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高中数学必修5新教学案:2.1数列的概念与简单表示法(第1课时)


必修 5
【学习目标】

2.1 数列的概念与简单表示法(学案)
(第 1 课时)

1. 理解数列及其有关概念,了解数列的简单分类; 2. 理解数列的通项公式,学会观察、归纳、求简单数列的通项公式; 3. 了解数列是一种特殊的函数,理解数列的函数性质 .

【新知导学】 (根据以下提纲,预习教材第

28 页~第 30 页)
1.数列的定义: 称为数列. (1)如果组成两个数列的数相同而顺序不同,那么它们 (是/不是)相同的数列. (2)数列中的数 (能/否)相同?若相同,则为 数列. (3) 叫做这个数列的项.数列中与顺序 , 的数称 为 , 排在第二位的数称为 ,……,排在第 n 位的数称为 . (4)数列的一般形式可以写成 ,简记为 ?an ?,

2.数列的分类: (1)据数列的项数是否有限可分类为 . (2)据数列的 可分类为: ①递增数列:从第二项起,每一项都 它的前一项的数列; ②递减数列:从第二项起,每一项都 它的前一项的数列; ③常数数列:各项 的数列; ④摆动数列:从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 3.数列的通项公式 (1)定义:如果数列 ?an ?的 可以用一个式子表示,那么这个式子叫做这个数列

的通项公式. (2)数列的通项公式的作用: . 4.数列的函数性质 数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第 _________项,又是这个数列中所有各项的 一般表示即数列是一种特殊的函数,数列可以看成以 为定义域的函数

an ? f (n) ,当自变量从小到大依次取值时对应的一列___
5.数列的表示方法有: .

.

【自主小测】
1.下列数列(1) 1,

1 1 1 1 1 1 1 1 , , , (2) , , , , 1 是同一个数列吗? 2 3 4 5 5 4 3 2

2.下列给出数列,试从中发现变化规律,并填写括号内的数 (1) 1,3,6,10, ?

? ,21, ? ? , ?????? ;(2)3,5,9,17,33, ? ? , ? ? , ?????? ;(3)1,4,9,16, ? ? ,36, ?????? .

3.下面数列中递增数列是 ,递减数列是 ,常数数列是 ,摆动数列是 (1) 0,1, 2,3, ?????? ;(2) 82,93,105,119,129,130,132 ;(3) 3,3,3,3,3, ?????? ; (4)100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01; (5) ?1,1, ?1,1, ?1, ?????? ;(6) 2 精确到 1, 0.1, 0.01, 0.001,? ? ? 的不足近似值与过剩近似值

1

分别构成数列 1,1.4,1,1.141,1.414, ??????;2,1.5,1.42,1.415, ?????? . 4.据下列数列的前几项,写出下列数列的一个通项公式 (1) 1,3,5,7,9 ?????? ;(2) 9,7,5,3,1, ?????? ;
2 2 2 2 (3) 2 ? 1 ; 3 ? 1 , 4 ? 1 ; 5 ? 1 ; (4) ? 1 , ? 1 , ? 1 , ? 1 , . 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 2 3 4 5

【互动探究】
类型一 根据数列的前几项写出数列的通项公式 例 1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数: (1) 1, ? 1 , 1 , ? 1 ; (2) 2,0, 2,0. (3) 9,99,999,9999, ?????? ; 2 3 4 (4) 1 ,2, 9 ,8, 25 , ?????? ;(5) 0,3,8,15, 24, ?????? ;(6) 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , ?????? . 2 2 2 2 6 12 20 30 【变式练习】 写出下面数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数: 1. 1, 1 , 1 , 1 , 1 3 5 7 9 4. ; 2. ? 1 , 1 , ? 1 , 1 , ? 1 ; 2 ?1 2 ? 2 2 ? 3 2 ? 4 2 ? 5 3. 1, 2 , 1 , 2 , 1 ;

2 2 4 4

2 6 8 10 4 , , , , , …… ; 5. 0, 1, 0, 1, 0, 1,……; 3 15 35 63 99

,5555 ,? ? ? ? ? ? 6. 2, -6, 12, -20, 30, -42,……;7. 5,55,555
类型二 根据数列的通项公式求数列的项 例 2(1)已知数列 为 (2)已知数列

?an ?的通项公式为 a
.

n

?3n ? 1(n ? 2k ? 1, k ? N ) ,则它的前 4 项依次 ?? ? ?4n ? 1(n ? 2k , k ? N )
? n(n ? 2) ,问:① 80,90 是不是该数列中的项?

