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江苏省扬州市2014-2015学年高一数学下学期期末考试试题


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江苏省扬州市 2014-2015 学年高一数学下学期期末考试试题
2015.7 (满分 160 分,考试时间 120 分钟) 注意事项: 1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方. 2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效.

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一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应的位置上) 1.直线 x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为 2.不等式 ▲ ▲ . .

x ?1 ? 0 的解集是 x?3

3.经过点 (?2,1) ,且与直线 2 x ? 3 y ? 5 ? 0 平行的直线方程是 4.已知数列 ?an ? 是等差数列,且 a2 ? a5 ? a8 ? 15 ,则 S9 ?
2 2



.



.

5.直线 x-y-5=0 被圆 x +y -4x+4y+6=0 所截得的弦的长为





6.

1 ? cos100 ? cos850





?y ? x ? 7.在约束条件 ? y ? 2 x 下,目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ? y ? 1 ?



.

8.已知 a ? R ,直线 l : (a ? 1) x ? ay ? 3 ? 0 ,则直线 l 经过的定点的坐标为▲

.

9.在 ?ABC 中,已知 a ?

4 3 , b ? 4, A ? 300 , 则 ?ABC 的面积为 3



.

10.等差数列 ?an ? 中, Sn 是其前 n 项和, a1 ? 2014 , 为 ▲ .

S2014 S2012 ? ? ?2 ,则 S2015 的值 2014 2012

11.?ABC 三内角为 A, B, C , 若关于 x 的方程 x2 ? x cos A cos B ? cos2 形状是 ▲ .

C ? 0 有一根为 1, B C 的 则 ?A 2

1

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 12.在 R 上定义运算 ? : x ? y ? x(1 ? y) ,若不等式 : ( x ? a) ? ( x ? a) ? 2 对实数 x ? [1, 2] 恒成立, 则 a 的范围为 ▲ .

13.已知 ?an ? 是公差为 d 的等差数列,?bn ? 是公比为 q 的等比数列。若对一切 n ? N ,
?

an ?1 ? bn 总 an

成立,则 d ? q ?



.

14.若 ?ABC 的内角 A, B 满足 ▲ .

sin B ? 2 cos( A ? B) ,则当 B 取最大值时,角 C 大小为 sin A

二、解答题: (本大题共 6 道题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本题满分 14 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 c sin A ? a cos C . (1)求角 C 的大小; (2)求 f ( A) ? 3 sin A ? cos( B ?

?
4

) 的最大值.

16. (本题满分 14 分) 等比数列 ?an ? 中, S3 ? 7, S6 ? 63 . (1)求 an ; (2)记数列 ?Sn ? 的前 n 项和为 Tn ,求 Tn .

17.(本题满分 15 分) 在 ?ABC 中, ?C 的平分线所在直线 l 的方程为 y ? 2 x ,若点 A(-4,2) ,B(3,1). (1)求点 A 关于直线 l 的对称点 D 的坐标; (2)求 AC 边上的高所在的直线方程; (3)求 ?ABC 得面积.
2

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18. (本题满分 15 分) 为响应国家扩大内需的政策,某厂家拟在 2016 年举行某一产品的促销活动,经调查测算,该产 品的年销量 ( 即该厂的年产量 ) x 万件与年促销费用 t (t ? 0) 万元满足 x = 4 -

k (k 为常 2t+1

数).如果不搞促销活动,则该产品的年销量只能是 1 万件.已知 2016 年生产该产品的固定投 入为 6 万元,每生产 1 万件该产品需要再投入 12 万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产 品平均生产投入成本的 1.5 倍(生产投入成本包括生产固定投入和生产再投入两部分). (1)求常数 k,并将该厂家 2016 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 t 万元的函数;

(2)该厂家 2016 年的年促销费用投入多少万元时,厂家利润最大?

19. (本题满分 16 分)
2 2 在平面直角坐标系中,圆 O : x ? y ? 4 与 x 轴的正半轴交于点 A ,以 A 为圆心的圆 A :

( x ? 2)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 与圆 O 交于 B, C 两点.
(1)若直线 l 与圆 O 切于第一象限,且与坐标轴交于 D, E ,当线段 DE 长最小时,求直线 l 的 方程;
3

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com ( 2 )设 P 是圆 O 上异于 B, C 的任意一点,直线 PB 、 PC 分别与 x 轴交于点 M 和 N ,问

OM ? ON 是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.
l
P D B O N A E C M

y

x

20. (本题满分 16 分)

1 , an ? 0 , ? Sn=an an+1 +1 ,其中 ? 为常数. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1=
(1)证明:数列 ?a2n?1? 是等差数列; (2)是否存在实数 λ ,使得 ?an ? 为等差数列?并说明理由; (3)若 ?an ? 为等差数列,令 bn ? ? ?1?
n ?1

4n ,求数列 bn 的前 n 项和 Tn . an an ?1

扬州市 2014—2015 学年度第二学期期末调研测试试题 高 一 数 学 参 考 答 案 1. 2015.7 6. 2

? 4
5 3

2. ?? 3,1? 8. (3, ?3)

3. 2 x ? 3 y ? 7 ? 0

4. 45

5. 6

7.

