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xxx学校2014-2015学年度12月高二月考数学试卷


数学(文)试卷
一、选择题(本题共 10 道小题,每小题 5 分,共 50 分)
1.复数 A.

3 ? 2i ?( ) 1? i

1 5 1 5 1 5 1 5 ? i B. ? i C. ? ? i D. ? ? i 2 2 2 2 2 2 2 2

2.到两定点 F1 ?? 3,0? 、 F

2 ?3,0? 的距离之差的绝对值等于 6 的点 M 的轨迹( ) A.两条射线 B.线段 C.双曲线 D.椭圆

2 2 3.已知 F F1 P F2 = 60 0 ,则 1 、 F2 为双曲线 C: x ? y ? 1的左、右焦点,点 P 在 C 上,∠

| PF 1 | ? | PF 2 | =( )
A.2 B.4 C.6 D.8

4.函数 f ( x) ? 3ln x ? x 2 ? 3 x ? 3 在点 A. ?2 3 B.

?

3, f ( 3) 处的切线斜率是(
D. 4 3

?



3

C. 2 3

5.直线 y ? kx ? 2 与椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 80 相交于不同的两点 P 、 Q ,若 PQ 的中 点横坐标为 2,则直线的斜率等于( A. ) D. 4 )

1 4

B.

1 2
x

C. 2

6.若函数 f ( x) ? e sin x ,则此函数图像在点(4,f(4))处的切线的倾斜角为( A.

? 2

B .0

C.钝角

D.锐角 )

7.函数 f ( x) ? x3 ? 3bx ? 3b 在(0,1)内有极小值,则( A. 0 ? b ? 1 B. b ? 1 C. b ? 0

D. b ?

1 2

8.过点 M(-2,0)的直线 m 与椭圆

x2 ? y 2 ? 1 交于 P1,P2,线段 P1P2 的中点为 P,设 2

直线 m 的斜率为 k1( k1 ? 0 ),直线 OP 的斜率为 k2,则 k1k2 的值为( ) A.2 B.-2 C.

1 2

D.-

1 2

1

9.已知 P 是椭圆

x2 ? y 2 ? 1 上第一象限内的点, A(2,0), B(0,1), O 为原点,则四边形 4


OAPB 面积的最大值为(
A. 2 10.已知函数 f ( x) ? B.

2?2

C.

2

D. 1

1 3 , 2, 3 三个数中任取的一个数, b 是 x ? ax 2 ? b 2 x ? 1 ,若 a 是从 1 3


1 , 2 三个数中任取的一个数,则该函数有两个极值点的概率为( 从 0,
A.

7 9

B.

1 3

C.

5 9

D.

2 3

二、填空题(本题共 5 道小题,每小题 5 分,共 25 分)

11.已知椭圆中心在原点,一个焦点为( 3 ,0),且长轴长是短轴长的 2 倍,则 该椭圆的标准方程是 ▲ .
12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知 y ? 3x 是双曲线 双曲线的离心率为
x

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线方程,则此 a 2 b2



. .

13.曲线 y=xe +2x+1 在点(0,1)处的切线方程为 14.已知函数 f ( x)=

1 1 3 x ? sin x ? cos x 的图象在点 A( x0 , y0 ) 处的切线斜率为 1,则 2 4 4

tan x0 ? ________________.
15.下列说法,其中正确命题的序号为______________. ①若函数 f ( x)=x( x ? c) 在 x =2 处有极大值,则实数 c=2 或 6;
2

② 对 于 R 上 可 导 的 任 意 函 数 f ( x ) , 若 满 足 ( x ? 1 )f?

( x? ) ,0则 必 有

f ( 0? ) f (? 2) f2
3

(1)
2

③若函数 f ( x)=x ? 3x 在 (a ?17, a) 上有最大值,则实数 a 的取值范围为(-1,4); ④已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (1)=0,xf ?( x) ? f ( x) ? 0( x ? 0), 则不等式

f ( x) ? 0 的解集是(-1,0) (1, ??) .
三、解答题(本题共 5 道小题,共 40 分)
16.(12 分)已知命题: p : ( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ,命题 q : x ? 2 x ? 1 ? m ? 0(m ? 0) ,若命题 非 p 是命题非 q 的必要不充分条件,求实数 m 的范围。
2 2

2

17.(12 分)已知椭圆的两焦点为 F 1 (?2,0), F 2 (2,0) , P 为椭圆上一点,且 F 1F2 是 PF 1 与

PF2 的等差中项.(1)求此椭圆方程;(2)若点 P 满足 ?F1PF2 ? 120? ,求 ?PF1F2 的面积.

