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高中三角函数知识点总结(人教版)

时间:2015-01-04


高中三角函数总结
1.任意角的三角函数定义:
设 ? 为任意一个角,点 P ( x, y ) 是该角终边上的任意一点(异于原点) , P ( x, y ) 到原点的距 离为 r ?

x 2 ? y 2 ,则:

y x y (正负看 y ), cos ? ? (正负看 x), tan ? ? (正负看 x ? y )

r r x 2.特殊角三角函数值: sin ? ?
0° sin cos tan
0

30°
1 2

45°
2 2

60°
3 2
1 2

90° 1 0 无意义

1 1 120°

3 2 3 3

2 2

1 150°
3 2

3

135°
2 2

180°
0
?1

sin cos tan

1 2

?

1 2

?

2 2

?
?

3 2
3 3

? 3

?1

0

3.同角三角函数公式:
sin ? , sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 cos? 1 1 1 sec ? ? , csc ? ? , cot? ? cos? sin ? t an? t an? ?

4.三角函数诱导公式:

? ? 2k? ) ? tan? ; (k ? Z ) (1) sin(? ? 2k? ) ? sin ? , cos(? ? 2k? ) ? cos? , tan(
? ? ? ) ? tan? ; (2) sin(? ? ? ) ? ? sin ? , cos(? ? ? ) ? ? cos? , tan(
?? ) ? ? tan? ; (3) sin(?? ) ? ? sin ? , cos(?? ) ? cos? , tan(
(函数名称不变,符号看象限) (4) sin(? ? (5) sin(

?
2

) ? cos ? , cos( ? ?

?

?
2

? ? ) ? cos ? , cos(

?
2

) ? ? sin ? , tan( ? ? ) ? ? cot ? ; 2 2

?

? ? ) ? sin ? , tan(

?

2

? ? ) ? cot ? ;

(正余互换,符号看象限)

注意:tan 的值,总为 sin/cos,便于记忆;

5.三角函数两角诱导公式:
(1)和差公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ? cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

tan( ? ? ?) ?

tan? ? tan ? 1 ? tan? tan ?

(2)倍角公式 令上面的 ? ? ? 可得:

sin(2? ) ? 2 sin ? cos?

cos(2? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2 sin 2 ? 2 tan ? tan( 2? ) ? 1 ? tan 2 ? 6.正弦定理:
△ABC 中三边分别为 a, b, c ,外接圆半径为 R ,则有:

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C 7.余弦定理:
△ABC 中三边分别为 a, b, c ,则有:

a 2 ? b2 ? c2 cosC ? 2ab

8.面积公式:
△ABC 中三边分别为 a, b, c ,面积为 S ,则有:

1 ab sin C (两边与夹角正弦值 ) 2 9.三角函数图象: S?

函数名 y=sinx

图像

单调区间 递增区间:

[2k? ?

?
2

,2k? ?

?
2

]

递减区间:

[2k? ?

?
2

,2k? ?

3? ], k ? Z 2

y=cosx

递增区间:

[2k? ? ? ,2k? ]
递减区间:

[2k? ,2k? ? ? ], k ? Z
y=tanx 递增区间:

(k? ?

?

, k? ? ), k ? Z 2 2

?

定义域非 R,为:

{x | x ? k? ? } 2

?

10.关于 y ? A sin(?x ? ? ) ? B 的性质:

时, 得最大最小) (1)最大值为 | A | ? B ,最小值为 ? | A | ? B ( sin(?x ? ? ) ? ?1
(2)周期 T ?

1 |? | 2? ,频率 f ? ? ,相位是 ?x ? ? ,初相是 ? T 2? |? |

(3)图像的对称轴是直线: ?x ? ? ? k? ?

?
2

(k ? Z ) ,可化简为 x=的形式;

(4)图像的对称中心为: y ? A sin(?x ? ? ) ? B ? B 时得到的所有交点(x,B)

(5)单调区间求取:一利用诱导公式将 ? 变为正,如变为 cos 等,此处假设 ? ? 0 ,二求 出 y ? A sin x 的单调区间,令 ?x ? ? 分别位于单调区间区域,反解 x 范围;

11.图像变换: y ? A sin(?x ? ? ) ? B :

y ? sin x
x轴左移 ?个单位 ?沿 ? ??? ?? y ? sin(x ? ? ) 1 横坐标 x变为原来的 倍

? ?? ? ? ? ? ?? y ? sin(

x ? ? ) ? sin(?x ? ? ) 1

?
y ? sin(?x ? ? ) ? y ? A sin(?x ? ? ) A y轴下移 B个单位 ?沿 ? ??? ?? y ? B ? A sin(?x ? ? ) ? y ? A sin(?x ? ? ) ? B
y变为原来的 A倍 ?纵坐标 ?? ??? ??

关键点:上+下-(y) ,左+右-(x) ,倍数相除(变为原来的 n 倍,则对应的坐标都除以 n)


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