?an ?的通项公式为 a

n

如果是,是第几项? 【变式练习】 在数列

②从第几项开始,该数列的项大于 10000 ?

?an ?中,

a1 ? 2, a17 ? 66, 通项公式为 n 的一次函数.

(1) 求数列

?an ?的通项公式;(2)88 是不是该数列中的项?

类型三 数列的单调性 例 3(1)判断无穷数列 2,1,0,?1,? ? ?,3 ? n,? ? ? 的增减性;

(2)判断无穷数列 【随堂检测】

1 2 3 n , , ,? ? ?, ,? ? ? . 2 3 4 n ?1

,15,? ? ? 的一个通项公式是 1. 数列 ? 3,7,?11
( A) an ? 4n ? 7

??

( B ) an ? ?? 1?n ?4n ? 1?
2

(C ) an ? ?? 1?n ?4n ? 1?

( D) an ? ?? 1?n?1 ?4n ? 1?

2.下列六个结论中:(1) 数列若用图象表示,从图象看都是一群孤立的点 ;(2) 数列的项数是 有限的;(3) 数列的通项公式是唯一的;(4) 数列不一定有通项公式; (5)数列 1,2,3,……不 一定递增 ;(6) 数列看作函数 , 其定义域是

N * 或它的有限子集 ?1,2,3,? ? ?, n? , 其中正确的是
( D) (1) (2) (6)

? ? . ( A)

(1) (2) (4) (6)

( B ) (1) (4) (5) (6) (C ) (1) (3) (4) (5)

3. 已知数列 ?an ?的通项公式 an

? log?n?1? ?n ? 2? ,则它的前 30 项之积为 ?

?

( A) 5
4.下面的数列

(B)

4

(C ) log 2 30

( D) log 2 34

?1?2,22,222,2222,? ? ?

(2)10,9,8,7,6,5 ?3?1,0,1,0,1,0,? ? ? (4)10,9,8,7,6,5
;递减数列是
n

?3?a, a, a, a, a,? ? ? ,递增数列是
5. 已知数列 围是 .

;常数列

;摆动数列是

.

?an ?是递减数列,且对于任意正整数 n, a
? 7 k ? N?

? ?n2 ? ?n 恒成立,则 ? 的取值范

6.已知数列 1,4,7,10,? ? ?,3k

?

?;

(1)写出数列的通项公式(2) 数列共有多少项?(3)求数列的第 10 项,并说明 100 是否为数列 的项?(4)从第 n 项开始大于 20 .5 ?

【基础达标】
1、下列说法正确的是 A. B. ( ) 数列 1,3,5,7 可表示为 ? 1,3,5,7? 数列 1,0, ? 1,?2 与数列 ? 2,?1,0,1 是相同的数列

C.

数列 ?

1 ? n ? 1? ? 的第 k 项是 1 ? k ? n ?

D. 数列可看做是一个定义域为正整数集 N 的函数

*

,28,? 中,由给出的数之间的关系可知 x 的值是( 2、数列 1,3,6,10, x,21
A. 12 B. 15 C. 17 D. 18
[来源:学科网 ZXXK]



3、已知数列的通项公式为 an ? n 2 ? 8n ? 15,则 3 A. 不是数列 ?an ? 中的项





B. 只是数列 ?an ? 中的第 2 项 D. 是数列 ?an ? 中 的 第 2 项或第 6 项 )

C. 只 是数列 ?an ? 中的第 6 项

4、数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n 2 ? 28n ,则数列 ?an ? 各项中最小项是 (
3

A. 第 4 项

B. 第 5 项

C. 第 6 项

D. 第 7 项 )

5、已知数列 1, 3, 5, 7 ,?, 2n ? 1,?,则 3 5 是它的 ( A . 第 22 项 B. 第 23 项 C. 第 24 项 D. 第 28 项 ) D. 摆动数列 (

6、已知 an?1 ? an ? 3 ? 0 ,则数列 ?an ? 是 ( A. 递增数列 7、已知数列 ? 1, A. B. 递减数列 C. 常数列

1 5

B.

