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2015届江苏高考数学考前指导卷(含答案)


2014 届江苏高考数学考前指导卷(1)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡 ... 相应位置上 . ..... 1.已知集合 A={x|x>5},集合 B={x|x<a},若 A B={x|5<x<6},则实数 a 的值为 2.设(1+2i)2=a+bi( a , b ? R

),则 ab= . . . .

3.若函数 f(x)=sin(x+φ)(0<φ<π)是偶函数,则 φ=

x2 y2 4.已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为 a b 5.从 3 位男生 1 位女生中任选两人,恰好是一男一女的概率是________.
a 6.已知函数 y ? x 2 ? (a ? R ) 在 x ? 1 处的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 a ? ________. x

7.图 1 是某学生的数学考试成绩茎叶图,第 1 次到第 14 次的考试成绩依次记为 A1,A2,…,A14.图 2 是统 计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输出的结果是________.

8. 已知等差数列{an}的公差不为零, a1+a2+a5>13, 且 a1, a2, a5 成等比数列, 则 a1 的取值范围为 → → BA· BC 9.在△ABC 中,若 AB=1, AC ? 3,| AB ? AC |?| BC | ,则 = → |BC| .



10.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,a=8,b=10,△ABC 的面积为 20 3,则△ABC 的 最大角的正切值是________. 11. 已知三棱锥 P ? ABC 的底面是边长为 3 的正三角形, 其三条侧棱的长分别为 3, 4, 5, 则该三棱锥 P ? ABC 的体积为 . .

12.已知函数 f(x)=|x2+2x-1|,若 a<b<-1,且 f(a)=f(b),则 ab+a+b 的取值范围是
3 2 3 2 13.已知实数 a , b 分别满足 a ? 3a ? 5a ? 1 , b ? 3b ? 5b ? 5 , 则 a ? b 的值





1

c b 14.已知 A,B,C 是平面上任意三点,BC=a,CA=b,AB=c,则 y= + 的最小值 a+b c 是 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出必要的文字说明、 ........ 证明过程或演算步骤. 15.已知△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2acos B=ccos B+bcos C. (1)求角 B 的大小; (2)设向量 m=(cos A,cos 2A),n=(12,-5),求当 m· n 取最大值时,tan C 的值.

16. 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 已知 AB =1, BC = 2, CD = 4, AB∥CD, BC⊥CD, 平面 PAB ? 平面 ABCD, PA⊥AB. (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)已知点 F 在棱 PD 上,且 PB∥平面 FAC,求 DF:FP.
P F

A

B

D

C

2

17.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得 10 万元到 1 000 万元的投资收益.现准备制定 一个对科研课题组的奖励方案:资金 y(单位:万元)随投资收益 x(单位:万元)的增加而增加,且奖金不 超过 9 万元,同时奖金不超过投资收益的 20%. (1)若建立函数 y=f(x)模型制定奖励方案,试用数学语言表述该公司对奖励函数 f(x)模 x 型的基本要求,并分析函数 y= +2 是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明 150 原因; 10x-3a (2)若该公司采用模型函数 y= 作为奖励函数模型,试确定最小的正整数 a 的值. x+2

18.椭圆 C:

3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,离心率为 ,过 F1 且垂直于 2 2 a b x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P 是椭圆 C 上除长轴、短轴端点外的任一点,过点 P 作直线 l,使得 l 与椭圆 C 有 且只有一个公共点,设 l 与 y 轴的交点为 A,过点 P 作与 l 垂直的直线 m,设 m 与 y 轴的交点为 B,求证:△PAB 的外接圆经过定点.

y A P

O

x

B

3

19.已知函数 f(x)=ax+ln x,g(x)=ex. (1)当 a≤0 时,求 f(x)的单调区间; x-m (2)若不等式 g(x)< 有解,求实数 m 的取值范围. x

20.已知无穷数列{an}的各项均为正整数,Sn 为数列{an}的前 n 项和. (1)若数列{an}是等差数列,且对任意正整数 n 都有 Sn3 ? (Sn ) 成立,求数列{an}的通项公式;
3

(2)对任意正整数 n,从集合{a1,a2,…,an}中不重复地任取若干个数,这些数之间经过加减运算后所 得数的绝对值为互不相同的正整数,且这些正整数与 a1,a2,…,an 一起恰好是 1 至 Sn 全体正整数 组成的集合. (ⅰ)求 a1,a2 的值; (ⅱ)求数列{an}的通项公式.

