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高中数学复习学(教)案(第11讲)指数函数与对数函数1


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高中数学复习教(学)案

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指数函数和对数函数 题目 第二章函数 指数函数和对数函数 高考要求 1 理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质 2 掌握指数函数的概念、图像和性质 3 理解对数的概念,掌握对数的运算性质; 4 掌握对数函数的概念、图像和性质 能够运用函数的性质、指数函数和 对数函数的性质解决某些简单的实际问题 知识点归纳 1 根式的运算性质:
源 源

新新新 新新 新新
源 源 源 源 源 源 源 源 源 源













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①当 n 为任意正整数时,( n a ) =a
n n

n

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②当 n 为奇数时, a =a;当 n 为偶数时, a =|a|= ?

n

n

? a ( a ≥ 0) ?? a (a < 0)

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np

⑶根式的基本性质:
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a mp = n a m , ≥ 0) (a

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2 分数指数幂的运算性质:

a m ? a n = a m + n (m, n ∈ Q) (a m ) n = a mn (m, n ∈ Q) (ab) n = a n ? b n (n ∈ Q)
3 y = a x ( a > 0且a ≠ 1) 的图象和性质
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a>1

0<a<1

y
图 象

y 1

1 o
(1)定义域:R

x

o

x

性 质

(2)值域: (0,+∞) (3)过点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)在 R 上是增函数 (4)在 R 上是减函数
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4 指数式与对数式的互化: a = N ? log a N = b
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b

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5 重要公式: log a 1 = 0 , log a a = 1
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对数恒等式 a
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log a N

=N
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6 对数的运算法则
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如果 a > 0, a ≠ 1, N > 0, M > 0 有

log a ( MN ) = log a M + log a N
M = log a M ? log a N N m log an M m = log a M n log a
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7 对数换底公式:
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log a N =
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log m N log m a

( a > 0 ,a ≠ 1 ,m > 0 ,m ≠ 1,N>0)

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8 两个常用的推论: ① log a b ? log b a = 1 , ② log a m b =
n
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log a b ? log b c ? log c a = 1
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n log a b ( a, b > 0 且均不为 1) m
a>1

9 对数函数的性质: 0<a<1

y
图 象

y
x

o

1

o

1

x

定义域: (0,+∞) 值域:R 过点(1,0) ,即当 x = 1 时, y = 0 性 质

x ∈ (0,1) 时 y < 0

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x ∈ (0,1) 时
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y>0
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x ∈ (1,+∞) 时 y > 0

x ∈ (1,+∞) 时 y < 0
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在(0,+∞)上是增函数
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源 源 源

在(0,+∞)上是减函数
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10 同底的指数函数 y = a 与对数函数 y = log a x 互为反函数
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x

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11 指数方程和对数方程主要有以下几种类型: (1) af(x)=b?f(x)=logab, logaf(x)=b?f(x)=ab; (定义法) (2) af(x)=ag(x)?f(x)=g(x), logaf(x)=logag(x)?f(x)=g(x)>0 (转化法) (3) af(x)=bg(x)?f(x)logma=g(x)logmb (取对数法) (4) logaf(x)=logbg(x)?logaf(x)=logag(x)/logab(换底法)
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题型讲解





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例 1 计算: (1) (124 + 22 3) 2 ? 27 6 + 16 4 ? 2(8 3 ) ; (2) (lg 2) 2 + lg 2 ? lg 50 + lg 25 ; (3) (log 3 2 + log 9 2) ? (log 4 3 + log 8 3) 解: (1)原式 = (11 + 3)
2× 1 2
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1

1

3

?

2

?1

?3
3



1 6

+2



3 4
2 3

? 2×8

2 ? ×( ?1) 3

= 11 + 3 ? 3 + 2 ? 2 × 2

1 2



= 11 + 3 ? 3 + 8 ? 8 = 11

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(2)原式 = (lg 2) 2 + (1 + lg 5) lg 2 + lg 52 = (lg 2 + lg 5 + 1) lg 2 + 2 lg 5

= (1 + 1) lg 2 + 2 lg 5 = 2(lg 2 + lg 5) = 2
(3)原式 = (

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lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 lg 2 lg 3 lg 3 + )?( + )=( + )?( + ) lg 3 lg 9 lg 4 lg 8 lg 3 2 lg 3 2 lg 2 3lg 2

=

3lg 2 5lg 3 5 ? = 2 lg 3 6 lg 2 4

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例 2 已知 x 2 + x
1 1 2

1

?

