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数学必修1-5综合测试题[2]


2011-2012 学年下期高中数学必修综合测试题(四)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.函数 y ? x ?1 的定义域为( ) A. ? ??,1? B. ? ??,1? ) C. C. ?1, ?? ? D. ?1, ?? ?

A. Q ? P ?

R

B. Q ? R ? P

C. P ? R ? Q

D. P ? Q ? R )

? ? 的图像如图 3 所示, 9. 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ? 则函数 f ( x) 的解析式是 ( ? ? ? 0, ? ? ? y 2? ?
10 ? ? A. f ( x) ? 2sin ? ? x? ? ? 11 6 ?

B. f ( x) ? 2sin ? 10 x ? ? ?
? ? 11 ? 6 ?

1 O

2.直线 3x ? y ? 0 的倾斜角为( A.

? 6

B.

? 3

2? 3

D.

5? 6

? ? C. f ( x) ? 2sin ? D. f ( x) ? 2sin ? 2 x ? ? ? ? 2x ? ? ? ? 6 ? 6 ? ? ? 10.一个三角形同时满足:①三边是连续的三个自然数;②最大角是 最小角的 2 倍,则这个三角形最小角的余弦值为( )
A. )

11? 12

x

3. 已知全集 U ? ?1,2,3,4,5,6,7,8? , 集合 A ? ?2, 4,6,8? , 则A B ? ?1,2,3,6,7? , A. ?2,4,6,8? B. ?1,3,7? C. ?4,8?

?? B? ?(
U

3 7 8

B.

3 4

C.

7 4

D.

1 8

图3 开始

D. ?2,6?

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.圆心为点 ? 0, ?2 ? ,且过点 ? 4, 1? 的圆的方程为 .

输入 x

甲 乙 4.某赛季,甲、乙两名篮球运动员都参加了 7 场比赛,他们所有比赛得分的情 6 8 9 0 5 7 8 x 2 况用如图 1 所示的茎叶图表示,则甲、乙两名运动员得分的平均数分别为( ) 5 7 9 1 1 3 5 12.如图 4,函数 f ? x ? ? 2 , g ? x ? ? x ,若输入的 x 值为 3, A.14、12 B.13、12 4 2 5 则输出的 h ? x ? 的值为 . C.14、13 D.12、14 图1 5.在边长为 1 的正方形 ABCD 内随机取一点 P ,则点 P 到点 A 的距离小于 1 的概率为( ) ? x ? y ? 2≥0, A.

f ( x ) ? g ( x)
否 是 h( x ) ? f ( x ) h( x ) ? g ( x ) 输 出 h( x ) 结束 图4

? 4

B. 1 ?

? 4

C.

? 8

D. 1 ? )

? 8

6.已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ,且 a ? b ? 1 ,则 a-b 等于( A.1 B. 3 C.2

13 . 设 不 等 式 组 ? x ? 3 y ? 6≥0, 表 示 的 平 面 区 域 为 D , 若 直 线 ? x ? y≤0 ?

?

kx ? y ? k ? 0 上存在区域 D 上的点,则 k 的取值范围是
D.3 )
2

. .

7.有一个几何体的三视图及其尺寸如图 2 所示(单位:cm) ,则该几何体的表面积 为( ... A. 12? cm
2

14.若函数 f ? x ? ? ? a ? 2? x ? ? a ?1? x ? 3 是偶函数,则函数 f ? x ? 的单调递减区间为 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A , B , C 成等差数列. (1)求角 B 的大小; (2)若 sin ? A ? B ? ? 2 ,求 sin A 的值. 2

B. 15? cm D. 36? cm
x
2

2

5 6

5 6

? cm C. 2 4
2

?1? 8.若 2 ? x ? 3 , P ? ? ? , Q ? log 2 x , R ? x , ?2?
则 P , Q , R 的大小关系是( )

主视图

侧视图

俯视图

图2

16. (本小题满分 12 分) 某校在高二年级开设了 A , B , C 三个兴趣小组,为了对兴趣小组活动的开展情况进行调查, 用分层抽样方法从 A , B , C 三个兴趣小组的人员中,抽取若干人组成调查小组,有关数据 见下表(单位:人) 兴趣小组 小组人数 抽取人数 (1)求 x , y 的值; (2)若从 A , B 两个兴趣小 组抽取的人中选 2 人作专题发言,求这 2 人都来自兴 趣小组 B 的概率.

19. (本小题满分 14 分) 直线 y ? kx ? b 与圆 x2 ? y 2 ? 4 交于 A 、 B 两点,记△ AOB 的面积为 S (其中 O 为坐标原 点) . (1)当 k ? 0 , 0 ? b ? 2 时,求 S 的最大值; (2)当 b ? 2 , S ? 1 时,求实数 k 的值.

A B C

24 36 48

x
3

y

17. (本小题满分 14 分) 如图 5,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为正方形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AB ,点

20. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ax2 ? x ?1 ? 3a ? a ? R ? 在区间 ??1,1? 上有零点,求实数 a 的取值范围.

E 是 PD 的中点. (1)求证: PB
的长.

平面 ACE ; (2)若四面体 E ? ACD 的体积为 P

2 ,求 AB 3

E

A 18. (本小题满分 14 分) B 图5 C

D

已知数列 ?an ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列,数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ? n2 . (1)求数列 ?an ? 与 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?

? bn ? ? 的前 n 项和. ? an ?

2010 学年度广州市高中二年级学生学业水平测试 数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 D 2 B 3 C 4 A 5 A 6 B 7 C 8 D 9 C 10 B

?

