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2014年干一镇初级中学数学竞赛及优录培训11


2013 年全国初中数学竞赛(海南赛区) 数 学 试 卷
一、选择题(本大题满分 50 分,每小题 5 分) 在下列各题的四个备选答案中,只有一个是正确的,请把你认为正确的答案的字母 代号填写在下表相应题号下的方格内 1、3-x 的相反数是-6,那么x的值为 A.-3 B.3 C.6 D.9

2、从甲、乙两名男生和 A、B 两名女生中随机选出一名男

生和一名女生,则恰好选中甲男生和 A 女生的 概率是 A.

E 3、如图1,∠AOB=180°,OD是∠BOC的平分线,OE是∠AOC的平分线, 则下列各角中与∠COD的互补的是 A.∠COE B.∠AOC C.∠AOD D.∠BOD A O 图1

1 2

B.

3 4

C.

1 8

D.

1 4

C D B

4、如图 2,在 Rt△ADB 中,∠D=90°,C 为 AD 上一点,∠ACB=6x,则 x 值可以是 A.10° B.20° C.30° D.40°

5、已知 a 是质数,b 是奇数,且 a 2 ? b ? 2013 ,则 a+b+2 的值为 A.2009 B.2011 C.2013 D.2015



6、有这样的数列:3、7、12、18、25……,则第 10 个数是 A.65 B.70 C.75 D.80



6x C
图2



7、轮船往返于一条河的两码头之间,如果船本身在静水中的速度是固定的,那么,当这条河的水流速度增大 (水流的速度总小于船在静水中的速度) 时,船往返一次所用的时间将 A.增多 B.减少 C.不变 D.以上都有可能

8、如图 3,矩形 AOBC 的面积为 8,反比例函数 y ? 的解析式是 A. y ? y

k 的图象经过矩形的对角线的交点 P,则反比例函数 x

8 x

B. y ?

2 x

C. y ?

4 x

D. y ?

1 x
y O x A 图5 M


A P O 图3 B x C
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图4

9、 图 4 是由大小一样的小正方形组成的网格,△ABC 的三个顶点落在小正方形的顶点上.在网格上能画出 三个顶点都落在小正方形的顶点上,且与△ABC 成轴对称的三角形共有 A.5 个 B.4 个 C.3 个 D.2 个

10、如图 5 是半径为 2 的圆,圆心 A 坐标为(1,-1) ,点 M 是圆上的动点,则点 M 的坐标不可能为 A. (2,0) B. (0,-2) C. (2,-2) D. (1,-2) y 二、填空题(本大题满分 40 分,每小题 5 分) 11、分解因式:9x2-12xy+4y2=_________________. 12、 计算: 2 5 ? 5 ? 2 5 =__________.
2? 5

A

B O x 图6

13、若 2

x ?1

? 4 x ? 128 ,则x的值为__________.

14、已知关于x的方程x2-4x+a=0的两个实数根x1、x2满足3 x1-x2=0,则a ________. 15、在△ABC 中,AB=5,AC=9,则BC 边上的中线AD的长的取值范围是__________. 16、如图 6,在平面直角坐标系中,直线 AB 由直线 y=3x 沿 x 轴向左平移 3 个单位长度所得,则直线 AB 与坐标轴所围成的三角形的面积为__________. 17、如图 7,已知正方形 ABCD 中,点 M 在边 CD 上,且 DM=3, MC=1,把线段 AM 绕点 A 顺时针旋转,使点 M 落在 BC 所在 的直线上的点 N 处,则 N、C 两点的距离为__________. 18、如图8,在△ABC中,AB=10, ∠BAC的平分线 AD交BD于点D,且BD⊥AD,DE∥AC交AB于E, 则DE的长是__________. A E 图8 B B 图7 C D M C A D

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三、解答题(本大题满分 30 分,每小题 15 分) 19、海南省某种植园收获香蕉 20000 千克,其中香牙蕉 12000 千克、黄帝蕉 8000 千克,准备 运往海口与 .. 文昌销售;根据市场供需,海口需要香蕉 15000 千克,文昌需要香蕉 5000 千克,海口与文昌两地的香 蕉售价如下表所示: 价格 地区 海口 文昌 品种 黄帝蕉 (元/千克) 5 4.2 香牙蕉 (元/千克) 4.8 3.6

(1) 若该种植园供应海口市的香牙蕉与黄帝蕉的比是 2:1,请问该种植园供应文昌市的香牙蕉与黄帝 蕉各是多少千克? (2) 若海口与文昌的香蕉都能在保质期内销售完,请你设计一种销售方案,使销售的收入最大,并估 算出获得的最大销售收入.

