问题1 为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机 井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站, 境 对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成 角的度数是30°,为使出水口的高度为35m,那么需 探 要准备多长的水管? 究 B 情
A
C
思考:你能将实际问题归结为数学问题吗? 这个问题可以归结为,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A=30°,BC=35m,求AB的长.
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°, BC=35m,求AB的长. B
根据“在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜 A 边的一半”,即
?A的对边 BC 1 ? ? . 斜边 AB 2
C
可得 AB=2BC=70m,即需要准备70m长的 水管。
在上面的问题中,如果使出水口的高度为 50m,那么需要准备多长的水管?
B' B 30m A C 50m C'
结论:在一个直角三角形中,如果一个锐角等于30°, 那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比
1 值都等于 。 2
如图,任意画一个Rt△ABC, A 使∠C=90°,∠A=45°,计 算∠A的对边与斜边的比 BC , AB 你能得出什么结论? C
B
即在直角三角形中,当一个锐角等于45° 时,不管这个直角三角形的大小如何,这个角 的对边与斜边的比都等于 2 。
2
综上可知,在一个Rt△ABC中,∠C=90°,
当∠A=30°时,∠A的对边与斜边的比都等于 1 , 2 是一个固定值;
当∠A=45°时,∠A的对边与斜边的比都等于 2 ,
2
也是一个固定值.
一般地,当∠A 取其他一定度数的锐角时,它的
对边与斜边的比是否也是一个固定值?
探究
任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘,使得∠C=∠C’=
90°,∠A=∠A‘=
?
系.你能解释一下吗?
B
B' C ' BC ,那么 与 有什么关 A' B ' AB
B'
A
C
A'
C'
由于∠C=∠C’=90°, ∠A=∠A’=
?
所以Rt△ABC∽Rt△A’B’C’
BC AB ? ? , B ' C ' A' B '
BC B' C' 即 ? . AB A' B '
探究
这就是说,在直角三角形中,当锐角A的度数 一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与 斜边的比都是一个固定值.
正弦 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的 对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sinA, B 即
?A的对边 a sin A ? ? 斜边 c
斜边 A
c
b
a 对边 C
例如,当∠A=30°时,我们有 1 ? sin A ? sin 30 ? 2 当∠A=45°时,我们有
2 sin A ? sin 45 ? 2
?
在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c
注意
? sinA是一个完整的符号,它表示∠A的正 弦,记号里习惯省去角的符号“∠”; ? sinA没有单位,它表示一个比值,即直角 三角形中∠A的对边与斜边的比; ? sinA不表示“sin”乘以“A”。
例题示范
例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,求 sinA和sinB的值.
B 3 5 A B
试着完成图(2)
13
C
4 C A
(1)
(2)
解:如图(),在Rt?ABC中, 1 AB ? AC2 ? BC 2 ? 4 2 ? 32 ? 5. BC 3 AC 4 因此 sin A ? ? , B? sin ? . AB 5 AB 5
B
练习
1、如图,求sinA和sinB的值.
A
3
5
C
2、在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0)
4 和B(0,-4),则sin∠OAB等于____. 5
3、在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是BC边
2 上的中线,AC=2,BC=4,则sin∠DAC=___. 2
a 3 , 4、在Rt△ABC中, ∠C=90°, ? b 3
则sin∠A=___.
4 5、如图,在△ABC中, AB=CB=5,sinA= , 5 求△ABC 的面积。
B
5
5
A
C
本节课小结与回顾:
1、函数的定义与三种表示法。
2、锐角的正弦函数的定义。 3、数形结合思想。
作业: 1、抄写和背诵:各三遍。 2、基训一课时。 3、预习下一课。