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高三数学章节训练题36:点、直线、平面之间的位置关系

时间:2011-12-26


高三数学章节训练题 36《点、直线、平面之间的位置关系》 36《 直线、平面之间的位置关系》
时量:60 分钟 满分:80 分 班级: 姓名: 计分: 个人目标:□优秀(70’~80’) □良好(60’~69’) □合格(50’~59’) 选择题( 小题, 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) 1.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱(其底面是

正方形,且侧棱垂直于底面)高为 4 , 体积为 16 ,则这个球的表面积是( ) A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 2.已知在四面体 ABCD 中, E , F 分别是 AC , BD 的中点,若 AB = 2, CD = 4, EF ⊥ AB ,则 EF 与 CD 所 成的 角的度数为( ) A. 90 B. 45 C. 60 D. 30 3.三个平面把空间分成 7 部分时,它们的交线有( A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 1 条或 2 条



4.在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 ,底面是边长为 2 的正方形,高为 4 ,则点 A1 到截面 AB1 D1 的距离为( A. ) B.

8 3

3 8

C.

4 3

D.

3 4

5.直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,各侧棱和底面的边长均为 a ,点 D 是 CC1 上任意一点,连 接 A1 B, BD, A1 D, AD ,则三棱锥 A ? A1 BD 的体积为( )

A.

1 3 a 6

B.

3 3 a 12

C.

3 3 a 6

D.

1 3 a 12

6.下列说法不正确的是( ) .... A.空间中,一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形; B.同一平面的两条垂线一定共面; C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直,且这些直线都在同一个平面内; D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 1.正方体各面所在的平面将空间分成_____________部分。 2.空间四边形 ABCD 中, E , F , G , H 分别是 AB, BC , CD, DA 的中点,则 BC 与 AD 的位 置关系是_____________;四边形 EFGH 是__________形;当___________时,四边形 EFGH 是菱形;当___________时,四边形 EFGH 是矩形;当___________时,四边形 EFGH 是正方形 3. 四棱锥 V ? ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, 其他四个侧面都是侧棱长为 5 的等腰三角形,则二面角 V ? AB ? C 的平面角为_____________。

4 . 三 棱 锥 P ? ABC , PA = PB = PC =

73, AB = 10, BC = 8, CA = 6, 则 二 面 角

P ? AC ? B 的大小为____ 5. P 为边长为 a 的正三角形 ABC 所在平面外一点且 PA = PB = PC = a ,则 P 到 AB 的
距离为______。 三、解答题(本大题共 2 小题,满分 25 分) 1、(本题满分 12 分)如图,已知 AB ⊥ 平面 ACD , DE ⊥ 平面 ACD ,△ ACD 为等边 三角形,

B

E

AD = DE = 2 AB , F 为 CD 的中点.
(1) 求证: AF // 平面 BCE ; (2) 求证:平面 BCE ⊥ 平面 CDE ; (3) 求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值.

A

C

F

D

2、((本题满分 13 分))如图所示,在矩形 ABCD 中,AD=2AB=2,点 E 是 AD 的中点,将△

DEC 沿 CE 折起到△D′EC 的位置,使二面角 D′—EC—B 是直二面角.
(1)证明:BE⊥C D′; (2)求二面角 D′—BC—E 的正切值.

D' E

A

D C

B

36《 直线、平面之间的位置关系》 高三数学章节训练题 36《点、直线、平面之间的位置关系》答案 一、选择题 1.C 正四棱柱的底面积为 4 ,正四棱柱的底面的边长为 2 ,正四棱柱的底面的对角线为

2 2 ,正四棱柱的对角线为 2 6 ,而球的直径等于正四棱柱的对角线, 而球的直径等于正四棱柱的对角线,
即 2R = 2 6 , R =

6, S球 = 4π R 2 = 24π
0

2.D 取 BC 的中点 G , EG = 1, FG = 2, EF ⊥ FG , 则 EF 与 CD 所成的角 ∠EFG = 30 则 3.C 此时三个平面两两相交,且有三条平行的交线 此时三个平面两两相交, 三个平面两两相交 的体积变换: 4.C 利用三棱锥 A1 ? AB1 D1 的体积变换: VA1 ? AB1D1 = VA? A1B1D1 ,则 × 2 × 4 = 5.B

