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1.3.3 函数的最大(小)值


1、理解函数最值的概念;
2、理解函数最值的几何意义; 3、会利用函数的单调性,

求函数的最大(小)值。

y
4 3 2 1

f(x) =

x2

f(x) = -x2
-2 -1

y O
-1 1 2

/>
x

-2
-3

x
-2 -1

O
3 2 1

1

2

y

f(x) = x
x
-2 -1

3 2 1

y

1 f ( x) ? x
1 2

-2

-1

O

1

2

O

x

1.说出y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上的单调性; 2.指出图象的最高点或最低点,说明它体现函数的什么特征?

一、函数的最大值:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,
如果存在实数M满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;

(2)存在x0∈I,使得f(x0) = M
那么,称M是函数y=f(x)的最大值。

f ?x?max ? M

二、函数的最小值:
一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,
如果存在实数m满足: (1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥m; (2)存在x0∈I,使得f(x0) = m 那么,称m是函数y=f(x)的最小值。

f ?x?min ? m

1、函数最大(小)值首先应该是某一个函 数值,即存在x0∈I,使得f(x0) = M;

2、函数最大(小)值应该是所有函数值中
最大(小)的,即对于任意的x∈I,都有

f(x)≤M(f(x)≥m); 3、函数最大(小)值的几何意义:函数图
象上最高点(最低点)的纵坐标。

例1:“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制 造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度h m与时间t s之间的 关系为:h(t)=-4.9t2+14.7t+18, 那么烟花冲出后什么时候是 它的爆裂的最佳时刻?这时

距地面的高度是多少(精确
到1m).

解:作出函数h(t)= -4.9t2+14.7t+18的图象(如图). 显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点, 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐 标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识,对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18
14.7 当t ? ? ? 1.5时,函数有最大值 2 ? (?4.9) 4 ? (?4.9) ?18 ? 14.7 h? ? 29 4 ? (?4.9)
2

于是,烟花冲出后1.5秒是 它爆裂的最佳时刻, 这时距地面的高度为29 m.

三、利用函数单调性判断函数的最大(小)
值的方法 :

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,
则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b 处有最大值f(b) ; 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,

在区间[b,c]上单调递增,则函数y=f(x)
在x=b处有最小值f(b)。

2 , x ? ? 2,6?,求函数 例2:已知函数 f ? x ? ? x ?1 的最大值和最小值.

解:任取x1, x2∈ [2,6] ,且x1<x2
先说明函数在区间上 是减函数,复习一下 2[(x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] 2( x2 ? x1 ) 判定函数单调性的 ? ? ( x2 ? 1)(x1 ? 1) ( x2 ? 1)(x1 ? 1) 基本步骤。 由于2<x1<x2<6,得x2- x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 )

2 2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x1 ? 1 x2 ? 1

2 所以,函数 y ? 是区间[2,6]上的减函数. x ?1 2 因此,函数 y ? 在区间[2,6]上的两个端点上分别 x ?1 取得最大值和最小值,即在点x=2时取最大值,最大
值是2,在x=6时取最小值,最小值为0.4 .

利用函数的单调性来求函数的 最大值与最小值是一种十分常 用的方法,要注意掌握。

练习:判断下列函数的奇偶性:

?1? ? 2?

f ? x ? ? 1? x ? x ?1 ;
2 2

f ? x? ? f ??x? H ? x? ? ?设? 2

分段函数的值域:
分段函数的定义域是各段定义域的

并集,值域是各段值域的并集。

-2x+1

x≤-1

例3:求函数f(x)= 3
2x-1

-1<x<2 的值域.
x≥2

解:定义域为R

f ?x?min ? 3
∴值域是{y|y≥3 }.
-2

3 2 1

y

-1

O

1

2

x

练习:求函数y = | x + 1 | -| x - 1 |的值域 x ? ?1 ?? 2 ? ? y ? ? 2x ? 1 ? x ? 1 ?2 y x ?1 ?
2

由图知: -2 ≤ y ≤ 2
-1

故函数的值域为 [- 2 , 3 ]

o
-2

1

x

【总一总★成竹在胸】
1、函数的最大(小) 值及其几何意义. 2、利用函数的单调性求函数的最大 (小 )值 . 对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数 可以先画出其图象,观察出其单调性, 再用定义证明,然后利用单调性求出函 数的最值.


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