9.

8 4 3或 3 3 3

10.0

11. 等腰三角形.

12. ? 1 ? a ? 2
4

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 解:由题:( x ? a)[1 ? ( x ? a)] ? 2 对实数 x ? [1, 2] 恒成立,即 x 2 ? x ? a 2 ? a ? 2 ? 0 对实数 x ? [1, 2] 恒成立,记 f ( x) ? x2 ? x ? a 2 ? a ? 2 ,则应满足 f (1) ? 12 ?1 ? a2 ? a ? 2>0 , 化简得 a 2 ? a ? 2<0 ,解得 ? 1 ? a ? 2 13 . 1 解 析 : 由

bn an?1 an?1 ? ? ?q bn?1 an an

,



2 an?1 ? an?1 ? qan







(a1 ? nd ) ? (a1 ? nd ? 2d ) ? q(a1 ? nd ? d )2 对 n ? N ? 恒成立,从而 d 2 ? qd 2 .若 d ? 0, 则 a12 ? qa12 ,
得 q ? 1 ;若 q ? 1, 则 d ? 0 ,综上 d ? q ? 1 .

14.

2? 3

解:由条件得 sin B ? 2sin A cos( A ? B) ,

?sin B ? 2sin A cos A cos B ? 2sin 2 A sin B
所以 tan B ?

2sin A cos A 2 tan A ? ? ? ,由此可知 A ? (0, ) , B ? (0, ) , tan A ? 0 , 2 2 1 ? 2sin A 1 ? 3 tan A 2 2

? tan B ?

? 2 3 3 3 ,当且仅当 tan A ? 时,即 A ? 时, (tan B) max ? ,B ? 1 6 3 3 ? 3 tan A 3 tan A

的最大值为

? 2? ,从而角 C 大小为 . 6 3

15.解(1)由 c sin A ? a cos C 及正弦定理得

tan C ? 1 ,
在 ?ABC 中, C ? (0,

……………………3 分

?
2

) ,5 分
……………………7 分

?C ?

?
4



(2)由(1) C ?

?
4

,? A ? B ?

3? 3? ?A , ?B ? 4 4

…………………… 9 分

? 3? ? ? f ( A) ? 3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos[( ? A) ? ] 4 4 4 ? ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ) 6

………………

12 分

5

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 因为 0 ? A ? 最大值为 2.

3? ? ? ,所以当 A ? 时, f ( A) ? 3 sin A ? cos( B ? ) 的 3 4 4
……………………14 分

16.解:(1)若 q ? 1 ,则 S6 ? 2S3 ,与已知矛盾,所以 q ? 1 。………………………… 2 分

? S ? a1 ?1? q3 ? ? 7 ? 3 1? q 从而 ? a1 ?1? q6 ? 解得 S6 ? ? 63 ? 1? q ?
7分 (2) 由

?

a1 ?1 q ?2

,因此 an ? 2n?1 .

………………………………………………

(1)







Sn ? 2n ? 1 ,


…………………………………………………………………………………… 9
2 ?1 ? 2n ? 1? 2

于是 Tn ? 21 ? 1 ? 22 ? 1 ? ? ? 2n ? 1 ? 14 分

? n ? 2n ?1 ? n ? 2 ………………………………………

17.解: (1)设点 A 关于 l 的对称点 D(m, n)

1 ? n?2 ?? ? ?m ? 4 ?m ? 4 2 ?? ? ? n ? 2 ? 2 ? m ? 4 ?n ? ?2 ? ? 2 2

∴ D(4, ?2) (2)

…………………………………………………………………………5 分

∵D 点在直线 BC 上,∴直线 BC 的方程为 3x ? y ? 10 ? 0 ,

因为 C 在直线 y ? 2 x 上,所以 ? 分

?3x ? y ? 10 ? 0 ? x ? 2 所以 C (2, 4) 。……………………………8 ?? ? y ? 2x ?y ? 4

1 ,所以 AC 边上的高所在的直线方程的方程为 3x ? y ? 10 ? 0 。…………10 分 3 (备注:若学生发现 AC ? BC ,进而指出 AC 边上的高即为 BC,AC 边上的高所在的直线方程的方程
∴ k AC ? 为 3x ? y ? 10 ? 0 也可以) (3) S ?ABC ?