1 1 n 1 ,? , ?, ?? 1? 2 , ? ,它的第 5 项的值为 4 9 n 1 1 1 ? C. D. ? 5 25 25

n ?1



8、数列 1,0,1,0,1, ? 的一个通项公式是



[来源:Zxxk.Com]

A. a n ?

1 ? ?? 1? 2

n ?1

B. a n ?

1 ? ?? 1? 2

C. a n ?

?? 1?n ? 1
2

D. a n ?

? 1 ? ?? 1? 2

n

9、用适当的数填空: ①2,1, ③1, 9,25, ,

1 1 , , 4 8
,81

1 ② ? 1,4,?9,16,?25, 32 1 1 ④1,0, ,0, ,0, 2 3


, ? 49 ,0,

1 ,0 5

10、写出以下各数列的通项公式:

1 1 1 1 2 3 4 , ,? , ? ② 0,1,0,1,0,1,? ③ 1 ,2 ,3 ,4 , ? ④ 10,9,8,7,6,? ⑤ 1,5,7,17,31,? 2 4 8 2 3 4 5 3 15 35 63 1 1 1 1 1 , , ? ⑦ , , , , , ? ⑧ 9,99,999,9999 ,? ⑥ , , 4 16 36 64 2 6 12 20 30
① 1,? 【能力提升】 11、数列 ?an ? 中,已知 a n ?

n2 ? n ?1 , n? N* 。 3

?

?

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

(1)写 出 a10 , an?1 ; (2) 79

2 是否是数列中的项?如果是,是第 几项? 3

【归纳小结】 已知数列的前几项,写出数列的通项公式要注意以下几点: (1)关键是寻找序号 n 与项 an 之间的对应关系.(2)符号用 (?1) 或 (?1)
n n ?1

来确定.

(3)分式的分子、分母可以分别找通项,但要充分借助分子与分母的关系. (4)并不是每一个数列都有通项公式,即使该数列有通项公式,也未必唯一.通项公式不唯 一有两种情形:通项公式只是形式不同,其实质是一样的;另一种情形是由于仅仅给出了数 列的前几项,要写出其通项公式,往往会导致其后续项的变化,如已知数列的前几项为 2, 4,6,8,…,则其通项公式可写成 an ? 2n 或 an ? n2 ? n ? 2 ,它们的本质是不同的. (5)对形如 a, b, a, b, a, b,L 的数列,其通项公式均可写成 an ?

a?b a ?b ? (?1) n ?1 . 2 2

4

必修 5

2.1 数列的概念与简单表示法(教案)
(第 1 课时)

【教学目标】 1.使学生理解数列及其有关概念,了解数列的简单分类; 2. 使学生理解数列的通项公式,学会观察、归纳、求简单数列的通项公式; 3. 使学生了解数列是一种特殊的函数,理解数列的函数性质 . 【重点】 1.会求简单数列的通项公式; 2.理解数列的函数性质 . 【难点】 1. 会求简单数列的通项公式; 2. 了解数列是一种特殊的函数,理解数列的函数性质 .

新知导学
(根据以下提纲,预习教材第 28 页~第 30 页) 1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列. (1) 如果组成两个数列的数相同而顺序不同,那么它们(是,不是)相同的数列. (2) 数列中的数(能,否)相同?若相同,则为 常 数列. (3) 数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列中与顺序有关,排在第一位的数称为第 1 项, 排在第二位的数称为 第 2 项 ,……, 排在第

n 位的数称为第 n 项.

(4) 数列的一般形式可以写成 a1 , a2 , a3 ,? ? ?, an ,? ? ? ,简记为 注意: an 与 答: an 与

?an ?,

?an ?是否相同; ?an ?是集合吗?

?an ?不相同; ?an ?不是集合, ?an ?中 an 与 n 的大小、顺序有关且 an 的大

小可以相同,违背集合元素的无序性和互异性. 2. 数列的分类: (1)据数列的项数是否有限可分类为有穷数列、无穷数列. (2)据数列的项大小关系可分类为 ①递增数列:从第二项起,每一项都大于它的前一项的数列; ②递减数列:从第二项起,每一项都小于它的前一项的数列; ③常数数列:各项相等的数列; ④摆动数列:从第二项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 3. 数列的通项公式 (1)定义:如果数列

?an ?的第 n 列与序号 n 之间的关系可以用一个式子表示,那么这个式

子叫做这个数列的通项公式. (2) 数列的通项公式的作用:求数列中任意一项、检验某数是否是该数列的项. 4. 数列的函数性质

5

数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第 _ n ____项,又是这个数列中所有各项的 一般表示即数列是一种特殊的函数, 数列可以看成以正整数集或它的有限子集为定义域的 函数 an ? f (n) ,当自变量从小到大依次取值时对应的一列___函数值,其图像为一系列 孤立的点. 5. 数列的表示 数列的表示方法有: 图象法、列表法、解析法等等

.