1 2

= 3 ,求
1

x 2 + x ?2 ? 2 x +x
3 2 3 ? 2

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的值

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?3

解: x 2 + x ∵

?

= 3 , ( x 2 + x 2 )2 = 9 , x + 2 + x ?1 = 9 , x + x ?1 = 7 , ∴ ∴ ∴
2 ?2

?

1

∴ ( x + x ?1 ) 2 = 49 ,∴ x + x

= 47 ,

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第3页

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新疆奎屯市第一高级中学

王新敞

又∵ x 2 + x ∴

3

?

3 2

= ( x 2 + x 2 ) ? ( x ? 1 + x ?1 ) = 3 ? (7 ? 1) = 18 ,
= 47 ? 2 =3 18 ? 3
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1

?

1

x 2 + x ?2 ? 2 x +x
3 2 3 ? 2

?3
b

例 3 已知 3 = 5 = c ,且
a a

1 1 + = 2 ,求 c 的值 a b

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解:由 3 = c 得: log c 3 = 1 ,即 a log c 3 = 1 ,∴ log c 3 =
a

1 ; a

同理可得

1 1 1 = log c 5 ,∴由 + = 2 得 log c 3 + log c 5 = 2 , b a b
2
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∴ log c 15 = 2 ,∴ c = 15 ,∵ c > 0 ,∴ c = 15

2 2 例 4 设 x > 1 , y > 1 ,且 2 log x y ? 2 log y x + 3 = 0 ,求 T = x ? 4 y 的最
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小值

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解:令 t = log x y ,∵ x > 1 , y > 1 ,∴ t > 0 由 2 log x y ? 2 log y x + 3 = 0 得 2t ?

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2 + 3 = 0 ,∴ 2t 2 + 3t ? 2 = 0 , t
1 1 1 ,即 log x y = ,∴ y = x 2 , 2 2

∴ (2t ? 1)(t + 2) = 0 ,∵ t > 0 ,∴ t =

∴ T = x 2 ? 4 y 2 = x 2 ? 4 x = ( x ? 2) 2 ? 4 , ∵ x > 1 ,∴当 x = 2 时, Tmin = ?4
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例 5 设 a 、 b 、 c 为正数,且满足 a + b = c
2 2

2

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b+c a?c ) + log 2 (1 + ) =1 a b b+c 2 (2)若 log 4 (1 + ) = 1 , log 8 (a + b ? c) = ,求 a 、 b 、 c 的值 a 3 a+b+c a+b?c a+b+c a+b?c 证明: 1) ( 左边 = log 2 + log 2 = log 2 ( ? ) a b a b
(1)求证: log 2 (1 +
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= log2

(a + b)2 ? c2 a2 + 2ab + b2 ? c2 2ab + c2 ? c2 = log2 = log2 = log2 2 = 1; ab ab ab
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王新敞

解: (2)由 log 4 (1 +

∴ ?3a + b + c = 0 ……………① 由 log 8 ( a + b ? c) =

b+c b+c ) = 1 得1 + = 4, a a

2 2 得 a + b ? c = 8 3 = 4 ………… ……………② 3

由① + ②得 b ? a = 2 ……………………………………③ 由①得 c = 3a ? b ,代入 a + b = c 得 2a (4a ? 3b) = 0 ,
2 2 2

