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广东省汕头市2013-2014学年高一下学期期末考试数学试卷


汕头市 2013-2014 学年高一下学期期末考试

数学
本卷共150分,考试时间120分钟.
注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号分别填写在答题卡上, 用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡上,并在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室 号、座位号,将相应的试室号、座位号信息点涂黑。 2.

单项选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答卷前必须先填好答题纸的密封线内各项内 容。答案必须写在答题纸上各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再 写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡、答题纸的整洁,考试结束后,将答题卡、答题纸一并交回。 参考公式:

^x+a ^,其中 b ?? 1. 回归直线方程 ^ y=b
? ?x . a ? y ?b
2.样本方差: s ?
2

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( y i ? y )
i

? (x
i ?1

?

?x y
i ?1 n i

n

i

? nx y

? x)

2

?x
i ?1

,
? nx
2

2 i

? 1 [( x1 ? x) 2 ? ( x 2 ? x) 2 ? ? ? ( x n ? x) 2 ] ,其中 x 为样本平均数. n

一、选择题 :本大题共有 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题所列四个选项中, 只有一项是符合题目要求. 1. 已知全集 U ? ?? 1, 0 ,1, 3?, N ? ?0,1,3? ,则 CU N =
A. ?3? 2. 函数 y ? B. ?0,1? C.

??1?

D.

??1,3?

3

1 的定义域为 x

A.

?x

x?0

?

B.

?x

x?0

?

C.

?x

x?0

?

D.

?x

x?R

?

3. 在△ABC 中, a 、 b 分别为 ?A、?B 的对边,已知 a=3,b=2,A=60° ,则 sinB= 2 2 2 2 3 6 A. - B. C. D. 3 3 3 3

?log1 x ( x ? 0) ? 3 4. 设 f ( x) ? ? ,则 f ( f (?3)) 等于 1 x ?( ) , ( x ? 0) ?3

A. 3

B. ?3

C.

1 3

D. ? 1

5.某班的全体学生参加英语测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次为:[20,40), [40,60),[60,80),[80,100].若低于 60 分的人数是 15,则该班的学生人数是

第 5 题图 A.45 B. 50 C. 55 6.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是 A. y ? sin( x ?

D. 60 D.

?
6

)

B.

y ? 2x

C.

y?x

y ? ?x3

7. 函数 f ( x ) ? log 2 x ? A.(0,1)

1 的一个零点落在下列哪个区间 x
B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)

8.已知 cos ? ? ? , ? ? ( A. ?

4 5

?
2

, ? ), 则 cos(
B.

?
2

??) ?
C. ?

4 5

3 5
3a ? 3b

3 5

D.

4 5

9.若实数 a 、 b 满足 a ? b ? 1 ,则
4

的最小值是 C. 6 D. 2

A.18

B. 2

3

3

10. 函数 f ( x) ? min{ x , | x ? 2 |} , 其中 min{ a, b} ? ? 的图像有三个不同的交点,则实数 m 的取值范围是 A.

?a, a ? b , 若动直线 y ? m 与函数 y ? f ( x) b , a ? b ?

?0, 1?

B.

? 1, 3?

C. ?0,1 ?

D.

?1, 3 ?

二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
11.在等比数列 {an } 中,若 a2 ? a3 ? 3a1 ,则 a4 ? .

12.执行如右程序框图,若 p=0.8,则输出的 n=

.

13.在 2014 年 3 月 15 日,某市物价部门对本市的 5 家商场的某 商品的一天销售量及其价格进行调查,5 家商场的售价 x 元和销

12 题图

售量 y 件之间的一组数据如下表所示: 价格 x 销售量 y 9 11 9.5 10 10 8 10.5 6 11 5
^

由散点图可知,销售量 y 与价格 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归直线方程是: y= -3.2 x+a,则 a= .

