nbhkdz.com冰点文库

正弦定理、余弦定理知识点


正弦定理、 正弦定理、余弦定理
1. 三角形常用公式:A+B+C=π;S=

1 1 1 ab sin C= bc sin A== ca sin B; 2 2 2

2.三角形中的边角不等关系:A>B ? a>b,a+b>c,a-b<c; ; 3.正弦定理:

a b c = = =2R

(外接圆直径) ; sin A sin B sin C
a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.

?a = 2 R sin A ? 正弦定理的变式: ?b = 2 R sin B ; ?c = 2 R sin C ?
4.正弦定理应用范围:

①已知两角和任一边,求其他两边及一角. ②已知两边和其中一边对角,求另一边的对角. ③几何作图时,存在多种情况.如已知 a、b 及 A,求作三角形时,要分类讨论,确定解的个数. 已知两边和其中一边的对角解三角形,有如下的情况: (1)A 为锐角
C C C b a b a a b A B A a

B2

B1

A

B

a=b sin A

b sin A<a<b

a≥b

一解 两解 一解 (2)A 为锐角或钝角 当 a>b 时有一解. 5.余弦定理 a2=b2+c2-2bccosA.c2=a2+b2-2abcosC.b2=a2+c2-2accosB. 若用三边表示角,余弦定理可以写为



6.余弦定理应用范围: (1)已知三角形的三条边长,可求出三个内角; (2)已知三角形的两边及夹角,可求出第三边. 7.三角函数的和、差、倍、半以及和积互化公式.

课堂互动
知识点 1 运用判断三角形形状 例题 1 在△ABC 中已知 acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状.
1

【分析】利用正弦定理或余弦定理判断三角形形状,可以将三角形中的边用角表示,也可将角用边来表示.从中 找到三角形中的边角关系,判断出三角形的形状. 【答案】解法 1:由扩充的正弦定理:代入已知式 2RsinAcosB=2RsinBcosA sinAcosB-cosAsinB=0 , sin(A-B)=0 A-B=0 ∴A=B 即△ABC 为等腰三角形 解法 2:由余弦定理: a ? a + c ? b = b ? b + c ? a
2 2 2 2 2 2

2ac
2

2bc

a2 = b2

∴ a=b

即△ABC 为等腰三角形.

巩固练习 1.在 ?ABC 中,若 b sin C + c sin B = 2b cos B cos C ,试判断三角形的形状. 2 2 2.在 ?ABC 中,已知 a tanB=b tanA,试判断这个三角形的形状.
2 2 2

3.已知 ?ABC 中,有

cos A + 2 cos C sin B = ,判断三角形形状. cos A + 2 cos B sin C

运用正、 知识点 2 运用正、余弦定理解三角形 解三角形问题中正、余弦定理的选择:(1)在下述情况下应首先使用余弦定理:①已知三条边(边边边),求三个 角;②已知两边和它们的夹角(边角边),求其它一边和两角;(2)在下述情况下应首先使用正弦定理:①已知两边和一 边的对角(边边角),求其它一边和两角;②已知两角和任一边(角角边、角边角),求其它两边和一角. 例题 2

在△ABC 中,已知 a = 3 , b = 2 ,B=45° 求 A、C 及 c.

【分析】在解斜三角形应用过程中,注意要灵活地选择正弦定和余弦定理,解得其它的边和角

a sin B 【答案】解法 1:由正弦定理得: sin A = = b
∵B=45°<90° 即 b<a 当 A=60°时 C=75°

3 sin 45 o 2

=

3 2

∴A=60°或 120°

c=

b sin C = sin B

2 sin 75 o = sin 45 o

6+ 2 2 6? 2 2
2

当 A=120°时 C=15°

c=

b sin C 2 sin 15 o = = sin B sin 45 o
2

解法 2: c=x 由余弦定理 b = a + c ? 2ac cos B 将已知条件代入, 设 整理:x ? 6 x + 1 = 0 解之:x =
2 2

6± 2 2

当c =

6+ 2 2 ) ?3 6+ 2 b +c ?a 1+ 3 1 2 时 cos A = = = = 从而 A=60° ,C=75° 2 2bc 6+ 2 2( 3 + 1) 2 2? 2 ? 2
2 2 2

2+(

当c =

6? 2 时同理可求得:A=120° 2

C=15°.