4

参考答案
一、填空题 1 .6 8.(1, +∞) 2.?12 1 9. 2 π x2 y2 3. 4. - =1 2 20 5 5 3 10. 或- 3 11. 11 3 5.
1 2

6.0 13.2

7.10 1 14. 2- 2

12.(-1,1)

二、解答题 15.(1)由题意, 2sin Acos B=sin Ccos B+cos Csin B, 所以 2sin Acos B=sin(B+C)=sin(π-A)=sin A. 2 π 因为 0<A<π,所以 sin A≠0.所以 cos B= .因为 0<B<π,所以 B= . 2 4 (2)因为 m· n=12cos A-5cos 2A, 3?2 43 所以 m· n=-10cos2A+12cos A+5=-10? ?cos A-5? + 5 . 3 4 π 4 所以当 cos A= 时,m· n 取最大值.此时 sin A= (0<A< ),于是 tan A= . 5 5 2 3 tan A+tan B 所以 tan C=-tan(A+B)=- =7. 1-tan Atan B 16.证明(1)∵平面 PAB ? 平面 ABCD,平面 PAB ? 平面 ABCD = AB, PA ? AB,PA ? 平面 PAB,∴ PA ? 平面 ABCD.∵BD ? 平面 ABCD, ∴PA ? BD.连结 AC BD ? O ,∵AB = 1,BC = 2,CD = 4, ∴

AB BC 1 ? ? . BC CD 2

P F

∵AB∥CD,BC⊥CD, ∴ Rt?ABC ∽ Rt?BCD . ∴ ?BDC ? ?ACB . ∴ ?ACB ? ?CBD ? ?BDC ? ?CBD ? 90? . 则 AC⊥BD.∵ AC PA ? A ,∴BD⊥平面 PAC.

A O D

B

C

(2)∵PB // 平面 FAC,PB ? 平面 PBD,平面 PBD 平面 FAC= FO,∴FO∥PB,∴ 又∵AB // CD,且

DF DO . ? PF OB

BO AB 1 ? ? ,∴DF:FP=4:1. OD CD 4

17.(1)设奖励函数模型为 y=f(x),按公司对函数模型的基本要求,函数 y=f(x)满足: x 当 x∈[10,1 000]时,①f(x)在定义域[10,1 000]上是增函数;②f(x)≤9 恒成立;③f(x)≤ 恒成立. 5 x 对于函数模型 f(x)= +2. 150 1 000 20 当 x∈[10,1 000]时,f(x)是增函数,f(x)max=f(1 000)= +2= +2<9,所以 f(x)≤9 恒成立. 150 3 1 10 x 但 x=10 时,f(10)= +2> ,即 f(x)≤ 不恒成立,故该函数模型不符合公司要求. 15 5 5 10x-3a 3a+20 20 (2)对于函数模型 f(x)= ,即 f(x)=10- ,当 3a+20>0,即 a>- 时递增; 3 x+2 x+2 982 要使 f(x)≤9 对 x∈[10,1 000]恒成立,即 f(1 000)≤9,3a+18≥1 000,a≥ ; 3 10x-3a x 2 x 192 要使 f(x)≤ 对 x∈[10,1 000]恒成立,即 ≤ ,x -48x+15a≥0 恒成立,所以 a≥ . 5 5 5 x+2 982 综上所述,a≥ ,所以满足条件的最小的正整数 a 的值为 328. 3 18.(1)由于 c2=a2-b2,将 x=-c 代入椭圆方程

b b x2 y2 ? 2 ? 1 ,得 y=± .由题意知 2 =1,即 a=2b2, 2 a b a a
5

2

2

又 e=

c x2 3 ? y 2 ? 1. = , 所以 a=2,b=1. 所以椭圆 C 的方程为 2 a 4

(2)设 P(x0,y0)(y0≠0),则直线 l 的方程为 y-y0=k(x-x0).

