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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第二章 推理与证明 2.1.2演绎推理课时作业 新人教A版选修1-2


2.1.2
明目标、 知重点

演绎推理

1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式, 并能运用它们进行一

些简单推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.

1.演绎推理 含义 特点 2.三段论 一般模式 大前提 小前提 结论 已知的一般原理 所研究的特殊情况 根据一般

原理,对特殊情况做出的判断 常用格式 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论的推理 由一般到特殊的推理

M是P S是M S是P

[情境导学] 小明是一名高二年级的学生,17 岁,迷恋上网络,沉迷于虚拟的世界当中.由于每月的零花 钱不够用,便向亲戚邻人要钱,但这仍然满足不了需求,于是就产生了歹念,强行向路人抢 取钱财.但小明却说我是未成年人而且就抢了 50 元,这应该不会很严重吧?如果你是法官, 你会如何判决呢?小明到底是不是犯罪呢? 探究点一 演绎推理与三段论

思考 1 分析下面几个推理,找出它们的共同点. (1)所有的金属都能导电,铀是金属,所以铀能够导电; (2)一切奇数都不能被 2 整除,(2 +1)是奇数,所以(2 +1)不能被 2 整除; (3)三角函数都是周期函数,tan α 是三角函数,因此 tan α 是周期函数; (4)两条直线平行,同旁内角互补.如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角,那么∠A+∠B =180°. 答 问题中的推理都是从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理
100 100

叫演绎推理. 思考 2 演绎推理有什么特点? 答 演绎推理是从一般到特殊的推理.演绎推理的前提是一般性原理,结论是蕴含于前提之

-1-

中的个别、特殊事实. 思考 3 演绎推理的结论一定正确吗? 答 在演绎推理中,前提和结论之间存在必然的联系,只要前提是真实的,推理形式是正确

的,结论必定是正确的. 思考 4 演绎推理一般是怎样的模式? 答 “三段论”是演绎推理的一般模式,它包括: (1)大前提——已知的一般原理;(2)小前提——所研究的特殊情况;(3)结论——根据一般原 理,对特殊情况做出的判断. 例1 将下列演绎推理写成三段论的形式.

(1)平行四边形的对角线互相平分,菱形是平行四边形,所以菱形的对角线互相平分; (2)等腰三角形的两底角相等,∠A,∠B 是等腰三角形的底角,则∠A=∠B; (3)通项公式为 an=2n+3 的数列{an}为等差数列. 解 (1)平行四边形的对角线互相平分,大前提 菱形是平行四边形,小前提 菱形的对角线互相平分.结论 (2)等腰三角形的两底角相等,大前提 ∠A,∠B 是等腰三角形的底角,小前提 ∠A=∠B.结论 (3)数列{an}中,如果当 n≥2 时,an-an-1 为常数,则{an}为等差数列,大前提 通项公式为 an=2n+3 时,若 n≥2, 则 an-an-1=2n+3-[2(n-1)+3]=2(常数),小前提 通项公式为 an=2n+3 的数列{an}为等差数列.结论 反思与感悟 用三段论写推理过程时,关键是明确大、小前提,三段论中的大前提提供了一

个一般性的原理,小前提指出了一种特殊情况,两个命题结合起来,揭示了一般原理与特殊 情况的内在联系.有时可省略小前提,有时甚至也可把大前提与小前提都省略,在寻找大前 提时,可找一个使结论成立的充分条件作为大前提. 跟踪训练 1 把下列推断写成三段论的形式: (1)因为△ABC 三边的长依次为 3,4,5,所以△ABC 是直角三角形; (2)函数 y=2x+5 的图象是一条直线; (3)y=sin x(x∈R)是周期函数. 解 (1)一条边的平方等于其他两条边平方和的三角形是直角三角形,大前提 △ABC 三边的长依次为 3,4,5,而 3 +4 =5 ,小前提 △ABC 是直角三角形.结论 (2)一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,大前提
-22 2 2

函数 y=2x+5 是一次函数,小前提 函数 y=2x+5 的图象是一条直线.结论 (3)三角函数是周期函数,大前提

y=sin x(x∈R)是三角函数,小前提 y=sin x(x∈R)是周期函数.结论

探究点二 三段论推理中的易错点 例2 指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因:

(1)整数是自然数,大前提 -3 是整数,小前提 -3 是自然数.结论 (2)常函数的导函数为 0,大前提 函数 f(x)的导函数为 0,小前提

f(x)为常函数.结论
(3)无限不循环小数是无理数,大前提 1 (0.333 33?)是无限不循环小数,小前提 3 1 是无理数.结论 3 解 (1)结论是错误的,原因是大前提错误.自然数是非负整数. (2)结论是错误的,原因是推理形式错误.大前提指出的一般性原理中结论为“导函数为 0”, 因此演绎推理的结论也应为“导函数为 0”. 1 (3)结论是错误的,原因是小前提错误. (0.333 33?)是循环小数而不是无限不循环小数. 3 反思与感悟 演绎推理的结论是否正确,取决于该推理的大前提、小前提和推理形式是否全

