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2015-2016高中数学 第二章 推理与证明章末过关检测卷 新人教A版选修2-2

时间:2015-12-02


2015-2016 高中数学 第二章 推理与证明章末过关检测卷 新人教 A 版选修 2-2
(测试时间:120 分钟 评价分值:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.(2013·开封高二检测)根据偶函数定义可推得“函数 f(x)=x 在 R 上是偶函数”的 推理过程是(C) A.归纳推理 C.演绎推理 B.类比推理 D.非以上答案
2

解析:根据演绎推理的定义知,推理过程是演绎推理,故选 C. 2. 余弦函数是偶函数, f(x)=cos(x+1)是余弦函数, 因此 f(x)=cos(x+1)是偶函数, 以上推理(C) A.结论正确 B.大前提不正确 C.小前提不正确 D.全不正确
2

解析:f(x)=sin(x +1)不是正弦函数,所以小前提错误. 3.下面四个推理不是合情推理的是(C) A.由圆的性质类比推出球的有关性质 B.由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是 180°,归纳出所有三角形 的内角和都是 180° C.某次考试张军的成绩是 100 分,由此推出全班同学的成绩都是 100 分 D.蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物,所以所有的爬行动物 都是用肺呼吸的 解析:A 是类比推理,B、D 是归纳推理,C 不是合情推理. 1 1 1 3 5 4. 设 n 为正整数,f(n)=1+ + +?+ , 计算得 f(2)= , f(4)>2,f(6)> ,f(8)>3, 2 3 n 2 2

f(10)> ,观察上述结果,可推测出一般结论为(C)
A.f(2n)=

7 2

n+2
2

B.f(2n)>

n+2
2

C.f(2n)≥

n+2
2

D.f(n)> 2

n

解析:观察所给不等式,不等式左边是 f(2n),右边是 5.下列推理是归纳推理的是(B)

n+2
2

,故选 C.

A.A,B 为定点,动点 P 满足|PA|+|PB|=2a>|AB|,则 P 点的轨迹为椭圆
1

B.由 a1=1,an=3n-1,求出 S1,S2,S3,猜想出数列的前 n 项和 Sn 的表达式 C.由圆 x +y =r 的面积 pr ,猜想出椭圆 2+ 2=1 的面积 S=pab D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 解析:从 S1,S2,S3 猜想出数列的前 n 项和 Sn,是从特殊到一般的推理,所以 B 是归纳 推理,故应选 B. 6.对于不等式 n +n<n+1(n∈N ),某同学用数学归纳法的证明过程如下: (1)当 n=1 时, 1 +1<1+1,不等式成立; (2) 假设当 n = k(k∈N ) 时,不等式成立,即 k +k < k + 1 ,则当 n = k + 1 时, (k+1) +(k+1)= k +3k+2< (k +3k+2)+k+2= (k+2) =(k+1)+1, 所以 n=k+1 时,不等式成立. 则上述证法(D) A.过程全部正确 B.n=1 验得不正确
2 2 2 2 * 2 2 2 * 2 2 2 2

x2 y2 a b

C.归纳假设不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 解析:在 n=k+1 时,没有应用 n=k 时的归纳假设,不是数学归纳法.故选 D. 7.下列推理正确的是(D) A.把 a(b+c)与 loga(x+y)类比,则有:loga(x+y)=logax+logay B.把 a(b+c)与 sin(x+y)类比,则有:sin(x+y)=sin x+sin y C.把(ab) 与(a+b) 类比,则有:(x+y) =x +y
n n n n n

D.把(a+b)+c 与(xy)z 类比,则有:(xy)z=x(yz) 8. 用数学归纳法证明 1 +2 +?+(n-1) +n +(n-1) +?+2 +1 = 从 n=k 到 n=k+1 时,等式左边应添加的式子是(B) A.(k-1) +2k C.(k+1)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

n(2n2+1)
3

时,

B.(k+1) +k

2

2

1 2 D. (k+1)[2(k+1) +1] 3
2 2 2 2 2 2 2

解析:n=k 时,左边=1 +2 +?+(k-1) +k +(k-1) ?+2 +1 ,n=k+1 时,左 边=1 +2 +?+(k-1) +k +(k+1) +k +(k-1) +?+2 +1 , ∴从 n=k 到 n=k+1,左边应添加的式子为(k+1) +k . 9.(2015·江西省六校高三 3 月联考数学文 11)某同学在纸上画出如下若干个三角形: △▲△△▲△△△▲△△△△▲△△△△△▲??若依此规律, 得到一系列的三角形, 则在 前 2015 个三角形中共有▲的个数是(C) A.64 B.63 C.62 D.61
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

解析:前 n 个三角形中共有▲的个数是 1+2+3+?+n+n=

n(n+3)
2

,由

n(n+3)
2
2

=2015,解得 n=62,选 C. 10.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 分别为 a、b、c 边所对的角,若 a、b、c 成等差数列, 则∠B 的范围是(B)

? π? A.?0, ? 4? ?

