 1 代 入 函 数 得 f ( x) ? x ? 3x ? ln x, 求 导 即 可 得 其 单 调 区 间 . (2)求导得
2

f ?( x) ?

( 2x ? 1 ) x(? a ) 1 x? ' ) ? 0 , 2. x ?x ? a 或 , 令 f (x 下面对 a 分情况讨论. 由于 a ? 1 , 故分 1 ? a ? e 和 a ? e

?1 ? ?1 ? ,e ?x0 ? ? , e? ? e ? 使得 f ( x0 ) ? g(x0 ) 成立,意即不 等式 f ( x) ? g ( x) 在区间 ? ?e ? ? 上有解, 即 两种情况 . (3) ?1 ? ?1 ? , e x ? ,e ? x ? 2x ? a(ln x ? x) ? 0 在 ? ?e ? ? 上 有 解 . 又 当 ?e ? ? 时 , ln x ? 0 ? x , 当 x ? ?1, e? 时 ,
2

x2 ? 2 x a? ln x ? 1 ? x,? ln x ? x ? 0 , 所 以 问 题 转 化 为 x ? ln x 在 区 间 y?

?1 ? ,e ? ?e ? ? 上有解,这只需 a 小于等于函数

x2 ? 2x x2 ? 2x y? x ? ln x 的最大值即可.利用导数便可求得 x ? ln x 的最大值.
2

试题解析: (1)当 a ? 1, f ( x) ? x ? 3x ? ln x, 定义域 ?0,???

? f ' ( x) ? 2 x ? 3 ?

1 (2 x ? 1)( x - 1) ? x x

2分

? 1? ?1 ? 0, ? ? ? ,1? ? ?1, ?? ? ? ? f ( x) 在 ? ? 2? ?2 ?
? f ' ( x) ?
(2) 当 1 ? a ? e 时,

4分

(2 x ? 1)( x-a) 1 x? ' 2 x ,令 f ( x) ? 0 ,? x ? a 或

x
f ' ( x)

?1, a ?
-

a
0
答案第 8 页,总 23 页

?a, e?
+

f ( x)

?

极小值

?

? f(x) min ? f (a) ? a(ln a ? a ? 1)
当 a ? e 时, f ( x) 在 ? 1, a? ? ?a,??? ?,

? f ( x) 在 [1, e] ? , f ( x)min ? f (e) ? e2 ? (2a ? 1)e ? a
综上 f ( x) min ? ?

?a(ln a ? a ? 1),1 ? a ? e ? ? 2 ?e ? (2a ? 1)e ? a, a ? e?
?1 ? ? ?

9分

(3)由题意不等式 f ( x) ? g ( x) 在区间 ? , e? 上有解 e 即 x 2 ? 2 x ? a(ln x ? x) ? 0 在 ? , e? 上有解 e

?1 ? ? ?

?1 ? ? 当 x ? ? , e? 时, ln x ? 0 ? x ,当 x ? ?1, e? 时, ln x ? 1 ? x,? ln x ? x ? 0 ?e ?

?a ?

x2 ? 2x ?1 ? 在区间 ? , e? 上有解 x ? ln x ?e ?

令 h( x) ?

x2 ? 2x ' ( x ? 1)(x ? 2 ? 2 ln x) , h ( x) ? x ? ln x ( x ? ln x) 2

10 分

?1 ? ? x ? ? , e?,? x ? 2 ? 2 ? 2 ln x ?e ?
?1 ? ? x ? ? ,1? 时, h ' ( x) ? 0, h( x) ?, x ? ?1, e?, h( x) ? ?e ?

1 1 ( ? 2) 1 e(e ? 2) e ? h( ) ? e ? 0, h(e) ? ?0 1 e e ?1 ?1 e
e(e ? 2) ?1 ? ? x ? ? , e? 时, h( x) max ? h(e) ? e ?1 ?e ?
?a ? e ( e ? 2) e ?1

? a 的取值范围为 ? ? ?,

? ?

e(e ? 2) ? e ?1 ? ?