巩固练习 1.已知在 ?ABC 中, ∠A = 45°, AB =

6 , BC = 2 ,试解该三角形.

在 ?ABC 中, tan A = 2c ? b ,

tan B

b

b = c

3 + 1 ,求三内角 A、B、C. 2
2

A
2 3. ?ABC 中, 在 已知 A、 C 成等差数列, sin A sin C = cos B ,S ?ABC = 4 3 , B、 且

b 450 C a
C

c

求三边 a、b、c. 4.在 ?ABC 中,已知 A + C = 2 B , tan A ? tan C = 2 + 3 ,求 A、B、C 的大小, 又知顶点 C 的对边 C 上的高等于 4 3 ,求三角形各边 a、b、c 的长.

B

知识点 3
例题 3

解决与三角形在关的证明、 解决与三角形在关的证明、计算问题

a

已知 A、B、C 为锐角,tanA=1,tanB=2,tanC=3,求 A+B+C 的值.

【分析】本题是要求角,要求角先要求出这个角的某一个三角函数值,再根据 角的范围确定角.本题应先求出 A+B 和 C 的正切值,再一次运用两角和的正切公 式求出 A+B+C. 【答案】Q A、B、C为锐角

A

D

B

∴ 0° < A + B + C < 270°

又 tan A = 1, tan B = 2 ,由公式可得

tan( A + B ) =

1+ 2 tan A + tan B = = ?3 1 ? tan A ? tan B 1 ? 2 = tan( A + B ) + tan C 1 ? tan( A + B ) ? tan C 13 36 = ?3 + 3 1 ? ( ?3) × 3
=0

tan( A + B + C ) = tan[( A + B ) + C ]
所以 A+B+C=π

sin 2 α ? 2 sin α sin β + sin 2 β + cos 2 α ? 2 cos α cos β + cos 2 β = 2 ? 2(cos α cos β + sin α sin β ) =
巩固练习 1.在 ? ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,设 a+c=2b,A-C=
π
3

13 36

?2 cos(α ? β ) = ?

59 59 ∴ cos(α ? β ) = 36 72
,求 sinB 的值.

a, c 已知 a, c 成等比数列, a 2 ? c 2 = ac ? bc , ∠A b, 且 求 2. ?ABC 中, b, 分别是 ∠A,∠B,∠C 的对边长, 在 的大小及

b sin B 的值. c
= 5, b = 4 且 cos( A ? B ) =

3.在 ?ABC 中,若 a

31 ,求这个三角形的面积. 32
a 2 ? b 2 sin( A ? B) = . sin C c2

例题 4 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,证明:

【分析】在用三角式的恒等变形证明三角形中的三角等式时,其解题的一般规律是:二项化积、倍角公式,提 取公因式,再化积.遇有三角式的平方项,则利用半角公式降次. 【答案】证法一:由正弦定理得
a 2 ? b 2 sin 2 A ? sin 2 B cos 2 B ? cos 2 A ?2 sin( B + A) sin( B ? A) sin C sin( A ? B ) sin( A ? B ) = = = = = . sin C c2 sin 2 C 2 sin 2 C 2 sin 2 C sin 2 C

证法二:由余弦定理得 a =b +c -2bccosA,则

2

2

2

a 2 ? b 2 c 2 ? 2bc cos A 2b b sin B = =1- ?cosA,又由正弦定理得 = ,∴ c c sin C c2 c2

a 2 ? b2 2 sin B sin C ? 2 sin B cos A sin( A + B ) ? 2 sin B cos A sin A cos B ? sin B cos A sin( A ? B ) =1?cosA= = = = . sin C sin C sin C sin C sin C c2

