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洛阳市2015-2016学年第二学期期中考试高一数学参考答案


洛阳市 2 — —2 0 1 5— 0 1 6 学年第二学期期中考试

高一数学试卷参考答案
一 、选择题 : 1. C 2. A 3. B 4. D 5. D 6. B 7. A 8. B 9. A 1 0. B 1 1. B 1 2. C 二 、填空题 : 1 3.   1 ] ( ) 4. 3  1 5. 2 -1, 2 +1 犅 卷1 5.

6.   1  槡  [  1   1   ②④ 槡 槡 2 ……1 分 ……3 分 ……5 分 ……6 分 ……7 分 ……9 分 ……1 0分

三 、解答题 :
2 2 ? +犫 ?狘 ? +犫 ?) 解: ( ) 1 7. 1 ∵   狘犪 犪 =(

2 2 2 ?狘 ? ·犫 ?+ ?狘 犪 2 ×2× 槡 +4 = 1 0. =狘犪 +2 狘犫 = 2+2× 槡 2

? +犫 ? 狘= 槡 ∴   狘犪 1 0. ? ? ? ? -犫 ?) ? = 0, ( ) 由 ( ) 可得 ( ·犪 2 犪 -犫 ⊥ 犪, 犪 ? ·犫 ? =犪 ? ·犪 ? = 2. ∴  犪 ?, ? >= 故c o s< 犪 犫 ? ·犫 ? 犪 2 2 槡 . = ?狘 ?狘 = · 2 狘犪 狘犫 2× 槡 2

? 与犫 ? 的夹角为 4 所以 犪 5 ° .

π 狓) 解: ( ) ( 1 8. 1 ∵  2 s i n 狓 =s i n - , 2
∴  2 s i n 狓 =c o s 狓, ∴  t a n 狓= ∴  1 . 2 ……2 分

2 2 c o s 2 狓 c o s 狓 -s i n 狓 c o s 狓 -s i n 狓 1-t a n 狓 1 =( = = . 2 = 3 1+s i n 2 狓 c o s 狓 +s i n 狓 1+t a n 狓 c o s 狓 +s i n 狓) ……5 分

1 且 ( )由已知 , 得s 2 i n 狓> , t a n 狓 ≤ 1, 2 1 得π 5 π 2 解s ; i n 狓> 犽 犽 ∈ 犣) +2 + 犽 π <狓 < π( 2 6 6 ……7 分 ……9 分

π 犽( 解t a n 狓 ≤ 1 得 - π +犽 . π <狓 ≤ + π 犽 ∈ 犣) 2 4

5 π 2 π 2 π 所以 , , 犽 犽 犽 ∈ 犣) + 犽 + 犽 π <狓 ≤ π 或 +2 π < 狓 < π+2 π( 6 6 4 2 ……1 1分 高 一 数 学 答 案   第 1 页   (共 4 页 )

5 π 2 π π π 犽) 所以原函数定义域为 ( 犽 犽 犽 ∈ 犣) . + 犽 π, +2 π]∪ ( +2 π, +2 π ( 6 4 2 6 ……1 2分

狓 狓 ? ·犫 ? =犿 解: ( )由题意知 犳( 1 9. 1 狓)= 犪 s i n +狀 c o s , 2 2 π, π 0 因为 狔 = 犳( )和点 ( ) , 狓)的图象过点 ( 4 - , 2 2
烄 4= 犿 s i nπ +狀 c o sπ , 4 4 所以烅 π π , ( ( 0= 犿 s i n c o s - ) +狀 - ) 4 4 烆 烄 2 2 4 = 槡 犿 + 槡狀, 2 2 即烅 2 2 0 =- 槡 犿 + 槡狀, 2 2 烆 解得 犿 = 2 2, 狀 =2 2 槡 槡

……1 分

……3 分

……5 分 ……6 分

狓 狓 狓 π) 所以 犳( ( 狓)== 2 2 s i n +2 2 c o s =4 s i n . + 槡 槡 2 2 2 4 ( )列表 , 得 2 狓 π + 2 4 狓 狓) 犳(


π - 2


π 2 π 2


π 3 π 2


3 π 2 5 π 2 -4

2 π 7 π 2 0 ……9 分

描点画图 , 得

……1 2分

? ·犫 ?=( 解: ·( 2 0. 狓)= 犪 c o s 狓, s i n 狓) c o s 狓, 3 c o s 狓) ω ω ω ω 犳( 槡
o sω 狓 +槡 3 s i n 狓 c o s 狓= =c ω ω


1( 3 槡 1+c o s 2 狓) i n 2 狓 + s ω ω 2 2 高 一 数 学 答 案   第 2 页   (共 4 页 )

( i n 2 狓+ =s ω

π ) 1. + 6 2

……2 分

2 π ( ) 1 ∵   函数 犳( 狓)的最小正周期 犜 = π, = π,  ∴  ω狘 狘2 又 ω > 0, 故 ω = 1. 1 ( ∴  犳( 狓)= s i n 2 狓+ π ) + . 6 2 令 - π +2 犽 狓 + π ≤ π +2 犽 犽 ∈ 犣, π ≤2 π, 2 6 2 ……4 分 ……6 分