? π? B.?0, ? 3? ?

? π? C.?0, ? 2? ?

?π ? D.? ,π ? ?2 ?
2 = 3(a +c ) 1 6ac 1 1 - ≥ - = . 8ac 4 8ac 4 2
2 2

解析:∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b,

∴cos B=

a2+c2-b2 = 2ac

a2+c2-?

?a+c? ? ? 2 ?

2ac

π ? π? ∵余弦函数在?0, ?内单调递减,故 0<∠B≤ .故选 B. 2? 3 ? 11.观察数表: 1 2 3 4 ? ? 3 4 4 5 5 6 5??第二行 6??第三行 7??第四行 2 3 4??第一行

? ? ? ? ? ?

第一列 第二列 第三列 第四列 根据数表所反映的规律,第 n 行第 n 列交叉点上的数应为(A) A.2n-1 B.2n+1 C.n -1
2

D.n

2

12.(2015·湖北武汉调研测试)如图是网络工作者经常用来解释网络运作的蛇形模型: 数字 1 出现在第 1 行;数字 2,3 出现在第 2 行;数字 6,5,4(从左至右)出现在第 3 行; 数字 7,8,9,10 出现在第 4 行;?;依此类推,则按网络运作顺序第 n 行第 1 个数(如第 2 行第 1 个数为 2,第 3 行第 1 个数为 4?)是(D)

A. C.

n2-n+1
2

B. D.

n2+n+1
2 2
*

n2+n+2
2

n2-n+2

解析:由题意分析可知,第 n 行总共有 n 个数字,n∈N ,∴第 n 行中最小的数字为 1
3

+(1+2+?+n-1)=1+

n(n-1) n2-n+2
2 = 2

,最大的数字为 .

n2-n+2
2

+n-1=

n2+n
2

,而

第 n 行中第一个出现的数字是行中最小的,即

n2-n+2
2

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分;将正确答案填在题中的横线上) 13.已知 x,y∈R,且 x+y<2,则 x,y 中至多有一个大于 1,在用反证法证明时,假 设应为________. 解析:“至多有一个大于 1”包括“都不大于 1 和有且仅有一个大于 1”,故其对立面 为“x,y 都大于 1”. 答案:x,y 都大于 1 14. 2 2+ =2 3 2 , 3 3 3+ =3 8 3 , 8 4 4+ =4 15 4 , ?, 若 15 6+ =6

a b

a b

(a,b 均为实数),请推测 a=________,b=________. 2 3 4 a 2 2 2 解析:由 2+ ,3+ ,4+ 可以求出 3=2 -1,8=3 -1,15=4 -1,所以在 6+ 中, 3 8 15 b

a=6,b=a2-1=62-1=35.
答案:6 35

15.如图,对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次幂进行如下方式的“分裂”:

仿此,5 的“分裂”中最大的数是________,5 的“分裂”中最小的数是________. 解析:依题意推知:

2

3

因此 5 的“分裂”中最大的数为 9,5 的“分裂”中最小的数为 21. 答案:9 21

2

3

16.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12 成等差数列.类
4

比以上结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4,________,________, 成等比数 列. 解析:由于等差数列与等比数列具有类比性,且等差数列与和差有关,等比数列与积商 有关, 因此当等差数列依次每 4 项之和仍成等差数列时, 类比到等比数列为依次每 4 项的积 的商成等比数列.即 T4, , 答案:

T16 T12

T8 T12 T16 , 成等比数列. T4 T8 T12

T8 T12 T4 T8

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分;解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演 算步骤) 17.(本小题满分 11 分)如图所示,设 SA、SB 是圆锥 SO 的两条母线,O 是底面圆心,C 是 SB 上一点,求证:AC 与平面 SOB 不垂直.