证法三:

sin( A ? B ) sin A cos B ? sin B cos A = . sin C sin C

3

由 正 弦 定 理 得
a?

sin A a sin B b = , = sin C c sin C c

, ∴

sin( A ? B ) sin C

=

a cos B ? b cos A c

, 又 由 余 弦 定 理 得

sin( A ? B ) = sin C

a2 + c2 ? b2 b2 + c2 ? a2 ?b? (a 2 + c 2 ? b 2 ) ? (b 2 + c 2 ? a 2 ) a 2 ? b 2 2ac 2bc = = . c 2c 2 c2

巩固练习 1.已知锐角三角形 ABC 中, sin( A + B ) =

(1)求证 tan A = 2 tan B ; (2)设 AB = 3 ,求 AB 边上的高. 考题再现】 【考题再现】

3 1 , sin( A ? B ) = . 5 5

1. 04 年全国Ⅲ)在 ?ABC 中, AB = 3 , BC = 13 , AC = 4 ,则边 AC 上的高 ( 年全国Ⅲ (A)

2 3 3 3 3 (B) (C) (D) 3 3 3 2 2

2. 05 年湖南卷)已知在△ABC 中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求 ( 年湖南卷) 角 A、B、C 的大小. 3.(2005 年春季北京)在△ABC 中,sinA+cosA= ( 年春季北京) 4. (05 年江苏卷) ?ABC 中, A = 年江苏卷) (A) 4 3 sin ? B + (C) 6sin ? B +
2 ,AC=2,AB=3,求 tanA 的值和△ABC 的面积. 2

π
3

, BC = 3 ,则 ?ABC 的周长为

? ?

π?

?+3 3?

(B) 4 3 sin ? B + (D) 6sin ? B +

? ?

π?

?+3 6?

? ?

π?

?+3 3?

? ?

π?

?+3 6?

5. . (06 年湖北卷)若 ?ABC 的内角 A 满足 sin 2 A =

2 ,则 sin A + cos A = 3
D. ?

A.

15 3

B. ?

15 3

C.

5 3

5 3


6. (2006 年安徽卷)如果 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值分别等于 ?A2 B2C2 的三个内角的正弦值,则( 年安徽卷) A. ?A1 B1C1 和 ?A2 B2C2 都是锐角三角形 B. ?A1 B1C1 和 ?A2 B2C2 都是钝角三角形 C. ?A1 B1C1 是钝角三角形, ?A2 B2C2 是锐角三角形 D. ?A1 B1C1 是锐角三角形, ?A2 B2C2 是钝角三角形 【模拟训练】 模拟训练】 1. 2004 年北京市朝阳区二模题)在 ?ABC 中, cos 2 B > cos 2 A 是 A > B 的() ( . (A) 充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
2. 04 年南京市二模题)在 ?ABC 中,A,B,C 为三角形的三个内角,且 A < B < C , sin B = ( 在

4 5

4 cos(2 A + C ) = ? ,求 cos 2 A 的值 5
3. (04 年华南师大附中)在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 的对边,且 4 sin (1)求 ∠A 的度数 (2)若 a =
2

B+C 7 ? cos 2 A = 2 2

3 , b + c = 3 ,求 b 和 c 的值 2? 3 ,则 cos A ? cos B 的最 4
4

4. 05 年南通市基地学校联考) 在 ?ABC 中,边 AB 为最长边,且 sin A ? sin B = . ( 大值是

5.(06 年湖北八校第二次联考)已知关于 x 的方程 x ? x cos A ? cos B + 2sin
2

2

半,则 ?ABC 一定是 (A)直角三角形(B)钝角三角形(C)等腰三角形(D)等边三角形. 6.(06 年黄岗市荆州市高三年级模拟)已知 ?ABC 的三个内角为 A、B、C 所对的三边为 a 、 b 、 c ,若 ?ABC 的面 积为 S = a 2 ? (b 2 ? c 2 ) ,则 tan