18.(12 分)椭圆 C : 离为 5 .

3 x2 y 2 ,长轴端点与短轴端点间的距 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 2 a b

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设过点 D (0 , 4) 的直线 l 与椭圆 C 交于 E , F 两点, O 为坐标原点,若 ?OEF 为直 角三角形,求直线 l 的斜率.

19. ( 13 分) 已 知函 数 f ? x ? ? x 3 ? 3 | x ? a | (a ? 0) , 若 f ( x) 在 [?1,1] 上 的 最小 值记 为

g (a) 。
(1)求 g (a ) ; (2)证明:当 x ? [?1,1] 时,恒有 f ( x) ? g (a ) ? 4

3

20.(13 分)已知函数 f ( x ) ?

1 2 ax ? 2 x ? ln x . 2

(1)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间与极值. (2)若 f ( x) 在区间 [ ,2] 上是增函数,求实数 a 的取值范围.

1 3

x2 y 2 21.(13 分)在平面直角坐标系中,椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的上顶点到焦点的距 a b
离为 2,离心率为

3 . 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 是椭圆 C 长轴上的一个动点,过点 P 作斜率为 k 的直线 l 交椭圆 C 于 A 、 B 两点. 若 PA ? PB 的值与点 P 的位置无关,求 k 的值.
2 2

4

试卷答案
1.B 2.A 3.B 略 4.C 知识点:利用导数研究曲线上某点切线方程 解析:由 f ( x) ? 3ln x ? x 2 ? 3 x ? 3 得 f ?( x) ? ∴ f ?( 3) ? 2 3 .故选:C. 【思路点拨】求出原函数的导函数,然后直接取 x ? 3 得 f ( x) ? 3ln x ? x 2 ? 3 x ? 3 在点 5.B 6.C 略 7.A 8.D 9.C 10.D 11.

3 ? 2x ? 3 , x

?

3, f ( 3) 处的导数值,即切线的斜率.

?

x2 ? y2 ? 1 4

12.2 13.y=3x+1 考点:导数的几何意义. 专题:计算题. 分析:根据导数的几何意义求出函数 y 在 x=0 处的导数,从而求出切线的斜率,再用点 斜式写出切线方程,化成斜截式即可; 解答: 解:y′=e +x?e +2,y′|x=0=3, ∴切线方程为 y﹣1=3(x﹣0),∴y=3x+1. 故答案为:y=3x+1
5
x x

点评:本题考查了导数的几何意义,同时考查了导数的运算法则,本题属于基础题. 14. ? 3 略 15.③④ 略

? 2a ? 8 ,? a ? 4 ………2分 16.解:(1)由已知得 2 F 1F 2 ? PF 1 ? PF 2 ?8
从而 c ? 2 ……3分 故 b2 ? a 2 ? c 2 ? 16 ? 4 ? 12 ……………4分 所求椭圆的方程为

x2 y 2 ? ? 1 ……………5分 16 12

2 2 (2)由余弦定理得: | PF 120? …………7分 1 | ? | PF 2 | ?16 ? 2 | PF 1 | ? | PF 2 | ? cos 2 即 (| PF 1 | ? | PF 2 |) ? 2 | PF 1 | ? | PF 2 | ?16 ? ? | PF 1 | ? | PF 2 | ……………9分

解得 | PF 1 | ? | PF 2 |? 48……………10分

? S ?ABC ?


