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2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(广东.理)含详解

时间:2014-10-25


绝密★启用前

试卷类型:B

2009 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(理科)
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签宇笔将自己的姓名和考生号,试室号, 座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题

卡相应位置上. 将条形码横贴在答题卡右上角"条形码粘贴处" . 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点,再作答. 漏涂,错涂,多涂的,答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式:锥体的体积公式 V =

1 sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高 3

一,选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.巳知全集 U = R ,集合 M = {x 2 ≤ x 1 ≤ 2} 和 N = {x x = 2k 1, k = 1, 2,} 的关系的 韦恩(Venn)图如图 1 所示,则阴影部分所示的集合的元素共有 A.3个 B.2个 . C.1个 D.无穷个 2.设 z 是复数, a ( z ) 表示满足 z n = 1 的最小正整数 n ,则对虚数单 位 i , a (i ) = A.8 B.6 C.4 D.2

3.若函数 y = f ( x) 是函数 y = a x ( a > 0, 且a ≠ 1) 的反函数,其图像经过点 ( a , a ) ,则

f ( x) =
A. log 2 x B. log 1 x
2

C.

1 2x

D. x

2

4.已知等比数列 {an } 满足 an > 0, n = 1, 2, ,且 a5 a2 n 5 = 2 ( n ≥ 3) ,则当 n ≥ 1 时,
2n

log 2 a1 + log 2 a3 + + log 2 a2 n 1 =
A. n(2n 1) B. (n + 1) 2 C. n
2

D. ( n 1) 2

5.给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.其 中,为真命题的是 A.①和② B.②和③ C..③和④ D.②和④ 的作用而处于平衡状态.已知 F1 , F2 成 6. 一质点受到平面上的三个力 F1 , F2 , F3(单位:牛顿)

600 角,且 F1 , F2 的大小分别为2和4,则 F3 的大小为
A.6 B.2 C. 2 5 D. 2 7
w.w.w.k.s.5. u.c. o. m

7.2010 年广州亚运会组委会要从小张,小赵,小李,小罗,小王五名志愿者中选派四人分别 从事翻译,导游,礼仪,司机四项不同工作,若其中小张和小赵只能从事前两项工作,其余 三人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有 A.36 种 B.12 种 C.18 种 D.48 种 8.已知甲,乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线)行驶.甲车,乙车的速 度曲线分别为 v甲和v乙 (如图 2 所示) .那么对于图中给定的 t0和t1 ,下列判断中一定正确的是 A.在 t1 时刻,甲车在乙车前面 B. t1 时刻后,甲车在乙车后面 C.在 t0 时刻,两车的位置相同 D. t0 时刻后,乙车在甲车前面 二,填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分, 满分 30 分. (一)必做题(9~12题) 9.随机抽取某产品 n 件,测得其长度分别为 a1 , a2 , , an ,则图 3 所示的程序框图输出的 s = ,s 表示的样本的数字特征 是 . (注:框图中的赋值符号"="也可以写成"←" ":=" ) 1 0 . 若 平 面 向 量 a, b 满 足 a + b = 1 , a + b 平 行 于 x 轴 ,

b = (2, 1) ,则 a =

.

w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

11. 巳知椭圆 G 的中心在坐标原点, 长轴在 x 轴上, 离心率为

3 , 2

且 G 上一点到 G 的两个焦点的距离之和为 12,则椭圆 G 的方 . 程为

12.已知离散型随机变量 X 的分布列如右表.若 EX = 0 , DX = 1 ,则 a = b= . (二)选做题(13 ~ 15 题,考生只能从中选做两题) 13. (坐标系与参数方程选做题) 若直线 l1 : 参数)垂直,则 k = .

,

x = 1 2t , x = s, (t为参数) 与直线 l2 : (s为 y = 2 + kt. y = 1 2 s.

14. (不等式选讲选做题)不等式

x +1 x+2

≥ 1 的实数解为

.

15.(几何证明选讲选做题)如图 4,点 A, B, C 是圆 O 上的点, 且

AB = 4, ∠ACB = 450 ,则圆 O 的面积等于

.

三,解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤, 16.(本小题满分12 12分) 12 已知向量 a = (sin θ , 2)与b = (1, cos θ ) 互相垂直,其中 θ ∈ (0, (1)求 sin θ 和 cos θ 的值; (2)若 sin(θ ) =

π
2

).

