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北京海淀区2014-2015高三期末考试试卷及答案数学(文科)【每小题配详解】




2015年北京市海淀区高三年级第一学期期末练习数学(文科)
一、 选择题
QN 已知全集 U ] {x ∈ R | x > P} ,集合 A ] {x ∈ R | x aN {x ∈ R | x < R} cN {x ∈ R | x 答案:b RN 如图所示,在复平面内,点 A 对应的复数为 z ,则 z ] ( ) R}

R} ,则
UA

](



bN {x ∈ R | P < x < R} dN {x ∈ R | P < x R}

aN Q ? R? cN ?R ? ? 答案:d

bN Q K R? dN ?R K ?

解析:由图可知, A 点坐标为 H?R, QI ,所以 z ] ?R K ? . SN 已知直线 l1 Z ax K Ha K RI y K Q ] P , l2 Z ax ? y K R ] P . 若 l1 aN P 或 ?S 答案:a 解析:由 l1 l2 可得, ?a ] a Ha K RI 且 ?Q ] R Ha K RI ,解得 a ] P 或 a ] ?S . ) bN R 或 ?Q cN P l2 ,则实数 a 的值是( dN ?S )

→ ? ? ? TN 当向量 → a ]→ c ] H?Q, QI , b ] HQ, PI 时,执行如图所示的程序框图,输出的 i 值为(

R aN U 答案:d ? ? 解析: i ] P , ?→ a ·→ c ]QKQ]R ; ? ? ? i ] Q , ?→ c ] HP, QI , ?→ a ·→ c ]Q ; ? ? ? i ] R ,→ c ] HQ, QI , ?→ a ·→ c ] ?Q K Q ] P ,结束循环,输出 i ] R . UN 为了解某年级女生五十米短跑情况,从该年级中随机抽取 X 名女生进行五十米跑测试,她们的测试 成绩(单位:秒)的茎叶图(以整数部分为茎,小数部分为叶)如图所示,由此可估计该年级女生 五十米跑成绩及格(及格成绩为 Y.T 秒)的概率为( W X X V Q X Y Q U W X aN P.SWU 答案:b 解析:由茎叶图可知,成绩不高于 Y.T 秒的有 W.X , X.V , X.Q , X.X , Y.Q ,共 U 个,故成绩及 U 格的概率为 P ] ] P.VRU . X VN 已知函数 f HxI ] ???2 Hx K aI K ???2 Hx ? aI Ha ∈ RI . 命题 p Z ?a ∈ R ,函数 f HxI 是偶函数;命 题 q Z ?a ∈ R ,函数 f HxI 在定义域内是增函数,那么下列命题为真命题的是( aN ?q 答案:c 解 析: 因 为
? ? ?x K a > P ? ?x ? a > P

bN T

cN S

dN R



bN P.VRU

cN P.U

dN P.QRU



bN p ∧ q

cN H?pI ∧ q

dN p ∧ H?q I

, 所 以 x > |a| , 所 以 f HxI 的 定 义 域 为 {x | x > | a|} , 不 关 于 原 点 对

称,故 f HxI 为非奇非偶函数,所以不存在 a ∈ R ,使得函数 f HxI 为偶函数, p 为假命题; 因 为 y ] ???2 Hx K aI 和 y ] ???2 Hx ? aI 均 为 定 义 域 上 的 增 函 数, 所 以 对 ?a ∈ R , f HxI ] ???2 Hx K aI K ???2 Hx ? aI 均为定义域上的增函数, q 为真命题; 综上, H?pI ∧ q 为真命题. WN 某 堆 雪 在 融 化 过 程 中, 其 体 积 V (单 位: ?3 )与 融 化 时 间 t (单 位: ? )近 似 满 足 函 数 关 系: ? ? Q 3 ( H 为常数) ,其图象如图所示,记此堆雪从融化开始到结束的平均融化 V HtI ] H QP ? t QP 速度为 v 6 H?3 /?I ,那么瞬时融化速度等于 v 6 H?3 /?I 的时刻是图中的( )



aN t1 答案:c

bN t2

cN t3

dN t4

解析:法一:平均速度实际上是点 A 与点 B 连线的斜率 k ; 瞬时速度的几何意义就是某时刻的切线斜率,所以通过比对, t3 时刻的切线斜率与 k 相等,所以 瞬时融化速度等于 v 6 H?3 /?I 的时刻是图中的 t3 .