π 犽 . 即 - π +犽 +π π ≤狓 ≤ 3 6 π π ( ∴   函数 犳( 狓)的单调递增区间为 [ 犽 ∈ 犣) ……8 分 π, +犽 π] - +犽 3 6
( )因为函数 犳( 2 狓)的图象的一个对称中心的横坐标为π , 6

π π 犽 , ∴  2 = π 犽 ∈ 犣, ω× + 6 6
即 ω =- 1 +3 犽. 2 又 ω > 0,

……1 0分 ……1 1分

5 ……1 ∴   当犽 = 1 时 , 2分 ω 取到最小值 . 2 ?→ ?犃 → ?犇 → ?犅 → 犅 ?→ ?犇 →) ( 狓 1, 解: , 2 1. 犅 犆=( 狓, 犇 犃 . =-犃 =- ( + 犆 +犆 = - - 1-狔) 狔) ……1 分 →, ?→ ?犃 ( ) 则有 狓( ) )= 0, ……3 分 1 犅 犆 ∥犇 -狔 +1 -狔( -狓 -1 ……4 分 化简得 狓 +狔 = 0. ? → ? → ? → ? → ? → ? → ( ) ) , ) , 2 犃 犆 =犃 犅 +犅 犆=( 狓 +3, 犅 犇 =犅 犆 +犆 犇=( 狓 -2, 狔 +2 狔 -3 ? → ? → 又犃 则( ) ( ) ) )= 0, ……5 分 ·( 犆 ⊥犅 犇, 狓 +3 狓 -2 +( 狔 +2 狔 -3
2 2 化简得 狓 2 = 0. +狔 +狓 -狔 -1

……6 分

狓 =-3, 狓 = 2, 解得 或 狓 +狔 +狓 -狔 -1 2 = 0, 狔 = 3. 狔 =-2. ? → ? → ? → ? → 因为犅 犆 ∥犇 犃, 犃 犆 ⊥犅 犇, 所以四边形 犃 为对角线互相垂直的梯形 犅 犆 犇 .
联立



狓 +狔 = 0,
2 2





……7 分

……8 分 ……9 分 ……1 0分 ……1 1分



{ {

狓 =-3,? → ?犇 → ) , ) , 犃 犆=( 0, 5 犅 0 =( -5, 狔 = 3,

2 5 ?→ ?犇 → 此时 犛 = 1 · · 犆狘 . 狘犃 狘犅 狘= 2 2 狓 = 2, ?→ ?犇 → 若 ) , ) , 犃 犆=( 5, 0 犅 0, =( -5 狔 =-2, 高 一 数 学 答 案   第 3 页   (共 4 页 )

2 5 → ?→ ?犇 此时 犛 = 1 · · 犆狘 . 狘犃 狘犅 狘= 2 2

……1 2分

犜, ) 3 犜 解: ( )设函数 犳( 则 犘( 2 2. 1 狓)的最小正周期为 犜, 3 , 犙( , 3) . -槡 槡 4 4 ……1 分
得犗 因为四边形 犗 犙 犚 犘 为矩形 , 犘 ⊥犗 犙, ? → ? → 所以 , 犗 犘 ·犗 犙 = 0. 即 3犜2 -3 = 0, 解得 犜 = 4. 1 6 ……2 分 ……3 分 ……4 分 ……5 分

π 2 π π, 所以 ω = 2 = = 犜 4 2 π 所以 犳( 狓)= 槡 3 s i n 狓. 2

π 0 狓 3, ( )因为 犳( , 则 -槡 2 狓)= 槡 3 s i n 狓, 狓) 3 ≤狋 ≤ 槡 3. ≤ ≤ 令狋 = 犳( 2
由函数 犳( ]的单调性知 , 狓)= 槡 3 s i nπ狓, 狓∈ [ 0, 3 2 对任意狋 ∈ [ , 方程狋 = 犳( 0, 3) 狓)有两根 . 槡 2 方程 犳( 狓) -犪 狓) +1 = 0 有四个不同的实数根 , 犳(
2 可 转化为关于狋的方程 狋 狋+1=0在0≤狋< 槡 3 -犪

……6 分

上有两个不同的实数根 . 令 犵( )=狋 -犪 狋 狋+1,


……8 分

犪 烄 0< 3, <槡 2 则只需烅 Δ > 0,
烆 3)> 0, 犵( 槡

……1 0分

0 <犪 < 2 3, 烄 槡 4 3 槡 2 即烅( . -犪) -4 > 0, 解得 2 < 犪 < 3 烆 3- 槡 3 犪+1 > 0, 43 所以 犪 的取值范围为 ( 2, 槡 ) . 3

……1 1分

……1 2分

高 一 数 学 答 案   第 4 页   (共 4 页 )


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