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20、如图 9 ,在平面直角坐标系 xoy 内,正方形 AOBC 的顶点 A、 O 、 B、 C 的坐标分别为( 0 , 1 ) 、 (0,0) 、 (1,0) 、 (1、1) ,过点 B 的直线 MN 与 OC 平行,AC 的延长线交 MN 于点 D,点 P 是直线 MN 上的一个动点,CQ∥OP 交 MN 于点 Q. (1)求直线 MN 的函数解析式; (2)当点 P 在 x 轴的上方时,求证:△OBP≌△CDQ; 猜想:若点 P 运动到 x 轴的下方时, △OBP 与△CDQ 是否依然全等?(不要求写出证明过程) (3)当四边形 OPQC 为菱形时, ①请求出点 P 的坐标; ②请求出∠POC 的度数. N E 图9 O B y A C D P x M Q

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海南省 2013 初中数学竞赛初赛试题 参考答案
一、选择题(本大题满分 50 分,每小题 5 分) 题号 答案 答案提示: 4、由三角形外角大于任何一个不相邻的内角与∠ACB 小于 180°可知 90°<6x<180°,由此可得 15°<x<30°,故选择 B. 5、a 是质数,b 是奇数,且 a 2 ? b ? 2013 ,所以 a、b 必是一奇一偶,所以可求得 a=2,b=2009,所以 a +b+2=2013. 6、 由数列 3、 7、 12、 18、 25……可判断存在的规律为: 第①个数为 3, 第②个数为 3+4, 第③个数为 3+4+5, 第④个数为 3+4+5+6,第⑤个数为 3+4+5+6+7……如此可断定第⑩个数为 3+4+5+……+12=75,故选择 C. 7、设两码头之间的航程为 S,船在静水中的速度为 a,水流的速度为 b,则船顺水所需的时间为 逆水所需的时间为 1 A 2 D 3 C 4 B 5 C 6 C 7 A 8 B 9 A 10 D

S 船 a?b

S S S 2aS ,则船往返一次所需的时间为 + = 2 由此可判断船在静水中的 a?b a ? b a ? b a ? b2
y A E O C B x

速度不变与水流的速度总小于船在静水中的速度的条件下,水流的速度 b 越大,a2-b2 越小,船往返一次 所需的时间为

2aS 就越大,故选择 A. a ? b2
2

8、由矩形 AOBC 的面积为 8,可求矩形 PEOF 的面积为 2, 又点 P 在第一象限,所以 K=2, 故选择 B.

P F 图3

9、 如图,分别以大的正方形中间”十”字所在的直线为对称轴可画出 2、3 两图,分别以正方形对角线所 在直线为对称轴可画出 4、5 两图,再加上第 1 幅图,总共有 5 个符合条件的三角形,故选择 A. y O A 图5 10、若点 M 在圆上,点 M 与圆心 A 的距离等于圆的半径 2 ,容易判断点(2,0)是圆 A 与 X 轴正半轴 的交点、点(0,-2)是圆 A 与 y 轴负半轴的交点,另外,可以通过构造直角三角形判断点(2,-2)与圆心 A 的距离等于 2 ,也可以用两点公式求出点(2,-2)与圆心 A 的距离等于 2 ,因此 A、B、C 三个选项中 的点均在圆上,而点(1,-2)与圆心 A 的距离等于 1,小于圆 A 的半径,点(1,-2)不在圆上,故选择 D.
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x M

二、填空题(本大题满分 40 分,每小题 5 分)
2 11、(3x-2y)

12、 ? 5 18、5

13、2

14、3

15、2<x<7

16、13.5 答案提示:

17、1 或 7

12、 2 5 ? 5 ? 2 5 ? 5 (2 ? 5 ) ? 2 5 ? 5 ? 2 5 ? ? 5 2? 5 2? 5 13、由 2
x ?1

? 4 x ? 128 得 2 x ?1 ? 2 2 x ? 2 7

所以有

( x ? 1) ? 2 x ? 7

所以 x 的值为 2.

因为关于x的方程x2-4x+a=0的两个实数根为x1、x2,由根与系数的关系得x1+x2=4,所以

?3x1 ? x 2 ? 0 ? x1 ? 1 ,解得 ? ,所以a=3. ? ? x1 ? x 2 ? 4 ?x2 ? 3
15、构造右图,延长中线AD到A’,使AD=A’ D, 可证△ABD≌△A’ CD, 设AD=x,AA’ =2 x,由三角形三边不等关系可得 9-5<2x<9+5,从而有2<x<7. 16、设直线AB的解释式为y=3x+b, 由题意可知直线AB过点(-3、0) ,故b=9,所以直线AB与y轴的交 点为(0,9) ,则直线AB与坐标轴所围成的三角形的面积为3×9÷2=13.5平方单位. 17、如图7,把线段AM绕点A画弧,可见N、C两点的距离存在两种情况:①点N在边BC上,②点N在 边CB的延长线上;可以证明△ADM≌△ABN≌△ABN’,所以有BN=BN’ =DM=3,所以N、C两点的距离 是:1或7. 18、提示:可证 AE=DE,BE=DE,由此得到 DE 的长是 5. N’ 三、解答题(本大题满分 30 分,每小题 15 分) 19、解: (1)设种植园应向海口供应的黄帝蕉有 x 千克,则向海口供应的香牙蕉有 2x 千克,根据题意 B 图7 N M C A D B D A’ A C