1 1 AC ? BC ? ? 2 10 ? 10 ? 10 …………15 分 2 2
k k 中,得 1=4- ,得 k=3 2t+1 1
……………………………………………

18.解 (1)由题意,当 t ? 0 时, x ? 1 ,代入 x=4- 3 6+12x 故 x=4- , ∴y=1.5× ×x-(6+12x)-t 2t+1 x 5分 = 3 + 6x -

t



3



6

? 4- 3 ? ? 2t+1? ? ?



t



27



18 2t+1


6

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t(t≥0).

…………………………………………… 7 分

? 9 18 + (2)由(1)知:y=27- -t=27.5-? 1 ? t+ 2t+1 ? 2
由基本不等式

?t+1? ? 2? ? ?

? ?. ? ?
………………………12 分

? 1? +?t+ ?≥2 1 ? 2? t+ 2
9

? 1? ·?t+ ?=6, 1 ? 2? t+ 2
9

当且仅当

9

1 t+ 2

1 =t+ ,即 t=2.5 时等号成立, 2

……………………13 分



y = 27 -

? 9 18 + - t = 27.5 - ? ?t+1 2t+1 ? 2

?t+1? ? 2? ? ?

? ? ≤27.5 - 6 = ? ?
………………15 分

21.5.

…………………………14 分

答:该厂家 2016 年的年促销费用投入 2.5 万元时,厂家利润最大。 19.解: (1)设直线 l 的方程为

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) ,即 bx ? ay ? ab ? 0 , a b

由直线 l 与圆 O 相切,得

ab a ?b
2 2

? 2 ,即

1 1 1 ? 2 ? , 2 a b 4

……………4 分

DE 2 ? a 2 ? b 2 ? 4(

1 1 ? 2 )(a 2 ? b 2 ) ? 16 , 2 a b

当且仅当 a ? b ? 2 2 时取等号,此时直线 l 的方程为 x ? y ? 2 2 ? 0 .………8 分
2 2 (2)设 B( x0 , y0 ) , P( x1 , y1 )( y1 ? ? y0 ) ,则 C ( x0 , ? y0 ) , x0 ? y0 ? 4 , x12 ? y12 ? 4

直线 PB 的方程为: y ? y1 ?

y0 ? y1 ( x ? x1 ) x0 ? x1 ? y0 ? y1 ( x ? x1 ) x0 ? x1

直线 PC 的方程为: y ? y1 ?

分别令 y ? 0 ,得 xM ?

x1 y0 ? x0 y1 x y ?x y , xN ? 1 0 0 1 , y0 ? y1 y0 ? y1
2 2 2 2 2 x12 y0 ? x0 y1 (4 ? y12 ) y0 ? (4 ? y0 ) y12 ? ? 4 为定值。……16 分 2 2 y0 ? y12 y0 ? y12

所以 OM ? ON ? xM xN ?

20.解:(1)证明:由题设,λ Sn=anan+1+1,λ Sn-1=anan-1+1,两式相减得 λ an=an(an+1-an-1).因为 an≠0,所以 an+1-an-1=λ ,所以 a2n+1-a2n-1=λ ,数列{a2n-1}是等差数列.……… 4 分 (2)由题设,a1=1,λ S1=a1a2+1,可得 a2=λ -1,由(1)知,a3=λ +1.若{an}为等差数列,则 2a2=a1+a3,解得 λ =4,故 an+2-an=4.……………………………………6 分
7

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 由此可得{a2n-1}是首项为 1,公差为 4 的等差数列,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为 3,公差为 4 的等差数列,a2n= 4n- 1.所以 an= 2n -1, an +1- an= 2.因此存在 λ = 4,使得数列 {an}为等差数 列.…………………………………………………………………………………………………………10 分 (3)由题意可知, 1 1 ? 4n 4n n-1 n-1? + bn=(-1)n-1 =(-1) =(-1) ? ?.………12 分 anan+1 (2n-1)(2n+1) ?2n-1 2n+1?

? 1? ?1 1? ? 1 + 当 n 为偶数时,Tn=?1+ ?-? + ?+…+? ? 3? ?3 5? ?2n-3
2n . 2n+1

1 ? ? 1 1 ? 1 + -? ?=1-2n+1= 2n-1? ? ?2n-1 2n+1?

? 1? ?1 1? ? 1 + 1 ?+? 1 + 1 ? 当 n 为奇数时,Tn=?1+ ?-? + ?+…-? ? ? ? ? 3? ?3 5? ?2n-3 2n-1? ?2n-1 2n+1?
1 2n+2 =1+ = . 2n+1 2n+1 2n+2 ? ?2n+1,n为奇数, 所以 T =? (或 T 2n , n 为偶数 . ? ?2n+1
n

n

2n ? 1 ? (?1)n ?1 ? )………………………………16 分 2n ? 1

8


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