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《优化探究》2013届高三数学理科二轮复习专题演练阶段达标检测5


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二轮复习专题演练阶段达标检测 5

(时间:120 分钟

满分:150 分)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(2012 年高考山东卷)

在某次测量中得到的 A 样本数据如下:82,84,84, 86,86,86,88,88,88,88.若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每个都加 2 后所 得数据,则 A,B 两样本的下列数字特征对应相同的是( A.众数 C.中位数 B.平均数 D.标准差 )

解析:根据众数、中位数、平均数、标准差的概念求解. 对样本中每个数据都加上一个非零常数时不改变样本的方差和标准差,众 数、中位数、平均数都发生改变. 答案:D 2.(2012 年高考湖北卷)函数 f(x)=xcos 2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为 ( ) A.2 C.4 B.3 D.5

解析:分别判断 y=x 和 y=cos 2x 的零点. π 3π y=x 在[0,2π]上的零点为 x=0,y=cos 2x 在[0,2π]上的零点为 x=4, 4 , 5π 7π 4 , 4 ,所以 f(x)在区间[0,2π]上的零点个数为 5. 答案:D 3.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 a5=11,S12=186,则 a8=( A.18 C.21 B.20 D.22 )

?a5=11 ? 解析:记数列{an}的公差为 d,∴ , ?S12=186 ?a1+4d=11 ? ?a1=-1 ? ? ∴ ,∴ , 12× 11d ?d=3 ?12a1+ 2 =186 ?
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则 a8=a1+7d=-1+21=20. 答案:B 4.某中学为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了 50 名学生,得到他们 在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用如图所示的条形图表示.根据条 形图可得这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( )

A.0.6 小时 C.0.9 小时

B.0.8 小时 D.1.1 小时

1 解析:50(0× 5+0.5× 20+1× 10+1.5× 10+2× 5)=0.9. 答案:C 5.已知函数 y=f(x),x∈ R,数列{an}的通项公式是 an=f(n),n∈ *.则“函数 N y=f(x)在[1,+∞)上递增”是“数列{an}是递增数列”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 )

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:若函数 y=f(x)在[1,+∞)上递增,则 f(n+1)>f(n),即 an+1>an,数列 {an}是递增数列;若数列{an}是递增数列,则 an+1>an,即 f(n+1)>f(n),但函数 y =f(x)在区间[1,+∞)上是否递增,不确定.故选 A. 答案:A 6.(2012 年惠州二调)某工厂的一、二、三车间在 12 月份共生产了 3 600 双 皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽取,若 从一、二、三车间抽取的产品数分别为 a、b、c,且 a、b、c 构成等差数列,则 二车间生产的产品数为( A.800 C.1 200
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) B.1 000 D.1 500

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解析:因为 a、b、c 成等差数列,所以 2b=a+c,所以二车间抽取的产品 数占抽取产品总数的三分之一, 根据分层抽样的性质可知,二车间生产的产品数 1 占总数的三分之一,即为 3 600× =1 200. 3 答案:C 7. (2012 年长沙模拟)阅读如图所示的程序框图, 输出的结果 S 的值为( )

A.0 C. 3

3 B. 2 D.- 3 2

nπ 解析:依题意知,题中的框图最后输出的 S 值是数列{sin 3 }的前 2 011 项 nπ π 2π 3π 的和.注意到数列{sin 3 }是以 6 为周期的数列,且 sin 3+sin 3 +sin 3 +sin 4π 5π 6π nπ +sin 3 +sin 3 =0,2 011=6× 335+1,因此数列{sin 3 }的前 2 011 项的和 3 π 3 3 为 335× 0+sin 3= 2 ,所以输出的结果 S 的值为 2 ,选 B. 答案:B 8.在△ABC 中,P 是 BC 边的中点,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c, → → → 若 cAC+aPA+bPB=0,则△ABC 的形状为( A.直角三角形 B.钝角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形但不是等边三角形
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)

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→ → → → 1 → → 1 → → 解析:依题意得,cAC+aPA+bPB=cAC-2a(AB+AC)+2b(AB-AC)=0, a+b → a-b → ∴ (c- 2 )AC- 2 AB=0, a+b → a-b → → → ∴ (c- 2 )· = 2 AB,又AB、AC不共线, AC