C = 0 的两根之和等于两根之积的一 2

A = __________. 2

教考链接
在证明三角形问题或者三角恒等式时,要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系,并注意特殊 正、余弦关系的应用,比如互补角的正弦值相等,互补角的余弦值互为相反数等;另外,在三角恒等式的证明或者 三角形形状的判断,关键是正、余弦定理的边角互换. 运用正、余弦定理求解三角形的有关问题,要非常熟悉了三角函数公式及三角形的有关性质,如三角函数的定 义、勾股定理、正弦定理、余弦定理是常用的工具,同时注意三角形面积公式 S =

意三角形内角和 A + B + C = π 的制约关系,此外,要对常见解题方法与解题技巧的总结,这样才能不断提高三角 形问题的求解能力.

1 1 ah , S = ab sin C ,还要注 2 2

参考答案
课堂互动 例题 1 巩固练习

a b c = = = 2 R ,R 为 ?ABC 外接圆的半径,将原式化为 sin A sin B sin C 8 R 2 sin 2 B sin 2 C = 8 R 2 sin B sin C cos B cos C , Q sin B sin C ≠ 0 ,∴ sin B sin C = cos B cos C . o o 即 cos( B + C ) = 0 ,∴ B + C = 90 , A = 90 . 故 ?ABC 为直角三角形 [解法 2]:将已知等式变为 b 2 (1 ? cos 2 C ) + c 2 (1 ? cos 2 B ) = 2b cos B cos C ,
1. 【答案】[解法 1]:由正弦定理
2 2 2 ? a 2 + b2 ? c2 ? 2 ? a +c ?b ? 由余弦定理可得 b + c ? b ? ? ? ? c ?? ? 2ab 2ac ? ? ? ? a2 + c2 ? b2 a 2 + b2 ? c2 = 2bc ? ? , 2ac 2ab 2 2 即b + c 2 2 2 2 2

?(a 2 + b 2 ? c 2 ) + (a 2 + c 2 ? b 2 ) ? ? =? 2 4a 2 2 2 也即 b + c = a ,故 ?ABC 为直角三角形.
2. 【答案】解法 1:由已知得
a 2 sin B b 2 sin A sin 2 A sin B sin 2 B sin A = ,由正弦定理得 = ,∵sinAsinB≠0,∴ cos B cos A cos B cos A
0 0

2

sinAcosA=sinBcosB,即 sin2A=sin2B,∴2A=2B 或 2A=180 -2B,即 A=B 或 A+B=90 .∴ ?ABC 是等腰三角形或直角三角形. 解法 2: 由已知得
a 2 sin B b 2 sin A a 2b b2a a b = ,由正弦定理得 = ,即 = ,又由余弦定理得 cos B cos A cosB cos A cosB cos A

a b 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2 ,整理得(a -b )(a +b -c )=0,∴a=b,或 a +b =c , ∴ ?ABC 是等腰三角形或直角三角形. a 2 + c2 - b2 b + c2 ? a2 2ac 2bc

3.解:由已知得

5

例题 2 巩固练习 1. 答案】 【 解法 1: 由正弦定理, sin C = 得 由 3<2<

6 3因 2 sin 45° = AB ? sin A = 6 × = 3 2 2 2

BC = 2, AB = 6

6 ,则有二解,即 ∠C = 60° 或 ∠C = 120°

∠B = 180° ? 60° ? 45° = 75° 或 ∠B = 180° ? 120° ? 45° = 15° BC 故 AC = ? sin B ? AC = 3 + 1 或 AC = 3 ? 1 , ∠C = 120°, ∠B = 15° ∠C = 60°, ∠B = 75° sin A
解法 2:令 AC=b,则由余弦定理 :