1 3

1 ×6× h 3

1 1 a2 3a 3a 2 VA? A1BD = VD ? A1BA = Sh = × × = 3 3 2 2 12

一组对边平行就决定了共面;同一平面的两条垂线互相平行,因而共面; 6. D 一组对边平行就决定了共面;同一平面的两条垂线互相平行,因而共面; 这些直线都在同一个平面内即直线的垂面; 这些直线都在同一个平面内即直线的垂面;把书本的书脊垂直放在桌上就明确了 二、填空题 分上、 下三个部分, 个部分, 1. 27 分上、中、下三个部分,每个部分分空间为 9 个部分,共 27 部分 异面直线;平行四边形; 2.异面直线;平行四边形; BD = AC ; BD ⊥ AC ; BD = AC 且 BD ⊥ AC 3. 60 4. 60
0

0

注意 P 在底面的射影是斜边的中点

5.

3a 2

三、解答题 1、方法一: 方法一: 方法一 (1) 证法一 证法一:取 CE 的中点 G ,连 FG、BG . ∵ F 为 CD 的中点,∴ GF // DE 且 GF = ∵ AB ⊥ 平面 ACD , DE ⊥ 平面 ACD , ∴ AB // DE ,∴ GF // AB .

1 DE . …………1 分 2
…………2 分

B G H A

E M D

C

F

1 DE ,∴ GF = AB . …………3 分 2 ∴四边形 GFAB 为平行四边形,则 AF // BG . …………4 分 ∵ AF ? 平面 BCE , BG ? 平面 BCE , ∴ AF // 平面 BCE . …………5 分 证法二:取 DE 的中点 M ,连 AM 、FM . 证法二 ∵ F 为 CD 的中点,∴ FM // CE . …………1 分 ∵ AB ⊥ 平面 ACD , DE ⊥ 平面 ACD ,∴ DE // AB . …………2 分 1 又 AB = DE = ME , 2 ∴四边形 ABEM 为平行四边形,则 AM // BE . …………3 分 ∵ FM 、AM ? 平面 BCE , CE、BE ? 平面 BCE , ∴ FM // 平面 BCE , AM // 平面 BCE . 又 FM I AM = M ,∴平面 AFM // 平面 BCE . …………4 分 ∵ AF ? 平面 AFM , ∴ AF // 平面 BCE . …………5 分 (2) 证:∵ ?ACD 为等边三角形, F 为 CD 的中点,∴ AF ⊥ CD . …………6 分 ∵ DE ⊥ 平面 ACD , AF ? 平面 ACD ,∴ DE ⊥ AF . …………7 分 …………8 分 又 CD I DE = D ,故 AF ⊥ 平面 CDE . ∵ BG // AF ,∴ BG ⊥ 平面 CDE . …………9 分 ∵ BG ? 平面 BCE , ∴平面 BCE ⊥ 平面 CDE . …………10 分(3) 解:在平面 CDE 内,过 F 作 FH ⊥ CE 于 H ,连 BH . ∵平面 BCE ⊥ 平面 CDE , ∴ FH ⊥ 平面 BCE . ∴ ∠FBH 为 BF 和平面 BCE 所成的角. …………12 分 2 a, 设 AD = DE = 2 AB = 2a ,则 FH = CF sin 45° = 2
又 AB =

BF = AB 2 + AF 2 = a 2 + ( 3a )2 = 2a ,
R t△ FHB 中, sin ∠FBH =

FH 2 = . BF 4 2 . 4
…………14 分

∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为

方法二: 方法二: 设 AD = DE = 2 AB = 2a ,建立如图所示的坐标系 A ? xyz ,则

A ( 0, 0 ) ,C ( 2a, 0 ) , B ( 0, 0, a ) , D a, 3a, 0 , E a, 3a, 2a .…………2 分 0, 0,

(

) (

)

?3 ? 3 …………3 分 a, a, 0 ? . ?2 ? 2 ? ? uuu ? 3 r r uuu r ? uuu 3 (1) 证:AF = ? a, …………4 a, 0 ? , BE = a, 3a, a , BC = ( 2a, 0, ? a ) , ?2 ? 2 ? ?
∵ F 为 CD 的中点,∴ F ?

