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第一章 第一节锐角正弦函数

时间:2013-06-30


问题1 为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机 井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站, 境 对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成 角的度数是30°,为使出水口的高度为35m,那么需 探 要准备多长的水管? 究 B 情
A
C

思考:你能将实际问题归结为数学问题吗? 这个问题可以归结为,在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A=30°,BC=35m,求AB的长.

在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°, BC=35m,求AB的长. B
根据“在直角三角形中, 30°角所对的直角边等于斜 A 边的一半”,即
?A的对边 BC 1 ? ? . 斜边 AB 2

C

可得 AB=2BC=70m,即需要准备70m长的 水管。

在上面的问题中,如果使出水口的高度为 50m,那么需要准备多长的水管?
B' B 30m A C 50m C'

结论:在一个直角三角形中,如果一个锐角等于30°, 那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比
1 值都等于 。 2

如图,任意画一个Rt△ABC, A 使∠C=90°,∠A=45°,计 算∠A的对边与斜边的比 BC , AB 你能得出什么结论? C

B

即在直角三角形中,当一个锐角等于45° 时,不管这个直角三角形的大小如何,这个角 的对边与斜边的比都等于 2 。
2

综上可知,在一个Rt△ABC中,∠C=90°,

当∠A=30°时,∠A的对边与斜边的比都等于 1 , 2 是一个固定值;
当∠A=45°时,∠A的对边与斜边的比都等于 2 ,
2

也是一个固定值.

一般地,当∠A 取其他一定度数的锐角时,它的
对边与斜边的比是否也是一个固定值?

探究
任意画Rt△ABC和Rt△A‘B’C‘,使得∠C=∠C’=
90°,∠A=∠A‘=

?

系.你能解释一下吗?
B

B' C ' BC ,那么 与 有什么关 A' B ' AB
B'

A

C

A'

C'

由于∠C=∠C’=90°, ∠A=∠A’=

?

所以Rt△ABC∽Rt△A’B’C’

BC AB ? ? , B ' C ' A' B '

BC B' C' 即 ? . AB A' B '

探究
这就是说,在直角三角形中,当锐角A的度数 一定时,不管三角形的大小如何,∠A的对边与 斜边的比都是一个固定值.

正弦 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的 对边与斜边的比叫做∠A的正弦(sine),记作sinA, B 即

?A的对边 a sin A ? ? 斜边 c

斜边 A

c
b

a 对边 C

例如,当∠A=30°时,我们有 1 ? sin A ? sin 30 ? 2 当∠A=45°时,我们有
2 sin A ? sin 45 ? 2
?

在图中 ∠A的对边记作a ∠B的对边记作b ∠C的对边记作c

注意
? sinA是一个完整的符号,它表示∠A的正 弦,记号里习惯省去角的符号“∠”; ? sinA没有单位,它表示一个比值,即直角 三角形中∠A的对边与斜边的比; ? sinA不表示“sin”乘以“A”。

例题示范

例1 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,求 sinA和sinB的值.
B 3 5 A B

试着完成图(2)
13

C
4 C A

(1)

(2)

解:如图(),在Rt?ABC中, 1 AB ? AC2 ? BC 2 ? 4 2 ? 32 ? 5. BC 3 AC 4 因此 sin A ? ? , B? sin ? . AB 5 AB 5

B

练习
1、如图,求sinA和sinB的值.
A

3

5

C

2、在平面直角平面坐标系中,已知点A(3,0)
4 和B(0,-4),则sin∠OAB等于____. 5

3、在Rt△ABC中,∠C=90°,AD是BC边
2 上的中线,AC=2,BC=4,则sin∠DAC=___. 2

a 3 , 4、在Rt△ABC中, ∠C=90°, ? b 3
则sin∠A=___.

4 5、如图,在△ABC中, AB=CB=5,sinA= , 5 求△ABC 的面积。
B

5

5

A

C

本节课小结与回顾:
1、函数的定义与三种表示法。

2、锐角的正弦函数的定义。 3、数形结合思想。

作业: 1、抄写和背诵:各三遍。 2、基训一课时。 3、预习下一课。


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