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云南楚雄师院附中09届高三第一学期摸底考试数学试卷及答案(理科)( 2008.9.3)


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云南楚雄师院附中 09 届高三第一学期摸底考试 数学试卷及答案 2008.9.3

班级_________姓名 ________学号___________ 一、选择题:本题共有 12 个小题,每小题 5 分,共

60 分 ) 1. 设全集 U ? {1, 2,3, 4,5} , 集合 N ? {3, 4,5} , ? {3,5} , 则集合 (CU M ) ? N 等于 ( M A. {4} 2.函数 B. {2,3, 4,5} C. {1,3, 4,5} D. ? ( )

y ? 3x?1 (?1≤ x ? 0) 的反函数是


(A) (C)

y ? 1 ? log3 x ( x ? 0)

(B) y ? ?1 ? log3 x (D)

( x ? 0)

y ? 1 ? log3 x (1≤ x ? 3)

y ? ?1 ? log3 x (1≤ x ? 3)


3.在等差数列 {an } 中, a1 ? 3a8 ? a15

? 120 ,则 2a9 ? a10 ?

) A.24 4. 已知曲线 y ? A.3 B.22 C.20 D. ? 8 ( )

1 2 1 x ? 3 ln x 的一条切线的斜率为 , 则切点的横坐标为 4 2 1 B.2 C.1 D. 2
则下列判断正确的是 ? n(n ? 40) , C.a19<0, a21>0
2

5. 已知数列{an}的前 n 项和 S n A.a19>0, a21<0 值为(

( D.a19<0, a20>0



B.a20>0, a21<0

6.已知等比数列 {an } 中, an

? 0, a1 , a99 为方程 x ? 10x ? 16 ? 0 的两根,则 a20 ? a50 ? a80 的

) A. 32 B. 64 C. 128 D. 256 ? 2 2 7. 将圆 x +y =1 按向量 a = (2, -1)平移后与直线 x-y-b=0 相切, 则实数 b 的值是 ( A. ? 3 ?



2

B. ? 1?

2

C. 2 ?

2

D. 3 ?

2

8.在一个口袋中装有 5 个黑球和 3 个白球,这些球除颜色外完全相同.从中摸出 3 个球,则摸出 白球的个数多于黑球个数的概率为 ( (A) )

3 8

(B)

3 7

(C)

2 7

(D)

9 28

9.若函数

f ( x) ? a ? x (a ? 0, a ? 1) 是定义域为 R 的增函数,则函数 f ( x) ? loga ( x ?1) 的图
象大 致是

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( )

10.数列 和为( A、 n

?an ? 的通项公式为 an ? 4n ?1,令 bn ?

2

a1 ? a2 ? L ? an ,则数列 ?bn ? 的前 n 项的 n
D、 n(2n ? 1)

B、 n(n ? 2)

C、 n(n ? 1)

11.若指数函数 ( ) A. {x C. {x

f ( x) ? a x (a ? 0, a ? 1) 的部分对应值如右表 则不等式 f ?1 ( x ) ? 0 的解集为

?1 ? x ? 1} 0 ? x ? 1}

B. {x x ? ?1 或x ? 1} D. {x ? 1 ? x ? 0 或 0 ? x ? 1}

x
f (x)

?2
0.592

0 1

12.给出下列命题: ①如果函数 f ( x ) 对任意的 x ? R ,都有 f (a ? x) ? f (a ? x) (a 为一个常数),那么函数

f ( x) 必为偶函数;
②如果函数 f ( x ) 对任意的 x ? R ,满足 f (2 ? x) ? ? f ( x) ,那么函数 f ( x ) 是周期函数; ③如果函数 f ( x ) 对任意的 x1、x2 ?R, 且 x1 函数 f ( x ) 在 R 上是增函数; ④函数 y ? f ( x) 和函数 y ? f ( x ? 1) ? 2 的图象一定不能重合. 其中真命题的序号是 ( ) (A)①④ 题号 答案 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 13. lim (
x ??2

? x2 ,都有(x1 ? x2 )[ f ( x1 ) ? f ( x2 )] ? 0 ,那么

(B)②③ 1 2 3 4 5

(C)①②③ 6 7 8 9

(D)②③④ 10 11 12

4 1 ? ) ? _______________. 2 4? x 2? x

14.已知等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ? ? ? a9 公差 d ? _______.
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? 81 且 a6 ? a7 ? ? ? a14 ? 171 ,则 a5 ?