10 π , 0 < < ,求 cos 的值. 10 2

w.w.w.k.s.5.u.c.o. m

17. (本小题满分12分) 根据空气质量指数 API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:

对 某 城 市 一 年 ( 365 天 ) 的 空 气 质 量 进 行 监 测 , 获 得 的 API 数 据 按 照 区 间

[0, 50], (50,100], (100,150], (150, 200], (200, 250], (250, 300] 进
行分组,得到频率分布直方图如图5 (1)求直方图中 x 的值; (2)计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数; (3) 求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. (结果用分数表示.已知

57 = 78125, 27 = 128,

3 2 7 3 8 123 + + + + = ,365 = 73 × 5 ) 1825 365 1825 1825 9125 9125

w.w.w.k.s.5. u.c. o.m

18. (本小题满分14分) 如图6,已知正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的棱长为2,点E是正方形 BCC1 B1 的中心,点 F,G分别是棱 C1 D1 , AA1 的中点.设点 E1 , G1 分别是点E,G在平面 DCC1 D1 内的正投影. (1)求以E为顶点,以四边形 FGAE 在平面 DCC1 D1 内的 正投影为底面边界的棱锥的体积; (2)证明:直线 FG1 ⊥ 平面FEE1 ; (3)求异面直线 E1G1与EA 所成角的正统值

19. (本小题满分14分) 已知曲线 C : y = x 2 与直线 l : x y + 2 = 0 交于两点 A( x A , y A ) 和 B ( xB , y B ) ,且 x A < xB .记 曲线 C 在点 A 和点 B 之间那一段 L 与线段 AB 所围成的平面区域 (含边界) D . 为 设点 P ( s, t ) 是 L 上的任一点,且点 P 与点 A 和点 B 均不重合. (1)若点 Q 是线段 AB 的中点,试求线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程; (2)若曲线 G : x 2ax + y 4 y + a +
2 2 2
w.w.w.k.s.5.u.c. o.m

51 = 0 与点 D 有公共点,试求 a 的最小值. 25

20. (本小题满分14分)

已知二次函数 y = g ( x ) 的导函数的图像与直线 y = 2 x 平行,且 y = g ( x ) 在 x = 1 处取得 极小值 m 1( m ≠ 0) .设 f ( x ) =

g ( x) . x

(1)若曲线 y = f ( x) 上的点 P 到点 Q (0, 2) 的距离的最小值为 2 ,求 m 的值; (2) k ( k ∈ R ) 如何取值时,函数 y = f ( x ) kx 存在零点,并求出零点.
w.w.w.k.s.5.u.c. o. m

21. (本小题满分14分) 已知曲线 Cn : x 2nx + y = 0( n = 1, 2,…) .从点 P ( 1, 0) 向曲线 Cn 引斜率为 kn ( kn > 0)
2 2

的切线 ln ,切点为 Pn ( xn , yn ) . (1)求数列 {xn }与{ yn } 的通项公式; (2)证明: x1 x3 x5 x2 n 1 <

1 xn x < 2 sin n 1 + xn yn

w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m

2009 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 ( 广 东 卷 )

数学(理科) 数学(理科)参考答案
一, 选择题 1-8 B .C. 二. ,填空题 (一)必做题 9.【解析】 s = B. C D. D A A.

a1 + a 2 + + a n ;平均数 n

11. 【 解 析 】

a + b = (1,0)



(1,0) , 则 a = (1,0) (2,1) = (1,1)



a = (1,0) (2,1) = (3,1)
11.【解析】 e =

x2 y2 3 , 2a = 12 , a = 6 , b = 3 ,则所求椭圆方程为 + = 1. 2 36 9
11 1 1 2 2 2 , a + c + = 0 ,1 × a + 1 × c + 2 × = 1, 12 6 12

12.【解析】由题知 a + b + c = 解得 a = (二)选做题 13.【解析】

5 1 ,b = . 12 4 k × (2) = 1 ,得 k = 1 . 2

x +1 ≥ x + 2 ( x + 1) 2 ≥ ( x + 2) 2 3 14.【解析】 ≥1 x ≤ 且 x ≠ 2 x+2 2 x + 2 ≠ 0 x + 2 ≠ 0
x +1
15. 解析】 【 解法一: 连结 OA ,OB , ∠AOB = 90 , AB = 4 ,OA = OB , OA = 2 2 , 则 ∵ ∴
0