自主小测
1.下列数列(1) 1,

1 1 1 1 1 1 1 1 , , , (2) , , , , 1 是同一个数列吗? 2 3 4 5 5 4 3 2

答:不是同一个数列,因为这些数对应的顺序不同. 2. 下列给出数列,试从中发现变化规律,并填写括号内的数 (1) 1,3,6,10, ?15? ,21, ? 28? , ?????? ; (2) 3,5,9,17,33, ? 65? , ?129 ? , ?????? ; (3) 1,4,9,16, ? 25? ,36, ?????? . 3.下面数列中递增数列是 (1)(2)(6) ,递减数列是(4)(7) ,常数数列是(3) 动数列是 (5) . (1) 0,1, 2,3, ?????? ; (2) 82,93,105,119,129,130,132 ; (3) 3,3,3,3,3, ?????? ; (4)100,50,20,10,5,2,1,0.5,0.2,0.1,0.05,0.02,0.01; (5) ?1,1, ?1,1, ?1, ?????? ; ( 6 ) ,摆

2

???. 的 0 1 0 .近 0 似 0 1 精 确 到 1 , 0 . 1 , 0 不, 足 值, 构 成 数 列 ? ;? 2 ? , ? 1 ? ? . 5 , 1 . 4 2 , 1 . 4 1 5 ,

1 , 1 . 4 , 1 ? ? . 4 ? ?1 ?, ?1 . 4 1 4 . ,
(7)

2 精确到 1,0.1,0.01,0.001, ? ? ? 过剩近似值构成数列 2,1.5,1.42,1.415, ?????? .

4.据下列数列的前几项,写出下列数列的一个通项公式 (1) 1,3,5,7,9 ?????? ; an ? 2n ? 1 ; (2) 9,7,5,3,1, ?????? ; an ? ?2n ? 11 ;
2 2 2 2 ? n ? 1? ? 1 ; (3) 2 ? 1 ; 3 ? 1 , 4 ? 1 ; 5 ? 1 ; an ? 2 3 4 5 ? n ? 1?
2
n 1 (4) ? 1 , ? 1 , ? 1 , ? 1 , . an ? ? ?1? ; 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 n ? n ? 1?

5.根据数列的通项公式填表

6

n

1

2

3

… …

5

… …

12

… …

n
3 ? 3 ? 4n ?

an
互动探究

21

33

45

69

153

类型一 根据数列的前几项写出数列的通项公式 例 1 写出下面数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数: (1) 1, ? 1 , 1 , ? 1 ; (2) 2,0, 2,0. (3) 9,99,999,9999, ?????? ; 2 3 4 (4) 1 ,2, 9 ,8, 25 , ?????? ;(5) 0,3,8,15, 24, ?????? ;(6) 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , ?????? . 2 2 2 2 6 12 20 30 【审题要津】注重培养学生观察、分析、归纳的方法和能力.
n ?1 解:(1)?1, ? 1 , 1 , ? 1 ?1 , ? 1 , 1 , ? 1 ? an ? ? ?1? 1 . 2 3 4 1 2 3 4 n

(2)法 1:? 2,0, 2,0 ?1 ? 1,1 ? 1,1 ? 1,1 ? 1, ?an ? ? ?1? 法 2:?cos k? ? (?1)k ? an ? ? cos k? ? 1

n?1

? 1.

(3)?9,99,999,9999, ???????10 ? 1,102 ? 1,103 ? 1,104 ? 1, ?????? ,

? an ? 10n ? 1 .
2 (4)? 1 ,2, 9 ,8, 25 , ??????? 1 , 4 , 9 , 16 , 25 , ?????? ? an ? n . 2 2 2 2 2 2 2 2 2

(5)? 0,3,8,15, 24, ???????1 ? 1, 4 ? 1,9 ? 1,16 ? 1, 25 ? 1, ?????? ? an ? n2 ? 1 .

