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汕头市2013年普通高中高三教学质量测评(二)(理科数学)


2013 年理科数学二模参考答案
一、选择题: (1-5 题)BCDCD 二、填空题:9、 0.08, 12、 1 、 (6-8 题)ACC 10、 4 2 、 14、 5 11、 60 or120 、
0 0

25、

13、 [?3,5] 、



15、

>
54 cm 2 25

三、解答题: 16、 (1)依题意 A=6,周期 T= ? ,从而 T ? 分) 由 6 sin(2 ? 0 ? ? ) ? 3 2 及 | ? |?

2?

?

? ? ,所以 ? ? 2

…………………(3

?
2

得? ?

?
4

…………………………………(4 分)

? f ( x) ? 6 sin( 2 x ?


?
4

) …………………………………………………………(5 分)

6 s i n2m ? (

?
?
4

) ? 6 ,且点 ?m,6 ?为 y 轴右侧的第一个最高点,
,解得 m ?

所以 2m ?

?
4

?

?
8

2

……………………………………………………(7 分)

(2)方法一: 由 tan? ? 2 2 ? ? (0,

?
2

)

? sin ? ?

2 2 1 ? cos ? ? , ………………(9 分) 3 3

4 4 2 ? 6 2 sin ? cos? ? 3 2 (2 cos ? ? 1)
?6 2?

f (? ) ? 6 sin(2? ?

?

) ? 6 sin 2? cos

?

? 6 cos 2? sin

?
4
…………(11 分)

2 2 1 1 8?7 2 ……………(12 分) ? ? 3 2[2 ? ( ) 2 ? 1] ? 3 3 3 3

方法二:因为由 tan? ? 2 2 ? ? (0,

?
2

)

所以:

f (? ) ? 6 sin(2? ?

?

4 4 2 ? 3 2 (2 sin ? cos? ? cos ? ? sin 2 ? )

) ? 6 sin 2? cos

?

? 6 cos 2? sin

?
4 ………………(9 分)

3 2 (2 sin ? cos? ? cos2 ? ? sin 2 ? ) sin 2 ? ? cos2 ? ………………(12 分) 2 tan? ? 1 ? tan2 ? 8 ? 7 2 ?3 2? ? 3 tan2 ? ? 1 ?
1 2 17、解: (Ⅰ)参加单打的队员有 A3 种方法,参加双打的队员有 C 2 种方法.
2 1 所以,高三(1)班出场阵容共有 A3 ? C2 ? 12(种) ……………………………(3 分) 种).

(Ⅱ)高三(1)班代表队连胜两盘,可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负,其余两盘胜. 所以,连胜两盘的概率为

1 1 1 1 1 3 ? ? ? ? ? . 2 2 2 2 2 8

…………………………………(7 分)

(Ⅲ) ? 的取值可能为 0,1,2.

1 1 1 ? ? .…………………………………(8 分) 2 2 4 1 1 1 1 1 1 1 P ?? ? 1? ? ? ? ? ? ? ? .…………………………………(9 分) 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P ?? ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? . ………………………………(10 分) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 P ?? ? 0 ? ?
所以 ? 的分布列为

?
p
∴ E? ? 0 ?

0

1

2

1 4

1 4

1 2

1 1 1 5 ? 1? ? 2 ? ? . …………………………………(12 分) 4 4 2 4

18、解、 (Ⅰ)由题设可知; PM, PN 的斜率存在且不为 0, 所以

y y y2 ? ? ? ,即 x 2 ? ? 1( y ? 0) ……………………………………(3 分) x ?1 x ?1 ?

(Ⅱ)讨论如下: (1)当 ? ? 0 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲线(除去顶点) (2)当 ? 1 ? ? ? 0 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆(除去长轴两个端点) (3)当 ? ? ?1 时,轨迹 C 为以原点为圆心,1 为半径的圆(除去点(-1,0)(1,0) , ) (4)当 ? ? ?1 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 y 轴上的椭圆(除去短轴两个端 点)……………………………………………………………………………(7 分)
2 (Ⅲ) 、当 ? ? 2 时,轨迹 C 的方程为 x ?

y2 ? 1( y ? 0) ,显然定点 E、F 为其左右焦点。 2

0 假设存在这样的点 P,使得 ?EPF ? 120 ,记 ?EPF ? ? , PE ? m, PF ? n, EF ? 2 3 ,

? m ? n ? 2 ? m 2 ? n 2 ? 2m n ? 4 ? 1 ? 那么在 ?EPF 中: ?S ?EPF ? m nsin ? …………………………(9 分) 2 ? ?(2 3 ) 2 ? m 2 ? n 2 ? 2m ncos? ?
整理可得: 2mn(1 ? cos? ) ? 8 ,所以 mn ? 所以 S ?EPF ?

