nbhkdz.com冰点文库

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 4-6 三角函数的性质课件 (文) 全国.重庆专版


第六节

三角函数的性质

? 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和 性质 y=sin x y=cos x y=tan x 函数

图象

?

函数y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx +φ),y=Atan(ωx+φ)的单调区间都可通 过整体换元,分别由三个基

本三角函数的 单调区间求得,但要注意在求单调区间时, 一定要利用诱导公式把函数解析式中x的 系数ω化为大于0的实数,否则就有可能 出现错误.此外,还要注意的是当A<0时, 函数的单调性与A>0时相反.

1.(2009 年江西卷)函数 f(x)=(1+ 3tan x)cos x 的最 小正周期为 ( A.2π C.π 3π B. 2 π D.2 )

【解析】 ∵f(x)=(1+ 3tan x)cos x=cos x+ 3sin
? π? x=2sin?x+6?,∴T=2π. ? ?

【答案】 A

2.(2008 年天津卷)设函数 则 f(x)是

? π? f(x)=sin?2x-2?,x∈R, ? ?

( A.最小正周期为 π 的奇函数 B.最小正周期为 π 的偶函数 π C.最小正周期为 的奇函数 2 π D.最小正周期为2的偶函数

)

【解析】

? π? f(x)=sin?2x-2?=-cos ? ?

2x,f(-x)=f(x),

∴f(x)为偶函数,排除 A、C. 又 T=π,故选 B.
【答案】 B

3.函数

?π ? y=tan?4-x?的定义域是 ? ?

(

)

? ? π ? ? ?x|x≠ ,x∈R? A. 4 ? ? ? ? ? ? π ? ? ?x|x≠- ,x∈R? B. 4 ? ? ? ? ? ? π ? ? ?x|x≠kπ+ ,k∈Z,x∈R? C. 4 ? ? ? ? ? ? 3π ? ? ?x|x≠kπ+ ,k∈Z,x∈R? D. 4 ? ? ? ?

【答案】 D

求下列函数的定义域: (1)y=lg(2sin x-1)+ 1-2cos x; (2)y= 1 2+log2x+ tan x.

? 【思路点拨】 求定义域即求使式子有意 义的自变量x的取值范围,可借助函数图 象来求.

【解析】

(1) 要 使 原 函 数 有 意 义 , 必 须 有 :

1 ? ?2sin x-1>0, ?sin x>2, ? ? 即? ?1-2cos x≥0, ? ?cos x≤1. 2 ? 由图知,原函数的定义域为:
? π 5π? ?2kπ+ ,2kπ+ ?(k∈Z). 3 6? ?

(2)要使函数有意义 1 ? ?2+log x≥0, 2 ? ?x>0, 则? ?tan x≥0, ? π ?x≠kπ+2,k∈Z, ?

?0<x≤4, ? 得? π ?kπ≤x<kπ+2(k∈Z). ?

? ? ? π ∴函数定义域是?x?0<x<2或π≤x≤4 ? ? ?

? ? ? ? ?

(1)求 y=sin2x+ 3cos2x 的周期. 1+sinx-cos2x (2)判断 f(x)= 的奇偶性. 1+sinx

? 【思路点拨】 (1)先将函数式化为一个角 的某种三角函数形式,再利用公式求解; (2)判断函数的奇偶性要先求定义域,然后 再比较f(-x)与f(x)是相等还是互为相反 数.

【解析】 cos2x)

1 3 (1)y=sin2x+ 3cos2x=2( sin2x+ 2 2

π π =2(sin2x· +cos2x· ) cos sin 3 3 π =2sin(2x+3), 2π ∴周期 T= 2 =π. ∴y=sin2x+ 3cos2x 的周期为 π.

(2)使 f(x)有意义,则 1+sinx≠0, 3π 即 x≠2kπ+ 2 ,k∈Z, 3π ∴函数的定义域为{x|x∈R 且 x≠2kπ+ 2 ,k∈Z}, 即函数的定义域不关于原点对称. ∴函数既不是奇函数也不是偶函数.

(1)求周期依据:①任意 x∈D,存在 T≠0, 2π f(x+T)=f(x);②y=Asin(ωx+φ)的周期为 T=|ω|. (2)判断奇偶性:首先看定义域是否关于原点对称, 若对称,则判断 f(-x)与 f(x)的关系;若不对称,则直接 得出结论.

x x 1.(2008 年陕西卷)已知函数 f(x)=2sin cos -2 3 4 4 sin + 3; 4 (1)求函数 f(x)的最小正周期及最值; (2)令 明理由.
? π? g(x)=f?x+3?,判断函数 ? ?
2x

g(x)的奇偶性,并说

【解析】

? ? x 2x (1)∵f(x)=sin2+ 3?1-2sin 4? ? ?

? x π? x x =sin2+ 3cos2=2sin?2+3? ? ?

2π ∴f(x)的最小正周期 T= =4π. 1 2 当 当
? x π? sin?2+3?=-1 ? ? ? x π? sin?2+3?=1 ? ?

时,f(x)取得最小值-2;

时,f(x)取得最大值 2.