1 (6)? 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , ??????? 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , ?????? ? an ? . 2 6 12 20 30 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5 5 ? 6 n ? ? n ? 1?
【方法总结】根据数列的前几项求它的通项公式时注意: (1)通过观察每一项的特点, 可使用添项、还原、分割等办法,转化为一些常见的数列的通项公式来求. (2)对常见的变形方法技巧要加以总结、记忆,是以后求通项公式的基础. (3)求解中要加强特殊项的检验,以避免结果不可靠的错误. (4)并非每个数列都有通项公式;数列有通项公式时并非唯一. 【变式练习】 写出下面数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数: 1. 1, 1 , 1 , 1 , 1 3 5 7 9 4. ; 2. ? 1 , 1 , ? 1 , 1 , ? 1 ; 3. 1, 2 , 1 , 2 , 1 ; 2 ?1 2 ? 2 2 ? 3 2 ? 4 2 ? 5 2 2 4 4

2 6 8 10 4 , , , , , …… ; 5. 0, 1, 0, 1, 0, 1,……; 3 15 35 63 99

,5555 ,? ? ? ? ? ? . 6. 2, -6, 12, -20, 30, -42,……; 7. 5,55,555

7

解:1. an ?

1 ; 2n ? 1
n

2. an ? ? ?1?

1 ; n ? n ? 1?

? 2? 3. an ? ? ? 2 ? ? ? ?
4. an ?

n ?1

2n ; (2n ? 1)(2n ? 1)

5. 法 1: an

? ?1? ?

n ?1

?1

2

.

法 2: an ? ? cos k? ? 1 . 2 6. an ? ? ?1? 7. a n ?
n ?1

n(n ? 1) .

5 n 10 ?1 . 9

?

?

类型二 根据数列的通项公式求数列的项 例 2 (1)已知数列

?an ?的通项公式为 a
.
n

n

?3n ? 1(n ? 2k ? 1, k ? N ) ,则它的前 4 项依 ?? ? ?4n ? 1(n ? 2k , k ? N )

次为 4,7,10,15 (2)已知数列

?an ?的通项公式为 a

? n(n ? 2) ,问:① 80,90 是不是该数列中的项?

如果是,是第几项? ②从第几项开始,该数列的项大于 10000 ? 【审题要津】数列

?an ?的通项公式实质就是函数的解析式,利用函数的思想方法解决.

解: (1)类比于分段函数易得:它的前 4 项依次为 4,7,10,15 . (1) ①令 an ? n(n ? 2) ? 80 得 n ? 8 或 n ? ?10 (舍去) ,故 80 是第 8 项; 同理令 an ? n(n ? 2) ? 90 得不出正整数解,故 90 不是该数列中的项. ② 由 an ? n(n ? 2) ? (n ? 1)2 ?1 得 an 随 n ? n ? N ? 的 增 大 而 增 大 , 又 知

a100 ? 10200 ? 10000 , a99 ? 9999 ? 10000 ,故从第 100 项开始,该数列的项大于
10000 .
【方法总结】通项公式直接反映了 an 与 n ? n ? N ? 的关系,数列看作特殊的函数,已知 项求项数或已知项数求项数类比于函数中自变量与函数值的对应, 已知 an 求 n ? n ? N ?
8

时,只需看方程有无正整数解即可,注求解中加强方程和函数(单调性)的思想方法. 【变式练习】在数列 (1)求数列

?an ?中,

a1 ? 2, a17 ? 66, 通项公式为 n 的一次函数.

?an ?的通项公式;(2)88 是不是该数列中的项?

解: (1)设 an ? pn ? q ,则 a1 ? 2 ? p ? q, a17 ? 66 ? 17 p ? q, 解得 p ? 4, q ? ?2 ,故 an ? 4n ? 2 . (2)令 an ? 4n ? 2 ? 88 ,得 n ? 45 ,故 88 是该数列第 45 项. 类型三 数列的单调性 例 3(1)判断无穷数列 2,1,0,?1,? ? ?,3 ? n,? ? ? 的增减性;

(2)判断无穷数列

1 2 3 n , , ,? ? ?, ,? ? ? 的增减性. 2 3 4 n ?1

【审题要津】数列看作特殊的函数,可类比于函数的增减性的判定方法进行判定;也可 利用递增数列、递减数列的定义只需比较相邻项的大小关系. 解: ( 1)法 1 :易知 an

? 3 ? n ,由于 f ( x) ? 3 ? x 是关于 x 的减函数,所以

an ? 3 ? n 是关于 n 的减函数,故数列 2,1,0,?1,? ? ?,3 ? n,? ? ? 的递减数列.
法 2 :

? an ? 3 ? n ? an?1 ? 2 ? n



? an ? an?1

, 故 数 列

2,1,0,?1,? ? ?,3 ? n,? ? ? 的递减数列.
(2)法 1:易知 a n

?

n x ,由函数的定义易证 f ( x ) ? 是关于 x 的增 n ?1 x ?1

函数,所以 a n 列.