14 分

考点:1、导数的基本应用;2、导数与不等式.
答案第 9 页,总 23 页

10. (1) C1 : y 2 ? 4 x , C 2 : x ?
2

y2 ? 1; (2)详见解析. 2

【解析】 试题分析: (1)求出圆 O : x2 ? y 2 ? 1 与坐标轴的交点,即可 p,b,c 及 a 的值,从而得抛物线和椭圆的方程. (2) 由(1)可得 F(1,0) ,故可设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0), A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 N (0, ?k ) . 由 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF 得, ?1 (1 ? x1 ) ? x1 , ?2 (1 ? x2 ) ? x2 ,整理得, ?1 ?

x1 x , ?2 ? 2 , 1 ? x1 1 ? x2

? y 2 ? 4 x, ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 则 ?1 ? ?2 ? .联立方程组 ? 消去 y 得: k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0 ,显然用根与 1 ? ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 y ? k ( x ? 1), ?
系数的关系即可使问题得到解决.

( 试题解析: (1)由 C1 : y ? 2 px( p ? 0) 焦点 F
2

p2 p ,0) ? 1? p ? 2 在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 上得: 2 4
2分

所以抛物线 C1 : y ? 4 x
2

同理由椭圆 C2 :

y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上、 下焦点 (0, c), (0, ?c) 及左、 右顶点 (?b, 0), (b, 0) 均在圆 O : x2 ? y 2 ? 1 2 a b

上可解得: b ? c ? 1,?a ? 2 得椭圆 C 2 : x ?
2

y2 ?1 2 y2 ?1 2
6分

2 2 总之,抛物线 C1 : y ? 4 x 、椭圆 C 2 : x ?

(2)设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0), A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 N (0, ?k ) .

? y 2 ? 4 x, 联立方程组 ? 消去 y ? y ? k ( x ? 1),
得: k x ? (2k ? 4) x ? k ? 0 ,
2 2 2 2

? 2k 2 ? 4 x ? x ? , ? ? ? 16k 2 ? 16 ? 0 , 故 ? 1 2 k2 ? x ? x ? 1. ? 1 2
由 NA ? ?1 AF , NB ? ?2 BF 得,

?1 (1 ? x1 ) ? x1, ?2 (1 ? x2 ) ? x2
答案第 10 页,总 23 页

整理得, ?1 ?

x1 x , ?2 ? 2 , 1 ? x1 1 ? x2
13 分

?1 ? ?2 ?

( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? ?1 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2

考点:1、抛物线与椭圆的标准方程;2、直线与圆锥曲线. 11. (1) an ? 6n ? 5 ; (2) ? ? 2016 . 【解析】 试题分析: (1) 将点 (n, Sn )(n ? N ? ) 的坐标代入函数 f ( x) ? 3x 2 ? 2 x 得 Sn ? 3n2 ? 2n . 当 n ? 1 时, 当n ? 2 a1 ? S1 ; 时,an ? Sn ? Sn?1 . 由此即可得通项公式. (2) 用裂项法可求得 Tn ?

1 1 1 1 (1 ? ), ?0, 因为 所以 Tn ? , 2 2 6n ? 1 6n ? 1

即 2Tn ? 1 .? 2Tn ? ? ? 2015对所有 n ? N ? 都成立,?1 ? ? ? 2015 由此得 ? ? 2016 . 试题解析: (1)? 点 (n, S ) 在函数 f ( x) ? 3x ? 2 x 的图象上,
2

? Sn ? 3n2 ? 2n
当 n ? 1 时, a1 ?S 1? 3 ? 2 ? 1 2分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (3n2 ? 2n) ? 3(n ? 1)2 ? 2(n ?1)

?

?

? 6n ? 5 当 n ? 1 时, 6 n ? 1 ? 1 符合

5分

?an ? 6n ? 5(n ? N ? )
(2)? bn ?

6分

3 3 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, an an?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 ? 6n ? 5 6n ? 1 ?

?Tn ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 ?? 7 ? ? 7 13 ? ? 6n ? 5 6n ? 1 ??
10 分

1? 1 ? ? ?1 ? ? 2 ? 6n ? 1 ?
? 2Tn < 1
又? 2Tn ? ? ? 2015对所有 n ? N 都成立
?

?1 ? ? ? 2015 故 ? ? 2016
考点:1、数列;2、不等式.