则 S圆 = π × ( 2 2 ) = 8π ; 解 法 二 : 2 R =
2

4 =4 2R=2 2 , 则 sin 45 0

S圆 = π × (2 2 ) 2 = 8π .
三,解答题 16. 解: (1)∵ a 与 b 互相垂直,则 a b = sin θ 2 cos θ = 0 ,即 sin θ = 2 cos θ ,代入

sin 2 θ + cos 2 θ = 1



sin θ = ±

2 5 5 , cos θ = ± 5 5

,



π θ ∈ (0, )
2

,



sin θ =
( 2

2 5 5 , cos θ = . 5 5
) ∵

0< <

π
2

,

0 <θ <

π
2

,




,

π
2

< θ <

π
2

,



cos(θ ) = 1 sin 2 (θ ) =

3 10 10



cos = cos[θ (θ )] = cos θ cos(θ ) + sin θ sin(θ ) =
17. 解: (1) 由图可知 50x = 1 ( 解得 x =

2 . 2

3 2 7 3 8 123 + + + + ) × 50 = 1 × 50 , 1825 365 1825 1825 9125 9125

119 ; 18250

(2) 365 × (

119 2 × 50 + × 50) = 219 ; 18250 365

(3)该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为

119 2 219 3 3 2 × 50 + × 50 = = ,则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为 1 = , 18250 365 365 5 5 5 76653 7 2 7 3 0 6 2 6 3 1 . 一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为 1 C 7 ( ) ( ) C 7 ( ) ( ) = 5 5 5 5 78125
18. 解: (1)依题作点 E , G 在平面 DCC1 D1 内的正投影 E1 , G1 ,则 E1 , G1 分别为 CC1 ,

DD1 的中点,连结 EE1 , EG1 , ED , DE1 ,则所求为四棱锥 E DE1 FG1 的体积,其底面 DE1 FG1 面积为
1 1 × 2 × 2 + × 1× 2 = 2 , 2 2 1 2 又 EE1 ⊥ 面 DE1 FG1 , EE1 = 1 ,∴ V E DE1FG1 = S DE1FG1 EE1 = . 3 3
S DE1FG1 = S RtE1FG1 + S RtDG1E1 =
(2)以 D 为坐标原点, DA , DC , DD1 所在直线分别作 x 轴, y 轴, z 轴,得 E1 (0,2,1) ,

G1 (0,0,1) , 又 G (2,0,1) , F (0,1,2) , E (1,2,1) , 则 FG1 = (0,1,1) , FE = (1,1,1) ,
FE1 = (0,1,1) ,
∴ FG1 FE = 0 + ( 1) + 1 = 0 ,FG1 FE1 = 0 + ( 1) + 1 = 0 , FG1 ⊥ FE ,FG1 ⊥ FE1 , 即 又 FE1 ∩ FE = F ,∴ FG1 ⊥ 平面 FEE1 . (3) E1G1 = (0,2,0) , EA = (1,2,1) ,则 cos < E1G1 , EA >=

E1G1 EA E1G1 EA

=

2 6

,设异面

直线 E1G1与EA 所成角为 θ ,则 sin θ = 1

2 3 = . 3 3
1 5 2 2

19. 解: (1)联立 y = x 2 与 y = x + 2 得 x A = 1, x B = 2 ,则 AB 中点 Q ( , ) ,设线段 PQ

1 5 +s +t 1 5 的中点 M 坐标为 ( x, y ) ,则 x = 2 ,y = 2 ,即 s = 2 x , t = 2 y ,又点 P 在曲 2 2 2 2
线 C 上, ∴ 2y

5 1 11 = (2 x ) 2 化简可得 y = x 2 x + ,又点 P 是 L 上的任一点,且不与点 A 和点 2 2 8 1 1 5 11 B 重合,则 1 < 2 x < 2 ,即 < x < ,∴中点 M 的轨迹方程为 y = x 2 x + 2 4 4 8

(

1 5 < x < ). 4 4
2 2 2

(2)曲线 G : x 2ax + y 4 y + a + 即圆 E : ( x a ) + ( y 2) =
2 2

51 =0, 25

y
xB xA D

49 7 ,其圆心坐标为 E (a,2) ,半径 r = 25 5 51 2 2 2 由图可知, 0 ≤ a ≤ 2 时, 当 曲线 G : x 2ax + y 4 y + a + =0 25
51 = 0 与点 D 有公 25