部正确,因此,分析推理中的错因实质就是判断大前提、小前提和推理形式是否正确. 跟踪训练 2 指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因: (1)因为中国的大学分布在中国各地,大前提 北京大学是中国的大学,小前提 所以北京大学分布在中国各地.结论 (2)因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形,大前提 而菱形是所有边长都相等的凸多边形,小前提 所以菱形是正多边形.结论 解 (1)推理形式错误.大前提中的 M 是“中国的大学”,它表示中国的各所大学,而小前提 中 M 虽然也是“中国的大学”,但它表示中国的一所大学,二者是两个不同的概念,故推理
-3-

形式错误.(2)结论是错误的,原因是大前提错误.因为所有边长都相等,内角也都相等的凸 多边形才是正多边形.

探究点三 三段论的应用

例3

如图,在锐角三角形 ABC 中,AD⊥BC,BE⊥AC,D,E 是垂足,求证:AB 的中点 M 到点

D,E 的距离相等.
证明 (1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形,大前提 在△ABD 中,AD⊥BC,即∠ADB=90°,小前提 所以△ABD 是直角三角形.结论 同理,△AEB 也是直角三角形. (2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,大前提 因为 DM 是直角三角形 ABD 斜边上的中线,小前提 1 所以 DM= AB.结论 2 1 同理 EM= AB.所以 DM=EM. 2 反思与感悟 应用三段论证明问题时,要充分挖掘题目外在和内在条件 (小前提),根据需要

引入相关的适用的定理和性质(大前提),并保证每一步的推理都是正确的,严密的,才能得 出正确的结论.如果大前提是显然的,则可以省略.

跟踪训练 3 已知:在空间四边形 ABCD 中,点 E,F 分别是 AB,AD 的中点,如图所示,求证:

EF∥平面 BCD.
证明 三角形的中位线平行于底边,大前提 点 E、F 分别是 AB、AD 的中点,小前提 所以 EF∥BD.结论 若平面外一条直线平行于平面内一条直线则直线与此平面平行,大前提

EF?平面 BCD,BD? 平面 BCD,EF∥BD,小前提 EF∥平面 BCD.结论
-4-

1.下面几种推理过程是演绎推理的是(

)

A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B =180° B.某校高三 1 班有 55 人,2 班有 54 人,3 班有 52 人,由此得高三所有班人数超过 50 人 C.由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质 1 ? 1? D.在数列{an}中 a1=1,an= ?an-1+ (n≥2),由此归纳出{an}的通项公式 an-1? 2? ? 答案 A 解析 A 是演绎推理,B、D 是归纳推理,C 是类比推理. 1 2.“因为对数函数 y=logax 是增函数(大前提),又 y=log x 是对数函数(小前提),所以 y 3 1 =log x 是增函数(结论).”下列说法正确的是( 3 A.大前提错误导致结论错误 B.小前提错误导致结论错误 C.推理形式错误导致结论错误 D.大前提和小前提都错误导致结论错误 答案 A 解析 y=logax 是增函数错误.故大前提错. 3.把“函数 y=x +x+1 的图象是一条抛物线”恢复成三段论,则大前提:____________; 小前提:____________; 结论:____________. 答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数 y=x +x+1 是二次函数 函数 y=x +x+1 的图 象是一条抛物线 4.
2 2 2

)

如图,在△ABC 中,AC>BC,CD 是 AB 边上的高,求证:∠ACD>BCD. 证明:在△ABC 中, 因为 CD⊥AB,AC>BC,① 所以 AD>BD, ② 于是∠ACD>∠BCD. ③ 则在上面证明的过程中错误的是________.(只填序号)
-5-

答案 ③ 解析 由 AD>BD,得到∠ACD>∠BCD 的推理的大前提应是“在同一三角形中,大边对大角”, 小前提是“AD>BD”,而 AD 与 BD 不在同一三角形中,故③错误. [呈重点、现规律] 1.演绎推理是从一般性原理出发,推出某个特殊情况的推理方法;只要前提和推理形式正确, 通过演绎推理得到的结论一定正确. 2.在数学中,证明命题的正确性都要使用演绎推理,推理的一般模式是三段论,证题过程中 常省略三段论的大前提.

