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揭阳市2016届高中三年级学业水平考试(理数参考答案)


揭阳市 2016 届高中三年级学业水平考试 数学(理科)参考答案
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时, 如果后续部分的解答未改变该题的内 容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 y 续部分的解答

有较严重的错误,就不再给分. x= 2 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. Q' Q 四、只给整数分数. 一、选择题:D D A B A C C B C D C D F( 2, 0) 解析:7.由函数 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ? 2 对称得 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , F ' O 则 f (m ? 4) ? ? f (4 ? m) ? ? f [2 ? (2 ? m)] ? ? f [2 ? (2 ? m)] ? ? f (m) ? ?3 .

x

1 1 1 ? cos 4 x 1 2 ? (1 ? cos 4 x) , 8. f ( x) ? cos x sin x ? ( sin 2 x) ? ? 2 4 2 8 1 ? 故 f ( x) max ? , T ? . 4 2 9.依题意知,设汽车 x 年后的价值为 S ,则 S ? 15(1 ? 20%) x ,结合程序 框图易得当 n ? 4 时, S ? 15(1 ? 20%)4 ? 6.144 .
2 2

y2 = 8x

P

10.依题意知该几何体如右图示: 故其表面积为 3 ? 6 ?
2

3 2 3 ?6 ? ? (6 2)2 ? 162 ? 18 3 . 2 4

11. 圆 x2 ? y 2 ? 2 3x ? 4 3 y ? 7 ? 0 即 ( x ? 3)2 ? ( y ? 2 3)2 ? (2 2)2 , 所 以

C(?

3 , 2, 3 )

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 4 1 ? ? ,所以圆心 C 到直线 | AC |?| BC |? 2 2 ,由 AC ? BC ? 4 得 cos ?ACB ? ???? ???? | AC | ? | BC | 2

| a ?3 3 | ? ? 2 2 cos ? 6 ,故 a ? 3 或 5 3 . 6 2 3 2 3 2 12. 函数 f ( x) ? ?2 x ? ax ? 1存在唯一的零点, 即方程 2 x ? ax ? 1 ? 0 有唯一的实根 ?
x ? y ? a ? 0 的距离 d ?
直线 y ? a 与函数 g ( x) ?

2 x3 ? 1 2( x3 ? 1) g '( x ) ? 的图象有唯一的交点,由 ,可得 g ( x) 在 x2 x3 (??, ?1) 上单调递增,在 (?1, 0) 上单调递减,在 (0, ??) 上单调递增,所以当 x ? ?1 时,
g ( x) 有极小值,g ( x)极小 ? g (?1) ? ?3 , 故当 a ? ?3 时, 直线 y ? a 与函数 g ( x) ?

2 x3 ? 1 x2

的图象有唯一的交点.

a ,若 a ? 0 显然 f ( x ) 存在唯一的 3 a a 零 点 , 若 a ? 0 , f ( x ) 在 (??, 0) 和 ( , ??) 上 单 调 递 减 , 在 ( 0, )上 单 调 递 增 , 且 3 3 f (0) ? 1 ? 0, 故 f ( x) 存 在 唯 一的 零 点 ,若 a ? 0 , 要 使 f ( x) 存 在 唯 一 的 零点, 则 有

[ 或因 f ?( x) ? ?6x2 ? 2ax, 由 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 或 x ?

1

a f ( ) ? 0, 解得 a ? ?3 ,综上得 a ? ?3 . ] 3

??1,(n ? 1) ? 二、填空题:13. 9;14. 20;15. 2 2 ;16. ? 1 . ? n(n ? 1) .(n ? 2) ? 解析:15.设正方体的棱长为 x ,把半球补成全球,则问题为长、宽、高分别为 x 、 x 、 2 x
的长方体内接于球, 解得 x ? ? x2 ? x2 ? (2x)2 ? (2 3)2 , 16.由 所以正方体的体积为 2 2 . 2,

an ?1 1 1 1 ? Sn ? ? ? ?1 ? ? ?1 ? (n ? 1) ? (?1) ? ?n , Sn?1 Sn Sn S n ?1

??1, (n ? 1) 1 ? . Sn ? ? ? an ? ? 1 n ? n(n ? 1) .(n ? 2) ?
三、解答题: 17.解: (I)∵ A 、 C 为 ?ABC 的内角, 由 3c sin A ? a cos C 知 sin A ? 0,cos C ? 0 ,结合正弦定理可得:

3 sin A a sin A ------------------------------------------------------------3 分 ? ? cos C c sin C

? tan C ?
∵0 ? C ??

3 ,-----------------------------------------------------------------4 分 3
∴C ?

