nbhkdz.com冰点文库

2011届高考数学函数的基本性质复习


第3课时 函数的基本性质

基础知识梳理
1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 设函数f(x)的定义域为I,如果对于定 义域I内某个区间D上的任意两个自变量的 值x1,x2,当x1<x2时, ①若 f(x1)<f(x2) ,则f(x)在区间D上是 增函数. ②若 f(x1)>f(x2) ,则f(x)在区间D上是 减函数.

/>
基础知识梳理
(2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数 或 减函数 ,则称函数f(x)在这一区间上 具有(严格的)单调性, 区间D叫做f(x) 的单调区间.

基础知识梳理
1.单调区间与函数定义域有 何关系? 【思考·提示】 单调区间 是定义域的子区间.

基础知识梳理
2.函数的最值 (1)设函数y=f(x)的定义域为I, 如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有 f(x)≤M. ②存在x0∈I,使得 f(x0)=M . 则称M是f(x)的最大值.

基础知识梳理
(2)设函数y=f(x)的定义域为I, 如果存在实数M,满足: ①对于任意的x∈I,都有 f(x)≥M. ②存在x0∈I,使得 f(x0)=M . 则称M是f(x)的最小值.

基础知识梳理
2.函数的最值与函数值域有何 关系? 【思考·提示】 函数的最值 与函数的值域是关联的,求出了闭 区间上连续函数的值域也就有了函 数的最值,但只有了函数的最大 (小)值,未必能求出函数的值域.

基础知识梳理
3.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点

如果对于函数f(x)的定义域内任 关于 y轴 偶函数 意一个x,都有f(-x)=f(x),那 对称 么函数f(x)是偶函数 如果对于函数f(x)的定义域内任 关于 原点 奇函数 意一个x,都有f(-x)=-f(x), 对称 那么函数f(x)是奇函数

基础知识梳理
3.奇偶函数的定义域有何特点? 【思考·提示】 若函数f(x)具 有奇偶性,则f(x)的定义域关于原点 对称.反之,若函数的定义域不关于 原点对称,则该函数无奇偶性.

基础知识梳理
4.奇偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区 间上的单调性 相同 ,偶函数在关于 原点对称的区间上的单调性相反(填 “相同”、“相反”).

基础知识梳理
(2)在公共定义域内, ①两个奇函数的和是 奇函数 ,两个 奇函数的积是偶函数 ; ②两个偶函数的和、积是 偶函数 ; ③一个奇函数,一个偶函数的积是 奇函数.

三基能力强化
1.在(-∞,0)上是减函数的是( 1 2 A.y=-x B.y=-x 4 C.y=x-1 D.y=x 答案:D )

演示文稿

后 等

我发啦ww.wofala.net我发啦官网 嵝吖夻

三基能力强化
2.已知f(x)=ax2+bx是定义在 [a-1,2a]上的偶函数,那么a+b的 值是( )
1 A.- 3 1 C. 2 答案:B 1 B. 3 1 D.- 2

三基能力强化
3.(2009 年高考天津卷改编)已知函
?x2,x≥0 数 f(x)=? ,若 f(2-a2)>f(a), ?x,x<0

则实数 a 的取值范围是(

)

A.(-∞,-1)∪(2,+∞) B.(-1,2) C.(-2,1) D.(-∞,-2)∪(1,+∞) 答案:C

三基能力强化
4.(教材习题改编)函数f(x)=x2- 2x,x∈[a2+1,4]的最大值为________. 答案:8

三基能力强化
?2x-3,x>0 5.如果函数 y=? 是 ?f(x),x<0

奇函数,则 f(x)=________.

答案:2x+3

课堂互动讲练
考点一 函数单调性的判断与证明

函数的单调性用以揭示随着自 变量的增大,函数值的增大与减小 的规律.在定义区间上任取x1、 x2,且x1<x2的条件下,判断或证明 f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2),这一过程 就是实施不等式的变换过程.

课堂互动讲练
例1
ax 试 讨 论 函 数 f(x) = 2 , x -1

x∈(-1,1)的单调性(其中 a≠0).

【思路点拨】 利用定义进 行判断,主要判定f(x2)-f(x1)的 正负.

课堂互动讲练
【解】 设-1<x1<x2<1, ax1 ax2 则 f(x1)-f(x2)= 2 - 2 x1 - 1 x2 - 1 a(x2-x1)(x1x2+1) = , 2 2 (x1 -1)(x2 -1)

∵-1<x1<x2<1, ∴|x1|<1,|x2|<1,x2-x1>0, x12-1<0,x22-1<0, |x1x2|<1,即-1<x1x2<1, ∴x1x2+1>0,

课堂互动讲练
(x2-x1)(x2x1+1) ∴ 2 >0. 2 (x1 -1)(x2 -1)

因此,当a>0时,f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2),此时函数为减函数. 当a<0时,f(x1)-f(x2)<0即 f(x1)<f(x2),此时函数为增函数.