12 分

答案第 11 页,总 23 页

12. (1)详见解析; (2)几何体 D ? ABC 的体积为 【解析】

4 2 . 3

试题分析: (1)两个平面互相垂直,则一个平面内垂直交线的直线垂直于另一个平面.在本题中, BC ? AC ,而 平面 ADC ? 平面 ABC , 平面 ADC 平面 ABC ? AC , 平面 ADC . (2) 可将面 ACD 作为底面, 由 (Ⅰ)

? BC ?
知 BC 为三棱锥 B ? ACD 的高,由三棱锥的体积公式即可得几何体 D ? ABC 的体积. 试题解析: (1)证明:在图 1 中,可得 AC ? BC ? 2 2 , 从而 AC 2 ? BC 2 ? AB2 ,故 AC ? BC , 方法一:取 AC 的中点 O ,连接 DO ,则 DO ? AC , 又平面 ADC ⊥平面 ABC ,平面 ADC ? 平面 ABC ? AC , DO ? 平面 ADC , 从而 DO ? 平面 ABC ∴ DO ? BC ,又 AC ? BC , AC ? DO ? O ,∴ BC ⊥平面 ACD (方法二:因为平面 ADC ? 平面 ABC 平面 ADC 平面 ABC ? AC 又因为 6分

AC ? BC, BC ? 平面 ABC
6 分)

? BC ? 平面 ADC

(2)解 由(Ⅰ)知 BC 为三棱锥 B ? ACD 的高, BC ? 2 2 , S ?ACD ? 2 ∴ VB ? ACD ?

1 1 4 2 S ?ACD ? BC ? ? 2 ? 2 2 ? 3 3 3
4 2 . 3
12 分

由等体积性可知,几何体 D ? ABC 的体积为

考点:1、空间线面的垂直关系;2、几何体的体积. 13. (1) p =

3 ; 5

(2) (i)所有可能的结果有:

? A1, A2? , ? A1, A3? , ? A1, A4? , ? A1, A5? , ? A1, A6? , ?A2 , A3? , ?A2 , A4 ? , ?A2 , A5 ? , ?A2 , A6 ? , ?A3 , A4 ? , ?A3 , A5 ? ,
?A3 , A6 ?, ?A4 , A5 ?, ?A4 , A6 ? , ?A5 , A6 ?;
(ii) p = 【解析】 试题分析: (1) 由于一等品零件共有 6 个, 所以从 10 个零件中, 随机抽取一个为一等品的概率为 P ( A) ?

2 . 5 6 3 ? . (2) 10 5

(i)根据题设知一等品零件的编号为 A1. A2 . A3 . A4 . A5 . A6 .从这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个,所有可能的结果
答案第 12 页,总 23 页





? A1, A2? , ? A1, A3? , ? A1, A4? , ? A1, A5? , ? A1, A6? , ?A2 , A3? , ?A2 , A4 ? , ?A2 , A5 ? , ?A2 , A6 ? , ?A3 , A4 ? , ?A3 , A5 ? ,
(ii)解“从一等品零件中,随机抽取的 2 个零件直径相等”的 ?A3 , A6 ?, ?A4 , A5 ?, ?A4 , A6 ? , ?A5 , A6 ?.共 15 种. 所有可能结果有: ? A 3 ? , ?A2 , A5 ?, ?A3 , A5 ? ,共有 6 种.根据古典概型概率公式 1 , A4 ? , ? A 1, A 6 ? , ?A4 , A6 ? , ?A2 , A 知 6 除以总数 15 即得所求概率. 试题解析: (1)由所给数据可知,一等品零件共有 6 个.设“从 10 个零件中,随机抽取一个为一等品”为事件 A, 则 P ( A) ?

6 3 ? . 10 5

4分

(2) (i)解:一等品零件的编号为 A1. A2 . A3 . A4 . A5 . A6 .从这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个,所有可能的结果有:

? A1, A2? , ? A1, A3? , ? A1, A4? , ? A1, A5? , ? A1, A6? , ?A2 , A3? , ?A2 , A4 ? , ?A2 , A5 ? , ?A2 , A6 ? , ?A3 , A4 ? , ?A3 , A5 ? ,
?A3 , A6 ?, ?A4 , A5 ?, ?A4 , A6 ? , ?A5 , A6 ?.共 15 种.
8分 ( ii ) 解 “ 从 一 等 品 零 件 中 , 随 机 抽 取 的 2 个 零 件 直 径 相 等 ” ( 记 为 事 件 B ) 的 所 有 可 能 结 果 有 :

? A1, A4? , ? A1, A6? , ?A4 , A6 ? , ?A2 , A3? , ?A2 , A5 ?, ?A3 , A5 ?,共有 6 种.
所以 P( B) ?