∵ a > 0 , ∴ 4a ? 3b = 0 ………………………………④ 由③、④解得 a = 6 , b = 8 ,从而 c = 10
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若 则 例 6(1) a > b > a > 1 , log b
2 x y z

b , b a , a b 从小到大依次为 log log a



(2)若 2 = 3 = 5 ,且 x , y , z 都是正数,则 2 x , 3 y , 5 z 从小 到大依次为 ;
x x

(3)设 x > 0 ,且 a < b < 1 ( a > 0 , b > 0 ) ,则 a 与 b 的大小关系 是( ) A b < a <1
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B a < b <1
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C1< b < a
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D1< a < b
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解: (1)由 a > b > a > 1 得
2 x y z

b b < a ,故 log b < log b a < 1 < log a b a a

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(2)令 2 = 3 = 5 = t ,则 t > 1 , x =

lg t lg t lg t ,y= ,z = , lg 2 lg 3 lg 5

∴ 2x ? 3y =

2 lg t 3lg t lg t ? (lg 9 ? lg 8) ? = > 0 ,∴ 2 x > 3 y ; lg 2 lg 3 lg 2 ? lg 3
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同理可得: 2 x ? 5 z < 0 ,∴ 2 x < 5 z ,∴ 3 y < 2 x < 5 z (3)取 x = 1 ,知选 B
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例 8 已知函数 f ( x ) = a +
x

x?2 (a > 1) , x +1

求证: (1)函数 f ( x ) 在 (?1, +∞) 上为增函数; (2)方程 f ( x ) = 0 没有负数根
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高中数学复习教(学)案

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新疆奎屯市第一高级中学

王新敞

证明: (1)设 ?1 < x1 < x2 , 则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) = a 1 +
x

x1 ? 2 x ?2 ? a x2 ? 2 x1 + 1 x2 + 1

= a x1 ? a x2 +

x1 ? 2 x2 ? 2 3( x1 ? x2 ) ? = a x1 ? a x2 + , x1 + 1 x2 + 1 ( x1 + 1)( x2 + 1)

∵ ?1 < x1 < x2 ,∴ x1 + 1 > 0 , x2 + 1 > 0 , x1 ? x2 < 0 ,



3( x1 ? x2 ) <0; ( x1 + 1)( x2 + 1)
x x x x2

∵ ?1 < x1 < x2 ,且 a > 1 ,∴ a 1 < a 2 ,∴ a 1 ? a ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) < 0 ,即 f ( x1 ) < f ( x2 ) , ∴函数 f ( x ) 在 (?1, +∞) 上为增函数; 另法:∵ a > 1 , x ∈ ( ?1, +∞) ∴ f ′( x ) = ( a x +

< 0,

x?2 3 )′ = a x ln a + >0 x +1 ( x + 1) 2

∴函数 f ( x ) 在 (?1, +∞) 上为增函数; (2)假设 x0 是方程 f ( x ) = 0 的负数根,且 x0 ≠ ?1 ,则 a 0 +
x

x0 ? 2 =0, x0 + 1

即a

x0

=

2 ? x0 3 ? ( x0 + 1) 3 = = ?1 , x0 + 1 x0 + 1 x0 + 1



当 ?1 < x0 < 0 时, 0 < x0 + 1 < 1 ,∴ 而由 a > 1 知 a

3 3 > 3 ,∴ ?1 > 2 , x0 + 1 x0 + 1

x0

<1

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∴①式不成立;

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高中数学复习教(学)案

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新疆奎屯市第一高级中学

王新敞

当 x0 < ?1 时, x0 + 1 < 0 ,∴
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3 3 < 0 ,∴ ? 1 < ?1 ,而 a x0 > 0 x0 + 1 x0 + 1

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∴①式不成立

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综上所述,方程 f ( x ) = 0 没有负数根
x

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例 9 已知函数 f ( x ) = log a (a ? 1) ( a > 0 且 a ≠ 1 ) 求证: (1)函数 f ( x ) 的图象在 y 轴的一侧;

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(2)函数 f ( x ) 图象上任意两点连线的斜率都大于 0 证明: (1)由 a ? 1 > 0 得: a > 1 ,
x x