课堂互动讲练
【规律小结】 用定义证明函数 单调性的一般步骤: (1)取值:即设x1,x2是该区间内 的任意两个值,且x1<x2. (2)作差:即f(x2)-f(x1)(或f(x1)- f(x2)),并通过通分、配方、因式分解 等方法,向有利于判断差的符号的方 向变形.

课堂互动讲练
(3)定号:根据给定的区间和x2- x1的符号,确定差f(x2)-f(x1)(或f(x1) -f(x2))的符号.当符号不确定时,可 以进行分类讨论. (4)判断:根据定义得出结论.

课堂互动讲练
互动探究

若例1中x∈(-1,1)改为x∈R, a≠0改为a>0,结果如何?
ax 解:∵f(x)= 2 的定义域为 x -1 (-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞). 设 x1<x2,则 ax1 ax2 f(x1)-f(x2)= 2 - 2 x1 - 1 x2 - 1 a(x2-x1)(x1x2+1) = . 2 2 (x1 -1)(x2 -1)

课堂互动讲练
当x1<x2<-1时, x12-1>0,x22-1>0, x1x2+1>0,x2-x1>0,a>0,
a(x2-x1)(x1x2+1) ∴ >0, 2 2 (x1 -1)(x2 -1)

此时f(x1)>f(x2), ∴f(x)在(-∞,-1)上为减函数. 当-1<x1<x2<1时,f(x)在(-1,1) 上为减函数.(例题已证)

课堂互动讲练
当1<x1<x2时, x12-1>0,x22-1>0, x1x2+1>0,x2-x1>0,a>0,
a(x2-x1)(x1x2+1) ∴ >0, 2 2 (x1 -1)(x2 -1)

此时f(x1)>f(x2). ∴f(x)在(1,+∞)上为减函数. 综上可知,f(x)在(-∞,-1), (-1,1),(1,+∞)上均为减函数.

课堂互动讲练
考点二 函数奇偶性的判定

判断函数的奇偶性,应该首先 分析函数的定义域,在分析时,不 要把函数化简,而要根据原来的结 构去求解定义域,如果定义域不关 于原点对称,则一定是非奇非偶函 数.

课堂互动讲练
例2 判断下列各函数的奇偶性: 1 2 (1)f(x)=lgx +lg 2; x 1+x (2)f(x)=(x-1) ; 1-x ?x2+x,x<0 (3)f(x)=? 2 - x +x,x>0; ? lg(1-x2) (4)f(x)= . |x-2|-2

课堂互动讲练
【思路点拨】 可从定义域入 手,在定义域关于原点对称情况下, 考查f(-x)与f(x)的关系.
【解】 (1)函数的定义域: (-∞, 0)∪(0,+ ∞)关于原点对称,且 f(x) 2 1 =lg(x ·2)=0(x≠0). x ∴f(x)既是奇函数又是偶函数.

课堂互动讲练
1+x (2)由 ≥0 得定义域为[-1,1), 1-x 关于原点不对称,

故f(x)为非奇非偶函数. (3)当x<0时,-x>0,则 f(-x)=-(-x)2-x =-(x2+x)=-f(x); 当x>0时,-x<0,则 f(-x)=(-x)2-x =x2-x=-f(x).

课堂互动讲练
综上,对x∈(-∞,0)∪(0,+∞), 都有f(-x)=-f(x). ∴f(x)为奇函数. (4)易知f(x)的定义域是(-1,0)∪(0,1), lg(1-x2) ∴f(x)=- ,f(-x)=-f(x). x ∴f(x)是奇函数.

课堂互动讲练
【名师点评】 对于(1)的结论不 能只说奇函数或偶函数.
对于 (2) 若化简为 f(x) =- 1-x2 或者 f(x)= 1-x2都导致错误判断.对 于(3)要分段研究, 不能研究一段, 对于 (4)化简为等价变形.

课堂互动讲练
互动探究
若例 2 第 (4)小题改为 f(x)= lg(1-x2) ,判断奇偶性. |x|-2
?1-x2>0 解:∵? ∴-1<x<1. ?|x|-2≠0

∴函数定义域关于原点对称.

课堂互动讲练

lg[1-(-x)2] ∵f(-x)= |-x|-2 lg(1-x2) = =f(x), |x|-2 ∴函数 f(x)是偶函数.

课堂互动讲练
考点三
函数的奇偶性与单调性

因为奇函数的图象关于原点对 称,所以结合图象可得奇函数在(a, b)与(-b,-a)上的单调性相同.因 为偶函数的图象关于y轴对称,所以 偶函数在(a,b)与(-b,-a)上的单 调性相反.