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15.已知函数

f ( x) ? loga ( x ? 1) 的定义域和值域都是 [0,1] ,则 a 的值是
__ .



2 16.若不等式 2x ? x ? a 对于一切 x???2,3? 恒成立,则实数 a 的取值范围为__

三、解答题:( 本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.) 17.(本小题共 10 分)已知全集 U ? R ,集合 A ?

?x | log2 (3 ? x) ≤ 2?, 集合

5 ? ? B ? ?x | ≥ 1? . ? x?2 ?
(I)求 A , B ;(II)求

(? A) ? B . U

18. (本题 12 分) 已知 A、 C 是 ?ABC 三内角, B、 向量 m ? (?1, 3) , ? (cos A, sin A) 且 m ? n ? 1 n (1)求角 A; (2)若

1 ? sin 2B ? ?3, 求 tan C . cos 2B

19.(本小题共 12 分)某选手进行实弹射击训练,射击中每次射击的结果是相互独立的.已知他 每次射击时,命中环数 ? 的分布列如下表:

?
P

8 0.1

9 0.5

10 0.4

该选手在训练时先射击三次,若三次射击的总环数不小于 29 环,则射击训练停止;若三次射击 的总环数小于 29 环,则再射击三次,然后训练停止. (I)求该选手在射击训练中恰好射击三次的概率;
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(II)求该选手训练停止时,射击的次数 ? 的分布列及期望.

20.(本题满分 12 分)已知直三棱柱 ABC-A1B1C1 的侧棱长与底面三角形的各边长都等于 a, 点 D 为 BC 的中点. 求证:(1)平面 AC1D⊥平面 BCC1B1;(2)A1B∥平面 AC1D. (3)求二面角 C1-DA-C. B1 C1 A1

A

B

D
(第 20 题)

C

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ?
2

a ( x ? 0, 常数 a ? R) 。 x

(1)讨论函数 f (x ) 的奇偶性,并说明理由; (2)若函数 f (x ) 在 x ? [2,??) 上为增函数,求 a 的取值范围。

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(22)(本小题共 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且

a1 ? 1, nan?1 ? (n ? 2)Sn (n ? 1, 2,3,?).
(I)求证:数列 {

Sn S } 为等比数列; (II)求数列 {an } 的通项公式及前 n 项和 Sn ,并求 lim n ; n ?? a n n

(III)若数列 {bn } 满足: b1 ?

1 bn ?1 bn ? S n ? , (n ? 1, 2,3,?),求数列 {bn } 的通项公式. n 2 n ?1

楚雄师院附中 09 届高三第一学期摸底考试数学试卷答 案
一、选择题 题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 A 5 C 6 B 7 D 8 C 9 D 10 B 11 D 12 B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分.有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分,共 30 分) (13)

1 4

(14)9,2

(15)2

(16) (??, ?8)

三、解答题 (17) 解: (I)由已知得:

?3 ? x ≤ 4 log2 (3 ? x) ≤ log2 4 , ∴ ? ?3 ? x ? 0,

解得 ?1 ≤ x ? 3 , ∴ A ? {x | ?1 ≤ x ? 3} .

5 ≥ 1, 得( x ? 2)( x ? 3) ≤ 0, 且x ? 2 ? 0 , 解得 ?2 ? x ≤ 3 . ∴ x?2 B ? {x | ?2 ? x ≤ 3}. (II)由(I)可得 ?R A ? {x | x ? ?1或x ≥ 3} .
由 故 (? A) ? B ? {x | ?2 ? x ? ?1 或 x ? 3} . U

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(18)、解:(1)∵ m ? n ? 1 ∴ ?1, 3 ? ? cos A,sin A? ? 1 即

?? ?

?

?

3 sin A ? cos A ? 1, sin ? A ? ? ? ? 1 ? ? 6 2
? ?

∵0 ? A ? ?,?