4 4 8 ? ? ………(10 分) 0 1 ? cos ? 1 ? cos 120 3

1 1 8 3 2 3 …………………………(11 分) m nsin 1200 ? ? ? ? 2 2 3 2 3 1 1 2 3 ………………(12 分) ? EF ? y P ? ? 2 3 ? y P ? 2 2 3

又因为 S ?EPF ?

所以 y P ?

2 2 2 , 故 y P ? ? , 代入椭圆的方程可得: x P 3 3

? 2? ?? ? 3? ?? ? 1( y ? 0) 2

2

所以 x P ? ?

11 ,所以满足题意的点 P 有四个,坐标分别为 3

(

11 2 11 2 11 2 11 2 ,? ) ………………(14 分) , ) , (? , ) ,( ,? ) , ( ? 3 3 3 3 3 3 3 3
z

19、证明: (Ⅰ)在梯形 ABCD 中,∵ AB ? CD, AD ? DC ? CB ? a, ?ABC ? 60? , ∴四边形 ABCD 是等腰梯形,………………(1 分) 且 ?DCA ? ?DAC ? 30?, ?DCB ? 120?, ∴ ?ACB ? ?DCB ??DCA ? 90? ,∴ AC ? BC. ………………(2 分) 又∵平面 ACFE ? 平面 ABCD,交线为 AC,∴ BC ? 平面 ACFE. ……(4 分) (Ⅱ)当 EM ?
3 a 时, AM ? 平面 BDF. 现在证明如下: 3

y x

在梯形 ABCD 中,设 AC ? BD ? N ,连结 FN,则C :N ?1:2. N A ∵ EM ?
3 a 而 EF ? AC ? 3a ,∴ EM : FM ? 1: 2, ∴MF ? ? 3

AN,

∴四边形 ANFM 是平行四边形. ∴ AM ? NF . 又∵ NF ? 平面 BDF, AM ? 平面 BDF. ∴ AM ? 平面 BDF. ……(8 分)

(Ⅲ)方法一;(几何法)取 EF 中点 G,EB 中点 H,连结 DG、GH、DH, ∵容易证得 DE=DF,∴ DG ? EF. ∵ BC ? 平面 ACFE,∴ BC ? EF. 又∵ GH ? FB ,∴ EF ? GH. ∴ ?DGH 是二面角 B—EF—D 的平面角. ……(11 分) 在△BDE 中 DE ? 2a, DB ? 3a, BE ? AE 2 ? AB2 ? 5a. ∴ BE2 ? DE2 ? DB2 ∴ ?EDB ? 90? , ∴ DH ?
5 5 2 a. 又 DG ? a, GH ? a. ∴在△DGH 中, 2 2 2 10 , 即二面角 B—EF—D 的平面角余弦值为 10

又∵ EF ? FC ,∴ EF ? FB.

由余弦定理得 cos ?DGH ?

10 ……(14 分) 10

方法二;(向量法)以 C 为坐标原点,建立如图所示的直角坐标系:

C (0,0,0) , B(0, a,0) , F (0,0, a) , D(

3a a ,? ,0) , E( 3a,0, a) 2 2 3a a , , a) ……(10 分) 2 2

所以 EF ? (? 3a,0,0) , BF ? (0,?a, a) , DF ? (?

分别设平面 BEF 与平面 DEF 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , n2 ? ( x2 , y 2 , z 2 ) 所以 ?

?n1 ? EF ? ? 3ax1 ? 0 ? ?n1 ? BF ? ?ay1 ? az1 ? 0 ?

,令 y1 ? 1 ,则 x1 ? 0, z1 ? 1……(11 分)

?n2 ? EF ? ? 3ax2 ? 0 1 ? 又? 显然 x2 ? 0 ,令 y 2 ? 1, 则z 2 ? - ……(12 分) 3a a 2 x 2 ? y 2 ? az2 ? 0 ?n2 ? DF ? ? 2 2 ? 1 所以 n1 ? (0,1,1) , n 2 ? (0,1,? ) ,设二面角的平面角为 ? ,? 为锐角 2

n ? n2 ? 所以 cos? ? 1 n1 ? n2

1 (0,1,1) ? (0,1,? ) 2 ? 10 ……(14 分) 10 5 2? 2
?