证明:假设 AC⊥平面 SOB,因为直线 SO 在平面 SOB 内,所以 SO⊥AC,因为 SO⊥底面圆

O,所以 SO⊥AB,因为 AB∩AC=A,所以 SO⊥平面 SAB.
所以平面 SAB∥底面圆 O,这显然与平面 SAB 与底面圆 O 相交矛盾,所以假设不成立, 即 AC 与平面 SOB 不垂直. 18.(本小题满分 11 分)已知:A,B 都是锐角,且 A+B≠90°,(1+tan A)(1+tan B) =2.求证:A+B=45°. 证明:∵(1+tan A)(1+tan B)=2, 展开化简为 tan A+tan B=1-tan Atan B. ∵A+B≠90°,tan(A+B)= tan A+tan B =1. 1-tan Atan B

又∵A,B 都是锐角,∴0°<A+B<180°. ∴A+B=45°. 19. (本小题满分 12 分)已知 a>0, b>0, 2c>a+b, 求证: c- c -ab<a<c+ c -ab. 证明:要证 c- c -ab<a<c+ c -ab, 只需证- c -ab<a-c< c -ab, 即证|a-c|< c -ab,
5
2 2 2 2 2 2 2

只需证(a-c) <( c -ab) , 只需证 a -2ac+c <c -ab,即证 2ac>a +ab,因为 a>0,所以只需证 2c>a+b. 因为 2c>a+b 成立. 所以原不等式成立. 20.(本小题满分 12 分)已知△ABC 的三边长都是有理数,求证: (1)cos A 是有理数; (2)对任意正整数 n, cos nA 和 sin A·sin nA 是有理数. 证明:(1)由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知 cos A=
2 2 2 2

2

2

2

AB2+AC2-BC2 是有理数. 2AB·AC

(2)用数学归纳法证明 cos nA 和 sin A·sin nA 都是有理数. ①当 n=1 时,由(1)知 cos A 是有理数,从而有 sin A·sin nA=1-cos A 也是有理数. ②假设当 n=k(≥1)时,cos kA 和 sin A·sin kA 都是有理数. 当 n=k+1 时, 由 cos(k+1)A=cos A·cos kA-sin A·sin kA, sin A·sin(k+1)A =sin A·(sin A·cos kA+cos A·sin kA) =(sin A·sin A)·cos kA+(sin A·sin kA)·cos A,由①和归纳假设,知 cos(k+ 1)A 和 sin A·sin(k+1)A 都是有理数. 即当 n=k+1 时,结论成立. 综合①②可知,对任意正整数 n,cos nA,sin A·sin nA 是有理数. |a|+|b| |a+b| 21.(本小题满分 12 分)已知 a、b∈R,求证: ≥ . 1+|a|+|b| 1+|a+b| 证明: 设 f(x)= , x∈[0, +∞). 设 x1、 x2 是[0, +∞)上的任意两个实数, 且 0≤x1<x2, 1+x
2

x

x2 x1 x2-x1 则 f(x2)-f(x1)= - = . 1+x2 1+x1 (1+x1)(1+x2)
因为 x2>x1≥0,所以 f(x2)>f(x1). 所以 f(x)= 在[0,+∞)上是增函数.(大前提) 1+x 由|a|+|b|≥|a+b|≥0(小前提) 知 f(|a|+|b|)≥f(|a+b|) 即 |a|+|b| |a+b| ≥ 成立. 1+|a|+|b| 1+|a+b|

x

an 1 22.(本小题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn= + -1,且 an>0,n∈ 2 an
6

N*.
(1)求 a1,a2,a3; (2)猜想{an}的通项公式,并用数学归纳法证明.

a1 1 2 解析:(1)a1=S1= + -1,即 a1+2a1-2=0, 2 a1
∵an>0,∴a1= 3-1.

a2 1 S2=a1+a2= + -1,即 a2 5- 3. 2+2 3a2-2=0,∴a2= 2 a2 a3 1 S3=a1+a2+a3= + -1, 2 a3
即 2a3+2 5a3-2=0,∴a3= 7- 5. (2)由(1)猜想 an= 2n+1- 2n-1,n∈N . 下面用数学归纳法证明: ①当 n=1 时,由(1)知 a1= 3-1 成立. ②假设 n=k(k∈N )时,ak= 2k+1- 2k-1成立. 当 n=k+1 时,ak+1=Sk+1-Sk=? ∴ak+1+2 2k+1ak+1-2=0. ∴ak+1= 2(k+1)+1- 2(k+1)-1.即当 n=k+1 时猜想也成立. 综上可知,猜想对一切 n∈N 都成立.
* 2 * * 2

?ak+1+ 1 -1?-?ak+ 1 -1?=ak+1+ 1 - 2k+1. ? ? ? ? 2 ak+1 ? ? 2 ak ? 2 ak+1

7


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