?
6

6 6 3 1 ? 2sin B cos B 1 ? sin 2B ? ?3 , (1)由题知 ? ?3 ? cos 2 B ? sin 2 B cos 2B
(sin B ? cos B) 2 sin B ? cos B tan B ? 1 ? ?3 ? ? ?3 ? ? ?3 ? tan B ? 2 (cos B ? sin B)(cos B ? sin B) cos B ? sin B 1 ? tan B
所以 ∴ tan C ? tan ?? ? ? A ? B ? ? ? ? tan ? A ? B? ? ? ? ?

? A?

?
6

?

5? 6

∴ A?

?

?

?

∴A?

?

tan A ? tan B 2? 3 8?5 3 ?? ? 1 ? tan A tan B 11 1? 2 3

-------------------------------------12 分 (19) 解:(I)“射击三次的总环数为 30”的事件记为 A,“射击三次的总环数为 29” 的事 件记为 B. 则 P( A) ? 0.4
3

? 0.064 , P( B) ? C1 0.42 ? 0.5 ? 0.24 . 3

由已知,事件 A 与 B

互斥,所以射击三次的总环数不小于 29 环的概率为

P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ? 0.304 .
0.304.

即该选手恰好射击了三次的概率为 (II)由(Ⅰ)的结果可得分布列如下

?
P

3 0.304

6 0.696 即该选手训练停止时射击的次数 ? 的

E? ? 3 ? 0.304 ? 6 ? 0.696 ? 5.088 .
期望为 5.088.

(20).证明:(1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 BB1⊥平面 ABC. 又 BB1 ? 平面 BCC1B1,∴侧面 BCC1B1⊥平面 ABC. 在正三角形 ABC 中,D 为 BC 的中点,∴AD⊥BC. 由面面垂直的性质定理,得 AD⊥平面 BCC1B1. 又 AD ? 平面 AC1D, ∴平面 AC1D⊥平面 BCC1B1. (2)连 A1C 交 AC1 于点 O,四边形 ACC1A1 是平行四边形, O 是 A1C 的中点.又 D 是 BC 的中点,连 OD,由三角形 中位线定理,得 A1B1∥OD. ∵OD ? 平面 AC1D,A1B ? 平面 AC1D,∴A1B∥平面 AC1D. (21). (1) a ? 0 时, f ( x ) 为偶函数, a ? 0 时, f ( x ) 为非奇非偶函数; (2) f ( x) ? 2 x ?
?

a ? 0, 则a ? 2 x 3 ? x ? 2 ? 2 x 3 ? 16 ? a ? 16 2 x

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(22) 解:(I)将 an?1

? Sn?1 ? Sn 代入已知 nan?1 ? (n ? 2)Sn ,整理得

S n ?1 S ? 2 n (n ? 1, 2,3,?). n ?1 n S S 又由已知 1 ? 1 ,所以数列 { n } 是首项为 1,公比为 2 的等比数列. 1 n S n ?1 n?1 (II)由(I)的结论可得 n ? 2 , ∴ Sn ? n2 . n
当 n ≥ 2 时, an 由已知 a1 ∴

? Sn ? Sn?1 ? n ? 2n?1 ? ? n ?1? 2n?2 ? 2n?2 ? ? 2n ? n ?1? ? (n ?1)2n?2 ,

? 1 ,∵当 n ? 1 时, (n ? 1)2n?2 ? 1 ,

an ? (n ?1)2n?2 (n ? 1, 2,3,?).
∴ lim

Sn 2n 2 ? lim ? lim ?2 n?? a n?? n ? 1 n?? 1 n 1? n b b ? Sn b b (III)由 n ?1 ? n (n ? 1, 2,3,?),得 n ?1 ? n ? 2n ?1 , n ?1 n n ?1 n
由此式可得

bn bn ?1 ? ? 2n ? 2 , n n ?1 bn ?1 b ? n ? 2 ? 2 n ?3 , n ?1 n ? 2 ? b3 b2 ? ? 23? 2 , 3 2 b2 b1 ? ? 22? 2 . 2 1

bn 1 1 ? 2n ?1 1 ? ? ? 2n ?1 ? , 把以上各等式相加化简得 n 2 1? 2 2
∴ bn ? .

n n (2 ? 1) (n ? 1, 2,3,?) 2

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云南楚雄师院附中09届高三第一学期摸底考试数学试卷及答案(理科)( 2008.9.3)

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