6 2 ? . 15 5

12 分

考点:1、基本事件;2、古典概型. 14. (1)f(x)的单调增区间是 [k? ? 【解析】

?
3

, k? ?

?
6

](k ? Z ) . (2)a=2,b= 3 .

? )-1,由 2kπ - 6 ? ? ? ? ? ? ? ≤2x+ ≤2kπ + 得 kπ - ≤x≤kπ + . (2)由 f(C)=2sin(2C+ )-1=1,sin(2C+ )=1, 2 6 2 3 6 6 6 ? 从而得 C= 6 .
试题分析: (1)根据数量积的坐标运算得:f(x)=-2sin x+ 2 3 sin xcos x=2sin(2x+
2

cos C =

a 2 ? b2 ? c2 3 2 2 = ,整理得 a +b =7,联立 ab= 2 3 解方程组可得 a=2,b= 3 . 2ab 2
2

试题解析: (1)f(x)=-2sin x+ 2 3 sin xcos x =-1+cos 2x+ 2 3 sin xcos x = 3 sin 2x+cos 2x-1=2sin(2x+ 由 2kπ -

? ? ? ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 6 2 ? ? 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z, 3 6

? )-1 6

3分

答案第 13 页,总 23 页

∴f(x)的单调增区间是 [k? ? (2)∵f(C)=2sin(2C+ ∴sin(2C+

?
3

, k? ?

?
6

](k ? Z ) .

6分

? )=1, 6

? )-1=1, 6

∵C 是三角形的内角,∴2C+

? ? ? = ,即 C= 6 2 6

8分

a 2 ? b2 ? c2 3 2 2 ∴cos C= = ,即 a +b =7. 2ab 2
将 ab= 2 3 代入可得 a +
2

12 2 =7,解得 a =3 或 4. a2

∴a= 3 或 2,∴b=2 或 3 . ∵a>b,∴a=2,b= 3 考点:1、三角函数;2、三角恒等变换;3、解三角形. 15. (1)极大值为 g (1) ? 1 ,无极小值; (2)详见解析; (3) m ? 【解析】 12 分.

3 . e ?1

3, 4 试题分析: (1) 利用导数求解; (2) 将 ? 代入得 f ( x) ? x ? 1 , 显然 f ( x ) 在 上是增函数.
上 是 增 函 数 . 不 妨 设 3 ? x1 ? x2 ? 4 , 则 原 不 等 式 转 化 为

[ ]

y?

ex ? ex 3, 4] g ( x) 在[
ex2 ex1 g ( x2 ) g ( x1 ) 即

f ( x2 ) - f ( x1 ) <

f ( x2 ) -

ex2 ex1 ex < f ( x1 ) h( x ) = f ( x ) = x - e x - 1, 3, 4] g ( x2 ) g ( x1 ) , g ( x) 令 , 则只需证 h( x) 在 [ 上是减函数即可. (3)

f (t1 ) ? f (t 2 ) ? g ( x0 ) , f ( x) 必须满足以下几 由(1)可得 g ( x) ? ?0,1? 要在区间 ?0, e? 上总存在 t1 , t 2 (t1 ? t 2 ) 使得
点:第一, f ( x) 的极值点(而且只能是一个极值点)必在区间 ?0, e ? 内;第二, g ( x) 在 ?0, e ? 上的值域包含于 f ( x) 在 ?0, e ? 上的值域;第三,当 x 接近 0 时,函数值应大于 1;第四, f (e 试题解析: ( 1 ) ? g ( x) ? 4分 (2)
?m

) ?1.

ex ? e( x ? 1) ,? g ' ( x) ? ,? ?? ?,1? ?, ?1,?? ? ?,? g ( x) 极大值 g (1) ? 1 ,无极小值; x e ex

m = 1, a = 0 ,

? f ( x) ? x ? 1,在 3, 4 上 是增函数

[ ]

?

ex ? e x ,在 [ 3, 4] 上是增函数 g ( x)
答案第 14 页,总 23 页

设 3 ? x1 ? x2 ? 4 ,则原不等式转化为 f ( x2 ) - f ( x1 ) <

ex2 ex1 g ( x2 ) g ( x1 )
6分

即 f ( x2 ) -

ex2 ex1 < f ( x1 ) g ( x2 ) g ( x1 )