?

n 1 2 3 n ,? ? ? 是递增数 是关于 n 的增函数, 故数列 , , ,? ? ?, n ?1 2 3 4 n ?1 ? n n ?1 n ?1 n ? an?1 ? ? an?1 ? an ? ? n ?1 n?2 n ? 2 n ?1

法 2:? a n

? an?1 ? an ?
故数列

1 ? 0 ? an ? an?1 (n ? 2)?n ? 1?

1 2 3 n , , ,? ? ?, ,? ? ? 是递增数列. 2 3 4 n ?1

【方法总结】研究数列的单调性时既要注重函数的通法通解,又要注重数列的特殊性;

9

将特殊与一般相结合.

随堂检测

,15,? ? ? 的一个通项公式是 1. 数列 ? 3,7,?11
( A) an ? 4n ? 7 (C ) an ? ?? 1? ?4n ? 1?
n

?C ?
n n?1

( B ) an ? ?? 1? ?4n ? 1? ( D) an ? ?? 1?

?4n ? 1?
?1,2,3,? ? ?, n?,其中正确的是
( D) (1) (2) (6)

2.下列六个结论中:(1) 数列若用图象表示,从图象看都是一群孤立的点 ;(2) 数列的项数是 有限的;(3) 数列的通项公式是唯一的;(4) 数列不一定有通项公式; (5)数列 1,2,3,……不 一定递增;(6)数列看作函数,其定义域是 N 或它的有限子集
*

? B ? ( A)
( A)

(1) (2) (4) (6)

( B ) (1) (4) (5)

(6) (C ) (1) (3) (4) (5)

3. 已知数列 5

?an ?的通项公式 an ? log?n?1? ?n ? 2? ,则它的前 30 项之积为 ? A?

( B ) 4 (C ) log2 30 ( D) log 2 34

4.下面的数列

?1?2,22,222,2222,? ? ? (2)10,9,8,7,6,5 ?3?1,0,1,0,1,0,? ? ? ?4?a, a, a, a, a,? ? ? ,
递增数列是 (1) ; 递减数列是 (3) .(直接填写序号) 5. 已知数列 围是 (2) ; 常数列 (4) ; 摆动数列是

?an ?是递减数列,且对于任意正整数 n, a
.

n

? ?n2 ? ?n 恒成立,则 ? 的取值范

??3

6.已知数列 1,4,7,10,? ? ?,3k

? 7 k ? N?

?

?; ?

(1)写出数列的通项公式(2) 数列共有多少项?(3)求数列的第 10 项,并说明 100 是否为数列 的项?(4)从第几项开始大于 20 .5 ? 解: (1)?1,4,7,10,? ? ?,3k

? 7 k ? N ? ?3 ?1 ? 2,3 ? 2 ? 2,3 ? 3 ? 2,? ? ?,

?

?a n ? 3n ? 2 .
(2)令 3k (3)当 n 令 3n

? 7 ? 3n ? 2 k ? N ?

?

? ,得 n ? k ? 3 ,故数列共有 k ? 3 项.

? 10 时, a10 ? 3 ?10 ? 2 ? 28;

? 2 ? 100 得 n ? 34 . ? 20.5 得 n ? 7.5 ,故从第 8 项开始大于 20 .5 .
10

(4)由 3n ? 2

【归纳小结】 已知数列的前几项,写出数列的通项公式要注意以下几点: (1)关键是寻找序号 n 与项 an 之间的对应关系. (2)符号用 (?1) n 或 (?1)n ?1 来确定. (3)分式的分子、分母可以分别找通项,但要充分借助分子与分母的关系. (4)并不是每一个数列都有通项公式,即使该数列有通项公式,也未必唯一.通项公式不唯 一有两种情形:通项公式只是形式不同,其实质是一样的;另一种情形是由于仅仅给出了数 列的前几项,要写出其通项公式,往往会导致其后续项的变化,如已知数列的前几项为 2, 4,6,8,…,则其通项公式可写成 an ? 2n 或 an ? n2 ? n ? 2 ,它们的本质是不同的. (5)对形如 a, b, a, b, a, b,L 的数列,其通项公式均可写成 an ?