?a-b=0, ? 2 ∴ ? a+b 解得 a=b=c, ?c- 2 =0. ?
∴ ABC 为等边三角形,选 C. △ 答案:C 9.已知数列{an}满足 a1=1,a2=4,a3=9,数列{an+1-an}成等差数列.现 从{an}中选取 a1,a2,a3,…,a100 这 100 个个体,随机编号为 0,1,2,…,99, 依从小到大的编号顺序平均分成 10 个小组,组号依次为 1,2,3,…,10.现从 每组中抽取一个号码,组成一个容量为 10 的样本,规定如果在第 1 组随机抽取 的号码为 m,那么在第 k 组中抽取的号码个位数字与 m+k 的个位数字相同,若 m=7,则在第 8 组中抽取的号码所对应数列{an}的项是( A.662 C.772 B.762 D.862 )

解析:依题意,易得 an+1-an=2n+1,让 n 从 1 到 n-1 取值,得到 n-1 个等式后同向叠加,得 an=n2.因为 7+8=15,故个位数字为 5.所以号码为 75, 即 a76=762.故选 B. 答案:B 10.(2012 年高考陕西卷)设函数 f(x)=xex,则( A.x=1 为 f(x)的极大值点 B.x=1 为 f(x)的极小值点 C.x=-1 为 f(x)的极大值点 D.x=-1 为 f(x)的极小值点 解析:利用导数的乘法法则求解. ∵ f(x)=xex,∴ f′(x)=ex+xex=ex(1+x). ∴ f′(x)≥0 时,即 ex(1+x)≥0,即 x≥-1, 当
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)

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∴ x≥-1 时函数 y=f(x)为增函数.同理可求,x<-1 时函数 f(x)为减函数. ∴ x=-1 时,函数 f(x)取得极小值. 答案:D 11.(2012 年高考浙江卷)设 a>0,b>0,( A.若 2a+2a=2b+3b,则 a>b B.若 2a+2a=2b+3b,则 a<b C.若 2a-2a=2b-3b,则 a>b D.若 2a-2a=2b-3b,则 a<b 解析:利用原命题与逆否命题的真假性相同求解. 当 0<a≤b 时,显然 2a≤2b,2a≤2b<3b,∴ a+2a<2b+3b,即 2a+2a≠2b+3b 2 成立. 它的逆否命题: 2a+2a=2b+3b, a>b 成立. A 正确, 错误. ∴ 若 则 故 B 当 0<a≤b 时,由 2a≤2b,2a<3b,知 2a-2a 与 2b-3b 的大小关系不确定,∴ 不正 C 确,同理 D 不正确. 答案:A 12.(2012 年南昌模拟)如图是函数 y=sin (ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象的一 → OB → 部分,A,B 是图象上的一个最高点和一个最低点,O 为坐标原点,则OA· 的 值为( ) )

1 A.2π 1 C. π2-1 9

1 B.9π2+1 1 D. π2-1 3

解析:设函数 y=sin (ωx+φ)的最小正周期为 T. T 5π π π 由图知 4=12-6=4,∴ T=π, 2π π π ∴ ω= T =2,∴ y=sin (2x+φ),将点(-12,0)代入 y=sin (2x+φ)得 sin (-6 +φ)=0,∵ 0<φ<π,
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π π ∴ 6,即 y=sin (2x+6). φ=

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2 2π π → π ∴ 3 ,-1),又 A(6,1),∴→ · = 9 -1. B( OA OB

答案:C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.将 4 个不同的小球任意放入 3 个不同的盒子中,则每个盒子中至少有 1 个小球的概率为________. 解析:将 4 个不同的小球任意放入 3 个不同的盒子中,每个小球有 3 种不同 的放法,共有 34=81 种放法,每个盒子中至少有 1 个小球的放法有 C1C2A2=36 3 4 2 36 4 种,故所求的概率 P=81=9. 4 答案:9 14.已知数列{an}中,a1=2,an+1=3an+2n+1,则数列{an}的通项公式是 ________. 解析:由 an+1=3an+2n+1 知 an+1+(n+1)+1=3(an+n+1), ∴ n+n+1}构成以 a1+1+1 为首项,公比 q=3 的等比数列 {a ∴ n=4× n-1-n-1. a 3 答案:an=4× n-1-n-1 3 15.定义在 R 上的偶函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数,则方程 f(x)=f(2x-3) 的所有实数根的和为________. 解析:由函数 f(x)是偶函数及 f(x)=f(2x-3)得 f(|x|)=f(|2x-3|).又|x|,|2x- 3|∈ [0,+∞),且函数 f(x)在[0,+∞)上是增函数, 所以|x|=|2x-3|,即 x=2x-3 或 x=-(2x-3),解得 x=3 或 x=1.所以方程 f(x)=f(2x-3)的所有实数根的和为 3+1=4. 答案:4 16. 在国家鼓励节能降耗精神的指引下,某企业提供了节能降耗技术改造后 生产 A 产品过程中记录的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对应数 ^ 据.若根据表中提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程为y=0.7x+0.35,则
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表中 t 的值为________.