令 h( x ) = f ( x ) -

ex = x - e x - 1, g ( x)

即证 ?x1 ? x2 , h( x2 ) ? h( x1 ) ,即 h( x) 在 ?3, 4? ?

h' ( x) =1 - ex < 0 在 [ 3, 4] 恒成立
即 h( x) 在 ?3, 4? ? ,即所证不等式成立 (3)由(1)得 g ( x) 在 ? 0,1? ?, ?1, e? ?, g( x)max ? g (1) ? 1 所以, 9分

g ( x) ? ?0,1?

f ' ( x) ? m ?


2 ' x ,当 m ? 0 时, f ( x) ? 0, f ( x) 在 ? 0,e ? ? ,不符合题意

当 m ? 0 时,要 ?t1 , t2 使得 f (t1 ) ? f (t2 ) , 那么由题意知 f ( x) 的极值点必在区间 ?0, e ? 内,即 0 ? 得m ?

2 ?e m

2 ? 2? ?2 ? ,且函数 f ( x) 在 ? 0, ? ?, ? , e ? ? e ? m? ?m ?

由题意得 g ( x) 在 ?0, e ? 上的值域包含于 f ( x) 在 ? 0,

? ?

2? ?2 ? ? 和 ? , e ? 上的值域 m? ?m ?

? 2 3 ?f( )?0 ?2 ? ?m? ? ? , e ? 内, ? m e ?1 ?m ? ? ? f (e) ? 1
下面证 t ? ? 0,

? ?

2 2? ?m ?m m e ? t ? e f ( t ) ? 1 时, ,取 ,先证 ,即证 2e ? m ? 0 ? m m?

令 w( x) ? 2e x ? x,? w ' ( x) ? 2e x ? 1 ? 0, 在?

? 3 ? ,?? ? 内恒成立 ?e ?1 ?

? w( x) ?,? w( x) ? w(

3 ) ? 0,? 2e m ? m ? 0 e ?1

答案第 15 页,总 23 页

f (e ? m ) ? 1,? f (e ? m ) ? me ? m ? m ? m ?
再证

3 3 ? 1,? m ? e ?1 e ?1

14 分

考点:1、导数的基本应用;2、导数与不等式. 16. (1)椭圆的方程为: 【解析】 试题分析: (1) 点 A 在直线 y ? x 上, 故不妨设 A(t , t )(t ? 0) , 这样 OA ? (t , t ) , OC ? (0, a) , 因为 OA ? OC ?

x2 2 3 +y ? 1 ; (2) ?OEF 的面积的最大值为 . 3 2
3 , 2

?a ?t ?

t2 t2 3 c 6 .又点 A 在椭圆上所以, 2 + 2 ? 1 ,再由离心率得 ? ,加上 a 2 ? b2 ? c 2 ,联立解方程组即可 2 a b a 3 x2 2 3 3 +y ? 1 ; (2)由(1)可得 A( , ) .设 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y 2 ) , 3 2 2
3 3 ?, ? ) ,然后利用点差法可以求出直线 EF 4 4

得: a 2 ? 3, b2 ? 1,从而得椭圆的方程为:

EF 中点为 M ( x0 , y0 ) ,根据 OE ? OF ? ?OA, ? ? (0,2) 可得 M (

的斜率 k EF ? ?

1 3 1? 3 ? ??? ? x? ? ? ,这样 ?OEF 的面积可用含 ? 的 .用点斜式可得直线 EF 的方程为: y ? ? 3 4 3? 4 ? ?

式子表示出来,从而利用函数或不等式即可求出 ?OEF 的面积的最大值. 试题解析: (1)根据题意,不妨设 A(t , t )且t ? 0 , OA ? (t , t ) , OC ? (0, a)

?a ?t ?

3 2

1分

t2 t2 + ?1 a 2 b2
c 6 ? a 3
a 2 ? b2 ? c 2
联立①②③④解得: a ? 3, b ? 1
2 2

2分

x2 2 ? 椭圆的方程为: +y ? 1 3
(2)设 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y 2 ) , EF 中点为 M ( x0 , y0 ) ,

6分

答案第 16 页,总 23 页

? ?2 x0 ? x1 ? x 2 ? ? OE ? OF ? ?OA, ? ? ?2 y ? y ? y ? 0 1 2 ? ?