法二:当 t ] P 时, V ] QPPPH ;当 V ] P 时, t ] QPP .所以平均速度 v 6] ; SH t 2 SH t V H tI ] ? QP ? ,瞬时速度等于 v 6 ,则 ?QPH ] ? QP ? QP QP QP QP TR.S . 由图可知此时为 t3 时刻.
? ? ? ?2

QPPPH ? P ] ?QPH P ? QPP
?

√ ? S ,所以 t ] QPP Q ? ≈ S

XN 在正方体 ABCD ? A1 B1 C1 D1 中,点 E 为底面 ABCD 上的动点.若三棱锥 B ? D1 EC 的表面积 最大,则 E 点位于( aN 点 A 处 cN 线段 AB 的中点处 答案:a 解析: ) bN 线段 AD 的中点处 dN 点 D 处



三棱锥 B ? D1 EC 的表面积是四个三角形的面积和,其中 面的面积.

BCD1 的面积为定值,考虑剩下三个

因为棱 BC 、 CD1 、 BD1 的长都是定值,先考虑底面 ABCD 上到这三条棱的距离各自最大的 点. 到 棱 BC 的 距 离 最 大 的 点 构 成 棱 AD , 到 棱 CD1 的 距 离 最 大 的 点 为 A , 而 点 A 、 D 、 C 到 棱 BD1 的距离相等,同时为最大; 综上知,点 A 到三条棱的距离同时都为最大值,所以 E 点位于点 A 处.

二、 填空题
YN 抛物线 y 2 ] ?Rx 的焦点坐标是 Q 答案: ? , P R
? ?



QPN 若双曲线 x2 ? 答案: S

y2 ] Q 的一条渐近线的倾斜角为 VP? ,则 m ] m



√ √ 解 析: 题 中 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y ] ± mx , 其 中 一 条 渐 近 线 倾 斜 角 为 VP? , 则 m ] √ ??? VP? ] S ,所以 m ] S . QQN 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为 .

答案: X

U 解析:根据三视图画出该几何体的原图 P ? ABC :

则 VP ?ABC ]

Q Q × ×T×S×T]X . S R P, P, P 表示的平面区域为 D , 则区域 D 上的点到坐标原点的距离的最小

QRN 设不等式组

? ? ? Rx ? y ? R ? ? ? ?

xKy?Q ? ? ? ? ? ? x?yKQ N

值是 答案:

R R 解析:不等式组表示的平面区域 D 如图中阴影部分所示:



√ 则区域 D 上的点到坐标原点距离的最小值应为原点 O 到直线 x K y ? Q ] P 的距离,为 QSN 在等比数列 {an } 中,若 a1 ] ?RT , a4 ] ? 的前 n 项积最大N 答案: X ,则公比 q ] Y ;当 n ]

R . R

时, {an }

Q ;T · · · · · · · · · · · · · · · · · · 第一空R分, 第二空S分 S a4 Q Q 解析: q 3 ] ] , 所以 q ] . a1 RW S 此等比数列各项均为负数,设它的前 n 项积为 Tn ,当 n 为奇数时, Tn 为负, n 为偶数时, Tn

为正,所以当 Tn 取最大时, n 必为偶数. 当 n 为偶数时,若 Tn+2 > Tn ,则 a1 a2 · · · · · an+1 an+2 > a1 a2 · · · · · an ,即 an+1 an+2 > Q ;同理, 若 Tn+2 < Tn ,则 an+1 an+2 < Q . ?WR 求得 {an } 通项公式为 an ] n ,令 |an | > Q ,解得 n S ,令 |an | < Q ,解得 n T . 又计 S VT 算 得 a3 a4 ] > Q ,所以当 n 为偶数且 n R 时, an+1 an+2 > Q , Tn+2 > Tn ;当 n 为偶数 RW

V 且n T 时, an+1 an+2 < Q , Tn+2 < Tn .即 T2 < T4 , T4 > T6 > · · · .所以当 n ] T 时, {an }

的前 n 项积最大. QTN 已知 O : x2 K y 2 ] Q . 若直线 y ] kx K R 上总存在点 P ,使得过点 P 的 O 的两条切线互相 垂直,则实数 k 的取值范围是 答案: H?∞, ?Q} ∪ {Q, K∞I 解析:如图: .