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- ^ 解析:由表中数据求得x=4.5.又点(x,y)在线性回归方程y=0.7x+0.35 上, 代入解得y=3.5,所以 2.5+t+4+4.5=4× 3.5. ∴ t=3. 答案:3 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤) 17.(12 分)(2012 年惠州模拟)已知函数 f(x)= an+1=f(an)(n∈ *), N 1 (1)证明数列{a }是等差数列,并求数列{an}的通项公式;
n

x ,数列{an}满足 a1=1, 3x+1

(2)记 Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1,求 Sn. an 解析:(1)证明:由已知得 an+1= , 3an+1 即 1 an+1 1 -a =3,
n

1 ∴ 数列{a }是首项为 1,公差 3 的等差数列.
n

1 1 所以a =1+3(n-1)=3n-2,即 an= (n∈ *) N 3n-2 n 1 1 1 1 (2)∵ nan+1= a =3( - ) (3n-2)(3n+1) 3n-2 3n+1 ∴ n=a1·2+a2·3+…+an·n+1, S a a a 1 1 =1× +4× +…+ 4 7 1 (3n-2)× (3n+1)

1 1 1 1 1 1? ? =3?(1-4)+(4-7)+…+(3n-2-3n+1)? ? ? 1 =3(1- 1 n )= . 3n+1 3n+1

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18.(12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,A=2B,sin 3 B= 3 . (1)求 cos A 及 sin C 的值; (2)若 b=2,求△ABC 的面积. 解析:(1)因为 A=2B, 所以 cos A=cos 2B=1-2sin 2B. 3 因为 sin B= 3 , 1 1 所以 cos A=1-2× =3. 3 π 由题意可知,A=2B,0<A<π,所以 0<B<2. 所以 cos B= 6 1-sin 2B= 3 .

2 2 因为 sin A=sin 2B=2sin Bcos B= 3 . 所以 sin C=sin [π-(A+B)]=sin (A+B) 5 3 =sin Acos B+cos Asin B= 9 . b a (2)因为sin B=sin A,b=2, 所以 2 a = . 3 2 2 3 3

4 6 所以 a= 3 . 1 20 2 所以△ABC 的面积 S△ABC=2absin C= 9 . 19. 分)(2012 年高考浙江卷)已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球, (12 且规定: 取出一个白球得 2 分,取出一个黑球得 1 分.现从该箱中任取(无放回,且每球 取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出此 3 球所得分数之和. (1)求 X 的分布列; (2)求 X 的数学期望 E(X).
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9 9

C3 5 C1· 2 5 4 C5 解析:(1)由题意得 X 取 3,4,5,6,且 P(X=3)=C3=42,P(X=4)= C3
2 3 10 C4· 1 5 C5 C4 1 =21,P(X=5)= C3 =14,P(X=6)=C3=21, 9 9

所以 X 的分布列为 X P 3 5 42 4 10 21 5 5 14 6 1 21

13 (2)由(1)知 E(X)=3P(X=3)+4P(X=4)+5P(X=5)+6P(X=6)= 3 . 20.(12 分)(2012 年长沙模拟)如图,在平面直角坐标系中,锐角 α 和钝角 β 的终边分别与单位圆交于 A,B 两点.