(2)由(1)知 又

? x π? f(x)=2sin?2+3?, ? ?

? π? g(x)=f?x+3?, ? ?

? 1? π? π? ? ? ∴g(x)=2sin?2 x+3?+3? ? ? ? ? ? ? x π? x =2sin?2+2?=2cos2. ? ? ? x? x ∵g(-x)=2cos?-2?=2cos2=g(x), ? ?

∴函数 g(x)是偶函数.

写出下列函数的单调区间:
? π? (1)y=sin?-2x+3?; ? ?

(2)y=|tan x|; 1 (3)y=log2sin 2x.

【解析】

? π? (1)y=-sin?2x-3?, ? ? ? π? y=sin?2x-3?的减区间, ? ? ? π? y=sin?2x-3?的增区间. ? ?

它的增区间是 它的减区间是

π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ , 2 3 2 π 5π π π 得 kπ- 12 ≤x≤kπ+ 12 ,k∈Z.由 2kπ+ 2 ≤2x- 3 3π ≤2kπ+ 2 ,

5π 11π 得 kπ+ ≤x≤kπ+ ,k∈Z. 12 12
? π 5π? 故所给函数的减区间为 ?kπ-12,kπ+12? ,k∈Z; ? ? ? 5π 11π? 增区间为?kπ+12,kπ+ 12 ?,k∈Z. ? ?

(2)观察图象可知,y=|tan

? π? x|的增区间是?kπ,kπ+2?, ? ?

? ? π k∈Z,减区间是?kπ-2,kπ?,k∈Z. ? ?

1 (3)函数 y=log2u 为减函数,且 u=sin 2x>0 的增区
? ? π? π π? 间为?kπ,kπ+4?,k∈Z;减区间为?kπ+4,kπ+2?,k∈Z. ? ? ? ? ? π? 1 ∴函数 y=log2sin 2x 的减区间为?kπ,kπ+4?, k∈Z; ? ? ? π π? 增区间为?kπ+4,kπ+2?,k∈Z. ? ?

π π π (1)中,不能直接由 2kπ-2≤-2x+3≤2kπ+2,k∈Z π π 3π 解增区间,也不能由 2kπ+ ≤-2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z 2 3 2 解减区间,可以通过取 k=0,± 1,± 等值验证所求的结 2 果是错误的,也可以通过画图象验证. (3)中,许多同学不考虑函数的定义域,即 sin 2x>0 时 x 满足的条件,导致了错解.

2.已知函数

? f(x)=log2? ?

? π ?? 2sin?2x-3??. ? ??

(1)求函数的定义域; (2)求函数 f(x)的单调递减区间.

【解析】 (1)令 2sin

? ? π? π? ?2x- ?>0?sin?2x- ?>0? 3? 3? ? ?

π π 2 2kπ<2x-3<2kπ+π,k∈Z?kπ+6<x<kπ+3π,k∈Z.
? π 2 ? 故函数的定义域为?kπ+6,kπ+3π?,k∈Z. ? ?

π π 5 (2)令 2kπ+2≤2x-3<2kπ+π,k∈Z?2kπ+6π≤2x 4 5 2 <2kπ+3π,k∈Z?kπ+12π≤x<kπ+3π,k∈Z, 故函数 k∈Z.
? 5 2 ? f(x)的单调递减区间是?kπ+12π,kπ+3π?, ? ?

已知函数

? π? f(x)=2asin ?2x-3? +b ? ?

的定义域为

? π? ?0, ?,函数的最大值为 2? ?

1,最小值为-5,求 a 和 b

的值.

π π π 2 【解析】 ∵0≤x≤2,∴-3≤2x-3≤3π,
? π? 3 ∴ - 2 ≤sin ?2x-3? ≤1 , 若 ? ? ?2a+b=1 ? ? ?- 3a+b=-5 ? ?2a+b=-5 ? 则? ?- 3a+b=1 ? ?a=12-6 3 ? ,解得? ?b=-23+12 ? ?a=-12+6 3 ? ,解得? ?b=19-12 3 ?

a>0 , 则 ;若 a<0,

3 .

综上可知,a=12-6 3,b=-23+12 3 或 a=-12+6 3,b=19-12 3.

? ? 解决此类问题,首先利用正弦函数、余弦 函数的有界性或单调性求出y=Asin(ωx+ φ)或y=Acos(ωx+φ)的最值,再由方程的 思想解决问题.

3.已知函数 f(x)=-sin2x+sinx+a. (1)当 f(x)=0 有实数解时,求 a 的取值范围; 17 (2)若 x∈R,有 1≤f(x)≤ ,求 a 的取值范围. 4

【解析】
2

(1)由 f(x)=0,得

12 1 a=sin x-sinx=(sinx-2) -4.∵sinx∈[-1,1], 1 12 1 1 ∴-4≤(sin-2) -4≤2,∴a∈[-4,2]. 17 (2)∵1≤-sin x+sinx+a≤ 4 恒成立,
2

17 ? 2 ?a≤sin x-sinx+ 4 恒成立. ∴? ?a≥sin2x-sinx+1 ?