3 ? 2 3 ? 2

7分

? x12 ? y12 ? 1 ? ?3 相减可得 E , F 在椭圆上,则 ? 2 x ? 2 ? y2 ? 1 2 ? ?3
2 2 x1 -x2 2 2 ? y1 ? y 2 ? 0 3

k EF ?

y1 ? y 2 1 x ? x2 1 ?? ? 1 ?? x1 ? x2 3 y1 ? y 2 3
3 1? 3 ? ??? ? x ? ?? ? 4 3? 4 ? ?

? 直线 EF 的方程为: y ?

即 x ? ?3 y ? 3?, 代入

x2 ? y 2 ? 1整理得: 3

4 y 2 ? 2 3? y ? ? 2 ?1 ? 0
? y1 ? y2 ?

? 2 ?1 3 ? , y1. y2 ? 4 2
2 2

9分

EF ?

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?

? 10 y1 ? y2
? 10 3? 2 ? 4 ? ? 2 ? 1? 2

? 10

4 ? ?2 2
3? 10
11 分

原点 O ? 0,0? 到直线 EF 的距离为 h ?

S ?OEF ?

1 | EF | h 2
12 分

?

3? 4 ? ? 2 4

答案第 17 页,总 23 页

?

3? 2 ? 4 ? ? 2 ? 4

?

3 ?2 ? 4 ? ?2 3 ? ? 4 2 2

当? ?

2 时等号成立,所以 ?OEF 得最大值为

3 。 2

13 分

考点:1、直线与圆锥曲线;2、函数的最大值. 17. (1) an ? 6n ? 5 ; (2) ? ? 2016 . 【解析】 试题分析: (1) 将点 (n, Sn )(n ? N ? ) 的坐标代入函数 f ( x) ? 3x 2 ? 2 x 得 Sn ? 3n2 ? 2n . 当 n ? 1 时, 当n ? 2 a1 ? S1 ; 时,an ? Sn ? Sn?1 . 由此即可得通项公式. (2) 用裂项法可求得 Tn ?

1 1 1 1 (1 ? ), ?0, 因为 所以 Tn ? , 2 2 6n ? 1 6n ? 1

即 2Tn ? 1 .? 2Tn ? ? ? 2015对所有 n ? N ? 都成立,?1 ? ? ? 2015 由此得 ? ? 2016 . 试题解析: (1)? 点 (n, S ) 在函数 f ( x) ? 3x ? 2 x 的图象上,
2

? Sn ? 3n2 ? 2n
当 n ? 1 时, a1 ?S 1? 3 ? 2 ? 1 2分

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (3n2 ? 2n) ? 3(n ? 1)2 ? 2(n ?1)

?

?

? 6n ? 5 当 n ? 1 时, 6 n ? 1 ? 1 符合

5分

?an ? 6n ? 5(n ? N ? )
(2)? bn ?

6分

3 3 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?, an an?1 (6n ? 5)?6(n ? 1) ? 5? 2 ? 6n ? 5 6n ? 1 ?

?Tn ?

1 ?? 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? 2 ?? 7 ? ? 7 13 ? ? 6n ? 5 6n ? 1 ??
10 分

1? 1 ? ? ?1 ? ? 2 ? 6n ? 1 ?
? 2Tn < 1
又? 2Tn ? ? ? 2015对所有 n ? N 都成立
?

?1 ? ? ? 2015 故 ? ? 2016

12 分
答案第 18 页,总 23 页

考点:1、数列;2、不等式. 18. (1)证明详见解析; (2) ? ? 1 ?
3 . 3

【解析】 试题分析: (1) 要证明两平面垂直, 应证其中一个平面经过另一个平面的一条垂线. 在本题中, 由于 F 是一个动点, 这意味着不论 F 在何处,都有平面 EFB ? 平面 A? DC ,故必有 BE ? 平面 A? DC ,所以考虑证明 BE ? 平面 A? DC . (2) 设 BE 交 DC 于 O 点, 连 OF, 结合 (1) 题的结论可知, 点 F 在平面 BEC 内的射影必在 OC 上. 作 FG ? DC , ? 垂足为 G,则 ?FOG 为二面角 F-BE-C 的平面角.另外,以 D 为坐标原点 DB,DE,D A 分别为 OX,OY,OZ 轴建 立空间直角坐标系,利用空间向量也可解决. 试题解析: (1) 平面 A?DE ? 平面 DBCE , A?D ? DE ∴ A?D ? BE

∴ A?D ? 平面 DBCE

D, E 分别为中点,
∴ DE ?

