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28--32届全国中学生高中物理竞赛预赛试题分类汇编--------万有引力


全国中学生高中物理竞赛预赛试题分类汇编--------万有引力

(30 届预)12.(20 分)从地球上看太阳时,对太阳直径的张角 θ=53° .取地球表面上纬度为 1° 的长度 l=110km,地球表面处的重力加速度 g=10m/s2,地球公转的周期 T=365 天.试仅用 以上数据计算地球和太阳密度之比.假设太阳和地球都是质量均匀分布的球体.


(29 届预)8.(10 分)已知:光子有质量,但无静止质量,在重力场中也有重力势能.若从地面上某
处将一束频率为 ν 的光射向其正上方相距为 d 的空间站,d 远小于地球半径,令空间站接收到的光的频率 为 ν’,则差 ν’-ν= 答案: ? ,已知地球表面附近的重力加速度为 g.

gd ? c2

? (10 分) 解析:由能量守恒得 h

? h? ? ? mgd ,而光子能量 h? ? ? mc 2 ,联立消除质

gd ? 2 c ? 量即得? ?? ? gd 1? 2 c

,其中

gd gd ? 1 ,所以? ? ?? ? 2 ? 2 c c



(29 届预)16.(20 分)一质量为 m=3000kg 的人造卫星在离地面的高度为 H=180 km 的高空绕地球
作圆周运动,那里的重力加速度 g=9.3m· s 2.由于受到空气阻力的作用,在一年时间内,人造卫星的高


度要下降△ H=0 .50km.已知物体在密度为 ρ 的流体中以速度 v 运动时受到的阻力 F 可表示为 F =

1 ρACv2,式中 A 是物体的最大横截面积,C 是拖曳系数,与物体的形状有关.当卫星在高空中运行时, 2
可以认为卫星的拖曳系数 C=l,取卫星的最大横截面积 A=6.0m2.已知地球的半径为 R0=6400km.试 由以上数据估算卫星所在处的大气密度. 解:设一年前、后卫星的速度分别为 v1 、 v2 ,根据万有引力定律和牛顿第二定律有
2 v1 Mm ? m R12 R1 2 v2 Mm ? m 2 R2 R2

G



G



式中 G 为万有引力恒量,M 为地球的质量, R1 和 R2 分别为一年前、后卫星的轨道半径,即

R1 ? R0 ? H R2 ? R0 ? H ? ?H
卫星在一年时间内动能的增量

⑶ ⑷

?Ek ?

1 1 2 m v2 ? mv12 2 2



由⑴、⑵、⑸三式得

1 1 1 ?Ek ? GMm( ? ) 2 R2 R1
由⑶、⑷、⑹式可知, ?Ek



? 0 ,表示在这过程中卫星的动能是增加的。

在这过程中卫星引力势能的增量

?EP ? ?GMm(

1 1 ? ) R2 R1



?EP ? 0 ,表示在这过程中卫星引力势能是减小的。卫星机械能的增量 ?E ? ?Ek ? ?EP
由⑹、⑺、⑻式得 ⑻

1 1 1 ?E ? ? GMm( ? ) 2 R2 R1



?E ? 0 ,表示在这过程中卫星的机械能是减少的。由⑶、⑷式可知,因 R1 、 R2 非常接近,利用

R1 ? R2 ? ?H



R1R2 ? R12
⑼式可表示为



?E ? ?

1 GMm ?H 2 R12



卫星机械能减少是因为克服空气阻力做了功。卫星在沿半径为 R 的轨道运行一周过程中空气作用于卫 星的阻力做的功

W1 ? ?F ? 2? R ? ??? ACRv2
根据万有引力定律和牛顿运动定律有



G

v2 Mm ? m R2 R



由⒀、⒁式得

W1 ? ??? ACGM
的轨道运行一周经历的时间



⒂式表明卫星在绕轨道运行一周过程中空气阻力做的功是一恒量,与轨道半径无关。卫星绕半径为 R

T?