20、证明: (Ⅰ)因为 a1 ? 0 ,且 ?k ? N , a2 k ?1 , a 2 k , a2 k ?1 成等差数列,其公差为 2 k 。 即 2a2k ? a2k ?1 ? a2k ?1 , a2k ? a2k ?1 ? a2k ?1 ? a2k ? 2k ………………(1 分)

所以,分别取 k ? 1,2,3 代入解得 a ? 8, a ? 12, a ? 18 ,………………(2 分) 4 5 6 显然满足 a5 ? a4 a6 ,即 a4 , a5 , a6 成等比数列;………………(3 分)
2

(Ⅱ)由题意可知: a 所以 a
2 k ?1

2k ?1

? a2k ?1 ? 4k , 对 ?k ? N ? 恒成立

? a1 ? (a3 ? a1 ) ? (a5 ? a3 ) ? (a7 ? a5 ) ? .....? (a2k ?1 ? a2k ?1 ) (k ? 1)( 0 ? 4k ) (5 ? 0 ? 4 ? 8 ? 12 ? ......? 4k = ? ? 2k (k ? 1) …………… 分) 2

又a

2 k ?1

? a2k ? 2k ,所以 a2k ? a2k ?1 ? 2k = 2k (k ? 1) ? 2k ? 2k 2 ………………(6 分)

?n2 ?1 , (n ? 2k ? 1) ? 所以数列 ?a ? 的通项公式为 a n ? ? 2 , k ? N? ? 2 n ? n , ( n ? 2k ) ?2 ? 2 n n (?1) ? 1 或写为 a n ? ? , n ? N ? (注意:以上三种写法都给全分)…………(7 分) 2 4 (Ⅲ)先证右边: (1)当 n ? 2 时, T ? 2 , 2n ? T ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 显然满足结论。 n n
n2 ?1 , 2 2 2 2 所以 n ? 2n ? 2 ,且 2 ? n ? ? 2 ? ?? 1 ? 1 ? ? ? an an n 2 ? 1 n2 ?1 ? n ?1 n ? 1?
(2)当 n ? 2 时,因为 n 为奇数时, a n ? 当 n 为偶数时, a n ? 综上可知 T ? n
2 n2 , n2 ,2? n ? 0 ?2 2 an an

2 2 32 n2 ? ? ........? ? 2(n ? 1) ,当 n ? 2 时取等号 a 2 a3 an

所以 2n ? T ? 2n ? 2(n ? 1) ? 2 对任意的 n ? 2, n ? N ? 成立。………………(9 分) n 再证左边: 因为 2n ? T ? 2n ? ( n

2 2 32 n2 22 32 n2 ? ? ........? ) ? 2 ? (2 ? ) ? (2 ? ) ? ... ? (2 ? ) a 2 a3 an a2 a3 an

所以(1)当 n ? 2k ? 1, k ? N ? 时

2n ? Tn ? 2 ? 0 ?

2 2 2 2 ?0? 2 ?0? 2 ? .... ? 0 ? 3 ?1 5 ?1 7 ?1 (2k ? 1) 2 ? 1
2

1 1 1 1 ? 1 ? ? 1 1 ?1 ? 2 ? ?( ? ) ? ( ? ) ? .... ? ( ? )? ? 2 ? ? ? ? 4 6 2k 2k ? 2 ? ? 2 4 ? 2 2k ? 2 ? 3 1 3 ? ? ? 2 2k ? 2 2
(2)当 n ? 2k , k ? N ? 时

……… (11 分)

2n ? Tn ? 2 ? 0 ?

2 2 2 2 ?0? 2 ?0? 2 ? .... ? 0 ? ?0 3 ?1 5 ?1 7 ?1 (2k ? 1) 2 ? 1
2

1 1 1 1 ? ? 1 1 ?1 1 ? …(13 分) ? 2 ? ?( ? ) ? ( ? ) ? .... ? ( ? )? ? 2 ? ? ? ? 4 6 2k ? 2 2k ? ? 2 4 ? 2 2k ? 3 1 3 ? ? ? 2 2k 2 3 综上可知对 ?n ? N ? , n ? 2 , ? 2n ? Tn ? 2 成立。 ………………(14 分) 2
21、解析: (Ⅰ)由题意: f ( x) ? g ( x) ? x 2 ? ax ? ln x , ( x ? 0) 分离参数 a 可得: a ? x ? 设 ? ( x) ? x ?