b 2 + ( 6 ) 2 ? 2 6b cos 45° = 2 2

b 2 ? 2 3b + 2 = 0 ? b = 3 ± 1
1 , ∠C = 60° 或 ∠C = 120° 2

又 ( 6 ) 2 = b 2 + 2 2 ? 2 ? 2b cos C ? cos C = ±

? ∠B = 180° ? (45° + 60°) = 75° 或 ∠B = 180° ? ( 45° + 120°) = 15° .
2【答案】由已知有

tan A 2c ,化简并利用正弦定理: +1 = tan B b sin A cos B + cos A sin B 2 sin C sin( A + B) 2 sin C = = cos A sin B sin B cos A sin B sin B 1 ? A = 60° 2
由b =

sin C ? 2 sin C cos A = 0

由 sin ≠ 0 ,故 cos A =

c

3 + 1 ,可设 2

b = ( 3 + 1) k , c = 2k ,由余弦定理,得

a 2 = ( 3 + 1) 2 k 2 + 4k 2 ? 2( 3 + 1) k 2 ? a = 6k

由正弦定理

a c 得 = sin A sin C

sin C =

c sin A = a

2k ?

3 2 = 2 2 6k

由 c < b 则 C 是锐角,故 C = 45°, B = 180 ° ? A ? C = 75°
6

3. 【答案】由已知,得 B = 又由 S ?ABC = 4 3 = 故

A + C ,又由 A + B + C = 180° ? B = 60° 2


故 sin A sin C = cos 2 60° =

1 4



1 3 a ? c ? sin B ? 4 3 = ac ? ac = 16 2 4

ac a 2 c 2 a c =( ) =( ) = 64 ? = =8 sin A sin C sin A sin C sin A sin C a sin B 由b = = 8 ? sin B = 8 ? sin 60° = 4 3 sin A
2 2 2

则 cos B = cos 60° = a + c ? b = 1

2ac

2


即 ( a + c) 2 ? b 2 = 3ac ? ( a + c) 2 = 48 + 48 = 96 ? a + c = 4 6 把③与②联立,得

a = 2( 6 + 2 ), c = 2( 6 ? 2 ) 或 a = 2( 6 ? 2 ), c = 2( 6 + 2 )
4. 【答案】由已知 A + C = 2 B ,及 A + B + C = 180 ° ? B = 60°, 由 tan( A + C ) =

A + C = 120°

tan A + tan C 及 tan( A + C ) = ? 3 , tan A ? tan C = 2 + 3 1 ? tan A tan C

得 tan A + tan C = 3 + 3 ,以 tan A, tan C 为一元二次方程

x 2 ? (3 + 3 ) x + 2 + 3 = 0 的两个根,解方程,得

?tan A = 1 ?tan A = 2 + 3 ? A = 45° ? A = 75° 或? 或? ?? ? tan C = 2 + 3 ?tan C = 1 ?C = 75° ?C = 45° ? a sin C 8 sin 75° 若 A = 45°, C = 75° ,则 a = 4 3 = 8 , b = 4 3 = 4 6 , c = = = 4( 3 + 1) sin 60° sin 45° sin A sin 45°
若 A = 75°, C = 45° ,则 a = 4 3 例题 3 巩固练习 1. 【答案】由正弦定理和已知条件 a+c=2b,得 sinA+sinC=2sinB.由和差化积公式,得 2sin 由 A+B+C=π得 sin ∴sin
A+C A?C cos =2sinB. 2 2

sin 60°

= 8, b =

b sin C 4 3 = 8( 3 ? 1) = 4 6 ( 3 ? 1) = 4(3 2 ? 6 ) c = sin B sin 75°

A+C B π 3 B 3 B B B B π B =cos .又 A-C= ,得 cos =sinB.∴ cos =2sin cos ,∵0< < ,∴cos ≠0, 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 B 13 13 39 B B B B 3 = .∴cos = 1 ? sin 2 = ,∴sinB=2sin cos =2? ? = . 2 4 2 4 2 2 4 4 8 2