一、基础过关 1.下列表述正确的是( )

①归纳推理是由部分到整体的推理; ②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理; ④类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.①②③ C.②④⑤ 答案 D 解析 根据归纳推理,演绎推理,类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确. 2.下列说法不正确的是( ) B.②③④ D.①③⑤

A.演绎推理是由一般到特殊的推理 B.赋值法是演绎推理 C.三段论推理的一个前提是肯定判断,结论为否定判断,则另一前提是否定判断 D.归纳推理的结论都不可靠 答案 D 3.正弦函数是奇函数,f(x)=sin(x +1)是正弦函数,因此 f(x)=sin(x +1)是奇函数.以 上推理( ) B.大前提不正确 D.全不正确
2 2

A.结论正确 C.小前提不正确 答案 C

-6-

解析 由于函数 f(x)=sin(x +1)不是正弦函数.故小前提不正确. 4.“∵四边形 ABCD 是矩形,∴四边形 ABCD 的对角线相等.”以上推理的大前提是( A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 答案 B 解析 利用三段论分析: 大前提:矩形都是对角线相等的四边形; 小前提:四边形 ABCD 是矩形; 结论:四边形 ABCD 的对角线相等. 5.给出演绎推理的“三段论”: 直线平行于平面,则平行于平面内所有的直线;(大前提) 已知直线 b∥平面 α ,直线 a? 平面 α ;(小前提) 则直线 b∥直线 a.(结论) 那么这个推理是( A.大前提错误 C.推理形式错误 答案 A 6.下列几种推理过程是演绎推理的是( A.5 和 2 2可以比较大小 B.由平面三角形的性质,推测空间四面体的性质 C.东升高中高二年级有 15 个班,1 班有 51 人,2 班有 53 人,3 班有 52 人,由此推测各班都 超过 50 人 D.预测股票走势图 答案 A 7.用三段论证明:直角三角形两锐角之和为 90°. 证明 因为任意三角形内角之和为 180°(大前提),而直角三角形是三角形(小前提),所以直 角三角形内角之和为 180°(结论). 设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B,则有∠A+∠B+90°=180°,因为等量减等量差相 等(大前提), (∠A+∠B+90°)-90°=180°-90°(小前提), 所以∠A+∠B=90°(结论). 二、能力提升 8.已知三条不重合的直线 m、n、l,两个不重合的平面 α 、β ,有下列命题: ①若 m∥n,n? α ,则 m∥α ;
-7-

2

)

) B.小前提错误 D.非以上错误

)

②若 l⊥α ,m⊥β 且 l∥m,则 α ∥β ; ③若 m? α ,n? α ,m∥β ,n∥β ,则 α ∥β ; ④若 α ⊥β ,α ∩β =m,n? β ,n⊥m,则 n⊥α . 其中正确的命题个数是( A.1 C.3 答案 B 解析 ①中,m 还可能在平面 α 内,①错误;②正确;③中,m 与 n 相交时才成立,③错误; ④正确.故选 B. 9.在求函数 y= log2x-2的定义域时,第一步推理中大前提是当 a有意义时,a≥0;小前提 是 log2x-2有意义;结论是__________________. 答案 y= log2x-2的定义域是[4,+∞) 解析 由大前提知 log2x-2≥0,解得 x≥4. 10.对于平面上的点集 Ω ,如果连接 Ω 中任意两点的线段必定包含于 Ω ,则称 Ω 为平面上 的凸集,给出平面上 4 个点集的图形如图(阴影区域及其边界): B.2 D.4 )

其中为凸集的是______(写出所有凸集相应图形的序号). 答案 ②③

11.用演绎推理证明函数 f(x)=|sin x|是周期函数. 证明 大前提: 若函数 y=f(x)对于定义域内的任意一个 x 值满足 f(x+T)=f(x)(T 为非零常 数),则它为周期函数,T 为它的一个周期. 小前提:f(x+π )=|sin(x+π )|=|sin x|=f(x). 结论:函数 f(x)=|sin x|是周期函数. e a 12.设 a>0,f(x)= + x是 R 上的偶函数,求 a 的值. a e 解 ∵f(x)是 R 上的偶函数,∴f(-x)=f(x), 1 1 x ∴(a- )(e - x)=0 对于一切 x∈R 恒成立, a e 1 由此得 a- =0,
x

a

即 a =1.又 a>0, ∴a=1.
-8-

2

三、探究与拓展 13.设 f(x)=

ax+a-x
2

,g(x)=

ax-a-x
2

(其中 a>0 且 a≠1).

(1)5=2+3 请你推测 g(5)能否用 f(2),f(3),g(2),g(3)来表示; (2)如果(1)中获得了一个结论,请你推测能否将其推广. 解 (1)由 f(3)g(2)+g(3)f(2)= 又 g(5)=

a3+a-3 a2-a-2 a3-a-3 a2+a-2 a5-a-5
2 × 2 + 2 × 2 = 2



a5-a-5
2

,因此,

g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2).
(2)由 g(5)=f(3)g(2)+g(3)f(2), 即 g(2+3)=f(3)g(2)+g(3)f(2), 于是推测 g(x+y)=f(x)g(y)+g(x)f(y). 证明:因为 f(x)= 所以 g(x+y)=

ax+a-x
2 2

,g(x)= ,

ax-a-x
2

,(大前提)

ax+y-a-?x+y?

g(y)=

ay-a-y
2 2



ay+a-y f(y)= ,(小前提及结论)
所以 f(x)g(y)+g(x)f(y)= =

ax+a-x ay-a-y ax-a-x ay+a-y
2 × 2 + 2 × 2

ax+y-a-?x+y?
2

=g(x+y).

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