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∴当 a > 1 时, x > 0 ,即函数 f ( x ) 的定义域为 (0, +∞ ) ,此时函数 f ( x ) 的 图象在 y 轴的右侧; 当 0 < a < 1 时,x < 0 , 即函数 f ( x ) 的定义域为 (?∞, 0) , 此时函数 f ( x ) 的 图象在 y 轴的左侧
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∴函数 f ( x ) 的图象在 y 轴的一侧; (2)设 A( x1 , y1 ) 、 B ( x2 , y2 ) 是函数 f ( x ) 图象上任意两点,且 x1 < x2 , 则直线 AB 的斜率 k =

y1 ? y2 , x1 ? x2
x2

y1 ? y2 = log a ( a ? 1) ? log a (a ? 1) = log a
x1

a ?1
x1
2

ax ?1
x



当 a > 1 时, 由(1) 0 < x1 < x2 ,∴ 1 < a 1 < a 2 ,∴ 0 < a 1 ? 1 < a 知
x x

x2

?1,

∴0 <

a x1 ? 1 < 1 ,∴ y1 ? y2 < 0 ,又 x1 ? x2 < 0 ,∴ k > 0 ; a x2 ? 1
x x2

当 0 < a < 1 时,由(1)知 x1 < x2 < 0 ,∴ a 1 > a

>1,

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新疆奎屯市第一高级中学

王新敞

∴ a 1 ?1 > a 2 ?1 > 0 ,
x x



a x1 ? 1 > 1 ,∴ y1 ? y2 < 0 ,又 x1 ? x2 < 0 ,∴ k > 0 a x2 ? 1
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∴函数 f ( x ) 图象上任意两点连线的斜率都大于 0
源 源 源

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源 源 源 源 源 源 源 源















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学生练习
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1 合 P = { , 4, 9, 16, LL} ,若 a ∈ P , b ∈ P ,则 a ⊕ b ∈ P ,则运算 ⊕ 可 1 能是( ) (A)加法
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(B)减法

(C) 除法

(D)乘法

2 已知集合 A = {1, 2, 3} ,B = {?1, 0,1} , 则满足条件 f (3) = f (1) + f (2) 的 映射 f : A → B 的个数是 ( (A)2
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) (C)5 (D)7

(B)4

3 某天清晨,小鹏同学生病了,体温上升,吃过药后感觉好多了,中午时 他的体温基本正常, 但是下午他的体温又开始上升, 直到半夜才感觉身上不 那么发烫了 下面大致能上反映出小鹏这一天(0 时—24 时)体温的变化情 况的图是 ( )
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体温(℃) 体温(℃) 体温(℃) 体温(℃)

37

37

37

37

0

6

12 18 24



0

6

12 18 24



0

6

12 18 24



0

6

12 18 24



(A ) 4 定 义 两 种 运 算 : a⊕b =
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(B)

(C)

(D)

a 2 ? b 2 , a ? b = ( a ? b) 2 , 则 函 数

f ( x) =

2⊕ x 为( ( x ? 2) ? 2



(A)奇函数 (C)奇函数且为偶函数
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(B)偶函数 (D)非奇函数且非偶函数

5 偶 函 数 f ( x ) = log a | x ? b | 在 (?∞, 0) 上 单 调 递 增 , 则 f (a + 1) 与
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新疆奎屯市第一高级中学

王新敞

f (b + 2) 的大小关系是 (
(A) f ( a + 1) ≥ f (b + 2)

) (B) f ( a + 1) < f (b + 2) (D) f ( a + 1) > f (b + 2)
x x x

(C) f ( a + 1) ≤ f (b + 2)
x
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6 如图,指出函数①y=a ;②y=b ;③y=c ;④y=d 的图象,则 a,b,c,d 的大小 关系是 y B b<a<1<d<c A a<b<1<c<d ② ③④ ① C 1<a<b<c<d D a<b<1<d<c 7 若 logx3>logy3>0,则下列不等式恒成立的是 ( )
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Ax
新新新 新新 新新 源源源源 源 源源源源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 特特 特特 特特 王王 新新 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王
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?1 / 3

<y–1/3 <31–y

C ( )
新新新 新新 新新 源源源源 源 源源源源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 特特 特特 特特 王王 新新 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王
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1 3