1 1 BC ? 2, BD ? AB ? 2 2 2

2分

在直角三角形 DEB 中,

tan ?BED ?

BD BD 2 ? 2, tan ?CDE ? ? DE CB 2

1 ? tan ?BED tan ?CDE ? 0
∴ ?BED ? ?CDE ? 90 得 BE ? DC ∴ BE ? 平面 A?DC ,又 BE ? 平面 EFB , ∴平面 EFB ? 平面 A?DC 6分

(2)作 FG ? DC ,垂足为 G,则 FG ? 平面 DBCE , 设 BE 交 DC 于 O 点,连 OF, 由(1)知, ?FOG 为二面角 F-BE-C 的平面角 FG CF 由 FG / / A?D, ? ? ?, ∴ FG ? ? A?D ? 2? A?D CA? 同理,得 CG ? ?CD, DG ? (1 ? ? )CD ? 2 3(1 ? ? ) ,
DO ? BD ? DE 2 3 2 3 ? 3 1 ? ?) ? ,∴ OG ? DG ? DO ? 2 ( BE 3 3

7分

在 Rt ?OGF 中,由 tan ?FOG ?

FG ? OG

2? 2 3 2 3(1 ? ? ) ? 3

?1

10 分

解得, ? ? 1 ? 方法 2:

3 3

12 分

BE ? 平面 A?DC ,设 BE 交 DC 于 O 点,连 OF,
7分

则 ?FOC 为二面角 F-BE-C 的平面角 又

DB ? 2, CB ? 2 2

∴ CD ? 2 3

答案第 19 页,总 23 页

由 DO : OC ? 1: 2 得 OC ?

4 3 3

8分

在直角三角形 A?DC 中 ?A?CD ? 30? , A?C ? 4 , ?FOC ? 45? ∴ ?OFC ? 105?
4 3 CF 3 OC CF ?1? 得 CF ? 4 ? 从而得, ? ? 12 分 ? ? ? ? 3 CA 3 sin105 sin 75 方法 3: (向量法酌情给分) 以 D 为坐标原点 DB,DE,D A? 分别为 OX,OY,OZ 轴建立空间直角坐标系,各点坐标分别为 D(0,0,0) , A? (0, 0,2) ,B(2,0,0) ,



C(2, 2 2 ,0) ,E(0, 2 ,0) . (1) BE ? (?2, 2,0), DC ? (2, 2 2,0), DA? ? (0,0, 2) ∵ BE ? DC ? ?4 ? 4 ? 0, ∴ BE ? DC , ∵ BE ? DA? ? 0, ∴ BE ? DA?

DA? ? D ,∴ BE ? 平面 A?DC 又 BE ? 平面 FBE 所以平面 FBE ? 平面 A?DC
又 DC

6分

(2)设 CF ? ?CA??CF ? ? (?2,2 2,2) ? F(2 ? 2 ?,2 2 ? 2 2 ?,2 ?) 设平面 BEF 的法向量为

n ? ( x, y, z)

BE ? (?2, 2,0), BF ? (?2?, 2 2 ? 2 2?, 2?)

? ??2 x ? 2 y ? 0 , ? ? 2 ? ? x ? (2 2 ? 2 2 ? ) ? y ? 2 ? ? z ? 0 ? ?
取 n ? (?, 2?,3? ? 2) 又 平面 BEC 的法向量为 n? ? (0,0,1)
?

8分

∴ cos 45 ?

| 3? ? 2 | 3? 2 ? (3? ? 2) 2

?

2 2 得 3? ? 6? ? 2 ? 0 2
∴ ? ? 1?

解得 ? ? 1 ?

