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初高中衔接

时间:2011-09-03


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好学者智,善思者康

第二讲 因式分解
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形, 它与整式乘法是相反方向的变形. 在分式运 算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用.是一种重要的基本技能. 因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完 全平方公式)外,还有公式法(立方和、立

方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等.

一、公式法(立方和、立方差公式)
在第一讲里,我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式:

(a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 (立方和公式) (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 (立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,就得到:

a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 )
这就是说,两个数的立方和(差),等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的 差(和). 运用这两个公式,可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解. 【例 1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式: (1) 8 ? x
3

(2) 0.125 ? 27b
3

3

分析: (1)中, 8 ? 2 ,(2)中 0.125 ? 0.5 , 27b ? (3b) .
3 3 3

解:(1) 8 ? x ? 2 ? x ? (2 ? x)(4 ? 2 x ? x )
3 3 3 2

(2) 0.125 ? 27b ? 0.5 ? (3b) ? (0.5 ? 3b)[0.5 ? 0.5 ? 3b ? (3b) ]
3 3 3 2 2

? (0.5 ? 3b)(0.25 ? 1.5b ? 9b2 )
说 明 : (1) 在 运 用 立 方 和 ( 差 ) 公 式 分 解 因 式 时 , 经 常 要 逆 用 幂 的 运 算 法 则 , 如

8a3b3 ? (2ab)3 ,这里逆用了法则 (ab)n ? an bn ;(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时,
一定要看准因式中各项的符号. 【例 2】分解因式: (1) 3a b ? 81b
3 4

(2) a ? ab
7

6

分析: 中应先提取公因式再进一步分解; 中提取公因式后, (1) (2) 括号内出现 a ? b ,
6 6

可看着是 (a ) ? (b ) 或 (a ) ? (b ) .
3 2 3 2 2 3 2 3

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解:(1) 3a3b ? 81b4 ? 3b(a3 ? 27b3 ) ? 3b(a ? 3b)(a2 ? 3ab ? 9b2 ) . (2) a7 ? ab6 ? a(a6 ? b6 ) ? a(a3 ? b3 )(a3 ? b3 )

? a(a ? b)(a 2 ? ab ? b2 )(a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 ) ? a(a ? b)(a ? b)(a 2 ? ab ? b 2 )(a 2 ? ab ? b2 )
二、分组分解法
从前面可以看出,能够直接运用公式法分解的多项式,主要是二项式和三项式.而对于 四项以上的多项式, ma ? mb ? na ? nb 既没有公式可用, 如 也没有公因式可以提取. 因此, 可以先将多项式分组处理. 这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法. 分组分解法的 关键在于如何分组. 1.分组后能提取公因式 【例 3】把 2ax ? 10ay ? 5by ? bx 分解因式. 分析:把多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使两组的项按 x 的降幂排列,然 后从两组分别提出公因式 2a 与 ?b ,这时另一个因式正好都是 x ? 5 y ,这样可以继续提取 公因式. 解: 2ax ? 10ay ? 5by ? bx ? 2a( x ? 5 y) ? b( x ? 5 y) ? ( x ? 5 y)(2a ? b) 说明:用分组分解法,一定要想想分组后能否继续完成因式分解,由此合理选择分组的 方法.本题也可以将一、四项为一组,二、三项为一组,同学不妨一试. 【例 4】把 ab(c ? d ) ? (a ? b )cd 分解因式.
2 2 2 2

分析:按照原先分组方式,无公因式可提,需要把括号打开后重新分组,然后再分解因 式. 解: ab(c ? d ) ? (a ? b )cd ? abc ? abd ? a cd ? b cd
2 2 2 2 2 2 2 2

? (abc2 ? a2 cd ) ? (b2 cd ? abd 2 )
? ac(bc ? ad ) ? bd (bc ? ad ) ? (bc ? ad )(ac ? bd )
说明:由例 3、例 4 可以看出,分组时运用了加法结合律,而为了合理分组,先运用了 加法交换律,分组后,为了提公因式,又运用了分配律.由此可以看出运算律在因式分解中 所起的作用. 2.分组后能直接运用公式 【例 5】把 x ? y ? ax ? ay 分解因式.
2 2

分析: 把第一、 二项为一组, 这两项虽然没有公因式, 但可以运用平方差公式分解因式, 其中一个因式是 x ? y ; 把第三、 四项作为另一组, 在提出公因式 a 后, 另一个因式也是 x ? y . 解: x ? y ? ax ? ay ? ( x ? y)( x ? y) ? a( x ? y) ? ( x ? y)( x ? y ? a)
2 2

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【例 6】把 2x2 ? 4xy ? 2 y 2 ? 8z 2 分解因式.

