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1.1.1 命题及其关系


高二数学 选修 1-1

第一章

常用逻辑用语

常用逻辑用语
“数学是思维的科学”

逻辑是研究思维形式和规律的科学.
逻辑用语是我们必不可少的工具.

通过学习和使用常用逻辑用语,掌握常用逻辑 用语的用法,,纠正出现的逻辑错误,体会运用常用 逻辑用语表述

数学内容的准确性、简捷性.

事例:主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭聊天,时间 到了,只有张三和李四两人准时赶到,王五打来电话说: “临时有急事,不能来了。”主人听了随口说了句: “你看看,该来的没有来。”张三听了,脸色一沉,起 来一声不吭地走了;主人愣了片刻,又道:“哎,不该 走的又走了。”李四听了大怒,拂袖而去。你能用逻辑 学原理解释这两人离去的原因吗? 这就是今天我们来学习常用逻辑用语

思考、分析 下列语句的表述形式有什么特点?你能判 断他们的真假吗?
(1)若直线 a∥b,则直线 a 与直线 b 没有公 共点 . (2)2+4=7.

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行. 2 (4)若 x =1,则 x=1.

(5)两个全等三角形的面积相等. (6)3能被2整除. 并且可以判断真假。 语句都是陈述句,

命题的概念
一般地,在数学中,我们把用语言、符号 或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做 命题 判断为真的语句叫真命题。 判断为假的语句叫假命题。
? 理解: 1)命题定义的核心是判断,切记:判断的标准必 须确定,判断的结果可真可假,但真假必居其一。 2)含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语 句的真假。

说明1

要判断句子是否是命题. 首先,要看给出的句子的句型,一 般地,疑问句、祈使句、感叹句都不是 命题. 其次,要看能不能判断其真假,也 就是判断其是否成立. 不能判断真假的语句, 就不能叫命题.

说明2

还有一种语句,如“ x>2”、“x2 - 1=0” 等,语句中含有变量 x 或 y ,在

没有给定这些变量的值之前,是无法
确定语句的真假的.这种含有变量的语

句叫做开语句(条件命题).开语句不
是命题.

看看下列语句是不是命题?
1) 今天天气如何? 不是(疑问句)

2) 你是不是作业没交?
3) 这里景色多美啊!

不是(疑问句)
不是(感叹句)

4) -2不是整数。
5) 4>3。




6) x>4。

不是

例1 判断下面的语句是否为命题?若是命题, 指出它的真假。 (1) 空集是任何集合的子集. (是,真) (2)若整数a是素数,则a是奇数(是,假) . (3)指数函数是增函数吗?(不是命题)
(4)若平面上两条直线不相交,
则这两条直线平行. (是,真)

(5) ( ?2) 2 ? ?2

(是,假)

(6)x>15. (不是命题)

练习
(2) x
2

判断下列语句是否是命题 .
? 2 x ? 1 ? 0.

(1)求证 3 是无理数。

(3)你是高二学生吗?

(4)并非所有的人都喜欢苹果。
(5)一个正整数不是质数就是合数。 (6)若

x ? R ,则 x 2 ? 4 x ? 7 ? 0.

(7)x+3>0. (1)(3)(7)不是命题,(2)(4)(5)(6)是命题。

判断一个语句是不是命题,关键看这语句是否 符合“是陈述句”和“可以判断真假” 这两个

例1 判断下列语句中哪些是命题?是真命题还是 假命题? (1)空集是任何集合的子集; 真命题
(2)若整数a是素数,则a是奇数; (3)指数函数是增函数吗? (4)若空间中两条直线不相交,则这两条直线平行; 假命题
假命题

(5)

?? 2?2 ? 2 ;

真命题

(6)x>15.

上面(2)(4)具有“若p,则q”的形式.本章中我们只讨论这种形 式. “若p,则q”也可写成“如果p,那么q”“只要p,就有q”等形式.
其中p叫做命题的条件,q叫做命题的结论.

记做:

p?q

“若p则q”形式的命题
命题“若整数a是素数,则a是奇数。”具 p q 有“若p则q”的形式。
?通常,我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条

件,q叫做命题的结论。 ?“若p则q”形式的命题是命题的一种形式而不是 唯一的形式,也可写成“如果p,那么q” “只要p,就有 q”等形式。
?“若p则q”形式的命题的优点是条件与结论容易

辨别, 缺点是太格式化且不灵活.

“若p则q”形式的命题的书写
了解命题表示的判断,明确与判断有关的条件与 结论。 ? 对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先 添补一些命题中省略的词句, 确定条件与结论。 ? 如命题:“垂直于同一条直线的两个平面平行”。 ? 写成“若p则q”的形式为: 若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平 面平行。
?

例2 指出下列命题中的条件p和结论q:
1) 若整数a能被2整除,则a是偶数; 2) 若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分。

解:1) 条件p:整数a能被2整除, 结论q:整数a 是偶数。 2) 条件p:四边形是菱形, 结论q:四边形的对角线互相垂直且平分。

例3 将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行;
若两个平面垂直于同一直线,则这两个平面平行。 真

(2)两个全等三角形的面积相等;
若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等。 真

(3) 3能被2整除
若一个数是3,则这个数能被2整除。



(4) 负数的立方是负数
若一个数是负数,则这个数的立方是负数。

真 真 真

(5) 对顶角相等
若两个角是对顶角,则这两个角相等。

(6) 能被2整除的整数是偶数
若一个整数能被2整除,则这个整数是偶数。

(7) 菱形的对角线互相垂直且平分
若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分。真

练习
1.判断下列命题的真假:
(1)能被6整除的整数一定能被3整除; (2)若一个四边形的四条边相等,则这个四边形 是正方形;

(3)二次函数的图象是一条抛物线;
(4)两个内角等于 45 的三角形是等腰直角三

角形.

2、把下列命题改写成“若p,则q”的形式, 并判断它们的真假.
(1)等腰三角形两腰的中线相等;

(2)偶函数的图象关于y轴对称;
(3)垂直于同一个平面的两个平面平行。

(1)若三角形是等腰三角形,则三角形两边上的中线相等。 这是真命题。
(2)若函数是偶函数,则函数的图象关于y轴对称,这是真 命题。 (3)若两个平面垂直于同一平面,则这两个平面互相平行。 这是假命题。

练习
(1)下面命题中是真命题的是( C ) A.若一个四边形对角线互相平分,则该四边 形为正方形。 B.集合M ? {x | x2 ? x ? 0}, N ? {x | x ? 0},则M ? N C.若a2 ? b2 ? 0, 则a, b不全为零 2 D. x ? x ? 1 ? 0

(2)若m、n是两条不同的直线,α 、β 、γ 是三个 不同的平面,下面命题中的真命题是( C)

A.若m ? ? , ? ? ? , 则m ? ? B.若? ? ? m, ? ? ? n, m n, 则? ? C.若m ? ? , m ? , 则? ? ? D.若? ? ? , ? ? ? , 则? ? ?

(3)对于函数①f(x)=|x+2|,②f(x)=(x-2)2, ③f(x)=cos(x-2),判断以下命题的真假: 命题甲:f(x+2)是偶函数; 命题乙:f(x)在(-∞,2)上是减函数,在 (2,+∞)上是增函数。 能使命题甲、乙均为真的函数序号是( D ) A.①② B.①③ C.③ D.②

小结

1.什么叫命题?真命题?假命题? 2.命题是由哪两部分构成的? 3.怎样将命题写成“若 p,则 q”的形式. 4.如何判断真假命题.


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