14.如图平行四边形 ABCD 中, E 是 BC 的中点, F 是 AE 的中点, 若 AB ? a , AD ? b ,则 AF ? .(用 a , b 表示)

三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 13 分) 平面向量 a ? (1, 2) , b ? (?4, 2) , c ? ma ? b ( m ? R ). (1) 若 a ? c , 求 m 的值;

? (2) 若 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角,求 c 的值.

16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin 2x ? 2 cos 2x, x ? R .

? 3? ? ? 的值; ? 8 ? (2) 求 f ( x ) 的最大值和最小正周期;
(1)求 f ? (3)若 f ?

3 ?? ? ? , ? 是第二象限的角,求 sin 2? . ? ?? ?2 8? 2

17.(本小题满分 13 分) 为了了解甲、乙两名同学的数学学习 情况,对他们的数学测试成绩 (满分 100 分) 进行统计,作出如右的茎叶图,其中 x 处 的数字模糊不清.已知甲同学成绩的中位 数是 83,乙同学成绩的平均分是 86 分. (1)求 x 的值及乙同学成绩的方差; (2)现从成绩在[90,100]之间的 试卷中随机抽取两份进行分析,求恰抽到 一份甲同学试卷的概率.

甲 6 3 7 x 2 1 2 3 7 8 9 8 3 0



3 1 1 6

(第 17 题图)

18. (本小题满分 13 分) 甲、乙两校计划周末组织学生参加敬老活动,甲校每位同学往返车费是 5 元,每人可为 3 位老 人服务,乙校每位同学往返车费是 3 元,每人可为 5 位老人服务.两校都有学生参加,甲校参加活动 的学生比乙校至少多 1 人,且两校同学往返总车费不超过 45 元.如何安排甲、乙两校参加活动的人 数,才能使受到服务的老人最多?受到服务的老人最多是多少?

19. (本小题满分 14 分) 设数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且 S n ? 2an ? 3n, (n ? N * ) . (1)证明数列{ a n ? 3 }为等比数列; (2)求{ S n }的前 n 项和 Tn .

20.(本小题满分 14 分)

已知奇函数 f ?x ? 的定义域为 ?? 1,1?,当 x ? ?? 1,0? 时, f ?x ? ? ?? ? . (1)求函数 f ?x ? 在 ?0,1? 上的值域; (2) 若 x ? ?0,1? ,

?1? ? 2?

x

1 f 4

2

?x ? ? ? f ?x ? ? 1 的最小值为 ? 2 ,求实数 ? 的值.
2

汕头市 2013-2014 学年高一下学期期末考试

数学答案
一、选择题答题栏(每小题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 C 4 B 5 B 6 D 7 B 8 C 9 D 10 A

a b bsinA 3 3. [解析] 由正弦定理得 = 得 sinB= = ,选 C . sinA sinB a 3
5. [解析] 由成绩的频率分布直方图可以得到低于 60 分的频率为 0.3, 而低于 60 分的人数为 15 人, 15 所以该班的总人数为 =50 人. 0.3 9. [解析] 3a ? 3b ? 2 3a ? 3b ? 2 3a?b ? 6 10. [解析] 令 g ( x) ?

x , h( x) ? | x ? 2 | ,则 f ( x) 的图像是由 g ( x) 与 h( x) 图像中位置较低的部

分组成,若直线 y ? m 与函数 y ? f ( x) 的图像有三个不同的交点 ,则

0 ? m ? yA.
由 x ? 2 ? x, 解得 x A ? 1, ? y A ? 1,

? m ? ?0, 1?

二、填空题:(每小题 5 分,共 20 分) 11. 3 ; 12. 4; 13. 40; 14.

1 1 a ? b 2 4

三、解答题(满分 80 分)
15. 解: (1) ? c ? ma ? b ? (m ? 4, 2m ? 2) 且 a ? c ??? 1 分

?

?

?

? m ? 4 ? 2(2m ? 2) ? 0 ??? 4 分 ? m ? 0 ????????? 6 分
(2) 因为 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角, 即 cos ? c , a ?? cos ? c , b ?