1 | PF1 | ? | PF2 | sin 120 ? ? 12 3 2

……………12 分

17.(Ⅰ)由已知

c 3 ? , a 2 ? b 2 ? 5 ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a 2 ? 4, b2 ? 1, a 2

所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 ;………………4 分 4

(Ⅱ) 根据题意,过点 D(0, 4) 满足题意的直线斜率存在,设 l : y ? kx ? 4 ,
? x2 2 ? ? y ?1 联立 ? 4 ,消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 32kx ? 60 ? 0 , ? y ? kx ? 4 ?

? ? (32k )2 ? 240(1 ? 4k 2 ) ? 64k 2 ? 240 ,
令 ? ? 0 ,解得 k 2 ?
15 . 4

………………7 分

设 E 、 F 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) , ⅰ)当 ?EOF 为直角时,则 x1 ? x2 ? ?
32k 60 , , x1 x2 ? 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2

6

因 为 ?E O F 为 直 角 , 所 以 OE ? OF ? 0 , 即 x1 x? 2

y? y2 , 所 以 1 0

( ? 1k2
所以

1

x) 2x?

4k 1 ? (x

2

, ? ? x) 1 6

0

15 ? (1 ? k 2 ) 32k 2 ? ? 4 ? 0 ,解得 k ? ? 19 .………………9 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
y1 y1 ? 4 ? ? ?1 ,即 x12 ? 4 y1 ? y12 ……① x1 x1

ⅱ)当 ?OEF 或 ?OFE 为直角时,不妨设 ?OEF 为直角, 此时, kOE ? k ? 1 ,所以 又

x12 2 ? y12 ? 1 …………②将①代入②,消去 x1 得 3 y12 ? 4 y1 ? 4 ? 0 ,解得 y1 ? 或 y1 ? ?2 4 3

(舍去), 将 y1 ?
y ?4 2 2 ?? 5, 代入①,得 x1 ? ? 5, 所以 k ? 1 x1 3 3

经检验,所求 k 值均符合题意。 综上,k 的值为 ? 19 和 ? 5 .

………………11 分 ………………12 分

略 18.

?a 3 , 0 ? a ? 1 (1) g (a ) ? ? ;(2) 见解析 ??2 ? 3a, a ? 1
知识点:导数在最大值、最小值问题中的应用 解析:(1)因为 a ? 0, ?1 ? x ? 1 ,所以 (ⅰ)当 0 ? a ? 1 时, 若 x ? [?1, a ] ,则 f ( x) ? x ? 3 x ? 3a, f ?( x) ? 3 x ? 3 ? 0 ,故 f ( x) 在 (?1, a ) 上是
3 2

减函数; 若 x ? [a,1] ,则 f ( x) ? x ? 3 x ? 3a, f ?( x) ? 3 x ? 3 ? 0 ,故 f ( x) 在 ( a,1) 上是增
3 2

函数; 所以 g (a ) ? f (a ) ? a
3

………2 分

3 2 (ⅱ)当 a ? 1 时,有 x ? a ,则 f ( x) ? x ? 3 x ? 3a, f ?( x) ? 3 x ? 3 ? 0 ,

故 f ( x) 在(-1,1)上是减函数,所以 g (a ) ? f (1) ? ?2 ? 3a
7

……………4 分

综上, g (a ) ? ?

?a 3 , 0 ? a ? 1 ??2 ? 3a, a ? 1
3

……………6 分

(2)证明:设 h(x)=f(x)﹣g(a), ①当 0<a<1 时,g(a)=a , 若 x∈[a,1],h(x)=x +3x﹣3a﹣a ,h′(x)=3x +3, ∴h(x)在[a,1]上是增函数, 所以 h( x) 在 [a,1] 设的最大值是 h(1) ? 4 ? 3a ? a 3 ,且 0 ? a ? 1 ,所以 h(1) ? 4 , 故 f ( x) ? g (a) ? 4 若 x ? [?1, a ], h( x) ? x ? 3 x ? 3a ? a ,得 h?( x) ? 3 x ? 3 ,则 h( x) 在 (?1, a ) 上是减函
3 3 2
3 3 2

数,所以 h( x) 在 [?1, a ] 设的最大值是 h(?1) ? 2 ? 3a ? a 令 t (a ) ? 2 ? 3a ? a ,则 t ?(a ) ? 3 ? 3a ? 0
3 2