2? R v



由⒁、⒃式得

T ? 2? R

R GM



由于在一年时间内轨道半径变化不大,可以认为 T 是恒量,且

T ? 2? R1

R1 GM



以 ? 表示一年时间,有

? ? 3600s? 365 ? 24 ? 3.15 ?107 s



卫星在一年时间内做圆周运动的次数

n?

?
T



在一年时间内卫星克服空气阻力做的功

W ? nW1
由功能关系有

(21)

W ? ?E
由⒂⒅⒇(21)(22)各式并利用 G

(22)

M ?g得 R12
(23)

??

m?H ? ACR1 R1 g

代入有关数据得

? ? 1.54 ?10?13 kg? m?3
评分标准:本题 20 分 ⑹⒂(24)式 3 分,⑺式 2 分,⑼⑿式各 1 分,(23)式 7 分。

(24)

(28 届预)11.(17 分)宇航员从空间站(绕地球运行)上释放了一颗质量 m=500kg 的探 测卫星.该卫星通过一条柔软的细轻绳与空间站连接,稳定时卫星始终在空间站的正下方, 到空间站的距离 l=20km.已知空间站的轨道为圆形,周期 T = 92 min(分). i.忽略卫星拉力对空间站轨道的影响,求卫星所受轻绳拉力的大小. ii.假设某一时刻卫星突然脱离轻绳.试计算此后卫星轨道的近地点到地面的高度、远 地点到地面的高度和卫星运行周期. 取地球半径 R = 6.400× 103km,地球同步卫星到地面的高度为 H0 =3.6000×104km,地球 自转周期 T0 = 24 小时. 11.参考解答: i. 设空间站离地面的高度为 H, 因为同步卫星的周期和地球自转周期相同, 根据开普勒 第三定律以及题意有

(R ? H )3 T 2 ? ( R ? H 0 )3 T02


(1)

T 2/3 H ?( R? H ) ? R 0 )( T0

(2)

代人数据得 H= 376km (3) 卫星的高度 h =H 一 l =356km (4) 卫星在细绳的拉力 F 和地球引力作用下跟随空间站一起绕地球作周期为 T 的圆周运 动,有

G

Mm 2? ? F ? m( ) 2 ( R ? h ) 2 ( R ? h) T

(5)

式中 G 为万有引力常量, M 为地球质量.空间站在地球引力作用下绕地球作周期为 T 的 圆周运动 故有 G

Mm? 2? ? m?( ) 2 ( R ? h) 2 ( R ? h) T

(6)

式中 m’为空间站的质量.由(5)、(6)两式得

2? 2 ( R ? H )2 F ? m( ) ( R ? h)[ ? 1] T ( R ? h) 2

(7)

将(3)、(4)式及其他有关数据代人(7)式得 F=38.2N (8) ii.细绳脱落后,卫星在地球引力作用下绕地球运动的轨道为一椭圆.在脱落的瞬间, 卫星的速度垂直于卫星与地心的连线,所以脱落点必是远地点(或近地点),由( 4)式可 知,此点到地面的高度 h =356km (9) 设卫星在近地点(或远地点)的高度为 h',速度为 v',根据开普勒第二定律,有

( R ? h?)v? ?
根据机械能守恒,有

2? ( R ? h) 2 T

(10)

1 Mm 1 2? Mm mv?2 ? G ? m( ) 2 ( R ? h ) 2 ? G 2 R ? h? 2 T R?h
联立(10)、(11)两式并利用(6)式得

(11)

h? ?

( R ? h)4 2( R ? H )3 ? ( R ? h)3

(12)

代人有关数据有 h ' = 238km (13 ) 由(9)、(13)两式可知,远地点到地面的高度为 356km,近地点到地面的高度为 238km . 设卫星的周期为 T ',根据开普勒第三定律,卫星的周期

T? ? (

2 R ? h ? h? 3/ 2 ) T 2R ? 2H

(14)

代人数据得 T '= 90 . 4min (15) 评分标准:本题 17 分. 第 i 小题 9 分. ( l)式 2 分, ( 5)式 3 分, ( 6)式 2 分, (8)式 2 分. 第 ii 小题 8 分. (9)、(10)式各 l 分, (11)式 2 分, (12)、(13)、(14)、(15) 式各 1 分.


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