√ 设 A 、 B 为切点,当过点 P 的两条切线互相垂直时,四边形 AOBP 为正方形, OP ] R . 要 √ 满足题意,则直线 y ] kx K R 上存在到圆心 O 的距离等于 R 的点,所以点 O 到直线 y ] kx K R √ √ R 的距离应小于等于 R ,即 √ R . 解得 k ?Q 6 k Q . Q K k2

三、 解答题
QUN 函数 f HxI ] ??? Hπx K ?I P < ? < π R 的部分图象如图所示.

(Q)写出 ? 及图中 x0 的值; Q Q (R)求 f HxI 在区间 ? , R S 解析:
? ò

上的最大值和最小值.

(Q)由图可知, f HPI ] 又∵ P < ? < ∴?] π . S π , R

Q Q ,即 ??? ? ] , R R

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · R分

W π Q Q ,即 ??? πx0 K ] , R S R ∵ x0 与 P 在如图所示的同一个周期内, ∴ πx0 K

由图可知 f Hx0 I ]

π Uπ ] , S S T 解得 x0 ] . S · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · U分 π S

(R)由(Q)可知: f HxI ] ??? πx K Q Q , 因为 x ∈ ? , R S π π Rπ 所以 ? πx K . V S S
? ò



· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · W分 所以当 πx K Q π ] P ,即 x ] ? 时, f HxI 取得最大值 Q ; S S

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · QP分 当 πx K π Rπ Q Q ] ,即 x ] 时, f HxI 取得最小值 ? . S S S R

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · QS分

QVN 某中学在高二年级开设大学选修课程《线性代数》 ,共有 UP 名同学选修,其中男同学 SP 名,女同 学 RP 名. 为了对这门课程的教学效果进行评估,学校按性别采用分层抽样的方法抽取 U 人进行考 核. (Q)求抽取的 U 人中男、 女同学的人数; (R)考核前,评估小组打算从选出的 U 人中随机选出 R 名同学进行访谈,求选出的两名同学中恰 有一名女同学的概率; (S)考核分答辩和笔试两项. U 位同学的笔试成绩分别为 QQU , QRR , QPU , QQQ , QPY ;结 合答辩情况,他们的考核成绩分别为 QRU , QSR , QQU , QRQ , QQY . 这 U 位同学笔试成绩与考
2 2 2 核成绩的方差分别记为 s2 (只需写出结论) 1 , s2 ,试比较 s1 与 s2 的大小.

解析: (Q)抽取的 U 人中男同学的人数为 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · T分 U U × SP ] S ,女同学的人数为 × RP ] R . UP UP

(R)记 S 名男同学为 A1 , A2 , A3 , R 名女同学为 B1 , B2 . 从 U 人中随机选出 R 名同学,所有可

X 能的结果有 A1 A2 , A1 A3 , A1 B1 , A1 B2 , A2 A3 , A2 B1 , A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 , B1 B2 ,共 QP 个. · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · V分 用 C 表示: “选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件,则 C 中的结果有 V 个,它们是 A1 B1 , A1 B2 , A2 B1 , A2 B2 , A3 B1 , A3 B2 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · X分 所以选出的两名同学中恰有一名女同学的概率 P HC I ] · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · QP分 V S ] . QP U

2 (S) s2 1 ] s2 .

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · QS分

QWN 如图所示,在三棱柱 ABC ? A1 B1 C1 中, AA1 B1 B 为正方形, BB1 C1 C 为菱形, 平面AA1 B1 B ⊥ 平面BB1 C1 C .

(Q)求证: BC

平面AB1 C1 ;

(R)求证: B1 C ⊥ AC1 ; (S)设点 E , F , H , G 分别是 B1 C , AA1 , A1 B1 , B1 C1 的中点,试判断 E , F , H , G 四点是否共面,并说明理由. 解析: (Q)在菱形 BB1 C1 C 中, BC B1 C1 .

因为 BC ? 平面AB1 C1 , B1 C1 ? 平面AB1 C1 , 所以 BC 平面AB1 C1 .