4 12 (1)如果 A,B 两点的纵坐标分别为5,13,求 cos α 和 sin β; (2)在(1)的条件下,求 cos (β-α)的值; → OC → (3)已知点 C(-1, 3),求函数 f(α)=OA· 的值域. 解析:(1)根据三角函数的定义,得 4 12 sin α=5,sin β=13. 3 又 α 是锐角,所以 cos α=5. 12 (2)由(1)知 sin β=13. 5 因为 β 是钝角,所以 cos β=-13. 所以 cos (β-α)=cos βcos α+sin βsin α 5 3 12 4 33 =(-13)× +13× =65. 5 5 → → (3)由题意可知,OA=(cos α,sin α),OC=(-1, 3).
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π → → 所以 f(α)=OA· = 3sin α-cos α=2sin (α-6), OC π π π π 因为 0<α<2,所以-6<α-6<3, 1 π 3 所以-2<sin (α-6)< 2 ,从而-1<f(α)< 3, 所以函数 f(α)的值域为(-1, 3). 21.(13 分)(2012 年合肥师大附中模考)在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规 则是:每场投 6 个球,至少投进 4 个球,且最后 2 个球都投进者获奖,否则不获 2 奖.已知教师甲投进每个球的概率都是3. (1)记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X,求 X 的分布列及数学 期望; (2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率; (3)已知教师乙在一场比赛中,6 个球中恰好投进了 4 个球,求教师乙在一场 比赛中获奖的概率; 教师乙在一场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖 的概率相等吗? 解析:(1)由题意知,X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6.依条件可知 2 X~B(6,3). 2 1 P(X=k)=Ck (3)k·3)6-k(k=0,1,2,3,4,5,6). ( 6 所以 X 的分布列为

1 所以 X 的数学期望 EX=729× 1+1× (0× 12+2× 60+3× 160+4× 240+5× 192+ 2 916 6× 64)= 729 =4. (2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A, 2 1 2 2 32 2 1 则 P(A)=C4× 3)2× 3)4+C1× × 3)5+(3)6=81.故教师甲在一场比赛中获奖的 ( ( ( 4 3
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32 概率为81.

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C2 2 4 (3)设教师乙在一场比赛中获奖为事件 B,则 P(B)=C4=5,即教师乙在一场
6

2 2 32 比赛中获奖的概率为5.显然5≠81,所以教师乙在一场比赛中获奖的概率与教师甲 在一场比赛中获奖的概率不相等. 22. 分)已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0, (13 1]上单调递减且满足 f(0)=1, f(1)=0. (1)求 a 的取值范围; (2)设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小值. 解析:(1)由 f(0)=1,f(1)=0,得 c=1,a+b=-1,则 f(x)=[ax2-(a+1)x +1]ex, f′(x)=[ax2+(a-1)x-a]ex, 依题意需对任意 x∈ (0,1),有 f′(x)<0. 当 a>0 时,因为二次函数 y=ax2+(a-1)x-a 的图象开口向上,而 f′(0)=- a<0,所以需 f′(1)=(a-1)e<0,即 0<a<1. 当 a=1 时,对任意 x∈ (0,1),有 f′(x)=(x2-1)ex<0,f(x)符合条件; 当 a=0 时,对任意 x∈ (0,1),f′(x)=-xex<0,f(x)符合条件; 当 a<0 时,因为 f′(0)=-a>0,f(x)不符合条件. 故 a 的取值范围为 0≤a≤1. (2)因为 g(x)=(-2ax+1+a)ex,所以 g′(x)=(-2ax+1-a)ex. (i)当 a=0 时,g′(x)=ex>0,g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1,在 x=1 处取 得最大值 g(1)=e. (ii)当 a=1 时,对于任意 x∈ (0,1)有 g′(x)=-2xex<0,g(x)在 x=0 处取得最 大值 g(0)=2,在 x=1 处取得最小值 g(1)=0. 1-a (iii)当 0<a<1 时,由 g′(x)=0 得 x= 2a >0. 1-a 1 ① 2a ≥1,即 0<a≤3时,g(x)在[0,1]上单调递增,g(x)在 x=0 处取得最小 若 值 g(0)=1+a,在 x=1 处取得最大值 g(1)=(1-a)e.
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1-a 1-a 1-a 1-a 1 ② 2a <1,即3<a<1 时,g(x)在 x= 2a 处取得最大值 g( 2a )=2ae 2a , 若 在 x=0 或 x=1 处取得最小值. 而 g(0)=1+a,g(1)=(1-a)e, e-1 e-1 1 则当3<a≤ 时,g(x)在 x=0 处取得最小值 g(0)=1+a;当 <a<1 时, e+1 e+1 g(x)在 x=1 处取得最小值 g(1)=(1-a)e.

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