2. 【答案】 (I)Q a,b,c 成等比数列 又 a 2 ? c 2 = ac ? bc

∴ b 2 = ac
在 ?ABC 中,由余弦定理得

∴ b 2 + c 2 ? a 2 = bc

cos A =

b2 + c2 ? a 2 bc 1 = = 2bc 2bc 2

∴ ∠A = 60°
7

b sin A (II)在 ?ABC 中,由正弦定理得 sin B = a
2 2 2

3 b sin B b 2 sin 60° ∴ = = sin 60° = . c ca 2
2

3. 【答案】解法 1:由余弦定理得 cos A = b + c ? a = c ? 9

2bc

8c

cos B =

a2 + c2 ? b2 c2 + 9 = 2ac 10c

由正弦定理得:

5 4 5 = ? sin A = sin B sin A sin B 4

c2 ? 9 c2 + 9 5 31 ? ? + (1 ? cos 2 B ) = 8c 10c 4 32

c 4 ? 81 5 c2 + 9 2 31 ) ]= + [1 ? ( 2 4 10c 32 80c
故 cos A = c ? 9 = 36 ? 9 = 9
2

?

82c 2 ? 162 31 = ? c 2 = 36 ? c = 6 2 32 80c 5 7 16

8c

48

16

sin A =

S ?ABC =

1 15 7 b ? c ? sin A = 2 4

解法 2:如图,作 ∠CAD = A ? B ,AD 交 BC 于 D,令 CD = x 则由 a = 5 知, BD = 5 ? x, AD = 5 ? x ,在 ?CAD 中 由余弦定理 cos( A ? B) =

(5 ? x) 2 + 4 2 ? x 2 31 = 8(5 ? x) 32

化简得 9 x = 9 ? x = 1 ,在 ?CAD 中由正弦定理

AD CD AD = ? sin C = ? sin( A ? B ) = 4 sin( A ? B ) = 4 1 ? cos 2 ( A ? B ) = 3 7 sin C sin( A ? B ) CD 8 S ?ABC = 1 1 3 7 15 = AC ? BC ? sin C = × 4 × 5 × 7 2 2 8 4 3 1 , sin( A ? B ) = , 5 5

例题 4 巩固练习 1. 【答案】 (1)证明:因为 sin( A + B ) =

3 2 ? ? sin A cos B + cos A sin B = sin A cos B = ? ? tan A ? ? 5 5 所以 ? ,? ? ,? = 2 .所以 tan A = 2 tan B 1 1 tan B ?sin A cos B ? cos A sin B = ?cos A sin B = ? ? 5 5 ? ?
(2)因为

π
2

< A + B < π , sin( A + B ) =

3 , 5

所以 tan( A + B ) = ?

3 tan A + tan B 3 ,即 =? , 4 1 ? tan A tan B 4

将 tan A = 2 tan B 代入上式并整理得 解得 tan B =

2 tan 2 B ? 4 tan B ? 1 = 0 .

2± 6 2+ 6 ,舍去负值得 tan B = ,从而 tan A = 2 tan B = 2 + 6 . 2 2

设 AB 边上的高为 CD. 则 AB = AD + DB = 考题再现
8

CD CD 3CD + = 由 AB=3,得 CD= 2 + 6 ,所以 AB 边上的高等于 2 + 6 tan A tan B 2 + 6

【答案】由余弦定理,得 cos A = 1. 选 B.

1 3 3 ° , A = 60 ,所以 AC 边上的高 BD = AB ? sin A = 2 2

2. 【答案】解法 1: 由 sin A(sin B + cos B ) ? sin C = 0 得 sin A sin B + sin A cos B ? sin( A + B ) = 0. 所以 sin A sin B + sin A cos B ? sin A cos B ? cos A sin B = 0. 即 sin B (sin A ? cos A) = 0. 因为 B ∈ (0, π ), 所以 sin B ≠ 0 ,从而 cos A = sin A. 由 A ∈ (0, π ), 知 A =

π

3 . 从而 B + C = π . 4 4

由 sin B + cos 2C = 0得 sin B + cos 2( π ? B ) = 0. 即 sin B ? sin 2 B = 0.亦即 sin B ? 2 sin B cos B = 0.