? ?

? ?

?

? ? ? ? c ?a c ?b ? ? ? ? ? , 即 c?a c ?b

? ? ? ? c ?a c ?b ? ? ? ??? 8 分 a b

由(1)知

? ? ? c ? ma ? b ? (m ? 4, 2m ? 2)
? ? 4(m ? 4) ? 2(2m ? 2) 20
??? 10 分

?

m ? 4 ? 2(2m ? 2) 5

? m ? 2 ??? 11 分

?

? ? ? c ? ma ? b ? (m ? 4, 2m ? 2) ? (?2, 6) ???12 分

? ? c ? (?2) 2 ? 6 2 ? 2 10 ??? 13 分

16.解:(1) 解法一: f ( 3分 解

3? 3? 3? 2 2 ) ? 2 sin(2 ? ) ? 2 cos(2 ? ) ? 2 ? ? 2? ? 0 ??? 8 8 8 2 2
法 二 :

? f ( x) ? 2(

2 2 ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x) ? 2(cos sin 2 x ? sin cos 2 x) ? 2 sin(2 x ? ) 2 2 4 4 4
? f( 3? 3? ? ) ? 2 sin( 2 ? ? ) ? 2 sin ? ? 0 ??? 3 分 8 8 4

(2) ?

f ( x) ? 2(

2 2 ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x) ? 2(cos sin 2 x ? sin cos 2 x) ? 2 sin(2 x ? ) 2 2 4 4 4
2? ? ? .??? 7 分 2

?
(3)

f ( x) 的最大值为 2,最小正周期为 T ?
由(2)知:

f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
4

)

? f(

?

? 3 3 ? ) ? 2 sin ? ? , 即 sin ? ? , ??? 9 分 2 8 2 4

又因为 ? 是第二象限的角,

? cos? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? (

3 2 13 ??? 11 分 ) ?? 4 4

? sin 2? ? 2 sin ? cos? ? 2 ?
17. 解:(1)

3 13 39 ? (? )?? . ??? 13 分 4 4 8

甲同学成绩的中位数是 83,

82 ? 80 ? x ? ? 83 2

? x ? 4;

??? 3 分

乙同学的平均分是 86 分,
? s 2 ? (78 ? 86) 2 ? (83 ? 86) 2 ? (83 ? 86) 2 ? (81 ? 86) 2 ? (90 ? 86) 2 ? (91 ? 86) 2 ? (96 ? 86) 2 ?

?

?

1 248 ? 7 7

?6 分 (2)甲同学成绩在[90,100]之间的试卷有二份,分别记为 a1 , a2 , 乙同学成绩在[90,100]之间的试卷有三份,分别记为 b1 , b2 , b3 ,?? 7 分 “从这五份试卷中随机抽取两份试卷”的所有可能结果为:

? a1 , a2 ? , ? a1, b1 ? , ? a1 , b2 ? , ? a1, b3 ? , ? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? , ? a2 , b3 ? , ?b1, b2 ? , ?b1, b3 ? , ?b2 , b3 ? ,共有 10 种情况,??????
9分

记“从成绩在[90,100]之间的试卷中随机抽取两份,恰抽到一份甲同学试卷”为事件 M ,则事 件 M 包含的基本事件为: 共有 6 种情况?? ? a1, b1 ? ,? a1 , b2 ? ,? a1, b3 ? ,? a2 , b1 ? , ? a2 , b2 ? ,? a2 , b3 ? , 11 分 则 P( M ) ?

6 3 ? . ??12 分 10 5

答:从成绩[90,100]之间的试卷中随机抽取两份分析,恰抽到一份甲同学试卷的概率为 分 18. 解:设甲、乙两校参加活动的人数分别为 x 、 y ??1 分, 受到服务的老人的人数为 z ? 3x ? 5 y ??2 分,

3 .?13 5

?x ? y ? 1 ? 依题意, x 、 y 应满足的约束条件为 ?5 x ? 3 y ? 45 ??5 分 ?x , y ? N * ?
做出可行域为图中阴影部分中的整点,画直线 l0 : 3x ? 5 y ? 0 ,在可行域内平移 l0 到 l :

z ? 3x ? 5 y ,可知当 l 经过可行域的点 M 时,目标函数 z ? 3x ? 5 y 取最大值??6 分
解方程组 ?

