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河北省唐山市2013—2014学年度高三年级摸底考试--数学(文)


河北省唐山市 2013-2014 学年度高三年级摸底考试

数学(文)试题
说明: 1.本试卷分为第Ⅰ卷和第 II 卷.第Ⅰ卷为选择题;第 II 卷为非选择题,分为必考和选考两部 分。 2.答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”,按照“注意事项”的规定答题。 3.做选择题时,每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑.如需改动,用橡 皮将原

选涂答案擦干净后,再选涂其他答案。 4.考试结束后,将本试卷与原答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,有且只有一 项符合题目要求. 1.已知集合 M={x|l<x<4}, N={l, 2, 3, 4, 5},则 M ? N= A.{2,3} B.{1,2,3} 2.已知复数 z 满足 z(1+i)=i,则复数 z= A. C.{1,2,3,4} D.{2,3,6}

1 1 ? i 2 2

B.

1 1 ? i 2 2

C.1+i

D.1-i

3.已知点 A(6,2) ,B(l,14) ,则与 AB 共线的单位向量为 A. ?

??? ?

? 12 5 ? ? 12 5 ? , ? ?或? ? , ? ? 13 13 ? ? 13 13 ?

B. ?

? 5 12 ? ,? ? ? 13 13 ? ? 5 12 ? , ? ? 13 13 ?

C. ? ?

? 5 12 ? ? 5 12 ? , ?或? , ? ? ? 13 13 ? ? 13 13 ?

D. ? ?

4.已知 sin2a= A. ? C.

?? ? 1 ,则 cos2 ? ? ? 4 ? ? ? ? 3
B. ? D.

1 3

2 3

1 3

2 3

5.执行右面的程序框图,那么输出 S 的值为 A.9 B.10 C.45 D.55

6.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 S5=10,S10=30,则 S15= A.40 B.60 C.70 D.90 7.某几何体的三视图如图所示,则它的侧面积为 A. 12 5 C.24 B. 24 2 D. 12 3

?x ? y ?1 ? 0 ? 8.若 x,y 满足 ? 2 x ? y ? 2 ? 0 , 则 x+2y 的最大值为 ?x ? y ? 4 ? 0 ?
A.

13 2

B.6

C.11 D.10 9.将长度为 3 的线段随机分成两段,则其中一段的长度大于 2 的概率为 A.

1 2

B.

1 4

C.

2 3

D.

1 3

10. 直三棱柱 ABC-A1B1 C1 的六个顶点都在球 O 的球面上. AB=BC=2, ∠ 若 ABC=90o, 1=2 2 , AA 则球 O 的表面积为 A. 4? 11.已知双曲线 B. 8? C. 24? D. 16?

x2 y 2 ? =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 Fl,F2,以 F1F2 为直径的圆与双曲线 a 2 b2

渐近线的一个交点为(3,4) ,则此双曲线的方程为 A.

x2 y 2 ? ?1 9 16

B.

x2 y 2 ? ?1 4 3

C.

x2 y 2 ? ?1 16 9

D.

x2 y 2 ? ?1 3 4

12.设函数 f(x)=x2-23x+60, g(x)=f(x)+|f(x)|,则 g(1)+g(2)+…+g(20)= A.56 B.112 C.38 D.0 第 II 卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填写在题中横线上. 13.曲线 y=lnx 在点(e,1)处的切线方程为 。 2 2 2 14.抛物线 y =2px (p>0)的准线截圆 x +y -2y-1=0 所得弦长为 2,则 p= 15.若存在正数 x,使 a·x+l>4x 成立,则实数 a 的取值范围是 2 。 2 n-1 16.已知数列{an}满足 an=1+2+2 +…+2 ,则{an}的前 n 项和 Sn= 。



三、解答题:本大题共 70 分,其中 17—21 题为必考题,22,23,24 题为选考题.解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.己知 csin A= (I)求 C; (II)若 c= 7 ,b=3a,求△ABC 的面积。

3 acos C.

18. (本小题满分 12 分) 从某校高三上学期期末数学考试成绩中,随机抽取了 60 名学生的成绩得到频率分布直方图如 下:

(I)根据频率分布直方图,估计该校高三学生本次数学考试的平均分; (II)若用分层抽样的方法从分数在[30,50)和[130,150]的学生中共抽取 3 人,该 3 人中成绩 在[130,150]的有几人? (III)在( II)中抽取的 3 人中,随机抽取 2 人,求分数在[30,50)和[130,150]各 1 人的概 率.