a?b a ?b ? (?1) n ?1 . 2 2

【基础达标】
1、下列说法正确的是 D. E. ( )

数列 1,3,5,7 可表示为 ? 1,3,5,7? 数列 1,0, ? 1,?2 与数列 ? 2,?1,0,1 是相同的数列

F.

数列 ?

1 ? n ? 1? ? 的第 k 项是 1 ? k ? n ?
*

D. 数列可以看做是一个定义域为正整数集 N 的函数

,28,? 中,由给出的数之间的关系可知 x 的值是( 2、数列 1,3,6,10, x,21
A. 12 B. 15 C. 17 D. 18
[来源:学科网 ZXXK]



3、已知数列的通项公式为 an ? n 2 ? 8n ? 15,则 3 A. 不是数列 ?an ? 中的项





B. 只是数列 ?an ? 中的第 2 项 D. 是数列 ?an ? 中 的 第 2 项或第 6 项 )

C. 只 是数列 ?an ? 中的第 6 项

4、数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n 2 ? 28n ,则数列 ?an ? 各项中最小项是 ( A. 第 4 项 B. 第 5 项 C. 第 6 项 D. 第 7 项 )

5、已知数列 1, 3, 5, 7 ,?, 2n ? 1,?,则 3 5 是它的 ( A . 第 22 项 B. 第 23 项 C. 第 24 项 D. 第 28 项 )

6、已知 an?1 ? an ? 3 ? 0 ,则数列 ?an ? 是 (

11

A. 递增数列 7、已知数列 ? 1, A.

B.

递减数列

C. 常数列

D.

摆动数列 ( )

1 5

B.

1 1 n 1 ,? , ?, ?? 1? 2 , ? ,它的第 5 项的值为 4 9 n 1 1 1 ? C. D. ? 5 25 25

n ?1

8、数列 1,0,1,0,1, ? 的一个通项公式是



[来源:Zxxk.Com]

1 ? ?? 1? A. a n ? 2

n ?1

1 ? ?? 1? B. a n ? 2

C. a n

n ? ? 1? ? 1 ?

2

? 1 ? ?? 1? D. a n ? 2

n

9、用适当的数填空: ①2,1, ,

1 1 , , 4 8
, ? 49 ,81



1 32

② ? 1,4,?9,16,?25, ③1, 9,25, ④1,0,

1 1 ,0, ,0, 2 3

,0,

1 ,0 5 1 2 3 4 2 3 4 5 3 15 35 63 , ,? ⑥ , , 4 16 36 64
③ 1 ,2 ,3 ,4 , ?

10、写出以下各数列的通项公式: ① 1,?

1 1 1 , ,? , ? 2 4 8

② 0,1,0,1,0,1,?

④ 10,9,8,7,6,? ⑦

,? ⑤ 1,5,7,17,31

1 1 1 1 1 , , , , ,? 2 6 12 20 30

,? ⑧ 9,99,999,9999

【能力提升】 11、数列 ?an ? 中,已知 a n ?

n2 ? n ?1 , n? N* 。 3

?

?

[来源:学,科,网 Z,X,X,K]

(1)写 出 a10 , an?1 ; (2) 79

2 是否是数列中的项?如果是,是第 几项? 3

参考答案: 1、 C 2、 B 3、 D 4、 B 5、 B 6、 A 7、 D 8、B 9、①

1 2

1 16

②36
n ?1

③49


n

1 4
③ an ?

? 1? 10、① a n ? ? ? ? ? 2?
⑤ an ? 2n ? ?? 1?
n

1 ? ?? 1? ② an ? 2
1 4n 2

n 2 ? 2n n ?1

④ an ? 11? n

⑥ an ? 1 ?

⑦ an ?

1 n?n ? 1?

⑧ an ? 10n ? 1

12

11、 (1) a10 ?

109 3

a n ?1 ?

n 2 ? 3n ? 1 3

(2)是,第 15 项

13


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