17 12 由于 sin x-sinx+ =(sinx- ) +4≥4, 4 2
2

12 3 sin x-sin+1=(sinx-2) +4≤3,∴3≤a≤4.
2

? 本节重点考查三角函数的定义域、值域、 最值、周期性、奇偶性、单调性,试题多 与三角函数的图象相结合,题型以选择题、 填空题的形式考查,属容易题.

1 . (2009 年 四 川 卷 ) 已 知 函 数 (x∈R),下面结论错误的是

? π? f(x) = sin ?x-2? ? ?

( A.函数 f(x)的最小正周期为 2π B.函数
? π? f(x)在区间?0,2?上是增函数 ? ?

)

C.函数 f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.函数 f(x)是奇函数

【解析】 正确; y=cos

? π? ∵y=sin?x-2?=-cos ? ?

x,∴T=2π,A

? π? x 在?0,2?上是减函数, y=-cos ? ?

? π? x 在?0,2?上 ? ?

是增函数,B 正确;由图象知 y=-cos x 关于直线 x=0 对称,C 正确. y=-cos x 是偶函数,D 错误.

【答案】 D

2.(2009 年北京卷)已知函数 f(x)=2sin(π-x)· cos x. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)求
? π π? f(x)在区间?-6,2?上的最大值和最小值. ? ?

【解析】 (1)因为 f(x)=2sin(π-x)cos x=2sin xcos x=sin 2x,所以函数 f(x)的最小正周期为 π. π π π 3 (2)由- ≤x≤ 得- ≤2x≤π,所以- ≤sin 6 2 3 2 2x≤1. 3 即 f(x)的最大值为 1,最小值为- . 2


2013《金版新学案》高三数学一轮复习 4-6 三角函数的性质练习 (文) 全国.重庆专版

2013《金版新学案》高三数学一轮复习 4-6 三角函数的性质练习 (文) 全国.重庆专版 隐藏>> 第4章 第6节 (本栏目内容,学生用书中以活页形式单独装订成册!) ...

2013《金版新学案》高三数学一轮复习 4-1 三角函数的概念练习 (文) 全国.重庆专版

2011《金版新学案》高三... 暂无评价 43页 免费 ...第4章 第1节 (本栏目内容,学生用书中以活页形式...【解析】 由△ABC 的内角的范围得三角函数值的符号...

2013《金版新学案》高三数学一轮复习 4-5 三角函数的图象练习 (文) 全国.重庆专版

2010高考数学总复习(4)函... 5页 免费 三角函数复习教案 整理 31页 免费 三角...11. 分)(2009 年重庆卷)设函数 f(x)=(sin ωx+cos ωx)2+2cos2ωx...

2013《金版新学案》高三数学一轮复习 4-4 三角函数的化简、求值、证明练习 (文) 全国.重庆专版

2013《金版新学案》高三数学一轮复习 4-4 三角函数的化简、求值、证明练习 (文) 全国.重庆专版 隐藏>> 第4章 第4节 (本栏目内容,学生用书中以活页形式单独...

2013《金版新学案》高三数学一轮复习 4-2 同角三角函数的基本关练习 (文) 全国.重庆专版

2013《金版新学案》高三数学一轮复习 4-2 同角三角函数的基本关练习 (文) 全国.重庆专版 隐藏>> 第4章 第2节 (本栏目内容,学生用书中以活页形式单独装订成...

2013《金版新学案》高三数学一轮复习 6-4 含绝对值的不等式练习(文) 全国.重庆专版

2013《金版新学案》高三数学一轮复习 6-4 含绝对值的不等式练习(文) 全国.重庆专版 隐藏>> 第6章 第4节 (本栏目内容,学生用书中以活页形式单独装订成册!)...

2013《金版新学案》高三数学一轮复习 6-1 不等式的概念及性质练习(文) 全国.重庆专版

2013《金版新学案》高三数学一轮复习 6-1 不等式的概念及性质练习(文) 全国.重庆专版 隐藏>> 第6章 第1节 (本栏目内容,学生用书中以活页形式单独装订成册!...

2013《金版新学案》高三数学一轮复习 3-1 数列的概念练习 (文) 全国.重庆专版

2013《金版新学案》高三数学一轮复习 3-1 数列的概念练习 (文) 全国.重庆专版_数学_高中教育_教育专区。第3章 第1节 (本栏目内容,学生用书中以活页形式单独...

2013《金版新学案》高三数学一轮复习 6-3 不等式的解法练习(文) 全国.重庆专版

《金版新学案》高三数学一轮复习 6-3 不等式的解法练习(文) 全国.重庆专版...2.已知函数 f(x)=? 1 ,则不等式 f(x)>1 的解集为 ?x+1,(x<0) ...

2013《金版新学案》高三数学一轮复习 4-3 两角和与差的正弦练习 (文) 全国.重庆专版

2013《金版新学案》高三数学一轮复习 4-3 两角和与差的正弦练习 (文) 全国.重庆专版 隐藏>> 第4章 第3节 (本栏目内容,学生用书中以活页形式单独装订成册!...

相关文档

更多相关标签