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分析:先将系数 2 提出后,得到 x2 ? 2 xy ? y 2 ? 4 z 2 ,其中前三项作为一组,它是一 个完全平方式,再和第四项形成平方差形式,可继续分解因式. 解: 2x2 ? 4xy ? 2 y 2 ? 8z 2 ? 2( x2 ? 2 xy ? y 2 ? 4z 2 )

? 2[( x ? y)2 ? (2z)2 ] ? 2( x ? y ? 2z)( x ? y ? 2z)
说明:从例 5、例 6 可以看出:如果一个多项式的项分组后,各组都能直接运用公式或 提取公因式进行分解,并且各组在分解后,它们之间又能运用公式或有公因式,那么这个多 项式就可以分组分解法来分解因式.

三、十字相乘法
1. x2 ? ( p ? q) x ? pq 型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现,其特点是: (1) 二次项系数是 1;(2) 常数项是两个数之积;(3) 一次项系数是常数项的两个因数之 和.

x2 ? ( p ? q) x ? pq ? x2 ? px ? qx ? pq ? x( x ? p) ? q( x ? p) ? ( x ? p)( x ? q)
因此, x2 ? ( p ? q) x ? pq ? ( x ? p)( x ? q) 运用这个公式,可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式. 【例 7】把下列各式因式分解: (1) x ? 7 x ? 6
2

(2) x ? 13x ? 36
2

解:(1) ? 6 ? (?1) ? (?6),(?1) ? (?6) ? ?7

? x2 ? 7 x ? 6 ? [x ? ( ?1 ) x [ ? ? 6 )? ] ( x ]
(2) ? 36 ? 4 ? 9, 4 ? 9 ? 13

(? x 1.( )?

6)

? x2 ? 13x ? 36 ? ( x ? 4)( x ? 9)
说明:此例可以看出,常数项为正数时,应分解为两个同号因数,它们的符号与一次项 系数的符号相同. 【例 8】把下列各式因式分解: (1) x ? 5 x ? 24
2

(2) x ? 2 x ? 15
2

解:(1) ? ? 24 ? (?3) ? 8,(?3) ? 8 ? 5

? x2 ? 5x ? 2 4 ? x ? (? 3 )x] ( ? 8?x (? x 3 )? [ ) (
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(2) ? ? 15 ? (?5) ? 3,(?5) ? 3 ? ?2

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? x2 ? 2x ? 1 5 ? x ? (? 5 )x] ( ? [

3?x (? x 5 )? ) (

3)

说明:此例可以看出,常数项为负数时,应分解为两个异号的因数,其中绝对值较大的 因数与一次项系数的符号相同. 【例 9】把下列各式因式分解: (1) x2 ? xy ? 6 y 2 (2) ( x2 ? x)2 ? 8( x2 ? x) ? 12

分析:(1) 把 x2 ? xy ? 6 y 2 看成 x 的二次三项式,这时常数项是 ?6y 2 ,一次项系数是

y ,把 ?6y 2 分解成 3y 与 ?2y 的积,而 3 y ? (?2 y) ? y ,正好是一次项系数.
(2) 由换元思想,只要把 x ? x 整体看作一个字母 a ,可不必写出,只当作分解
2

二次三项式 a ? 8a ? 12 .
2

解:(1) x2 ? xy ? 6 y 2 ? x2 ? yx ? 62 ? ( x ? 3 y)( x ? 2 y) (2) ( x2 ? x)2 ? 8( x2 ? x) ? 12 ? ( x2 ? x ? 6)( x2 ? x ? 2)

? ( x ? 3)( x ? 2)( x ? 2)( x ? 1)
2.一般二次三项式 ax ? bx ? c 型的因式分解
2

大家知道, (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) ? a1a2 x2 ? (a1c2 ? a2 c1 ) x ? c1c2 . 反过来,就得到: a1a2 x2 ? (a1c2 ? a2 c1 ) x ? c1c2 ? (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) 我们发现, 二次项系数 a 分解成 a1a2 , 常数项 c 分解成 c1c2 , a1 a2 c1c2 把 , , ,
2