?
6

.--------------------------------------------------------5 分

(II)解法 1:∵ c ? 2a , b ? 2 3 , 由余弦定理得: 4a ? a ? 12 ? 4 3a ?
2 2

3 ,----------------------------------------7 分 2

整理得: a ? 2a ? 4 ? 0
2

解得: a ?

?2 ? 2 5 ? ?1 ? 5 (其中负值不合舍去)--------------------------------9 分 2
1 ab sin C 得 2

∴ a ? 5 ? 1 ,由 S?ABC ?

1 1 3( 5 ? 1) ?ABC 的面积 S?ABC ? ? ( 5 ? 1) ? 2 3 ? ? .-------------------------12 分 2 2 2
【解法 2:由 c ? 2a 结合正弦定理得: sin A ?

1 1 sin C ? ,--------------------------6 分 2 4

2

∵ a ? c, ∴ A ? C ,

∴ cos A ? 1 ? sin A ?
2

15 ,------------------------------7 分 4

∴ sin B ? sin[? ? ( A ? C )] ? sin( A ? C )

1 3 15 1 15 ? 3 ? sin A cos C ? cos A sin C = ? ,--------------------------9 分 ? ? ? 4 2 4 2 8
由正弦定理得: a ?

b sin A ? 5 ? 1 ,---------------------------------------------10 分 sin B

∴ ?ABC 的面积 S?ABC ?

1 1 1 3( 5 ? 1) . -----------12 分】 ab sin C ? ? ( 5 ? 1) ? 2 3 ? ? 2 2 2 2

18.解: (I)当 n ? 20 时, f (n) ? 500 ? 20 ? 200 ? (n ? 20) ? 200n ? 6000 --------------2 分 n ? 19 时, f (n) ? 500 ? n ? 100 ? (20 ? n) ? 600n ? 2000 --------------------------4 分 当 所以 f (n) ? ?

? 200n ? 6000(n ? 20) (n ? N ) ----------------------------------------5 分 ?600n ? 2000 (n ? 19)

(II)由(1)得 f (18) ? 8800, f (19) ? 9400, ---------------------------------------6 分 f (20) ? 10000, f (21) ? 10200, f (22) ? 10400, -------------------------------------7 分

? P( X ? 8800) ? 0.1, P( X ? 9400) ? 0.2, P( X ? 10000) ? 0.3, P( X ? 10200) ? 0.3, P( X ? 10400) ? 0.1, -----------------------9 分 X 的分布列为
X
P
分 19.(I)证法 1:连结 AC1,设 AC1 与 A1C 相交于点 E,连接 DE, 则 E 为 AC1 中点,-------------------------------2 分 ∵D 为 AB 的中点,∴DE∥BC1,------------------4 分 ∵BC1 ? 平面 A1CD,DE ? 平面 A1CD,-------------5 分 ∴BC1∥平面 A1CD. ------------------------------6 分 【证法 2:取 A1B1 中点 D1 ,连结 BD1 和 C1D1 ,------1 分 ∵ BD 平行且等于 A1D1 ∴ A1D / / BD1 ∴四边形 BD A1D1 为平行四边形
B B1 D C E C1

8800

9400

10000

10200

10400

0.1

0.2

0.3
A

0.3

0.1

? EX ? 8800 ? 0.1 ? 9400 ? 0.2 ? 10000 ? 0.3 ? 10200 ? 0.3 ? 10400 ? 0.1 ? 9860. ------12
A1

-----------------------------------------------------------------2 分
A D1 C B B1 C1 A1

∵ A1D ? 平面 ACD , BD1 ? 平面 ACD 1 1 ∴ BD1 / / 平面 ACD ,------------------------------3 分 1 同理可得 C1D1 / / 平面 ACD ------------------------4 分 1 ∵ BD1 ? C1D1 ? D1

/ / 平面 BD1C1 ∴平面 ACD 1

D

又∵ BC1 ? 平面 BD1C1 ∴BC1∥平面 A1CD. ------------------------------6 分】

3

2 (II) ? AD2 +A =A1D2 1A = 5

\ A1 A^ A D , -------------------------------------7 分
, \ A1 A^ B C

又 B1B ^ BC, B1B / / A1 A 又 AD ? BC ? B

\ A1 A ^ 面 ABC -------------------------------------------8 分

法一:设 BC 的中点为 O, B1C1 的中点为 O1 ,以 O 为原点, OB 所在的直线为 x 轴, OO1 所在的直线为 y 轴, OA 所在的直线为 z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz .---------------9 分

骣 1 3÷ ÷ ? 则 A1 0, 2, 3 , D ? ? , 0, ÷.