列方程得: 2x+x=15000,解得:x=5000,则 2x=10000
所 以 种 植 园 供 应 文 昌 市 的 香 牙 蕉 应 为 12000-10000=2000 千 克 , 植 园 供 应 文 昌 市 的 黄 帝 蕉 应 为 5000-2000=3000 千克. (2)设应安排 m 千克香牙蕉在海口市销售,则在海口市销售的黄帝蕉为(15000-m)千克;在文昌市销 售的香牙蕉与黄帝蕉分别为(12000-m)千克、 (m-7000)千克,则这批香蕉的销售收入 y 与 m 的函数关 系式为:y=4.8m+5(15000-m)+3.6(12000-m)+4.2(m-7000)
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即 y=0.4m+88800 (7000≤m≤12000) 从函数关系式看 m 的值越大,销售收入 y 就越大,即香牙蕉应尽可能多地安排在海口市销售,所以若要 使销售收入最大, 需安排 12000 千克香牙蕉与 3000 千克黄帝蕉在海口市卖, 安排 5000 千克黄帝蕉在文昌 市卖,最大销售收入为 y=0.4×12000+88800=93600(元) . 20、 解: (1)设直线 OC 的解析式为 y=kx, ∵直线 OC 过点 C(1、1) ,∴k=1, ∵直线 MN 与 OC 平行, ∴可设直线 MN 的解析式为 y=x+b, ∵直线 y=x+b 过点 B(1,0) , ∴b=-1,∴直线 MN 的函数解析式为 y=x-1 (此题也可以通过求点 B、D 的坐标,再利用待定系数法求直线 MN 的解析式) (2)当点 P 在 x 轴的上方时 ∵四边形 AOBC 是正方形 ∴OB=BC,∠BCD=∠ACB=90°,∠BCO=45° 又 MN 与 OC 平行 ∴∠CBD= ∠BCO=∠BDC= 45°,∴BC=OB=CD 由 AC∥OB 知 AD∥OB ∴∠OBP = ∠CDQ E ∵CQ∥OP ∴∠OPB = ∠CQD N ∴△OBP≌△CDQ 同理可知,若点 P 运动到 x 轴的下方,△OBP 与△CDQ 依然全等 (3) ①设点 P 的横坐标为(a,b) 因为点 P 在直线 y=x-1 上,则点 P 的坐标可表示为(a,a-1) 若四边形 OPQC 为菱形,则有 OP=OC= 2 作 PF⊥x 轴于点 F,在 Rt△OPF 中有 OF2+PF2=OP2 即 a ? (a ? 1) ? 2
2 2

∴直线 OC 的解析式为 y=x

M y A C D H P1 O B F x Q

P2

图 9A

解得: a1 ?

1? 3 1? 3 , a2 ? 2 2

则 b1 ?

3 ?1 3 ?1 , b2 ? ? 2 2

即当四边形 OPQC 为菱形时,
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点 P 的坐标为(

1? 3 1? 3 3 ?1 3 ?1 , )或( ,? ) 2 2 2 2



由①知点 P 存在两种情况使四边形 OPQC 为菱形, 即点 P 在第一象限与第三象限 ⅰ)当点 P 在第一象限时(如点 P1) ,
方法一(如图 9A):

过点 C 作 CH⊥MN 于点 H, 则△CHQ 是直角三角形,
由(2)的证明可知△BCD 是等腰直角三角形,且 BC=OB=CD=1 ∴CH= 2 ,
2

若四边形 OPQC 为菱形,则有 CQ=OC= 2 , ∴CH=

1 OC ∴∠CQH=30° ∴∠P1OC= 30° 2

方法二(如图 9B) : 连接 AB 交 OC 于点 G,过点 P1 作 P1H⊥OC 于点 H 则△OP1H 是直角三角形, 在正方形 AOBC 中有 AB⊥OC,又 MN∥OC,
∴∠BGH= ∠P1HG=∠GB P1= 90° ∴四边形 P1BGH 是矩形, 又四边形 OPQC 为菱形 ∴P1H=BG= O A G P1 B F E N P2 x M y H C D Q

1 1 1 AB= OC = O P1 2 2 2

图 9B

∴∠P1OC= 30°

ⅱ)当点 P 在第三象限时(如点 P2), 令 x =0,则 y=x-1=-1,即直线 MN 与 y 轴的交点 E 的坐标为(0,-1) 则 OE=OB,则∠OEB=∠OBE= 45°则∠OEP2=∠OBP1= 135°
又四边形 OPQC 为菱形 ∴O P2=O P1 =OC ∴∠O P2E=∠O P1B

∴△O P2E≌△O P1B (AAS) ∴∠E O P2=∠B O P1
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∵∠B O P1=∠B O C-∠P1 OC=45°-30°=15° ∴∠E O P2=15°,∴∠P2OC=150°

综合以上论述可知,当四边形 OPQC 为菱形时,∠POC 的度数为 30°或 150°

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