· · · · · · · · · · · · · · · · · · S分

Y (R)连接 BC1 ,如图,

在正方形 ABB1 A1 中, AB ⊥ BB1 . 因为 平面AA1 B1 B ⊥ 平面BB1 C1 C , 平面AA1 B1 B ∩ 平面BB1 C1 C ] BB1 , AB ? 平面ABB1 A1 , 所以 AB ⊥ 平面BB1 C1 C . · · · · · · · · · · · · · · · · · · U分 因为 B1 C ? 平面BB1 C1 C , 所以 AB ⊥ B1 C . · · · · · · · · · · · · · · · · · · V分 在菱形 BB1 C1 C 中, BC1 ⊥ B1 C . 因为 BC1 ? 平面ABC1 , AB ? 平面ABC1 , BC1 ∩ AB ] B , 所以 B1 C ⊥ 平面ABC1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · X分 因为 AC1 ? 平面ABC1 , 所以 B1 C ⊥ AC1 . · · · · · · · · · · · · · · · · · · QP分

(S) E , F , H , G 四点不共面. · · · · · · · · · · · · · · · · · · QQ分 理由如下: 因为 E , G 分别是 B1 C , B1 C1 的中点,

QP 所以 GE CC1 . C1 A 1 .

同理可证: GH

因为 GE ? 平面EHG , GH ? 平面EHG , GE ∩ GH ] G , CC1 ? 平面AA1 C1 C , A1 C1 ? 平面AA1 C1 C , 所以 平面EHG 平面AA1 C1 C .

因为 F ∈ 平面AA1 C1 C , 所以 F ∈ / 平面EHG ,即 E , F , H , G 四点不共面. · · · · · · · · · · · · · · · · · · QT分

QXN 已知椭圆 M Z x2 K Ry 2 ] R . (Q)求 M 的离心率及长轴长; (R)设过椭圆 M 的上顶点 A 的直线 l 与椭圆 M 的另一个交点为 B ,线段 AB 的垂直平分线交 椭圆 M 于 C , D 两点. 问:是否存在直线 l 使得 C , O , D 三点共线( O 为坐标原点) ?若 存在,求出所有满足条件的直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 解析: √ x2 (Q)由题意可知椭圆 M 的标准方程为 K y 2 ] Q ,则 a ] R , b ] Q . R √ 所以椭圆 M 的长轴长为 R R . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · R分 a2 ? b2 ] Q , √ √ c R R 所以 e ] ] ,即 M 的离心率为 . a R R · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · T分 因为 c ] √

(R)若 C , O , D 三点共线,由 CD 是线段 AB 的垂直平分线可得 |OA| ] |OB | . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · V分

QQ 由(Q)可得 A HP, QI ,设 B Hx0 , y0 I . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · W分
2 所以 x2 0 K y0 ] Q.

······① ······②

2 又因为 x2 0 K Ry0 ] R,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · QP分
? ? ?x0 ] P, ? ?y ] Q 0 ? ? ?x0 ] P, ? ?y ] ?Q. 0

由 ①② 可得

(舍) ,或

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · QQ分
? ? ?x0 ] P, ? ?y ] ?Q 0



时,直线 l 的方程为 x ] P ,显然满足题意.

所以存在直线 l 使得 C , O , D 三点共线,直线 l 的方程为 x ] P . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · QS分 ?x . x (Q)若曲线 y ] f HxI 在点 Hx0 , f Hx0 II 处的切线方程为 ax ? y ] P ,求 x0 的值;

QYN 已知函数 f HxI ]

(R)当 x > P 时,求证: f HxI > x ; (S)问集合 {x ∈ R | f HxI ? bx ] P} ( b ∈ R 且为常数)的元素有多少个? (只需写出结论) 解析: (Q) f HxI ] ?x x ? ?x . x2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · Q分 因为切线 ax ? y ] P 过原点 HP, PI , ? x0 x0 x0 ? x0 ? ? x 所以 ] 0 . x2 x0 0 · · · · · · · · · · · · · · · · · · S分 解得 x0 ] R . · · · · · · · · · · · · · · · · · · T分

QR f HxI ?x ?x Hx2 ? RxI ] 2 Hx > PI ,则 g HxI ] . x x x4 ?x Hx2 ? RxI ] P ,解得 x ] R . 令 g HxI ] x4 · · · · · · · · · · · · · · · · · · V分 x 在 HP, K∞I 上变化时, g HxI , g HxI 的变化情况如下表 x g HxI g HxI HP, RI ? R P ?2 T HR, K∞I K

(R)设 g HxI ]