写成

a1 a2

c ?c12 ,

这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到 a1c2 ? a2 c1 ,如果它正好等于 ax ? bx ? c 的一次项 系数 b , 那么 ax ? bx ? c 就可以分解成 (a1 x ? c1 )(a2 x ? c2 ) , 其中 a1 , c1 位于上一行,a2 , c2
2

位于下一行. 这种借助画十字交叉线分解系数, 从而将二次三项式分解因式的方法, 叫做十字相乘法. 必须注意,分解因数及十字相乘都有多种可能情况,所以往往要经过多次尝试,才能确 定一个二次三项式能否用十字相乘法分解. 【例 10】把下列各式因式分解: (1) 12 x ? 5x ? 2
2

(2) 5x ? 6 xy ? 8 y
2

2

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解:(1) 12 x2 ? 5x ? 2 ? (3x ? 2)(4 x ? 1)

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3 4

??12

(2) 5x2 ? 6xy ? 8 y 2 ? ( x ? 2 y)(5x ? 4 y)

1 2y 5 ?4 y

?

说明:用十字相乘法分解二次三项式很重要.当二次项系数不是 1 时较困难,具体分解 时,为提高速度,可先对有关常数分解,交叉相乘后,若原常数为负数,用减法”凑”,看是 否符合一次项系数,否则用加法”凑”,先”凑”绝对值,然后调整,添加正、负号.

四、其它因式分解的方法
1.配方法 【例 11】分解因式 x ? 6 x ? 16
2

解: x2 ? 6x ? 16 ? x2 ? 2 ? x ? 3 ? 32 ? 32 ? 16 ? ( x ? 3)2 ? 52

? ( x ? 3 ? 5)( x ? 3 ? 5) ? ( x ? 8)( x ? 2)
说明: 这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法, 配方后将二次三项式化为两个平 方式,然后用平方差公式分解.当然,本题还有其它方法,请大家试验. 2.拆、添项法 【例 12】分解因式 x ? 3x ? 4
3 2

分析:此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式,分组也不易进行.细查式中无一 次项,如果它能分解成几个因式的积,那么进行乘法运算时,必是把一次项系数合并为 0 了,可考虑通过添项或拆项解决. 解: x ? 3x ? 4 ? ( x ? 1) ? (3x ? 3)
3 2 3 2

? ( x ? 1)( x2 ? x ? 1) ? 3( x ? 1)( x ? 1) ? ( x ? 1)[( x2 ? x ? 1) ? 3( x ? 1)] ? ( x ? 1)( x2 ? 4x ? 4) ? ( x ? 1)( x ? 2)2
说明:本解法把原常数 4 拆成 1 与 3 的和,将多项式分成两组,满足系数对应成比例, 造成可以用公式法及提取公因式的条件.本题还可以将 ?3x 拆成 x ? 4 y ,将多项式分成
2

2

2

3 2 两组 ( x ? x ) 和 ?4 x ? 4 .
2

一般地,把一个多项式因式分解,可以按照下列步骤进行: (1) 如果多项式各项有公因式,那么先提取公因式; (2) 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解; (3) 如果用上述方法不能分解, 那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解; (4) 分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.

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A 1.把下列各式分解因式: (1) a ? 27
3


组 (3) ?27 x ? 8
3

(2) 8 ? m
3

3

(4) ?

1 3 1 3 p ? q 8 64

(5) 8 x y ?
3

1 125

(6)

1 3 3 1 3 x y ? c 216 27

2.把下列各式分解因式: (1) xy3 ? x4 (3) a 2 (m ? n)3 ? a 2 b3 3.把下列各式分解因式: (1) x ? 3x ? 2
2