(

)

z A A1

? 2 桫

2 ÷

???? ? ∴ A1D ? ( 1 ,?2,? 3 ),--------------------10 分 2 2

D
O

? 平面 CBB1C1 的一个法向量 n = (0,0,1),

C
O1

C1 y

?????? ??? ???? ? ? | A1 D ? n | 15 ??? ? | cos ? A1 D,n ?|? ?????? . 10 | A1 D | ? | n |

x

B

B1

所以直线 A1D 与平面 CBB1C1 所成角的正弦值为

15 .-------------------------------12 分 10
A A1

【法二:取 B1C1 的中点 H ,连结 A1H ,则 A 1H ? B 1C1 -------------------------------7 分 ∵ AA1 ? 面 A1B1C1 ,故 AA 1 ? A 1H ,? BB 1 ? A 1H
D

? B1C1 ? BB1 ? B1 ,? A1H ? 面 BCC1B1 ------9 分
延长 A1D 、 B1B 相交于点 F ,连结 FH ,
F B

C H B1

C1

则 ?A 1FH 为直线 A 1 所成的角. ------------------------------------10 分 1 D 与平面 BCC1B 因为 D 为 AB 的中点,故 A 1F ? 2 5 ,又 A 1H ? 3

?sin ?A1FH ?

3 15 ? 2 5 10
15 .------------------------------12 分】 10

即直线 A1D 与平面 BCC1B1 所成的角的正弦值为

【法三:取 B1C1 的中点 H ,连结 A1H ,则 A 1H ? B 1C1 -------------------------------7 分 ∵ AA1 ? 面 A1B1C1 ,故 AA 1 ? A 1H ,? BB 1 ? A 1H

4

? B1C1 ? BB1 ? B1 ,? A1H ? 平面 BCC1B1 ------------------------------------------9 分
取 A1B1 中点 M,连结 BM,过点 M 作 MN / / A 1H ,则 MN ? 平面 BCC1B 1, 连结 BN,∵ A 1 D / / BM , ∴ ?MBN 为直线 A1D 与平面 BCC1B1 所成的角,---10 分
D C B B1 N H A A1 M C1

1 AH MN 2 1 3 15 ? ? ? ∵ sin ?MBN ? , BM A1 D 2 5 10
即直线 A1D 与平面 BCC1B1 所成的角的正弦值为

15 .------------------------------12 分】 10

20.解: (I)设椭圆 C 的方程为

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a2 b2

则由题意知 2b = 2, \ b = 1. -------------------------------------------------------2 分

1 2 5 a 2 ? b2 2 5 ? 1? 2 ? ? 2 a 5 a 5
解得 a ? 5 ,--------------------------------------------------------------------4 分
2

∴椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. ---------------------------------------------------5 分 5

(II)证法 1:设 A、B、M 点的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (0, y0 ) , 易知 F 点的坐标为(2,0). ------------------------------------------------------6 分 显然直线 l 的斜率存在,设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程是 y ? k ( x ? 2) ,----------7 分 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中,消去 y 并整理得

(1 ? 5k 2 ) x2 ? 20k 2 x ? 20k 2 ? 5 ? 0 ------------------------------------------------9 分
? x1 ? x 2 ? 20k 2 20k 2 ? 5 , x x ? . -------------------------------------------10 分 1 2 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2
x1 x2 , ?2 ? . 2 ? x1 2 ? x2

又? MA ? ?1 AF, MB ? ?2 BF, 将各点坐标代入得 ?1 ?

40k 2 40k 2 ? 10 ? 2 2 x x 2( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? ?1 ? ?2 ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 5k 2 1 ? 5k ? ?10. -------12 2 40k 20k ? 5 2 ? x1 2 ? x2 4 ? 2( x1 ? x2 ) ? x1 x2 4? ? 1 ? 5k 2 1 ? 5k 2

5

【证法二:设点 A、B、M 的坐标分别为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M (0, y0 ). 易知 F 点的坐标为(2,0). ------------------------------------------------------6 分

? MA ? ?1 AF ,? ( x1 , y1 ? y 0 ) ? ?1 (2 ? x1 ,? y1 ). ∴ x1 ?

y 2?1 , y1 ? 0 . ------------7 分 1 ? ?1 1 ? ?1

将 A 点坐标代入到椭圆方程中,得 (

y 1 2?1 2 ) ? ( 0 ) 2 ? 1. 去分母整理得 5 1 ? ?1 1 ? ?1

2 2 ?1 ? 10?1 ? 5 ? 5 y0 ? 0. --------------------------------------------------------9 分

同理,由 MB ? ?2 BF 可得 ?2 2 ? 10?2 ? 5 ? 5 y0 2 ? 0 ---------------------------------10 分 即 是方程? 2? 10? ? 5 ? 5 y
2 0

? 0 的两个根,? ?1 ? ?2 ? ?10. -------------------12 分】

21.解: (I)∵ f ?( x ) ?

a b ? , 且直线 y ? 2 的斜率为 0,又过点 (1, 2) , x x2

? f (1) ? 2, ? ∴? 1 -------------------------------------------------------------------2 分 ? f (1) ? , ? ? 2
即?