所以当 x ] R 时, g HxI 取得最小值 · · · · · · · · · · · · · · · · · · X分 所以当 x > P 时, g HxI

?2 . T

?2 > Q ,即 f HxI > x . T

· · · · · · · · · · · · · · · · · · Y分

(S)当 b 当P < b < 当b ]

P 时,集合 {x ∈ R |f HxI ? bx ] P } 的元素个数为 P ; ? 时,集合 {x ∈ R |f HxI ? bx ] P } 的元素个数为 Q ; T
2

?2 时,集合 {x ∈ R |f HxI ? bx ] P } 的元素个数为 R ; T ?2 当b > 时,集合 {x ∈ R |f HxI ? bx ] P } 的元素个数为 S . T · · · · · · · · · · · · · · · · · · QS分

RPN 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且满足 a1 ] Q , Ran+1 ] Ran K p ( p 为常数, n ] Q, R, S, · · · ) . (Q)若 S3 ] QR ,求 Sn ; (R)若数列 {an } 是等比数列,求实数 p 的值; Q 满足:可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排成一 (S)是否存在实数 p ,使得数列 an 个等差数列?若存在,求出所有满足条件的 p 的值;若不存在,说明理由.
? ?

解析: (Q)因为 a1 ] Q , Ran+1 ] Ran K p , 所以 Ra2 ] Ra1 K p ] R K p , Ra3 ] Ra2 K p ] R K Rp . 因为 S3 ] QR ,

QS 所以 R K R K p K R K Rp ] V K Sp ] RT ,即 p ] V . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · R分 所以 an+1 ? an ] S ( n ] Q, R, S, · · · ) . 所以数列 {an } 是以 Q 为首项, S 为公差的等差数列. 所 以 Sn ] Q × n K n Hn ? QI Sn2 ? n ×S] . R R

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · T分

(R)若数列 {an } 是等比数列,则 a2 2 ] a1 a3 . 由(Q)可得 Q K p R
2

] Q × HQ K pI .

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · V分 解得 p ] P . 当 p ] P 时,由 Ran+1 ] Ran K p 得 an+1 ] an ] · · · ] Q . 显然,数列 {an } 是以 Q 为首项, Q 为公比的等比数列. 所以 p ] P . · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · W分

(S)当 p ] P 时,由(R)知 an ] Q ( n ] Q, R, S, · · · ) . 所以 Q Q ] Q Hn ] Q, R, S, · · · I ,即数列 就是一个无穷等差数列. an an 所以当 p ] P 时,可以得到满足题意的等差数列.
? ?

当 p ] P 时,因为 a1 ] Q , Ran+1 ] Ran K p ,即 an+1 ? an ] 所以数列 {an } 是以 Q 为首项, 所以 an ] p p nKQ? . R R p 为公差的等差数列. R
?

p , R

下 面 用 反 证 法 证 明:当 p ] P 时, 数 列 列. Q 假 设 存 在 p0 ] P , 从 数 列 an 列 {bn } 的公差为 d .
? ?

Q an

?

中不 能 取 出 无 限 多 项 并 按 原 来 次 序 排 列 而 成 等 差 数

中 可 以 取 得 满 足 题 意 的 无 穷 等 差 数 列, 不 妨 记 为 {bn } . 设 数

(?)当 p0 > P 时, an > P ( n ] Q, R, S, · · · ) . 所以数列 {bn } 是各项均为正数的递减数列. 所以 d < P .

QT 因为 bn ] b1 K Hn ? QI d ( n ] Q, R, S, · · · ) , 所以当 n > Q ? b1 b1 时, bn ] b1 K Hn ? QI d < b1 K Q ? ? Q d ] P ,这与 bn > P 矛盾. d d p0 p0 R . (??)当 p0 < P 时,令 n K Q ? < P ,解得 n > Q ? R R p0 R 所以当 n > Q ? 时, an < P 恒成立. p0 所以数列 {bn } 必然是各项均为负数的递增数列.
? ?

所以 d > P . 因为 bn ] b1 K Hn ? QI d ( n ] Q, R, S, · · · ) , b1 b1 所以当 n > Q ? 时, bn ] b1 K Hn ? QI d > b1 K Q ? ? Q d ] P ,这与 bn < P 矛盾. d d 综上所述, p ] P 是唯一满足条件的 p 的值.
? ?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · QT分


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