课堂互动讲练
例3
x-a 已知 f(x)= 2 是奇函数. x +bx+1 (1)求a,b的值; (2)求f(x)的单调区间,并加以 证明; (3)求f(x)(x>0)的最值.

【思路点拨】 利用f(-x)= -f(x)求a,b的值.

课堂互动讲练
【解】 (1)∵f(x)+f(-x)=0恒 成立, x-a x+a 即 2 - 2 =0 恒 x +bx+1 x -bx+1
成立, 则2(a+b)x2+2a=0对任意的实 数x恒成立. ∴a=b=0.

课堂互动讲练
x (2)∵f(x)= 2 (x∈R)是奇函数, x +1 ∴只需研究(0,+∞)上f(x)的单调 区间即可. 任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则 f(x )-f(x )= x1 - x2 1 2 x12+1 x22+1

(x2-x1)(x1x2-1) = 2 . 2 (x1 +1)(x2 +1)

课堂互动讲练
∵x12+1>0,x22+1>0,x2-x1>0, 而x1,x2∈[0,1]时,x1x2-1<0, ∴当x1,x2∈[0,1]时, f(x1)-f(x2)<0, 函数y=f(x)是增函数; 当x1,x2∈[1,+∞)时, f(x1)-f(x2)>0, 函数y=f(x)是减函数. 又f(x)是奇函数, ∴f(x)在[-1,0]上是增函数, 在(-∞,-1]上是减函数.

课堂互动讲练
又x∈[0,1],u∈[-1,0]时,恒有 f(x)≥f(u),等号只在x=u=0时取到, 故f(x)在[-1,1]上是增函数. (3)由(2)知函数f(x)在(0,1)上递 增,在[1,+∞)上递减,则f(x)在x=1 处可取得最大值. 1 ∴f(1)= , 2 1 ∴函数的最大值为 ,无最小值. 2

课堂互动讲练
【规律小结】 (1)求一个函数的 最值时,应首先考虑函数的定义域. (2)函数的最值是函数值域中的一 个取值,是自变量x取了某个值时的 对应值,故函数取得最值时,一定有 相应的x的值.

课堂互动讲练
考点四 抽象函数的性质

抽象函数是近几年高考的热点, 研究这类函数性质的根本方法是“赋 值”,解题中要灵活应用题目条件赋 值转化或配凑.

课堂互动讲练
例4 (解题示范)(本题满分12分) 函数f(x)对任意的a、b∈R,都 有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0时,f(x)>1. (1)求证:f(x)是R上的增函数; (2)若f(4)=5,解不等式f(3m2- m-2)<3.

课堂互动讲练
【思路点拨】 (1)是抽象函数单 调性的证明,所以要用单调性的定 义. (2)将函数不等式中抽象的函数符 号“f”运用单调性“去掉”,为此需将右 边常数3看成某个变量的函数值.

课堂互动讲练
【解】 (1)证明:设x1,x2∈R, 且x1<x2, 则x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1. 2分 f(x2)-f(x1) =f[(x2-x1)+x1]-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-1>0. 5分 ∴f(x2)>f(x1). 即f(x)是R上的增函数. 6分

课堂互动讲练
(2)∵f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5, ∴f(2)=3,8分 ∴原不等式可化为 f(3m2-m-2)<f(2), ∵f(x)是R上的增函数, ∴3m2-m-2<2, 10分 4 解得-1<m< , 3 4 故 m 的解集为{m|-1<m< }. 12 分 3

课堂互动讲练
【思维总结】 在解答过程中易 出现不能正确构造f(x2-x1)的形式或 不能将不等式右边3转化为f(2),从而 不能应用函数的单调性求解,导致此 种错误的原因是没有熟练掌握单调性 的含义,没弄清如何利用题目中的已 知条件,不能正确地将抽象不等式进 行转化.

课堂互动讲练
高考检阅 (本题满分12分)函数f(x)的定义域 为D={x|x≠0},且满足对于任意x1, x2∈D,有f(x1· x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值; (2)判断f(x)的奇偶性并证明你的 结论; (3)如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x- 6)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函数, 求x的取值范围.

课堂互动讲练
解:(1)∵对于任意x1,x2∈D, 有f(x1· x2)=f(x1)+f(x2), ∴令x1=x2=1,得f(1)=2f(1), ∴f(1)=0. 4分 (2)令x1=x2=-1, 有f(1)=f(-1)+f(-1), 1 ∴f(-1)= f(1)=0. 5 分 2

课堂互动讲练
令x1=-1,x2=x有 f(-x)=f(-1)+f(x), ∴ f(- x)= f (x). ∴f(x)为偶函数. 7分 (3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2, f(16×4)=f(16)+f(4)=3, ∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 即f[(3x+1)(2x-6)]≤f(64).(*) 9分

