第一章 第一节锐角正弦函数

问题1 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机 井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站， 境 对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成 角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需 探 要准备多长的水管？ 究 B 情
A
C

思考：你能将实际问题归结为数学问题吗？ 这个问题可以归结为，在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A＝30°，BC＝35m，求AB的长.

在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， BC＝35m，求AB的长. B
根据“在直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜 A 边的一半”，即
?A的对边 BC 1 ? ? . 斜边 AB 2

C

可得 AB=2BC=70m，即需要准备70m长的 水管。

在上面的问题中，如果使出水口的高度为 50m，那么需要准备多长的水管？
B' B 30m A C 50m C'

结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比
1 值都等于 。 2

如图，任意画一个Rt△ABC， A 使∠C＝90°，∠A＝45°，计 算∠A的对边与斜边的比 BC ， AB 你能得出什么结论？ C

B

即在直角三角形中，当一个锐角等于45° 时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角 的对边与斜边的比都等于 2 。
2

综上可知，在一个Rt△ABC中，∠C＝90°，

当∠A＝30°时，∠A的对边与斜边的比都等于 1 ， 2 是一个固定值；
当∠A＝45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 2 ，
2

也是一个固定值.

一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的
对边与斜边的比是否也是一个固定值？

探究
任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘，使得∠C＝∠C’＝
90°，∠A＝∠A‘＝

?

系．你能解释一下吗？
B

B' C ' BC ，那么 与 有什么关 A' B ' AB
B'

A

C

A'

C'

由于∠C＝∠C’＝90°， ∠A＝∠A’＝

?

所以Rt△ABC∽Rt△A’B’C’

BC AB ? ? , B ' C ' A' B '

BC B' C' 即 ? . AB A' B '

探究
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数 一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与 斜边的比都是一个固定值．

正弦 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的 对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA， B 即

?A的对边 a sin A ? ? 斜边 c

斜边 A

c
b

a 对边 C

例如，当∠A＝30°时，我们有 1 ? sin A ? sin 30 ? 2 当∠A＝45°时，我们有
2 sin A ? sin 45 ? 2
?

在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c

注意
? sinA是一个完整的符号，它表示∠A的正 弦，记号里习惯省去角的符号“∠”； ? sinA没有单位，它表示一个比值，即直角 三角形中∠A的对边与斜边的比； ? sinA不表示“sin”乘以“A”。

例题示范

例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，求 sinA和sinB的值．
B 3 5 A B

试着完成图（2）
13

C
4 C A

(1)

(2)

解：如图（），在Rt?ABC中， 1 AB ? AC2 ? BC 2 ? 4 2 ? 32 ? 5. BC 3 AC 4 因此 sin A ? ? ， B? sin ? . AB 5 AB 5

B

练习
1、如图，求sinA和sinB的值．
A

3

5

C

2、在平面直角平面坐标系中，已知点A(3，0)
4 和B(0，-4)，则sin∠OAB等于____. 5

3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是BC边
2 上的中线，AC=2，BC=4，则sin∠DAC=___. 2

a 3 , 4、在Rt△ABC中, ∠C=90°, ? b 3
则sin∠A=___.

4 5、如图，在△ABC中， AB=CB=5，sinA= ， 5 求△ABC 的面积。
B

5

5

A

C

本节课小结与回顾：
1、函数的定义与三种表示法。

2、锐角的正弦函数的定义。 3、数形结合思想。

作业： 1、抄写和背诵：各三遍。 2、基训一课时。 3、预习下一课。