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2015年秋新人教A版高中数学选修4-5:1.2.1《绝对值三角不等式》ppt课件

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第一讲 不等式和绝对值不等式 1.2 绝对值不等式 1.2.1 绝对值三角不等式 栏 目 链 接 利用绝对值三角不等式证明不等式 若|a-b|>c,|b-c|<a,求证:c<a. 证明:由|a-b|>c 及|b-c|<a 得 c-a<|a-b|-|b-c|≤|(a-b)+(b-c)|= |a-c|=|c-a|. 由 c-a<|c-a|知 c-a<0,故 c<a. ε

ε 设 ε>0,|x-a|< ,|y-b|< . 4 6 栏 目 链 接 求证:|2x+3y-2a-3b|<ε. 分析: 将 2x+3y-2a-3b 写成 2(x-a)+3(y-b)的形式后利用定 理 1 和不等式性质证明. 证明:|2x+3y-2a-3b|=|2(x-a)+3(y-b)|≤ |2(x-a)|+|3(y-b)|=2|x-a|+3|y-b|< 栏 目 链 接 ε ε 2× +3× =ε. 4 6 ?变式训练 ε ε 1.设 A、ε>0,|x-a|< ,|y-b|< ,|b|≤A,|x|≤A,求证:|xy 2 2 -ab|<Aε. 栏 目 链 证明: |xy-ab|=|xy-bx+bx-ab|=|x(y-b)+b(x-a)|≤|x(y-b)|接 +|b(x-a)|≤|x||y-b|+|b||x-a|<A· +A· =Aε. 2 2 所以有|xy-ab|<Aε. ε ε 2.已知函数 f(x)=x2-x+13,|x-a|<1,求证:|f(x)-f(a)|<2(|a| +1). 证明:|f(x)-f(a)|=|x2-x+13-(a2-a+13)|=|x2-a2-x+a|= |(x-a)(x+a-1)|=|x-a|· |x+a-1|<|x+a-1|=|x-a+2a-1|≤|x- a|+|2a-1|<1+|2a|+1=2(|a|+1). ∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1). 栏 目 链 接 利用绝对值三角不等式求最值 求函数y=|x-4|+|x-6|的最小值. 分析:由|a-c|≤|a-b|+|b-c|知|a-b|+|b-c≥|a-c| 成立,故|x-4|+|x-6|=|4-x|+|x-6|≥|4-x+x-6| =2,从而可求. 栏 目 链 接 解析:y=|x-4|+|x-6|=|4-x|+|x-6|≥ |4-x+x-6|=2, ∴y≥2. ∴函数的最小值为y=2, 此时(4-x)(x-6)≥0,即4≤x≤6. 栏 目 链 接 ∴当4≤x≤6时,函数的最小值为2. 点评: 定理既可正用,也可逆用,但应注意适用的条件. ?变式训练 3.(2014· 福建高考理科)已知定义在 R 上的函数 f(x)=|x+1|+|x -2|的最小值为 a,求 a 的值. 栏 目 链 接 解析:∵|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 当且仅当-1≤x≤2 时,等号成立, ∴f(x)的最小值为 a=3

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