课堂互动讲练
法一:∵f(x)为偶函数, ∴f(|(3x+1)(2x-6)|)≤f(64). 又∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴0<|(3x+1)(2x-6)|≤64. 解上式,得 7 1 1 3<x≤5 或- ≤x<- 或- <x<3. 3 3 3 7 1 ∴x 的取值范围为{x|- ≤x<- 或 3 3
1 - <x<3 或 3<x≤5}.12 分 3

课堂互动讲练
法二:∵f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴(*)等价于不等式组
?(3x+1)(2x-6)>0 ? 或 ?(3x+1)(2x-6)≤64 ?(3x+1)(2x-6)<0 ? , ?-(3x+1)(2x-6)≤64 ? ?x>3或x<-1 ? 3 ? ? 7 - ≤x≤5 ? ? 3



课堂互动讲练
? 1 ?- <x<3 ? 3 ? ?x∈R

. 10 分

7 1 1 ∴3<x≤5 或- ≤x<- 或- <x<3. 3 3 3 7 1 1 ∴x 的取值范围为{x|- ≤x<- 或 - 3 3 3 <x<3 或 3<x≤5}.12 分

规律方法总结
1.函数的单调性是一个“区间概念”, 如果一个函数在定义域的几个区间上都是增 (减)函数,但不能说这个函数在其定义域上 1 是增(减)函数.例如:函数 f(x)=x在(-∞, 0)上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数, 1 但不能说 f(x)=x在(-∞,0)∪(0,+∞)上 是减函数,因为当 x1=-1,x2=1 时有 f(x1) =-1<f(x2)=1 不满足减函数的定义.

规律方法总结
2.理解函数的奇偶性应注意的问题 (1)定义域在数轴上关于原点对称是 函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充 分条件.f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定 义域上的恒等式.

规律方法总结
(2)奇偶函数的定义是判断函数奇偶性 的主要依据.为了便于判断函数的奇偶性 有时需要先将函数进行化简,或应用定义 的等价形式:f(-x)=± f(x)?f(-x)?f(x)= f(-x) 0? =± 1(f(x)≠0). f(x )

规律方法总结
(3)①若f(x)是偶函数,则f(x)= f(|x|),反之亦真. ②若f(x)为奇函数,且0在定义域 内,则f(0)=0. ③若f(x)=0且f(x)的定义域关于 原点对称,则f(x)既是奇函数又是偶 函数.

随堂即时巩固

点击进入

课时活页训练

点击进入


2011届高考数学函数

2011届高考数学函数_从业资格考试_资格考试/认证_教育专区。函数(附高考预测)一...复习函数的性质,可以从“数”和“形”两个方面,从理解函数的单调性和奇偶性的...

必修1《函数的基本性质》专题复习(精心整理)

必修1《函数的基本性质》专题复习(精心整理)_数学_高中教育_教育专区。《函数的基本性质》专题复习,适合高一,补习 必修1 《函数的基本性质》专题复习(一)函数的...

2011高考数学精品:函数专题函数的基本性质

2011年高考数学专题讲义:... 7页 5财富值 2011高考数学复习详细资料... 12页...函数专题 第 3 课时 函数的基本性质 1.对于定义在 R 上的任何奇函数,均有(...

2012高考数学总复习-函数的基本性质练习题

2012高考数学总复习-函数的基本性质练习题_数学_高中教育_教育专区。函数的基本...2012高考数学第一轮总复... 4页 1下载券 2012届高考数学_三角函数... 2...

高一数学函数的基本性质知识点及练习题(含答案)

高一数学函数的基本性质知识点及练习题(含答案)_数学_高中教育_教育专区。函数的基本性质 1.奇偶性 (1)定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-...

2011高考数学复习专题——函数及其基本性质(附答案)

2011高考数学复习专题——函数及其基本性质(附答案)。紧扣考纲贴近教材,针对考点对应基础训练2011 高考数学专题复习——函数概念与基本性质 ? 考点及要求 ①函数的概念...

高考数学高三数学总复习《函数的基本性质》

高考数学高三数学总复习函数的基本性质》_数学_高中教育_教育专区。高考数学...2011届人教版高考数学第... 58页 2下载券 ©2016 Baidu 使用百度前必读 |...

2012高考数学总复习 函数的基本性质练习题

2012 高考数学总复习 函数的基本性质练习题---作业 一、选择题 1 已知函数 f ( x ) ? ( m ? 1) x 2 ? ( m ? 2 ) x ? ( m 2 ? 7 m ? ...

2017年全国卷高考数学复习专题——函数的基本性质

2017年全国卷高考数学复习专题——函数的基本性质_高三数学_数学_高中教育_教育...2011年高考数学专题复习... 34页 免费 高考数学复习专题二函数... 10页 ...

高三数学专题复习 函数的性质及应用

2011届高三数学二轮复习... 41页 免费 2013年高三数学第一轮复... 8页 免费...函数的性质及其应用 函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中...