1 π 5π π π 5π , B = ,C = . 所以 A = , B = , C = . 2 3 12 4 3 12 3π 解法 2: 由 sin B + cos 2C = 0得 sin B = ? cos 2C = sin( ? 2C ). 2 3π π 3π π 由 0 < B 、 c < π ,所以 B = ? 2C或B = 2C ? . 即 B + 2C = 或2C ? B = . 2 2 2 2
由此得 cos B = 由 sin A(sin B + cos B ) ? sin C = 0 得 sin A sin B + sin A cos B ? sin( A + B ) = 0. 所以 sin A sin B + sin A cos B ? sin A cos B ? cos A sin B = 0. 即 sin B (sin A ? cos A) = 0. 由 A ∈ (0, π ), 知A = 因为 sin B ≠ 0 ,所以 cos A = sin A.

3 4

3 3π 不合要求. . 从而 B + C = π ,知 B+2C= 4 4 2 1 π 5π π π 5π 再由 2C ? B = π ,得 B = , C = . 所以 A = , B = , C = .. 2 3 12 4 3 12
3. 【答案】解法 1:∵sinA+cosA= 2 cos(A-45°)= 又 0°<A<180°,∴A-45°=60°,A=105°. ∴tanA=tan(45°+60°)=
1+ 3 1? 3
2 1 ,∴cos(A-45°)= . 2 2

π

=-2- 3 .
2+ 6 . 4

∴sinA=sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°= ∴S△ABC=
1 1 2+ 6 3 AC·ABsinA= ·2·3· = ( 2 + 6 ). 2 2 4 4

AC AB BC 3 = = = =2 3 sin B sin C sin A sin π 3 π? ? ∴ AC = 2 3 sin B, AB = 2 3 sin C = 2 3 sin ?π ? ( A + B ) ? = 2 3 sin ? B + ? ? ? 3? ? ?3 ? ? ? π? ? 2 π? ? ∴周长为 AB + AC + BC = 2 3 ?sin ? B + ? + sin B ? + 3 = 2 3 ? sin B + cos B ? + 3 = 6sin ? B + ? + 3 ?2 ? 3? 2 6? ? ? ? ? ? ? 5 2 5. 【答案】由 sin2A=2sinAcosA>0,可知 A 这锐角,所以 sinA+cosA>0,又 (sin A + cos A) = 1 + sin 2 A = ,故 3
4. 【答案】在 ?ABC 内,由正弦定理得 选 A. 6. 【答案】 ?A1 B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,则 ?A1 B1C1 是锐角三角形,若 ?A2 B2C2 是锐角三角形,由
9

π π ? ? ? sin A2 = cos A1 = sin( 2 ? A1 ) ? A2 = 2 ? A1 ? ? π π π ? ? ? sin B2 = cos B1 = sin( ? B1 ) ,得 ? B2 = ? B1 ,那么, A2 + B2 + C2 = ,所以 ?A2 B2C2 是钝角三角形.故选 2 2 2 ? ? π π ? ? ?sin C2 = cos C1 = sin( 2 ? C1 ) ?C2 = 2 ? C1 ? ?
D. 模拟训练 1. 【答案】 cos 2 B > cos 2 A ? 1 ? 2 sin 2 B > 1 ? 2 sin 2 A ? sin 2 B < sin 2 A ? sin A > sin B ? A > B 2. 【答案】∵ A < B < C , A + B + C = π ,∴ 0 < B < 得 cos B =

π
2

, 0 < 2 A + C < π ,由 sin B =

4 5

3 4 3 4 3 ,∴ sin( A + C ) = , cos ( A + C ) = ? 又由 cos(2 A + C ) = ? 得 sin(2 A + C ) = 5 5 5 5 5 527 3 ? 3? ? 4? 4 7 ∴ sin A = sin ?( 2 A + C ) ? ( A ? C ) ? = × ? ? ? ? ? ? ? × = cos 2 A = 1 ? 2sin 2 A = . ? ? 5 625 ? 5 ? ? 5 ? 5 25