3 ,又∵ 0 ? ? ? 1 3

3 3

12 分

考点:1、空间两平面的垂直关系;2、二面角. 19. (1) x = 0.0125 . (2)1200 名新生中有 144 名学生可以申请住宿. (3) X 的分布列为:

X

0

1

2

3

4

答案第 20 页,总 23 页

P

81 256

27 64

27 128

3 64

1 256

X 的数学期望为 1 .
【解析】 试题分析: (1)直方图各小矩形的面积之和为 1,据此即可得 x = 0.0125 . (2)新生上学所需时间不少于1 小时即 60 分钟到 100 分钟,其频率为: 0.003 ? 2 ? 20 ? 0.12 ,这个时间段的人数为 1200 ? 0.12 ? 144 ,所以有 144 名学

1 生可以申请住宿. (3)显然这是一个二项分布.由直方图可知,每位学生上学所需时间少于 20 分钟的概率为 4 ,
由二项分布概率公式可得其分布列及期望. 试题解析: (1)由直方图可得:

20 ? x ? 0.025 ? 20 ? 0.0065 ? 20 ? 0.003 ? 2 ? 20 ? 1 .
所以 x = 0.0125 . (2)新生上学所需时间不少于 1 小时的频率为: 3分

0.003 ? 2 ? 20 ? 0.12 ,
因为 1200 ? 0.12 ? 144 , 所以 1200 名新生中有 144 名学生可以申请住宿. (3) X 的可能取值为 0,1, 2,3, 4. 9分

1 由直方图可知,每位学生上学所需时间少于 20 分钟的概率为 4 ,

81 ? 3? P( X ? 0) ? ? ? ? ? 4 ? 256 ,
2 2 2 4

4

? 1 ?? 3 ? 27 P( X ? 1) ? C ? ?? ? ? ? 4 ?? 4 ? 64 ,
1 4 3

3

27 ?1? ?3? ?1? ?3? 3 P( X ? 2) ? C ? ? ? ? ? P( X ? 3) ? C3 4? ? ? ?? ? 4 ? ? 4 ? 128 , ? 4 ? ? 4 ? 64 ,

1 ?1? P( X ? 4) ? ? ? ? ? 4 ? 256 .
所以 X 的分布列为:

4

10 分

X
P

0

1

2

3

4

81 256

27 64

27 128

3 64

1 256

答案第 21 页,总 23 页

EX ? 0 ?

1 81 27 27 3 1 EX ? 4 ? ? 1 ? 1? ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ?1 4 256 64 128 64 256 . (或 )
12 分

所以 X 的数学期望为 1 . 考点:1、频率分布直方图;2、二项分布. 20. (1)f(x)的单调增区间是 [k? ? 【解析】

?
3

, k? ?

?
6

](k ? Z ) . (2)a=2,b= 3 .

? )-1,由 2kπ - 6 ? ? ? ? ? ? ? ≤2x+ ≤2kπ + 得 kπ - ≤x≤kπ + . (2)由 f(C)=2sin(2C+ )-1=1,sin(2C+ )=1, 2 6 2 3 6 6 6 ? 从而得 C= . 6
试题分析: (1)根据数量积的坐标运算得:f(x)=-2sin x+ 2 3 sin xcos x=2sin(2x+
2

cos C =

a 2 ? b2 ? c2 3 2 2 = ,整理得 a +b =7,联立 ab= 2 3 解方程组可得 a=2,b= 3 . 2ab 2
2

试题解析: (1)f(x)=-2sin x+ 2 3 sin xcos x =-1+cos 2x+ 2 3 sin xcos x = 3 sin 2x+cos 2x-1=2sin(2x+ 由 2kπ -

? ? ? ≤2x+ ≤2kπ + ,k∈Z, 2 6 2 ? ? 得 kπ - ≤x≤kπ + ,k∈Z, 3 6 ? ? ∴f(x)的单调增区间是 [k? ? , k? ? ]( k ? Z ) . 3 6 ? (2)∵f(C)=2sin(2C+ )-1=1, 6 ? ∴sin(2C+ )=1, 6 ? ? ? ∵C 是三角形的内角,∴2C+ = ,即 C= 6 2 6
a 2 ? b2 ? c2 3 2 2 ∴cos C= = ,即 a +b =7. 2ab 2
将 ab= 2 3 代入可得 a +
2

? )-1 6

3分

6分

8分

12 2 =7,解得 a =3 或 4. a2

∴a= 3 或 2,∴b=2 或 3 . ∵a>b,∴a=2,b= 3 12 分.
答案第 22 页,总 23 页

考点:1、三角函数;2、三角恒等变换;3、解三角形.

答案第 23 页,总 23 页


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