3

……8 分

知 t (a ) 在 (0,1) 上是增函数,所以, t (a ) ? t (1) ? 4 ,即 h(?1) ? 4 故 f ( x) ? g (a) ? 4 ………10 分
3 2

②a≥1 时,g(a)=﹣2+3a,∴h(x)=x ﹣3x+2,∴h′(x)=3x ﹣3, ∴h(x)在[﹣1,1]上是减函数, ∴h(x)在[﹣1,1]上的最大值是 h(﹣1)=4, ∴f(x)≤g(a)+4; 综上,当 x∈[﹣1,1]时,恒有 f(x)≤g(a)+4. 【思路点拨】(1)分类讨论,利用导数确定函数的单调性,即可求 g(a);(2)设 h (x)=f(x)﹣g(a),分类讨论,求最值,可以证明 x∈ [﹣1,1]时,恒有 f(x)≤g(a) +4. 19.

【知识点】导数的应用 B12 【答案解析】(Ⅰ)极小值为 1+ln2,函数无极值. (2) (Ⅰ)函数的定义域为 (0, ??) , f ( x ) ?

1 2 ax ? 2 x ? ln x ,当 a=0 时, 2
的变化情况如下表

f ( x) ? 2 x ? ln x ,则 f ?( x) ? 2 ?

1 , ∴ x
8

x

(0, -

) 0 极小值

( +

,+∞)

∴当

时,

的极小值为 1+ln2,函数无极值.

(Ⅱ)由已知,得





,由



,显然不合题意,



∵函数

区间

是增函数,





恒成立,即不等式



恒成立,



恒成立,

故 ∴实数 的取值范围为

,而当 .

,函数



另解: ∵函数

区间

是增函数



对 设 ,

恒成立,即不等式 恒成立

对 恒成立,

恒成立,



,由



,显然不符合题意;

9



,由



无解,显然不符合题意;





,故

,解得

,所以实数 的取值范围为



【思路点拨】(Ⅰ)首先确定函数的定义域(此步容易忽视),把 行求导,列

代入函数,再进

的变化情况表,即可求函数的极值;(Ⅱ)先对函数求导,得

,再对 分 这种情况),由题意函数



两种情况讨论(此处易忽视 对 [ , 2] 恒成

在区间 [ , 2] 是增函数,则

1 3

1 3

立,即不等式 的取值范围. 20. (1)由题设可知 a ? 2 , e ? 故所求椭圆方程为

对 [ , 2] 恒成立,从而再列出 应满足的关系式,解出

1 3

c 3 ? , c ? 3, 所以 b ? 1 , a 2

x2 ? y 2 ? 1. 4

……………………………5 分

(2)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? m) . A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,联立直线 l 与椭圆 C 的 方程,

? y ? k ( x ? m) ? 2 2 2 2 2 即 ? x2 得 (4k ? 1) x ? 8mk x ? 4(k m ?1) ? 0 , 2 ? y ?1 ? ? 4
? 8mk 2 x ? x ? ? ? 1 2 1 ? 4k 2 则? 2 2 ? x ? x ? 4(k m ? 1) 1 2 ? 1 ? 4k 2 , ?

10

?2mk ? y1 ? y2 ? ? ? 1 ? 4k 2 ? 2 2 2 ? y ? y ? k m ? 4k ? 1 2 1 ? 4k 2 ?
所以

……7 分

PA ? PB ? ( x1 ? m) 2 ? y12 ? ( x2 ? m) 2 ? y2 2 ?

2

2

3 2 ( x1 ? x2 2 ) ? 2m( x1 ? x2 ) ? 2m 2 ? 2 4

m2 (?8k 4 ? 6k 2 ? 2) ? (1 ? 4k 2 )(8k 2 ? 8) ? (1 ? 4k 2 )2
① ………10 分

2 2 因为 PA ? PB 的值与点的 P 位置无关,即 ①式取值与 m 无关,所以有

?8k 4 ? 6k 2 ? 2 ? 0,
解得 k ? ?

1 ,所以 k 的值是 2
………12 分

?

1 . 2

11


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