1? x

1 x? y x–y <3 3 1 1? x D ( ) >31–y 3
B( )
新新新 新新 新新 源源源源 源 源源源源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 特特 特特 特特 王王 新新 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王
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o

x

新新新 新新 新新 源源源源 源 源源源源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 特特 特特 特特 王王 新新 王王 新新 王王

新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王
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8 已知函数 f(x)=lg(ax–bx)(a,b 为常数,a>1>b>0),若 x∈ (1,+∞)时,f(x)>0 恒 成立,则( ) A a–b≥1 B a–b>1 C a–b≤1 D a=b+1 y
新新新 新新 新新 源源源源 源 源源源源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 特特 特特 特特 王王 新新 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王
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9 如图是对数函数 y=logax 的图象,已知 a 取值 3 ,4/3,3/5,1/10,则
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① o ④ ③ x

相应于①, ②, ③, ④的 a 值依次是 10 已知 y=loga(2–ax)在[0,1]上是 x 的减函数, a 的取值范围是 则
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11 已 知 函 数 y = f ( x ), x ∈ D, y ∈ R + , 且 正 数 C 为 常 数 对 于 任 意 的
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x1 ∈ D ,存在一个 x 2 ∈ D ,使
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f ( x1 ) f ( x 2 ) = C ,则称函数 y = f (x) 在
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D 上的均值为 C 试依据上述定义,写出一个均值为9的函数的例子:_____

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12 设函数 f(x)=lg
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1+ 2x + a ? 4x ,其中 a∈R,如果当 x∈(–∞,1)时,f(x)有 3
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意义,求 a 的取值范围 13 a 为何值时,关于 x 的方程 2lgx–lg(x–1)=lga 无解?有一解?有两解? 14 绿缘商店每月向工厂按出厂价每瓶 3 元购进一种饮料 根据以前的统计数
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据,若零售价定为每瓶 4 元,每月可销售 400 瓶;若每瓶售价每降低 0 05
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元,则可多销售 40 瓶 请你给该商店设计一个方案:每月的进货量当月销售
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完,销售价应定为多少元和从工厂购进多少瓶时,才可获得最大的利润?
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15 已知定义域为[0,1]的函数 f(x)同时满足:
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新疆奎屯市第一高级中学

王新敞

(1)对于任意 x∈[0,1],总有 f(x)≥0; (2)f(1)=1 (3)若 x1 ≥ 0 , x 2 ≥ 0 , x1 + x 2 ≤ 1 ,则有 f ( x1 + x 2 ) ≥ f ( x1 ) + f ( x 2 ) (Ⅰ)试求 f(0)的值; (Ⅱ)试求函数 f(x)的最大值; (Ⅲ)试证明:满足上述条件的函数 f(x)对一切实数 x,都有 f(x)≤2x
新新新 新新 新新 源源源源 源 源源源源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 特特 特特 特特 王王 新新 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王
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16 设 a 、 b 为常数, M = { f ( x ) | f ( x ) = a cos x + b sin x}; F :把平面上 任意一点 ( a , b )映射为函数 a cos x + b sin x. (1)证明:不存在两个不同点对应于同一个函数; (2)证明:当 f0 ( x) ∈ M 时, f1 ( x) = f 0 ( x + t ) ∈ M ,这里 t 为常数; (3)对于属于 M 的一个固定值 f 0 ( x) ,得 M 1 = { f 0 ( x + t ), t ∈ R} ,在 映射 F 的作用下,M1 作为象,求其原象,并说明它是什么图象?

参考答案: 参考答案: 1D2D3C4A5D6B
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9

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3 ,4/3,3/5,1/10,
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10 (1,2)

11 f ( x) = 9 , f ( x) = 9e x ,
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f ( x) = 9a sin x ( 0 < a ≠ 1 )