(

)

分 ∵ AF = (2)

uuu r

r r 1 uuu uuu BE + BC , AF ? 平面 BCE ,∴ AF // 平面 BCE . …………5 分 2

(

)





∵ AF = ? ?

r uuu r ? uuu 3 …………6 分 a, 0 ? , CD = ? a, 3a, 0 , ED = ( 0, 0, ?2a ) , ? 2 2 ? ? uuu uuu r r uuur uuu r uuu uuu uuur uuu r r r ∴ AF ? CD = 0, AF ? ED = 0 ,∴ AF ⊥ CD, AF ⊥ ED . …………8 分 uuur ∴ AF ⊥ 平面 CDE ,又 AF // 平面 BCE , ∴平面 BCE ⊥ 平面 CDE . …………10 分 r r uuu r r uuu r (3) 解:设平面 BCE 的法向量为 n = ( x, y, z ) ,由 n ? BE = 0, n ? BC = 0 可得: r x + 3 y + z = 0, 2 x ? z = 0 ,取 n = 1, ? 3, 2 . …………12 分 uuu r a,

?3

(

)

(

)

?3 ? 3 ? 2 a, 2 a, ? a ? ,设 BF 和平面 BCE 所成的角为 θ ,则 ? ? ? uuu r r BF n 2a 2 . sin θ = uuu r = = r 4 BF ? n 2a ? 2 2
又 BF = ?

uuu r

∴直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值为

2 . 4

…………14 分

2、解:(1)∵AD=2AB=2,E 是 AD 的中点, ∴△BAE,△CDE 是等腰直角三角形, 易知, ∠BEC=90°,即 BE⊥EC. 又∵平面 D′EC⊥平面 BEC,面 D′EC∩面 BEC=EC, ∴BE⊥面 D′EC,又 C D′? 面 D′EC , ∴BE⊥CD′; (2)法一:设 M 是线段 EC 的中点,过 M 作 MF⊥BC 垂足为 F,连接 D′M,D′F,则 D′M⊥EC. ∵平面 D′EC⊥平面 BEC, ∴D′M⊥平面 EBC, ∴MF 是 D′F 在平面 BEC 上的射影,由三垂线定理得: D′F⊥BC B ∴∠D′FM 是二面 D′—BC—E 的平面角. 在 Rt△D′MF 中,D′M= ∴ tan ∠D ′FM =

D' A E M F C

D

1 2 1 1 EC= ,MF= AB= 2 2 2 2

D ′M = 2, MF

即二面角 D′—BC—E 的正切值为 2 . 法二:如图,以 EB,EC 为 x 轴、y 轴,过 E 垂直于平面 BEC 的射线为 z 轴,建立空间 直角坐标系. 则 B( 2 ,0,0),C(0, 2 ,0),D′(0,

2 2 , ) 2 2

设平面 BEC 的法向量为 n1 = (0,0,1) ;平面 D′BC 的法向量为 n 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 )

BC = (? 2 , 2 ,0), D ′C = (0, ?n 2 ? BC = 0 ? 由? ? ?n 2 ? D ′C = 0 ?

2 2 ,? ), 2 2
A

z D' E

?? 2 x 2 + 2 y 2 = 0 ? ? 2 2 y2 ? z2 = 0 ? 2 ? 2 n1 ? n 2

D C y

B x

取x 2 = 1, 得n 2 = (1,1,1), ∴ cos < n1 , n 2 >=
→ →

| n1 | ? | n 2 |

=

3 3

? tan < n1 , n 2 > =

2 ∴二面角 D′—BC—E 的正切值为 2 .


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