2? 6 . 4 2 , 2

方法 2:因为 A , B 是△ ABC 的内角,且 sin ? A ? B ? ? 所以 A ? B ?

?
4

或 A? B ?

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. x ? ? y ? 2 ? ? 25 (或 x ? y ? 4 y ? 21 ? 0 )
2 2

由(1)知 B ?

?
3

3? . 4

,所以 A ? B ?

3? 5? ,即 A ? . 4 12

2

2

12.9

以下同方法 1. 方法 3:由(1)知 B ?

13. ? 0, ?? ? (或 ? 0, ?? ? )

?1 ? 14. ? , 2 ?2 ? ?

?
3

,所以 sin ? A ?

? ?

??

2 . ?? 3? 2

三、解答题 15.本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力.满分 12 分. 解: (1)在△ ABC 中, A ? B ? C ? ? , 由角 A , B , C 成等差数列,得 2 B ? A ? C . 解得 B ?

即 sin A cos

?
3

? cos A sin

?
3

?

2 . 2



1 3 2 . sin A ? cos A ? 2 2 2

?
3



即 3 cos A ?
2

2 ? sin A .
2

2 2 2 (2)方法 1:由 sin ? A ? B ? ? ,即 sin ?? ? C ? ? ,得 sin C ? . 2 2 2
所以 C ?

即 3cos A ? 2 ? 2 2 sin A ? sin A . 因为 cos A ? 1 ? sin A ,
2 2
2 2 所以 3 1 ? sin A ? 2 ? 2 2 sin A ? sin A .

?
4

或C ?

5? 由(1)知 B ? ,所以 C ? ,即 A ? . 3 4 12

?

3? . 4

?

?

?

所以 sin A ? sin

5? ?? ? ? ? sin ? ? ? 12 ?4 6?

即 4sin A ? 2 2 sin A ? 1 ? 0 .解得 sin A ?
2

2? 6 . 4

因为角 A 是△ ABC 的内角,所以 sin A ? 0 .

? sin

?
4

cos

?
6

? cos

?
4

sin

?
6

故 sin A ?

2? 6 . 4

?

2 3 2 1 ? ? ? 2 2 2 2
16.本小题主要考查统计与概率等基础知识,考查数据处理能力.满分 12 分.

解: (1)由题意可得,

x 3 y ? ? , 24 36 48

解得 x ? 2 , y ? 4 . (2)记从兴趣小组 A 中抽取的 2 人为 a1 , a2 ,从兴趣小组 B 中抽取的 3 人为 b1 , b2 , b3 ,

1 1 ? ? ? AD ? CD ? EH 3 2 1 1 1 2 ? x x x ? x3 ? . 6 2 12 3
解得 x ? 2 . 故 AB 的长为 2. 18.本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,考查运算求解能力和推理论证能力.满分 14 分. 解: (1)因为数列 ?an ? 是首项为 1,公比为 2 的等比数列, 所以数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n?1 . 因为数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn ? n2 .

B 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有 ? a1 , a2 ? , 则从兴趣小组 A , ? a1, b1 ? , ? a1 , b2 ? ,

? a1, b3 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a2 , b3 ? , ?b1, b2 ? , ?b1, b3 ? , ?b2 , b3 ? 共 10 种.
设选中的 2 人都来自兴趣小组 B 的事件为 X ,则 X 包含的基本事件有 ? b1 , b2 ? , ? b1 , b3 ? ,

?b2 , b3 ? 共 3 种.
3 所以 P ? X ? ? . 10
故选中的 2 人都来自兴趣小组 B 的概率为

3 . 10

2 所以当 n≥2 时, bn ? Sn ? Sn?1 ? n ? ? n ? 1? ? 2n ? 1 , 2

当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 1 ? 2 ?1 ? 1 , 所以数列 ?bn ? 的通项公式为 bn ? 2n ? 1. (2)由(1)可知,

17.本小题主要考查直线与平面的位置关系、体积等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力 和运算求解能力.满分 14 分. P (1)证明:连接 BD 交 AC 于点 O ,连接 EO , 因为 ABCD 是正方形,所以点 O 是 BD 的中点. 因为点 E 是 PD 的中点, E 所以 EO 是△ DPB 的中位线. 所以 PB

bn 2n ? 1 ? n?1 . an 2

EO .
A B O O H C D

设数列 ? 则

? bn ? ? 的前 n 项和为 Tn , ? an ?
① ②

因为 EO ? 平面 ACE , PB ? 平面 ACE , 所以 PB 平面 ACE .

(2)解:取 AD 的中点 H ,连接 EH , 因为点 E 是 PD 的中点,所以 EH

PA .

3 5 7 2n ? 3 2n ? 1 ? ? ? ? n ? 2 ? n ?1 , 2 4 8 2 2 1 1 3 5 7 n2 ? 3 n? 2 1 Tn ? ? ? ? ? ? n ?1 ? n , 即 2 2 4 8 16 2 2 1 1 1 1 1 2n ? 1 ①-②,得 Tn ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? n ? 2 ? 2 2 4 8 2 2n Tn ? 1 ?

因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 EH ? 平面 ABCD .

1 1 设 AB ? x ,则 PA ? AD ? CD ? x ,且 EH ? PA ? x . 2 2 1 所以 VE ? ACD ? S ?ACD ? EH 3

?1? 1? ? ? 2 ? 1? ? ? 1 1? 2

n ?1

?

2n ? 1 2n

? 3?
所以

2n ? 3 , 2n


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