?b ? 1, 解得 a ? 1, b ? 1. -----------------------------------------------------3 分 ?a ? b ? 0,
( x ? k ) ln x x2 ?1 x2 ?1 ? ( x ? 1) ln x ? ? ( x ? k ) ln x ? (k ? 1) ln x ? ? 0. ----------------5 分 x ?1 x x

(II)当 x ? 1 时,不等式
f ( x) ?

令 g ( x) ? (k ? 1) ln x ?
2

x2 ? 1 k ?1 1 x 2 ? (k ? 1) x ? 1 , g ?( x) ? ?1? 2 ? ,----------------7 分 x x x x2

令 m( x) ? x ? (k ?1) x ? 1 ,

?1 , ? 2

①当

1? k ? 1, 即 k ? ?1 时 , m( x) 在 (1, ??) 单 调 递 增 且 m(1)? 0, 所 以 当 x ? 1 时 , 2 ( x ? k ) ln x g ?( x ) ? 0, g ( x) 在 (1, ??) 单 调 递 增 , ? g ( x) ? g (1) ? 0. 即 f ( x) ? 恒成 x ?1 1? k 1? k 1? k ? 1, 即 k ? ?1 时, ) 上单调递减, ) m( x) 在上 (1, 且 m(1) ? 0 , 故当 x ? (1, 2 2 2

立.------------9 分 ②当

时, m( x) ? 0 即 g ?( x) ? 0, 所以函数 g ( x) 在 (1,

1? k ) 单调递减,----------------------------------------------10 分 2

6

当 x ? (1,

1? k ) 时, g ( x) ? 0, 与题设矛盾, 2

综上可得 k 的取值范围为 [?1, ??). ------------------------------------------------12 分 22.解: (I)? EP 与⊙O 相切于点 A,??ACB ? ?PAB ? 250 ,-----------------------1 分 又 BC 是⊙O 的直径,??ABC ? 650 ----------------------------------------------3 分

? 四边形 ABCD 内接一于⊙O,??ABC ? ?D ? 1800
??D ? 1150. -------------------------------------------------------------------5 分
(II)? ?DAE ? 250 , ??ACD ? ?PAB, ?D ? ?PBA,

??ADC ? ?PBA. --------------------------------------------------------------7 分 DA DC ? ? . ------------------------------------------------------------------8 分 BP BA
又 DA ? BA, ? DA2 ? DC ? BP. --------------------------------------------------10 分 23.解: (I)直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 4 ? 0 ,------------------------------------2 分 曲线 C 的直角坐标系方程为 x 2 ? y 2 ? 16. -------------------------------------------4 分 (II)⊙C 的圆心(0,0)到直线 l : 3x ? y ? 4 ? 0 的距离

d?
∴ cos

4 ( 3) 2 ? 12

? 2, ------------------------------------------------------------6 分

1 2 1 ?AOB ? ? , --------------------------------------------------------8 分 2 4 2 1 ? ∵ 0 ? ?AOB ? , 2 2 1 ? 2? ? ?AOB ? , 故 ?AOB ? .-----------------------------------------------10 分 2 3 3
24.解: (I)由题意,得 f ( x) ? f ( x ? 1) ?| x ? 1| ? | x ? 2 | , 因此只须解不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? 2 ---------------------------------------------1 分

1 ? x ? 1 ;------------------------------------2 分 2 当 1 ? x ? 2 时,原不式等价于 1≤2,即 1 ? x ? 2 ;-----------------------------------3 分 5 当 x>2 时,原不式等价于 2x-3≤2,即 2 ? x ? .-------------------------------------4 分 2
当 x≤1 时,原不式等价于-2x+3≤2,即

7

综上,原不等式的解集为 ? x |

? ?

1 5? ? x ? ? . -----------------------------------------5 分 2 2?

(II)由题意得 f (ax) ? af ( x) ? ax ? 2 ? a x ? 2 ------------------------------------6 分 = ax ? 2 ? 2a ? ax ? ax ? 2 ? 2a ? ax ---------------------------------------------8 分

? 2a ? 2 ? f (2a). --------------------------------------------------------------9 分
所以 f (ax) ? af ( x) ? f (2a) 成立.------------------------------------------------10 分

8


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