与点 D 有公共点; 当 a < 0 时, 要使曲线 G : x 2ax + y 4 y + a +
2 2 2

o

x

共 点 , 只 需 圆 心 E 到 直 线 l:x y+2=0 的 距 离 d =

|a2+2| 2

=

|a| 2



7 ,得 5



7 2 7 2 ≤ a < 0 ,则 a 的最小值为 . 5 5

20. 解: (1)依题可设 g ( x ) = a ( x + 1) 2 + m 1 ( a ≠ 0 ),则 g ' ( x ) = 2a ( x + 1) = 2ax + 2a ; 又 g ′ ( x ) 的图像与直线 y = 2 x 平行

∴ 2a = 2

a =1 g ( x) x

∴ g ( x) = ( x + 1) 2 + m 1 = x 2 + 2 x + m , f ( x ) =

= x+

m +2, x

设 P xo , yo ,则 | PQ | = x 0 + ( y 0 2) = x 0 + ( x 0 +
2 2 2 2

(

)

m 2 ) x0

2 = 2 x0 +

m2 + 2 m ≥ 2 2 m 2 + 2 m = 2 2 | m | +2 m 2 x0
2

当且仅当 2 x 0 =

m2 时, | PQ | 2 取得最小值,即 | PQ | 取得最小值 2 2 x0

当 m > 0 时, ( 2 2 + 2) m = 当 m < 0 时, ( 2 2 + 2) m =

2 2

解得 m =

2 1

解得 m = 2 1

m + 2 = 0 ( x ≠ 0 ),得 (1 k ) x 2 + 2 x + m = 0 x m m 当 k = 1 时,方程 (*) 有一解 x = ,函数 y = f ( x ) kx 有一零点 x = ; 2 2
(2)由 y = f ( x ) kx = (1 k ) x + 当 k ≠ 1 时,方程 (*) 有二解 = 4 4m (1 k ) > 0 ,

( *)

若 m > 0 , k > 1

1 , m

函数 y = f ( x ) kx 有两个零点 x = 若 m < 0 , k < 1

1 ± 1 m(1 k ) 2 ± 4 4m(1 k ) ,即 x = ; k 1 2(1 k )

1 , m

函数 y = f ( x ) kx 有两个零点 x =

1 ± 1 m(1 k ) 2 ± 4 4m(1 k ) ,即 x = ; k 1 2(1 k )
k = 1 1 , m

当 k ≠ 1 时,方程 (*) 有一解 = 4 4m (1 k ) = 0 , 函数 y = f ( x ) kx 有一零点 x =

1 = m k 1 m ; 2

综上,当 k = 1 时, 函数 y = f ( x ) kx 有一零点 x = 当 k > 1

1 1 ( m > 0 ),或 k < 1 ( m < 0 )时, m m

函数 y = f ( x ) kx 有两个零点 x = 当 k = 1 21.

1 ± 1 m(1 k ) ; k 1

1 1 时,函数 y = f ( x ) kx 有一零点 x = = m . m k 1

解 : ( 1 ) 设 直 线 ln : y = k n ( x + 1) , 联 立 x 2 2nx + y 2 = 0 得 , 则
2 2 2 = (2k n 2n) 2 4(1 + k n )k n = 0

2 2 2 (1 + k n ) x 2 + (2k n 2n) x + k n = 0

,



kn =

n 2n + 1

(

n 2n + 1

舍去)

2 xn =

2 kn n2 n n 2n + 1 = , 即 xn = , ∴ y n = k n ( x n + 1) = 2 2 n +1 n +1 1 + k n (n + 1)

n 1 xn n +1 = ( 2) 证 明 : ∵ = n 1 + xn 1+ n +1 1 x1 x3 x5 x 2 n 1 =

1 2n + 1

1 3 2n 1 1 3 2n 1 × × × < × ×× = 2 4 2n 3 5 2n + 1

1 2n + 1

∴ x1 x3 x5 x 2 n 1 <

1 xn 1 + xn

由于

xn = yn

1 xn 1 ' = ,可令函数 f ( x ) = x 2 sin x ,则 f ( x) = 1 2 cos x ,令 2n + 1 1 + xn
2 π π ,给定区间 (0, ) ,则有 f ' ( x ) < 0 ,则函数 f (x ) 在 (0, ) 上单 2 4 4

f ' ( x) = 0 ,得 cos x =

调递减,∴ f ( x ) < f (0) = 0 ,即 x <

2 sin x 在 (0, ) 恒成立,又 0 < 4

π

1 1 π ≤ < , 2n + 1 3 4

则有

1 xn x 1 1 ,即 < 2 sin < 2 sin n . 2n + 1 2n + 1 1 + xn yn

w.w.w.k.s.5. u.c.o. m

.w.k.s.5.u.c.o.m

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