(2) xn?3 ? xn y3 (4) y 2 ( x2 ? 2 x)3 ? y 2

(2) x ? 37 x ? 36
2

(3) x ? 11x ? 26
2
2

(4) x ? 6 x ? 27
2

(5) m ? 4mn ? 5n
2

(6) (a ? b)2 ? 11(a ? b) ? 28

4.把下列各式分解因式: (1) ax ? 10ax ? 16ax
5 4 3

(2) a

n?2

? a n?1b ? 6a n b2

(3) ( x2 ? 2 x)2 ? 9 (6) 8x ? 26xy ? 15 y
2 2

(4) x ? 7 x ? 18
4 2

(5) 6 x ? 7 x ? 3
2

(7) 7(a ? b) ? 5(a ? b) ? 2
2

(8) (6 x ? 7 x) ? 25
2 2

5.把下列各式分解因式: (1) 3ax ? 3ay ? xy ? y
2 2

2

2 (2) 8 x ? 4 x ? 2 x ? 1 (3) 5x ? 15x ? 2 xy ? 6 y
3 2

(4) 4a ? 20ab ? 25b ? 36 (7) x ? y ? 2x ? 1
6 6 3

(5) 4 xy ? 1 ? 4 x ? y
2 2

2

(6) a b ? a b ? a b ? ab
4 3 2 2 2

4

(8) x ( x ? 1) ? y( xy ? x) 组 (2) x ? 4mx ? 8mn ? 4n
2 2 2

B 1.把下列各式分解因式: (1) ab(c ? d ) ? cd (a ? b )
2 2 2 2

(3) x ? 64
4

(4) x ? 11x ? 31x ? 21
3

(5) x ? 4 xy ? 2 x y ? 8 y
3 2 2

3

2.已知 a ? b ?

2 , ab ? 2 ,求代数式 a 2 b ? 2a 2 b2 ? ab2 的值. 3
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3.证明:当 n 为大于 2 的整数时, n ? 5n ? 4n 能被 120 整除.
3 2 2 3 4.已知 a ? b ? c ? 0 ,求证: a ? a c ? b c ? abc ? b ? 0 .

第二讲 因式分解答案
A组 1. (a ? 3)(a2 ? 3a ? 9),(2 ? m)(4 ? 2m ? m2 ),(2 ? 3x)(4 ? 6x ? 9x2 ),

?

1 1 2 1 1 (2 p ? q)(4 p 2 ? 2 pq ? q 2 ), (2 xy ? )(4 x 2 y 2 ? xy ? ), ( xy ? 2c)( x 2 y 2 ? 2 xyc ? 4c 2 ) 64 5 5 25 216

2. x( x ? y)( y 2 ? xy ? x2 ), xn ( x ? y)( x2 ? xy ? y 2 ),

a2 (m ? n ? b)[(m ? n)2 ? b(m ? n) ? b2 ], y 2 ( x ? 1)2 ( x4 ? 4x3 ? 3x2 ? 2x ? 1)
3. ( x ? 2)( x ? 1),( x ? 36)( x ? 1),( x ? 13)( x ? 2),( x ? 9)( x ? 3)

( x ? 9)( x ? 3),(m ? 5n)(m ? n),(a ? b ? 4)(a ? b ? 7)
4. 3 ( x ? 2)( x ? 8), an (a ? 3b)(a ? 2b),( x ? 3)( x ? 1)( x2 ? 2x ? 3),( x ? 3)( x ? 3)( x 2 ? 2) ax

( 2x ? 3 ) (x3 ?

1 ) x ( 2y ,?
2

x) ( 4 y 1 5 a ) , ( b ? ? 7 ?

7a 2 ) ( ? b ?

x 1 ) , (x ? ? 2

2

1 )x ? (3

x )(6 ? 5

7

5. ( x ? y)(3a ? y),(2x ? 1) (2x ? 1),( x ? 3)(5x ? 2 y),(2a ? 5b ? 6)(2a ? 5b ? 6)

(1 ? 2x ? y)(1 ? 2x ? y), ab(a ? b)2 (a ? b),( x3 ? 1 ? y3 )( x3 ? 1 ? y3 ), x( x ? y)( x ? y ? 1) .
B组 1. (bc ? ad )(ac ? bd ),( x ? 4m ? 2n)( x ? 2n),( x ? 4 x ? 8)( x ? 4 x ? 8),
2 2

( x ? 1 ) x ? 3 ) (? ( x
2.

7 x ,?( 2 2 x) ( . 2 ) ) y ? y

28 3
5 3

3. n ? 5n ? 4n ? (n ? 2)(n ? 1)n(n ? 1)(n ? 2) 4. a ? a c ? b c ? abc ? b ? (a ? ab ? b )(a ? b ? c)
3 2 2 3 2 2

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