? y ? kx ? y0 ? kx0 , ? 联立 ? x 2 2 ? ? y ? 1, ?4

2 2 整理得(1+4k2)x2+8(ky0-k2x0)x+4(y2 0-2kx0y0+k x0-1)=0.

2 x0 x 2 2 2 ? y0 ? 1, 由题意 所以 16y2 故 k=- 0 . 0k +8x0y0k+x0=0, 4 4 y0 xx 1 所以直线 l 方程为 0 ? y0 y ? 1 ,令 x=0,解得点 A (0, ) , 4 y0 4 y0 又直线 m 方程为 y ? x ? 3 y0 ,令 x=0,解得点 B (0, ?3 y0 ) , x0 1 2 △PAB 的外接圆方程为以 AB 为直径的圆方程,即 x ? ( y ? )( y ? 3 y0 ) ? 0 . y0

2 2 Δ=0, 即(4-x2 又 0)k +2x0y0k+1-y0=0.

整理得: x ? y ? 3 ? y (3 y0 ?
2 2

? x 2 ? y 2 ? 3 ? 0, 1 解得圆过定点 (? 3,0) . ) ? 0 ,分别令 ? y0 y ? 0, ?

1 19.(1)f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=a+ (x>0), x 1° 当 a=0 时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增; 1 2° 当 a<0 时,由 f′(x)=0,解得 x=- , a 1? ? 1 ? 则当 x∈? ?0,-a?时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当 x∈?-a,+∞?时,f′(x)<0,f(x)单调递减, 综上所述:当 a=0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增, 1? ? 1 ? 当 a<0 时,f(x)在? ?0,-a?上单调递增,在?-a,+∞?上单调递减. x-m (2)由题意:ex< 有解,即 ex x<x-m 有解,因此只需 m<x-ex x,x∈(0,+∞)有解即可, x 1 ? ex 设 h(x)=x-ex x,h′(x)=1-ex x- =1-ex? x+ , 2 x? ? 2 x 1 1 因为 x+ ≥2 = 2>1,且 x∈(0,+∞)时 ex>1, 2 2 x 1 ? 所以 1-ex? x+ <0,即 h′(x)<0.故 h(x)在(0,+∞)上单调递减,∴h(x)<h(0)=0,故 m<0. 2 x? ? 20.(1)设无穷等差数列{an}的公差为 d, 3 ?a1=a1 , ? 3 因为 Sn3 ? (Sn ) 对任意正整数 n 都成立,所以分别取 n=1,n=2 时,则有:? 3 ? ?8a1+28d=?2a1+d? . 因为数列{an}的各项均为正整数,所以 d≥0. 可得 a1=1,d=0 或 d=2. 当 a1=1,d=0 时,an=1, Sn3 ? (Sn ) 成立;当 a1=1,d=2 时,Sn=n2,所以 Sn3 ? (Sn ) .
3 3

因此,共有 2 个无穷等差数列满足条件,通项公式为 an=1 或 an=2n-1. (2)(ⅰ)记 An={1,2,…,Sn},显然 a1=S1=1.对于 S2=a1+a2=1+a2,有 A2={1,2,…,Sn}={1,a2, 1+a2,|1-a2|}={1,2,3,4},故 1+a2=4,所以 a2=3. (ⅱ)由题意可知,集合{a1,a2,…,an}按上述规则,共产生 Sn 个正整数. 而集合{a1,a2,…,an,an+1}按上述规则产生的 Sn+1 个正整数中,除 1,2,…,Sn 这 Sn 个正整数外,还 有 an+1,an+1+i,|an+1-i|(i=1,2,…,Sn),共 2Sn+1 个数. 所以,Sn+1=Sn+(2Sn+1)=3Sn+1.
6

1 1 n ?1 1 1 n 1 1 S + ?,所以 Sn=?S1+ ?· 又 Sn+1+ =3? 3- . 2? 3 -2=2· ? 2 ? n 2? 2 1 n 1 ?1 n ?1 1? 3 -2?= 3n ?1 ,而 a1=1 也满足 an= 3n ?1 . 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= · 3 - -?2· 2 2 所以,数列{an}的通项公式是 an= 3
n ?1



7


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