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12 a≥–3/4 13 0<a<4 时,无解;a=4 时,方程有一解;a>4 时,方程有两解 14 450
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15 (I)令 x1 = x 2 = 0 ,
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依条件(3)可得 f(0+0) ≥f(0)+f(0),即 f(0) ≤0 又由条件(1)得 f(0) ≥0,则 f(0)=0
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(Ⅱ)任取 0 ≤ x1 < x 2 ≤ 1 ,可知 x 2 ? x1 ∈ (0,1] , 则 f ( x 2 ) = f [( x 2 ? x1 ) + x1 ] ≥ f ( x 2 ? x1 ) + f ( x1 ) , 即 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ≥ f ( x 2 ? x1 ) ≥ 0 ,故 f ( x 2 ) ≥ f ( x1 ) 于是当 0≤x≤1 时,有 f(x)≤f(1)=1 因此,当 x=1 时,f(x)有最大值为 1,
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高中数学复习教(学)案

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新疆奎屯市第一高级中学

王新敞

(Ⅲ)证明: 研究①当 x ∈ ( ,1] 时,f(x) ≤1<2x ②当 x ∈ (0, ] 时, 首先,f(2x) ≥f(x)+f(x)=2f(x),∴ f ( x ) ≤ 显然,当 x ∈ (

1 2

1 2

1 f (2 x) 2

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1 1 , ] 时, 22 2 1 1 1 1 1 f ( x) ≤ f ( ) ≤ ? f (2 ? ) = ? f (1) = 成立 2 2 2 2 2
1 2
k +1

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假设当 x ∈ (

,

1 1 ] 时,有 f ( x) ≤ k 成立,其中 k=1,2,… k 2 2 1 2
k +1

那么当 x ∈ (

1 2 1
k +2

,

] 时,

f ( x) ≤ f (

2

k +1

)≤ 1

1 1 1 1 1 1 1 ? f (2 ? k +1 ) = ? f ( k ) ≤ ? k = k +1 2 2 2 2 2 2 2 , 1 2 1 1 ] ,总有 f ( x) ≤ n ,其中 n=1,2,… n 2 2 1 2
n +1

可知对于 x ∈ (

2

n +1

而对于任意 x ∈ (0, ] ,存在正整数 n,使得 x ∈ ( 此时 f ( x ) ≤

,

1 ], 2n

1 ≤ 2x , 2n
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③当 x=0 时,f(0)=0≤2x 综上可知,满足条件的函数 f(x),对 x∈[0,1],总有 f(x) ≤2x 成立 16 (1)假设有两个不同的点( a , b ) ( c , d )对应同一函数,即 ,
新新新 新新 新新 源源源源 源 源源源源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 特特 特特 特特 王王 新新 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王
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F (a, b) = a cos x + b sin x 与 F (c, d ) = c cos x + d sin x 相同,
即 a cos x + b sin x = c cos x + d sin x 对一切实数 x 均成立 特别令 x=0,得 a=c;令 x =
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π

,得 b=d 这与(a,b)(c,d)是两个 ,

2
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不同点矛盾,假设不成立 故不存在两个不同点对应同函数

(2)当 f 0 ( x) ∈ M 时,可得常数 a0,b0,使 f 0 ( x) = a 0 cos x + b0 sin x
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王新敞

f 1 ( x) = f 0 ( x + t ) = a 0 cos( x + t ) + b0 sin( x + t )
= (a 0 cos t + b0 sin t ) cos x + (b0 cos t ? a 0 sin t ) sin x
由 于
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a 0 , b0 , t











a 0 cos t + b0 sin t = m, b0 cos t ? a 0 sin t = n, 则m, n 是常数
从而 f 1 ( x) = m cos x + n sin x ∈ M
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(3)设 f 0 ( x) ∈ M ,由此得 f 0 ( x + t ) = m cos x + n sin x ( 其中m = a 0 cos t + b0 sin t , n = b0 cos t ? a 0 sin t ) 在映射 F 下, f 0 ( x + t ) 的原象是(m,n) ,则 M1 的原象是

{(m, n) | m = a 0 cos t + b0 sin t , n = b0 cos t ? a 0 sin t , t ∈ R}
消 去 t 得 m + n = a 0 + b0 , 即 在 映 射 F 下 , M1 的 原 象
2 2 2 2 2 2 2 {(m, n) | m 2 + n 2 = a 0 + b0 } 是以原点为圆心, a0 + b02 为半径的圆
源 源 源

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课前后备注





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