19. (本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD、ADEF、ABGF 均为全等的直角梯形,且 BC∥ AD, AB=AD=2BC. (I)求证:CE∥ 平面 ABGF; (II)设 BC=1,求点 B 到平面 CEG 的距离。

20. (本小题满分 12 分) 已知动点 M 到定点 F1(-2,0)和 F2(2,0)的距离之和为 4 2 . (I)求动点 M 轨迹 C 的方程; (II)设 N(0,2) ,过点 P(-l,-2)作直线 l ,交椭圆 C 异于 N 的 A、B 两点,直线 NA、NB 的斜率分别为 k1、k2,证明:kl+k2 为定值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=21n x-ax+a(a∈ . R) (I)讨论 f(x)的单调性; (II)试确定 a 的值,使不等式 f(x)≤0 恒成立.

请考生在第 22,23,24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 为圆 O 的直径,CD 为垂直于 AB 的一条弦,垂足为 E,弦 BM 与 CD 交于点 F. (I)证明:A、E、F、M 四点共圆; (II)证明:AC2+BF· BM=AB2.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xOy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴.已知

1 ? ?x ? 2 ? 2 t ? 直线 l 的参数方程为 ? ,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? 8cos? . , (t 为参数) ?y ? 3 t ? ? 2
(I)求曲线 C 的直角坐标方程; (II)设直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求弦长|AB|.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f(x)=|x+l|-|x-2|. (I)求不等式 f(x)≥2 的解集; (II)若不等式 f(x)≤|a-2|的解集为 R,求实数 a 的取值范围.

参考答案

(18)解: (Ⅰ )由频率分布直方图,得该校高三学生本次数学考试的平均分为 0.0050× 40+0.0075× 60+0.0075× 80+0.0150× 100 20× 20× 20× 20× +0.0125× 120+0.0025× 140=92. 20× 20× …4 分 (Ⅱ )样本中分数在[30,50)和[130,150]的人数分别为 6 人和 3 人, 3 所以抽取的 3 人中分数在[130,150]的人有 3× =1(人) . …8 分 9 (Ⅲ )由(Ⅱ )知:抽取的 3 人中分数在[30,50)的有 2 人,记为 a,b, 分数在[130,150]的人有 1 人,记为 c,从中随机抽取 2 人, 总的情形有(a,b),(a,c),(b,c)三种. 而分数在[30,50)和[130,150]各 1 人的情形有(a,c),(b,c)两种, 2 故所求概率 P= . …12 分 3

(Ⅱ )设点 B 到平面 CEG 的距离为 h. 由(Ⅰ )知:BF∥ CE,可得 BF∥ 平面 CEG, 故点 B 到平面 CEG 的距离等于点 F 到平面 CEG 的距离, 1 1 所以 VB-CEG=VF-CEG=VC-EFG, × △CEG× S h= × △EFG× S FA. 3 3 依题意,在△CGE 中,CG= 6 ,CE=2 2 ,GE= 2 , 因为 CG2+GE2=CE2, 1 所以 S△CEG= CG× GE= 3 . 2 1 在 Rt△EFG 中,S△EFG= ,又 FA=2, 2 3 故点 B 到平面 CEG 的距离为 h= . 3

…12 分

(21)解: 2-ax (Ⅰ ?(x)= )f ,x>0. x 若 a≤0,f ?(x)>0,f (x)在(0,+∞)上递增; 2 若 a>0,当 x∈ 0, 时,f ?(x)>0,f (x)单调递增; a 2 当 x∈ ,+∞ 时,f ?(x)<0,f (x)单调递减. …5 分 a (Ⅱ )由(Ⅰ )知,若 a≤0,f (x)在(0,+∞)上递增, 又 f (1)=0,故 f (x)≤0 不恒成立. 2 若 a>2,当 x∈ ,1 时,f (x)递减,f (x)>f (1)=0,不合题意. a 2 若 0<a<2,当 x∈ 1, 时,f (x)递增,f (x)>f (1)=0,不合题意. a 若 a=2,f (x)在(0,1)上递增,在(1,+∞)上递减, f (x)≤f (1)=0 符合题意, 综上 a=2. …12 分 (22)证明: (Ⅰ )连结 AM,则∠ AMB=90?. 因为 AB⊥ CD,所以∠ AEF=90?. 所以∠ AMB+∠ AEF=180?,即 A、E、F、M 四点共圆. …5 分

( ( (

)

)

)

(

)

C

A O M

E F D

B

(Ⅱ )连结 AC,CB.由 A、E、F、M 四点共圆, 所以 BF· BM=BE· BA. 在 Rt△ACB 中,BC2=BE· BA,AC2+CB2=AB2, 2 2 所以 AC +BF· BM=AB .

…10 分


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