ln x x

( x ? 0) ………………(1 分)

ln x ,则 / x 2 ? ln x ? 1 ………………(2 分) ? ( x) ? x x2

由于函数 y ? x 2 , y ? ln x 在区间 (0,??) 上都是增函数,所以 函数 y ? x 2 ? ln x ? 1在区间 (0,??) 上也是增函数,显然 x ? 1 时,该函数值为 0 所以当 x ? (0,1) 时, ? / ( x) ? 0 ,当 x ? (1,??) 时, ? / ( x) ? 0 所以函数 ? (x) 在 x ? (0,1) 上是减函数,在 x ? (1,??) 上是增函数 所以 ? ( x) min ? ? (1) ? 1,所以 a ? ? ( x) min ? 1 即 a ? (??,1] ………………(4 分)

2 x 2 ? ax ? 1 , ( x ? 0) x 1 所以方程 2 x 2 ? ax ? 1 ? 0( x ? 0) 有两个不相等的实数根 x1 , x 2 ,且 x1 ? (0, ) , 2 1 1 2 又因为 x1 x 2 ? , 所以 x2 ? ? (1,??) ,且 axi ? 2xi ? 1, (i ? 1,2) …………(6 分) 2 2 x1
(Ⅱ)由题意知道: h( x) ? x 2 ? ax ? ln x ,且 h | ( x) ? 而 h( x ) ? h( x ) ? ( x 2 ? ax ? ln x ) ? ( x 2 ? ax ? ln x ) 1 2 1 1 1 2 2 2

? [ x1 ? (2x1 ? 1) ? ln x1 ] ? [ x2 ? (2x2 ? 1) ? ln x2 ] 1 x 2x 1 1 2 2 2 2 2 2 ) ? ln 2 ? x2 ? ? ln 2 x2 , ( x2 ? 1) ? x2 ? x1 ? ln 1 ? x 2 ? ( 2 2x 2 x2 x2 4 x2
2 2 2 2

1 (2 x 2 ? 1) 2 2 ,则 u / ( x) ? ? ln 2 x , ( x ? 1) ?0 4x 2 2x3 3 3 所以 u ( x ) ? u (1) ? ? ln 2 ,即 h( x1 ) ? h( x 2 ) ? ? ln 2 ………………(8 分) 4 4 1 ? ax ax ? 1 (Ⅲ) r ( x) ? f ( x) ? g ( ) ? x 2 ? ax ? ln 2 2 a2 ? 2 2ax ( x ? ) a 2ax2 ? a 2 x ? 2 x 2a 所以 r | ( x) ? 2 x ? a ? ………………(9 ? ? ax ? 1 ax ? 1 ax ? 1
设 u ( x) ? x 2 ? 分)

因为 a ? (1, 2) ,所以

a2 ? 2 a 1 2 1 1 ? ? ? ? ? 2a 2 a 2 2 2
1 2

所以当 x ? ( ,?? ) 时, r (x) 是增函数,所以当 x0 ? [ ,1] 时,

1 2

r ( x0 ) max ? r (1) ? 1 ? a ? ln

a ?1, a ? (1, 2) ………………(10 分) 2

所以,要满足题意就需要满足下面的条件:

a ?1 a ?1 ? k (1 ? a 2 ) ,令 ? (a) ? 1 ? a ? ln ? k (1 ? a 2 ) , a ? (1, 2) 2 2 a ?1 即对任意 a ? (1, 2) , ? (a ) ? 1 ? a ? ln ? k (1 ? a 2 ) ? 0 恒成立 2 2 1 2ka ? 2ka ? a a 因为 ? / (a) ? ?1 ? ? 2ka ? ? (2ka ? 2k ? 1) ………(11 分) a ?1 a ?1 a ?1 1 ? a ? ln
分类讨论如下: (1)若 k ? 0 ,则 ? / ( a ) ?

? a ,所以 ? (a) 在 a ? (1,2) 递减, a ?1 2ka 1 (a ? ? 1) ,所以 ? (a) 在 a ? (1,2) 递减, a ?1 2k

此时 ? (a) ? ? (1) ? 0 不符合题意 (2)若 k ? 0 ,则 ? / (a) ?

此时 ? (a) ? ? (1) ? 0 不符合题意。

2ka 1 1 1 那么当 假设 t 为 2 与 (a ? ? 1) , ? 1 ? 1 时, ?1 a ?1 2k 2k 2k 1 1 中较小的一个数,即 t ? min{2, ? 1} ,则 ? (a) 在区间 (1, min{2, ? 1}) 上递减,此 2k 2k
(3) k ? 0 , ? / (a) ? 若 则 时 ? (a) ? ? (1) ? 0 不符合题意。 综上可得 ? 1 ?

?k ? 0 ? 2k ? 1 ? 1 ?

解得 k ?

1 ,即实数 的取值范围为 1 k [ ,?? ) ………………(14 分) 4 4


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