?x ? y ? 1 ??7 分, ?5 x ? 3 y ? 45

得?

?x ? 6 ??8 分, ?y ? 5

所以 M (6 , 5) 满足约束条件,??9 分 因此,当 x ? 6 , y ? 5 时, z 取最大值?10 分

z max ? 3 ? 6 ? 5 ? 5 ? 43??12 分
答:甲、乙两校参加活动的人数分别为 6 和 5 时,受到服务的老人最多,最多为 43 人.??13 分 19. 解: (1) 令 n ? 1 ,

S n ? 2a1 ? 3 , ? a1 ? 3 ??1 分

由 S n?1 ? 2an?1 ? 3(n ? 1) ??① S n ? 2an ? 3n? ②??2 分 ①-②得 an?1 ? 2an?1 ? 2an ? 3 ,则 an?1 ? 2an ? 3 ??4 分

?

an?1 ? 3 2an ? 3 ? 3 ? ? 2 且 a1 ? 3 ? 6 ??6 分 an ? 3 an ? 3

?

?an ? 3?为首项是 6,公比为 2 的等比数列.??7 分
即 an ? 3 ? 2 ? 3??9 分
n

(2) 由(1)知 ?an ? 3? 为首项是 6,公比为 2 的等比数列

? an ? 3 ? 6 ? 2 n?1 ,

? S n ? 2an ? 3n ? 3 ? 2n?1 ? 3n ? 6 ??12 分
? Tn ? S1 ? S 2 ? ? S n ? 3 ? (2 2 ? 2 3 ? ? 2 n?1 ) ? 3(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ? 6n ? 3? 2 2 (1 ? 2 n ) (1 ? n)n 3 15 ?3 ? 6n ? 12 ? (2 n ? 1) ? n 2 ? n 1? 2 2 2 2
?x

??14 分

?1? 20.解:(1) 设 x ? ?0,1? ,则 ? x ? ?? 1,0? 时,所以 f ?? x ? ? ?? ? ?2?
又因为 f ?x ? 为奇函数,所以有 f ?? x ? ? ? f ?x ? ??3 分 所以当 x ? ?0,1? 时, f ?x? ? ? f ?? x? ? 2 x , ??4 分 所以 f ?x ? ? ?1,2? ,??5 分 又 f ?0? ? 0

? ?2 x ??2 分

所以,当 x ? ?0,1? 时函数 f ?x ? 的值域为 ?1,2? ? {0} .??6 分 (2)由(1)知当 x ? ?0,1? 时 f ?x ? ? ?1,2? ,所以 令t ?

1 ?1 ? f ? x ? ? ? ,1? ??7 分 2 ?2 ?

1 1 f ? x ? ,则 ? t ? 1 , ??9 分 2 2
2

1 g ?t ? ? f 4
①当

?? ? ?x ? ? f ?x ? ? 1 ? t ? ?t ? 1 ? ? ??10 分 ?t ? ? ?1? 2 4 ? 2?
?
2

2

2

?
2

?

1 ?1? ,即 ? ? 1 时, g ?t ? ? g ? ? ,无最小值, ??11 分 2 ?2?

②当

1 ? ?2 ??? ? ? 1 ,即 1 ? ? ? 2 时, g ?t ?min ? g ? ? ? 1 ? ? ?2 , 2 2 4 ?2?

解得 ? ? ?2 3 舍去 ??12 分 ③当

?
2

? 1 ,即 ? ? 2 时, g ?t ?min ? g ?1? ? ?2 ,解得 ? ? 4 ??13 分

综上所述, ? ? 4 ??14 分


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