3. 【答案】由题意得

2 [1 ? cos( B + C ) ] ? 2 cos 2 A + 1 =

7 2

2 (1 + cos θ ) ? 2 cos 2 A + 1 =

7 2

∴ cos A =

1 2

0< A<

π
3

b +c ?a 1 2 = ( b + c ) ? a 2 = 3bc 将 a = 3, b + c = 3 代 入 得 bc = 2, 由 b + c = 3 及 bc = 2 , 得 2bc 2 b = 1, c = 2 或 b = 2, c = 1 .

cos A =

2

2

2

4. 【答案】因为 cos A ? cos B + sin A ? sin B = cos( A ? B ) ≤ 1 ,易得 cos A ? cos B 的最大值为 5. 【答案】由题意可知: cos A cos B =

2+ 3 . 4

1 C 1 ? cos C ? 2 ? sin 2 = ,从而 2 2 2

2 cos A cos B = 1 + cos( A + B ) = 1 + cos A cos B ? sin A sin B cos A cos B + sin A sin B = 1 ,cos( A ? B ) = 1 又因为 ?π < A ? B < π 所以 A ? B = 0 ,所以 ?ABC 一定是等腰三角
形选 C

1 bc sin A , S = a 2 ? (b 2 ? c 2 ) , a 2 = b 2 + c 2 ? 2bc cos A , 2 A 2sin 2 1 1 1 ? cos A 2 = tan A = ∴ bc sin A = 2bc ? 2bc cos A ,∴ = A A 2 4 sin A 2 2 sin cos 2 2
6. 【答案】 S =

10


解三角形1.1正弦定理和余弦定理知识点总结

解三角形1.1正弦定理余弦定理知识点总结_数学_高中教育_教育专区。小小亲清辅导班 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理一、知识必备: 1.直角三角形中各...

正弦定理和余弦定理 知识点与题型归纳

正弦定理余弦定理 知识点与题型归纳_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档正弦定理余弦定理 知识点与题型归纳_数学_高中教育_教育专区。...

正弦定理、余弦定理知识点

正弦定理余弦定理知识点_初三数学_数学_初中教育_教育专区。正弦定理正弦定理、余弦定理【基础知识点】 基础知识点】 1. 三角形常用公式:A+B+C=π;S= 1...

正弦定理、余弦定理知识点

三角形面积公式 1 课堂互动知识点 1 运用判断三角形形状 例题 1 在△ABC 中已知 acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状. 【分析】利用正弦定理余弦定理判断三角形...

正弦定理、余弦定理知识点

正弦定理余弦定理知识点_数学_高中教育_教育专区。正弦定理余弦定理知识点4.5 正弦定理和余弦定理的考查 4.5.1 正弦定理 分类 定理 内容 a b c ? ? ? 2...

正弦定理、余弦定理知识点

正弦定理余弦定理知识点_数学_高中教育_教育专区。正弦定理、余弦定理【基础知识点】 1. 三角形常用公式:A+B+C=π;S= 1 1 1 ab sin C= bc sin A==...

正余弦定理重要知识点(经典)

1、正弦定理:在 ??? C 中, a 、 b 、 正余弦定理重要知识点本张武林秘籍,乃武林之精髓所在,得此天书者,细细研习,来日方长, 必成大器。下星期一需要全部...

解三角形(正弦定理、余弦定理)知识点、例题解析、高考题汇总及答案

解三角形(正弦定理余弦定理)知识点、例题解析、高考题汇总及答案_数学_高中教育_教育专区。中国教育培训领军品牌 解三角形【考纲说明】 1、掌握正弦定理余弦定...

正弦定理、余弦定理知识点教师版

正弦定理余弦定理知识点教师版_高一数学_数学_高中教育_教育专区。必修五第一章 解三角形 1.1 正弦定理、余弦定理【基础知识点】 1. 三角形常用公式:A+B+C...

1.1正弦定理和余弦定理知识点

1.1正弦定理余弦定理知识点_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 1.1正弦定理余弦定理知识点_数学_高中教育_教育专区。...